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第11 讲逆命题与逆定理
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 互逆命题与互逆定理
1. 命题的结构与改写：能准确分析命题的条件和结论，将命题写成“如果…… 那么……” 的形式。
2. 互逆命题的概念与判断：理解互逆命题的定义，能写出一个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真
假。
3. 互逆定理的概念与判断：掌握互逆定理的定义，知道一个定理的逆命题经过证明是正确的，才能称为逆
定理；能判断两个定理是否为互逆定理。
知识点2 线段垂直平分线性质定理及其逆定理
1. 性质定理的应用：理解线段垂直平分线的性质定理，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
能运用该定理进行相关的计算和证明，如求线段长度、证明线段相等。
2. 逆定理的应用：掌握线段垂直平分线的逆定理，即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；能
利用逆定理证明点在线段的垂直平分线上，进而解决相关几何问题。
3. 尺规作图：能够利用尺规作已知线段的垂直平分线。
知识点3 角平分线性质定理及其逆定理
1. 性质定理的应用：牢记角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等；能运用该定理进
行几何计算和证明，如证明三角形全等、求线段长度等。
2. 逆定理的应用：理解角平分线的逆定理，即角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；能通过证
明点到角两边距离相等来确定点在角的平分线上，解决与角平分线相关的问题。
3. 三角形角平分线的性质：了解三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三边的距离相等。
.
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课本典例1（习题12.4 第3 题）
如图，在?ABC 中，?A = 30?，?C = 90?，BD 是?ABC 的平分线，交AC 于点D。求证：点D 在AB 的垂直平
分线上。
【答案】因为在?ABC 中，?C = 90?，?A = 30?，根据三角形内角和为180?，可得?ABC = 180???A??C =
180??30??90? = 60?。
因为BD 是?ABC 的平分线，所以∠ABD =
1
2 ∠ABC =
1
2 × 60∘= 30∘。
则?A = ?ABD = 30?，所以AD = BD（等角对等边）。
根据线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，所以点D
在AB 的垂直平分线上。
【解析】先利用三角形内角和求出?ABC 的度数，再根据角平分线定义得到?ABD 的度数，通过等角对等边
证明AD = BD，最后依据线段垂直平分线逆定理得证。
【点睛】本题关键是掌握角平分线性质、等腰三角形判定以及线段垂直平分线逆定理，通过角度计算和边
的关系证明点在线段垂直平分线上。
课本典例2（习题12.4 第4 题）
如图，CA?DA，CB?DB，垂足分别是点A 和点B，?CAB = ?CBA，求证：点C 在?ADB 的平分线上。
【答案】因为?CAB = ?CBA，所以CA = CB（等角对等边）。
又因为CA?DA，CB?DB，即CA、CB 分别是点C 到?ADB 两边的距离。
根据角平分线的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，所以点C 在?ADB 的平分线上。
【解析】先由等角对等边得到CA = CB，再结合CA、CB 分别垂直于?ADB 的两边，根据角平分线逆定理得
证。
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【点睛】本题重点是理解等角对等边以及角平分线逆定理，通过边的关系和点到角两边距离情况来证明点
在角平分线上。
课本典例3（习题12.4 第8 题）
如图，在Rt?ABC 中，?C = 90?，斜边AB的垂直平分线分别交边AB、BC于点D、E，ED = EC。求证：∠A = 2∠B，
并求出∠A 和∠B 的度数。
【答案】连接AE
因为DE 是AB 的垂直平分线，所以AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），则?B = ?EAB。
因为ED = EC，ED?AB，EC?AC，根据角平分线的逆定理可知AE 是?CAB 的平分线，所以?EAB = ?EAC。
那么?CAB = 2?EAB，又因为?B = ?EAB，所以∠A = 2∠B。在Rt?ABC 中，?C = 90?，根据三角形内角和为180?，
即?A + ?B = 90?，把∠A = 2∠B 代入可得2?B + ?B = 90?，3?B = 90?，解得?B = 30?，则∠A = 2 × 30∘= 60∘。
【解析】连接AE 后，利用线段垂直平分线性质得到AE = BE 推出?B = ?EAB ，再由ED = EC 结合角平分线
逆定理得到AE 平分?CAB，得出∠A = 2∠B 关系，最后根据直角三角形两锐角和为90?求出角度。
【点睛】本题综合运用线段垂直平分线性质、角平分线逆定理，通过角度间的等量代换求出角的度数，关
键在于合理添加辅助线并利用相关定理建立角度关系。
题型一写出命题的逆命题
1．（24-25 八年级上·河北秦皇岛·期末）等腰三角形两底角相等的逆命题是
．
【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
【分析】本题主要考查了一个命题的逆命题，命题中有题设和结论，将题设和结论互换一下，就可以得到
原命题的逆命题．
【详解】解：等腰三角形两底角相等的逆命题是，如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰
三角形，
故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
2．（24-25 八年级上·上海普陀·阶段练习）命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离
相等”的逆命题是
．
【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【分析】本题考查了命题与逆命题，掌握命题的题设和结论是解题的关键．交换命题的题设和结论的位置，
即可得出命题的逆命题．
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【详解】解：命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是“到线段两个
端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”．
故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
3．（24-25 八年级上·山西临汾·期末）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是
．
【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形
【分析】找出原命题的条件和结论，再把原命题的条件变为逆命题的结论，把原命题的结论变为逆命题的
条件即可求解．本题考查了写出原命题的逆命题，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键．
【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
4．（24-25 八年级下·广东广州·阶段练习）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是
．
【答案】“面积相等的两个三角形是全等三角形”
【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的结论和条件互换即可得到原命题的逆命题．
【详解】解：命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，
故答案为：“面积相等的两个三角形是全等三角形”．
5．（24-25 八年级上·河南南阳·期末）请写出定理“等边对等角”的逆定理：
．
【答案】等角对等边
【分析】本题考查了定理和逆定理．定理是经过推理证明得到的真命题，可以作为推理论证的依据，它的
逆命题如果也是真命题，那么它的逆命题也是定理，即一个定理和它的逆定理的题设和结论正好相反．
等边对等角的题设是等边，结论是等角，故它的逆定理的题设是等角，结论是等边，由此即可得解．
【详解】解：定理“等边对等角”的逆定理是“等角对等边”．
故答案为：等角对等边．
题型二判定是否为互逆命题
6．（23-24 八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（
）
A．同旁内角不互补，两直线平行
B．同旁内角不互补，两直线不平行
C．两直线平行，同旁内角互补
D．两直线不平行，同旁内角不互补
【答案】C
【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可．
【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”，
故选C．
7．（23-24 八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真
假．
(1)全等三角形的对应边相等；
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(2)互为相反数的两个数的和为零．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查命题书写及判断真假：
（1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案；
（2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
“若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等，
∵三角形全等对应边相等，
∴该命题是真命题，
逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题；
（2）解：由题意可得，
“若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零，
∵两个互为相反的数和为0，
∴是真命题，
逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题．
8．（22-23 八年级下·吉林松原·阶段练习）下列说法错误的是（
）
A．任何命题都有逆命题
B．任何定理都有逆定理
C．命题的逆命题不一定是真命题
D．定理的逆定理一定是真命题
【答案】B
【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌
握基本概念，根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意；
B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意；
C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意；
D、定理的逆定理一定是真命题，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．（22-23 八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（
）
A．互为逆命题
B．互逆定理
C．公理
D．假命题
【答案】A
【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可．
【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”
“相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”
条件和结论互换，所以是互为逆命题．
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定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题，
所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理．
故选：A．
【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键．
10．（22-23 八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的
，而
第一个命题的结论是第二个命题的
，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原
命题，那么另一个命题叫做它的
．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定
理的
．
【答案】
结论
条件
逆命题
逆定理
【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题
的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一
个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫
它是原定理的逆定理，进行作答即可．
【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命
题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆
命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理．
故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理．
【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
题型三利用线段垂直平分线的性质求解
11．（24-25 八年级上·河北邯郸·期中）如图，在
ABC
V
中，直线l 垂直平分边BC ，分别交AC ，BC 于点E ，
D ，连接BE ．若
13
AC
，
7
AE
，则BE 的长为
．
【答案】6
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解
题的关键．根据线段垂直平分线的性质回答即可．
【详解】解:
直线l 垂直平分边BC ，分别交AC ，BC 于点E ，D ，
EB
EC
，
13,
7
AC
AE
，
6
E C
A C
A E
，
6
BE
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故答案为：6 ．
12．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，在
ABC
V
中，DE 是AC 的垂直平分线，
5
AE ，
ABD
△
的
周长为12，则
ABC
V
的周长为（
）
A．17
B．22
C．29
D．30
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质．先根据垂直平分线的性质可得
1
,
2
AD
CD AE
CE
AC
，再根据
三角形的周长公式即可得．
【详解】解：
DE 是AC 的垂直平分线，
1
2
AD
CD
AE
CE
AC
，
，
ABD 的周长为
12
ABD
C
AB
BD
AD
△
，
5
AE ，
ABC
的周长为
ABC
C
AB
BC
AC
(
)
2
AB
BD
CD
AE
2
AB
BD
AD
AE
2
ABD
C
AE
△
12
2 5
22
，
故选：B．
13．（23-24 八年级上·广西河池·期末）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
，
5
AB
，
12
AC
，EF 垂直
平分BC ，点P 为直线EF 上一动点，则ABP 周长的最小值是
．
【答案】17
【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质，连接PC ，如图，根据线段垂直平分线的性质得到PB
PC
，
则PA
PB
PA
PC
，根据三角形三边之间的关系得到PA
PC
AC
（当且仅当A、P、C 共线时取等号），
则PA
PC
的最小值为AC 的长，所以ABP 周长的最小值
AB
AC
．
【详解】解：连接PC ，如图，
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∵EF 垂直平分BC ，
∴PB
PC
，
∴PA
PB
PA
PC
，
∵PA
PC
AC
（当且仅当A、P、C 共线时取等号），
∴PA
PC
的最小值为AC 的长，
∴ABP 周长的最小值
5 12
17
AB
AC
．
故答案为：17．
14．（24-25 八年级上·河北保定·期中）如图，在ABC 中，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F，交BC 于点E，
AD
BC
，垂足为D，且BD
DE
，连接AE ．
(1)求证：AB
EC
；
(2)若
16
DC
AF
，求ABC 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)32
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据AD
BC
，且BD
DE
，可得AD 垂直平分BE ，则AB
AE
，根据EF 垂直平分AC ，可得EA
EC
，
据此可证明AB
EC
；
（2）根据线段垂直平分线的定义得到
2
AC
AF
，根据BD
DE
，得到
2
BC
DE
EC
，再根据三角形周
长计算公式和线段之间的关系可得ABC 的周长
2
32
AB
BC
AC
DC
AF
．
【详解】（1）证明：∵AD
BC
，垂足为D，且BD
DE
，
∴AD 垂直平分BE ，
∴AB
AE
，
∵EF 垂直平分AC ，交AC 于点F，交BC 于点E，
∴EA
EC
，
∴AB
EC
；
（2）解：∵EF 垂直平分AC ，交AC 于点F，交BC 于点E，
∴
2
AC
AF
．
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∵BD
DE
，
∴
2
BC
DE
EC
．
由（1）得AB
EC
，
∴ABC 的周长
2
2
2
32
AB
BC
AC
EC
DE
EC
AF
DC
AF
．
15．（24-25 八年级上·上海·阶段练习）如图，
ABC
V
中，BD 平分
ABC
，BC 的中垂线交BC 于点E，交
BD 于点F，连接CF 、若
60
A
，
48
ACF
，则
ABC
的度数为
．
【答案】48/48 度
【分析】由角平分线的定义可得
ABD
BCD
，由垂直平分线的性质可得BF
CF
，从而得到
FBC
FCB
，进而得到
ABD
FBC
FCB
，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．本题主要
考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：
BD 平分
ABC
，
ABD
DBC
，
EF 垂直平分BC ，
BF
CF
，
FBC
FCB
，
ABD
FBC
FCB
，
180
A
ACF
ABD
CBD
BCF
，
60
A
，
48
ACF
，
24
ABD
CBD
BCF
，
2
48
ABC
ABD
，
故答案为：48．
题型四线段垂直平分线的判定
16．（24-25 八年级上·上海·阶段练习）到三角形三个顶点距离都相等的点是（
）
A．三角形的三条角平分线的交点
B．三角形的三边垂直平分线的交点
C．三角形的三条高线的交点
D．三角形的三条中线的交点
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行
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作答即可．
【详解】解：∵到三角形三个顶点距离都相等的点，
∴该点是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：B
17．（24-25 八年级上·河北邢台·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD 是一
个筝形，其中AD
CD
，AB
CB
．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC
BD
；②AO
CO
；
③
ABD
CBD
≌
△
△
．其中正确的结论有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】D
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，通过证明三角形全等来验证筝形的性质．
根据全等三角形的判定和性质逐个证明即可得到结果．
【详解】在
ABD
△
和
CBD
△
中
AD
CD
AB
BC
DB
DB
，
(SSS)
ABD
CBD
≌
故③正确；
ADB
CDB
在
AOD
△
与
COD
△
中，
AD
CD
ADB
CDB
OD
OD
，
(SAS)
AOD
COD
≌
90
AOD
COD
AO
OC
，
，
,
AC
DB
故①②正确，
综上①②③正确，正确的结论共3 个，
故选：D．
18．（24-25 八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形ABCD 中，AB
AD
，AN 垂直平分BC ，交BC 于
点N ，点M 是CD 中点．
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(1)证明：AM 是线段CD 的垂直平分线；
(2)若
70
MAN
，求
BAD
的度数．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)140
【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，三线合一等知识，掌握以上知识是关键．
（1）根据垂直平分线的性质，结合题意得到AC
AD
，即ACD是等腰三角形，由“三线合一”得到
AM
CD
，由此即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到
,
BAN
CAN
DAM
CAM
，则
70
CAN
CAM
MAN
，所
以有
70
BAN
DAM
CAN
CAM
，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵AN 垂直平分BC ，
∴
90 ,
,
ANB
ANC
BN
CN AB
AC
，
∴AC
AD
，即ACD是等腰三角形，
∵点M 是CD 中点，
∴AM
CD
，
∴AM 是线段CD 的垂直平分线；
（2）解：∵AN 垂直平分BC ，AM 是线段CD 的垂直平分线，AB
AC
AD
∴
,
BAN
CAN
DAM
CAM
，
∵
70
CAN
CAM
MAN
，
∴
70
BAN
DAM
CAN
CAM
，
∴
140
BAD
．
19．（24-25 八年级上·贵州遵义·期中）如图，在
ABC
V
中，AB 的垂直平分线1l 交AB 于点M，交BC 于点
D，AC 的垂直平分线2l 交AC 于点N，交BC 于点E，1l 与2l 相交于点O，
ADE
V
的周长为10．
(1)求BC 的长；
(2)试判断点O 是否在边BC 的垂直平分线上，并说明理由．
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【答案】(1)
10
BC
(2)点O在边BC 的垂直平分线上，理由见解析
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到DB
DA
，同理EA
EC
，于是得到结论；
（2）连接AO ，BO，CO，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论．
【详解】（1）
1l 垂直平分AB ，
DB
DA
，
同理EA
EC
，
10
BC
BD
DE
EC
DA
DE
EA
；
（2）点O在边BC 的垂直平分线上，
理由：连接AO ，BO，CO，
1l 与2l 是AB ，AC 的垂直平分线，
AO
BO
，CO
AO
，
OB
OC
，
点O在边BC 的垂直平分线上．
20．（24-25 八年级上·上海·阶段练习）已知，如图，AE
EB
，AF
CF
，点E、F 分别为垂足，BE
CF
，
A
ABC
CB
∠
．
(1)证明：AE
AF
；
(2)延长EB
FC
、
相交于点D，联结AD ．证明：AD 垂直平分线BC ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，等角对等边，熟知全等三角
形的性质与判定定理是解题的关键．
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（1）根据等角对等边得到AB
AC
，再证明
Rt
Rt
HL
ABE
ACF
△
≌
△
，即可证明AE
AF
；
（2）证明
Rt
Rt
HL
ADE
ADF
≌
△
△
，得到DE
DF
，则可证明DB
DC
，再根据线段垂直平分线的判定
定理即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵
A
ABC
CB
∠
，
∴AB
AC
，
∵AE
EB
，AF
CF
，
∴
90
E
F
，
又∵BE
CF
，
∴
Rt
Rt
HL
ABE
ACF
△
≌
△
，
∴AE
AF
；
（2）证明：∵AE
AF
AD
AD
，
，
∴
Rt
Rt
HL
ADE
ADF
≌
△
△
，
∴DE
DF
，
∵BE
CF
，
∴DE
BE
DF
CF
，即DB
DC
，
又∵AB
AC
，
∴AD 垂直平分线BC ．
题型五作已知直线的垂直平分线
21．（24-25 八年级上·江苏徐州·期末）如图，在
ABC
V
中，
60
ABC
．
(1)作
ABC
的角平分线BE ，边BC 的垂直平分线MN ，BE 与MN 相交于点P．（尺规作图，不写作法，保
留作图痕迹）；
(2)求
PCB
∠
的度数（写出推理过程）．
【答案】(1)见详解
(2)30
【分析】本题考查作图一基本作图、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义、
线段垂直平分线的性质是解答本题的关键
（1）根据角平分线的作图方法、线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）由角平分线的定义可得
1
30
2
PBC
ABC
，由线段垂直平分线的性质可得BP
CP
，则
30
PCB
PBC
．
14 / 43
【详解】（1）解：如图，射线BE 和直线MN 即为所求：
（2）解：连接PC ，
∵BE 为LABC 的角平分线∶
∴
1
30
2
PBC
ABC
，
∵直线MN 为线段BC 的垂直平分线，
∴BP
CP
，
∴
30
PCB
PBC
．
22．（24-25 八年级上·广东广州·期末）如图，AM 平分
BAC
，BC 边的垂直平分线l 分别交AC ，BC ，
AM 于点E，F，G ．
(1)尺规作图：作BC 的垂直平分线l，并标出点E，F，
(
G 保留作图痕迹，不写作法) ；
(2)连接BE ，若
AGE
C
，求证：AG 垂直平分BE ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质．
（1）利用尺规作图作BC 的垂直平分线l，分别交AC ，BC ，AM 于点E，F，G 即可；
（2）根据垂直平分线的性质和
AGE
C
，证明AG
BE
，再证明ABD
AED
≌
，得BD
ED
，进而可
得AG 垂直平分BE ．
【详解】（1）解：如图，BC 的垂直平分线l，分别交AC ，BC ，AM 于点E，F，G，点E，F，G 即为所
求；
15 / 43
（2）证明：
EF 是BC 的垂直平分线，
EB
EC
，
90
GFM
，
EBC
C
，
AGE
C
，
EBC
AGE
，
GMF
BMD
，
90
BDM
GFM
，
AG
BE
，
90
BDA
EDA
，
AM 平分
BAC
，
BAD
EAD
\ Ð
= Ð
，
AD
AD
，
ASA
ABD
AED
≌
，
BD
ED
，
AG
垂直平分BE ．
23．（24-25 八年级上·广西百色·期末）如图所示，在
ABC
V
中，
10cm,
7cm
AC
BC
．
(1)尺规作图：作边AB 的垂直平分线DE 交AC 、AB 于D、E 两点．
(2)连接BD ，求
BCD
△
的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
BCD
△
的周长是17cm
【分析】本题主要考查了尺规作图之作线段的垂直平分线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直
平分线的性质是解题的关键．
16 / 43
（1）分别以点A、B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径作弧，前后弧相交，然后过弧交点作直线交AB 于E，AC
于D 即可；
（2）由DE 垂直平分AB 得DB
DA
，从而即可求得
BCD
△
的周长．
【详解】（1）解：如图所示，DE 是边AB 的垂直平分线．
（2）解：
DE 是边AB 的垂直平分线，
AD
BD
，
BD
CD
AD
CD
AC
，
又
10 cm,
7 cm
AC
BC
，
10
7
17cm
BD
CD
BC
AC
BC
，
答：
BCD
△
的周长是17 cm ．
24．（24-25 八年级上·河南新乡·期末）如图，AB
AC
，AD
AE
，
DAC
EAB
．
(1)求证：BD
EC
．
(2)用直尺和圆规作图：过点A 作AF
BC
，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，以及垂直平分线作法，解题的关键在于结合
等腰三角形性质理解过点A 作AF
BC
，即作BC 的垂直平分线．
（1）根据题意证明
DAB
EAC
V
V
≌
，利用全等三角形性质求解，即可解题；
（2）利用等腰三角形底边上三线合一，可知过点A 作AF
BC
，即作BC 的垂直平分线，根据垂直平分线
作法作图，即可解题．
【详解】（1）证明：∵
DAC
EAB
，
∴
DAC
BAC
EAB
BAC
，
即
DAB
EAC
．
在ADB 和
AEC
△
中，
17 / 43
AB
AC
DAB
EAC
AD
AE
，
∴
DAB
EAC SAS
≌
，
∴BD
CE
．
（2）解：如图，AF 即为所求．
25．（24-25 八年级上·广东广州·期末）如图，在
ABC
V
中，
90
C
，
36
B
．
(1)尺规作图：作线段AB 的垂直平分线DE ，交BC 于点D，交AB 于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，连接AD ，求
CAD
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)18
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是
正确的作出垂直平分线．
（1）依据线段垂直平分线的作法画出图形即可；
（2）由三角形内角和定理求出
54
BAC
，由线段垂直平分线的性质可知AD
DC
，由等边对等角得到
36
BAD
B
，然后求出
CAD
的度数即可．
【详解】（1）解：如图，DE 即为所求，
；
（2）解：如图，
18 / 43
∵
90
C
，
36
B
，
∴
54
BAC
，
∵DE 垂直平分AB ，
∴AD
BD
，
∴
36
BAD
B
，
∴
18
CAD
CAB
DAB
．
题型六利用角平分线的性质求解
26．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在
ABC
V
中，
7
AB
，
6
AC
，AD 平分
BAC
，DE
AC
于E ，
2
DE
，则
ABC
V
的面积为（
）
A．13
B．19
C．20
D．26
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解
答本题的关键．
过D 点作DF
AB
于F ，如图，根据角平分线的性质得到
2
DF
DE
，然后利用三角形面积公式，利用
ABC
ABD
ACD
S
S
S
进行计算即可．
【详解】解：如图，过D 点作DF
AB
于F ，
AD 平分
BAC
，DE
AC
，DF
AB
，
2
DF
DE
，
19 / 43
ABC
ABD
ACD
S
S
S
，
1
1
7
2
6
2
2
2
，
13
．
故选：A．
27．（22-23 八年级下·广东清远·期中）如图，在
ABC
V
中，CD 是AB 边上的高，BE 平分
ABC
，交CD 于
点E，已知，
8
BC ，
2
DE
，则BCE 的面积等于
．
【答案】8
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点E 作EF
BC
于
点F ，先根据角平分线的性质定理可得
2
EF
DE
，再根据三角形的面积公式计算即可得．
【详解】解：如图，过点E 作EF
BC
于点F ，
∵在
ABC
V
中，CD 是AB 边上的高，
∴CD
BA
，
又∵BE 平分
ABC
，EF
BC
，
2
DE
，
∴
2
EF
DE
，
∵
8
BC ，
∴BCE 的面积等于1
1
8 2
8
2
2
BC EF
，
故答案为：8．
28．（24-25 八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，
B
C
，
的平分线交于点O
OD
BC
，
于
D，如果
18cm
20cm
22cm
AB
BC
AC
，
，
，且三角形的面积
2
150cm
ABC
S
，那么OD 的长为（
）
20 / 43
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，作OE
AC
交于点E，作OF
AB
交于点F，
连接OA，证明OD
OE
OF
，再利用
2
150cm
ABC
BOC
AOB
AOC
S
S
S
S
△
△
△
△
即可求出OD 的长度．
【详解】解：作OE
AC
交于点E，作OF
AB
交于点F，连接OA，
∵OC 平分
ACB
，OB 平分
ABC
，OD
BC
∴OD
OE
OF
，
∵
2
150cm
ABC
BOC
AOB
AOC
S
S
S
S
△
△
△
△
，
即
2
1
1
1
20
18
22
150cm
2
2
2
OD
OF
OE
，
∴
5cm
OD
．
故选：B．
29．（23-24 八年级上·山西长治·期末）如图，在Rt ABC 中，
90
C
，BD 平分
CBA
，交AC 于点D ，
DE
AB
于点E ，若
3
CD
，
12
AB
，则ABD 的面积为（
）
A．9
B．12
C．18
D．36
【答案】C
【分析】本题考查的是角平分线的性质，关键掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平
分线的性质求出DE 的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：
BD 平分
CBA
，
90
C
，DE
AB
，
21 / 43
3
DE
CD
，
ABD
的面积
1
1 12 3
18
2
2
AB
DE
，
故选：C．
30．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点A 、B 分别是
NOP
、MOP
平分线上的点，AB
OP
于点E ，BC
MN
于点C ，AD
MN
于点D ，求证：AD
BC
AB
．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．根据角
平分线的性质得出BC
BP
，AD
AP
，根据线段的和差关系即可得结论．
【详解】解：∵点A 、B 分别是
NOP
、
MOP
平分线上的点，AB
OP
，BC
MN
，AD
MN
，
∴BC
BP
，AD
AP
，
∴AD
BC
BP
AP
AB
．
题型七角平分线的判定定理
31．（24-25 八年级上·湖北随州·期中）如图，在
ABC
V
中，点D 是BC 边的垂直平分线上的一点，DF
AB
，
DG
AC
，垂足分别为F，G，BF
CG
．求证：平分
BAC
．
【答案】见解析
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，熟练掌握全
等三角形的判定与性质和角平分线的判定定理是解题的关键．
证明
Rt
Rt
HL
DFB
DGC
≌
，得到DF
DG
，即可由角平分线的判定定理得出结论．
【详解】证明：∵点D 是BC 边的垂直平分线上的一点，
∴DB
DC
，
DF
AB
，DG
AC
，
DFB
和DGC 都是直角三角形．
在Rt
DFB
△
和Rt
DGC
△
中，
,
,
DB
DC
BF
CG
22 / 43
Rt
Rt
HL
DFB
DGC
≌
，
DF
DG
，
DF
DG
，
DF
AB
，DG
AC
，
AD
平分
BAC
．
32．（24-25 八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，四边形ABCD 中，
90
B
Ð
=
°，AB
CD
∥
，M 为BC 的
中点，AM 平分
BAD
．求证：
(1) DM 平分
ADC
；
(2) AD
AB
CD
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质：
（1）过点M 作MN
AD
于点N ，角平分线的性质得到MB
MN
，中点得到MB
MC
，进而得到MC
MN
，
平行线的性质，推出MC
CD
，即可得证；
（2）证明
Rt
Rt
HL
ABM
ANM
≌
，得到AB
AN
，同理得到CD
DN
，根据AD
AN
DN
，等量代
换即可得出结论．
【详解】（1）证明：过点M 作MN
AD
于点N ，
∵
90
B
Ð
=
°，
∴MB
AB
．
∵AM 平分
BAD
，
∴MB
MN
．
∵M 为BC 的中点，
∴MB
MC
．
∴MC
MN
．
23 / 43
∵AB
CD
∥
，
∴
180
90
C
B
∴MC
CD
．
∵MC
MN
，MN
AD
，
∴DM 平分
ADC
．
（2）由（1）得
90
B
MNA
，
∵MB
MN
，AM
AM
，
∴
Rt
Rt
HL
ABM
ANM
≌
．
∴AB
AN
．
同理，CD
DN
，
∵AD
AN
DN
，
∴AD
AB
CD
．
33．
（24-25 八年级上·广东肇庆·期中）如图，PM
OA
于
,
M PN
OB
于
,
,
30
N PM
PN
BOC
则
AOB
（
）
A．30
B．50
C．60
D．90
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线判定定理的应用，注意：到角的两边的距离相等的点在角平分线上．
根据角平分线判定定理得出P 在
AOB
的角平分线上，推出
2
AOB
BOC
，求出即可．
【详解】解：∵PM
OA
于M，PN
OB
于N，PM
PN
，
∴P 在
AOB
的角平分线上，
∵
30
BOC
∴
2
2 30
60
AOB
BOC
．
故选C．
34．（24-25 八年级上·广东肇庆·期中）如图，锐角
ABC
V
的两条高
,
BD CE 相交于点O，且OB
OC
．
(1)求证：BE
CD
；
24 / 43
(2)求证：判断点O 是否在
BAC
的平分线上，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)点O 在
BAC
的平分线上．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，以及等腰三角形的性质和判定，解决此
题的关键是找到
BEC
CDB
△
≌△
．
（1）根据等边对等角先求出
OBC
OCB
，再证明
BEC
CDB
△
≌△
即可解决问题．
（2）先由（1）的全等得到BD
CE
，再得到OD
OE
，即可得到点在角平分线上．
【详解】（1）解：
BD
CE
、
是
ABC
V
的高，
90
BEC
CDB
．
OB
OC
，
OBC
OCB
，
又
BC 是公共边，
AAS
BEC
CDB
≌
．
BE
CD
．
（2）解：点O在
BAC
的角平分线上．
理由如下：
BEC
CDB
≌
，
BD
CE
，
又
OB
OC
，
EC
OC
BD
OB
，即：OD
OE
又
OD
AC
OE
AB
，
，
点O在
BAC
的角平分线上．
35．（23-24 八年级上·吉林白山·期末）如图，
ABC
V
中，
=90
ACB
，点D，E 分别在边BC
AC
，
上，
=
=
DE DB
DEC
B
，
．
(1)求证：AD 平分
BAC
；
(2)写出AE
AB
与AC 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
=
AE
AB AC
，见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解题的关键．
25 / 43
（1）如图：过点D 作DF
AB
于点F，证明
AAS
DCE
DFB
≌
得到DC
DF
，然后根据角平分线的判
定定理即可证明结论；
（2）先证明
AAS
ACD
AFD
≌
得到AC
AF
，由（1）知，DCE
DFB
≌
，得到CE
FB
，最后根据线
段的和差以及等量代换即可解答．
【详解】（1）证明：如图：过点D 作DF
AB
于点F，
∴
90
DFB
，
∵
=90
ACB
，
∴
DFB
ACB
．
在
DCE
△
和
DFB
△
中，
DCE
DFB
DEC
B
DE
DB
，
∴
AAS
DCE
DFB
≌
，
∴DC
DF
，
∵DF
AB
，DC
AC
，
∴点D 在
BAC
的平分线上，
∴AD 平分
BAC
．
（2）解：
2
AE
AB
AC
，理由如下：
由（1）知，AD 平分
BAC
，
∴
DAC
DAF
．
在ACD 和
AFD
△
中，
90
ACD
AFD
DAC
DAF
DC
DE
，
∴
AAS
ACD
AFD
≌
，
∴AC
AF
．
由（1）知，DCE
DFB
≌
，
∴CE
FB
，
∴
2
AE
AB
AE
FB
AF
AE
CE
AF
AC
AF
AC
．
26 / 43
题型八角平分线性质的实际应用
36．（24-25 九年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图，三条直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要
求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（
）
A．一处
B．两处
C．三处
D．四处
【答案】D
【分析】本题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距
离相等．根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，
而外角平分线有3 个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案．
【详解】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等，
∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，
而外角平分线有3 个交点，内角平分线有一个交点，
如图，
∴货物中转站可以供选择的地址有4 处．
故选：D．
37．（24-25 八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休
息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在
．
【答案】
ABC
V
三条角平分线的交点处
【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答
即可．
【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等，
27 / 43
∴凉亭的位置应选在
ABC
V
三条角平分线的交点处．
故答案为：
ABC
V
三条角平分线的交点处．
38．（24-25 八年级上·广东中山·期中）如图，AB ，AC ，BC 是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围
成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（
）
A．
ABC
V
三条角平分线的交点位置
B．
ABC
V
三条高的交点位置
C．
ABC
V
三边的中垂线的交点位置
D．
ABC
V
三条中线的交点位置
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．
【详解】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴加油站应该在
ABC
V
三条角平分线的交点处．
故选：A
39．（24-25 八年级上·全国·单元测试）如图，三条公路两两相交于点A，B，C，现在要在公路边建一所加
油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等，则符合要求的位置有几个？请你找出所有加油站的位
置(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论)．
【答案】4 个；图见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可．
【详解】解：如图所示，
1
2
3
4
,
,
,
P P P P 即为加油站的位置，共有4 个符合要求的位置．
28 / 43
40．（2024 八年级上·全国·专题练习）如图，铁路OA和铁路OB 交于O 处，河道AB 与铁路分别交于A 处
和B 处，试在河岸上建一座水厂M，要求M 到铁路OA，OB 的距离相等，则该水厂M 应建在图中什么位
置？请在图中标出M 点的位置．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作法；根据题意作
AOB
的平分线交AB 于点M ，点M
即为水厂的位置．
【详解】解：如图所示，作
AOB
的平分线交AB 于点M ，点M 即为水厂的位置．
29 / 43
一、单选题
1．（24-25 八年级上·安徽淮北·期中）下列命题的逆命题不成立的是（
）
A．等边对等角
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．三个角都是60的三角形是等边三角形
【答案】C
【分析】本题考查了命题与定理的知识，能够写出命题的逆命题是解答本题的关键．
30 / 43
分别写出逆命题，然后判断是否成立即可．
【详解】解：A．逆命题为：等角对等边，成立，不符合题意；
B．逆命题为：同位角相等，两直线平行，成立，不符合题意；
C．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，符合题意；
D．逆命题为：等边三角形的三个角都是60，成立，不符合题意．
故选：C．
2．（24-25 八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，AD 是
ABC
V
中
BAC
的角平分线，DE
AB
于点E ，
若
ABC
V
的面积为7，
2
DE
，
4
AB
，则AC 长是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线性质、三角形面积公式、等面积法求线段长等知识，过点D 作
DF
AC
于点F ，如图所示，由角平分线的性质得到
2
DF
DE
，由等面积法得
ABC
ABD
ADC
S
S
S
，再
结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案．熟记角平分线性质是解决问题的关键．
【详解】解：过点D 作DF
AC
于点F ，如图所示：
AD 是
ABC
V
中
BAC
的角平分线，DE
AB
于点E ，DF
AC
于点F ，
2
DF
DE
，
ABC
V
的面积为7，
4
AB
，
ABC
ABD
ADC
S
S
S
，即
1
1
7
2
2
AB DE
AC DF
，
1
1
7
4
2
2
2
2 AC
，
解得
3
AC
，
故选：B．
3．（24-25 八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，以点A 为圆心，适当长为半
径作弧，分别交AB ，AC 于点D ，E ，再分别以点D ，E 为圆心，大于1
2 DE 长为半径作弧，两弧在
CAB
的内部相交于点F，作射线AF 交BC 于点G．若
8
AB
，
3
CG
，则ABG 的面积是（
）
31 / 43
A．24
B．12
C．10
D．85
【答案】B
【分析】本题考查基本作图——作角平分线、角平分线的性质．过点G 作GH
AB
于点H，由作图可得，
AF 为
BAC
的平分线，由角平分线的性质可得
3
GH
CG
，再利用三角形的面积公式可得答案．
【详解】解：如图，过点G 作GH
AB
于点H，
由作图可得，AF 为
BAC
的平分线，
90
C
CG
AB
，
，
3
GH
CG
，
ABG
的面积为：1
1
·
8 3
12
2
2
AB GH
，
故选：B．
4．（24-25 八年级上·河北邯郸·期中）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
，BD 平分
ABC
，若
6
AD
，则
点D 到BC 的距离是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，正确理解角平分线的性质是解本题的关键．过点D 作DE
BC
于E ，
根据角平分线的性质得到DE
AD
即可求解．
【详解】解：过点D 作DE
BC
于E ，
32 / 43
90
A
，
DA
AB
，
BD 平分
ABC
，DE
BC
，
6
AD
，
6
DE
AD
，
故选：D．
5．（24-25 八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，DE 是AB 的垂直平分线，垂
足为E．若
1
DC ，
2
AD
，则BC 的长为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，
根据线段垂直平分线的性质得
2
BD
AD
，再根据BC
BD
CD
得出答案.
【详解】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴
2
BD
AD
，
∴
2
1
3
BC
BD
CD
AD
CD
.
故选：C.
6．（24-25 八年级上·山东德州·期中）下列说法正确的有（
）
①角平分线上任意一点到角两边的距离相等
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等
④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质，属于基本题目，熟练掌握基本知识是解题的关
键．根据角平分线的性质定理和等腰三角形的性质逐一判断即得答案．
【详解】解：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，故①正确；
等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合，故②错误，
33 / 43
三角形三个角平分线的交点到三边的距离相等，故③错误，④正确；
综上，正确的说法是①④，有2 个．
故选：B．
7．（24-25 八年级上·广东深圳·期中）下列命题中，真命题的个数为（
）
①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；②角平分线所在的直线是这个角的对称轴；③两条
直线被第三条直线所截，内错角相等；④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】本题考查了命题与定理．根据三角形外角性质、平行线的性质和角平分线的性质等进行判断即可．
【详解】解：①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，是真命题；
②角平分线所在的直线是这个角的对称轴，是真命题；
③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题；
④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，是真命题；
真命题有3 个，
故选：C．
8．（24-25 八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在
ABC
V
中，
90
C
，AD 平分
CAB
，
10
BC
，
:
3: 2
BD CD
，
15
AB
，则
ABD
△
的面积为（
）
A．20
B．25
C．30
D．45
【答案】D
【分析】此题考查了角平分线的性质，
如图所示，过点D 作DE
AB
交于点E，首先求出
3
10
6
5
CD
，然后根据角平分线的性质求出
6
DE
CD
，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D 作DE
AB
交于点E
∵
10
BC
BD
CD
，
:
3: 2
BD CD
34 / 43
∴
3
10
6
5
CD
∵AD 平分
CAB
∴
6
DE
CD
∴
ABD
△
的面积为1
1 15 6
45
2
2
AB DE
．
故选：D．
9．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）如图，三角形ABC 中，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D，交AB 于
点E，如果
6,
5
AC
BC
，则
BCD
△
的周长是（
）
A．13
B．11
C．12
D．9
【答案】B
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关
键．根据线段垂直平分线的性质可得出AD
BD
，再结合周长公式求解即可．
【详解】解：∵AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D，
∴AD
BD
，
∴
5
6
11
BCD
C
BC
BD
CD
BC
AD
CD
BC
AC
．
故选：B．
10．（24-25 八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，已知点O 是
ABC
V
内一点，且点O 到三边的距离相等，
110
BOC
，则
A
的度数为（
）．
A．35
B．40
C．50
D．70
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是
解题的关键．由题意，BO
CO
、
分别为
ABC
和
ACB
的角平分线，利用三角形内角和即可求得
A
．
【详解】解：∵点O 到ABC 三边的距离相等，
35 / 43
∴BO平分
ABC
，CO平分
ACB
，
∴
180
A
ABC
ACB
180
2
OBC
OCB
180
2
180
BOC
180
2
180
110
40
故选：C．
二、填空题
11．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，Rt
ABC
△
中，
90
C
，AD 平分
BAC
，交BC 于点D ，
10
AB
，
15
ABD
S
，则CD 的长为
．
【答案】3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积．过点D 作DE
AB
，交AB 于点E，再
根据角平分线的性质定理得出DE
CD
，然后根据
1
15
2
ABD
S
AB DE
求出DE ，即可得出答案．
【详解】解：过点D 作DE
AB
，交AB 于点E，
AD 平分
BAC
，
90
C
AED
，
∴DE
CD
．
∵
10
AB
，
∴
1
15
2
ABD
S
AB DE
，
解得
3
DE ，
∴
3
CD
．
故答案为：3．
36 / 43
12．（24-25 八年级上·上海·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，
2
3
AB
BC
，
，BD 是
ABC
的平分线，如
果
ABC
V
的面积为3
2 ，那么
DBC
△
的面积为
．
【答案】9
10 /0.9
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D 分别作AB
BC
，
的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性
质可得DE
DF
，则可证明
2
3
ABD
CBD
S
AB
S
BC
△
△
，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D 分别作AB
BC
，
的垂线，垂足为E、F，
∵BD 是
ABC
的平分线，DE
AB
DF
BC
，
，
∴DE
DF
，
∵
1
2
2
1
3
2
ABD
CBD
AB DE
S
AB
S
BC
BC DF
△
△
，
∴
3
9
3
2
10
CBD
ABC
S
S
△
△
，
故答案为；9
10 ．
13．（24-25 八年级上·上海·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，AB
AC
，AB 的垂直平分线交AB 于点D，AC
于点E，连接BE ，如果
2
ABE
CBE
，那么
A
的度数是
．
【答案】45
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由线段
垂直平分线的性质得到EA
EB
，则
ABE
A
，再由等边对等角得到
ABC
C
，根据已知条件可得
37 / 43
3
2
ABC
A
∠
∠，据此根据三角形内角和定理建立方程求解即可．
【详解】解：
DE 是AB 的垂直平分线，
EA
EB
，
∴
ABE
A
，
∵AB
AC
，
∴
ABC
C
，
∵
2
ABE
CBE
，
∴
3
3
2
2
ABC
ABE
A
∠
∠
∠，
∵
180
ABC
C
A
，
∴3
3
180
2
2
A
A
A
∠
∠
∠
，
∴
45
A
，
故答案为：45．
14．（24-25 八年级上·上海闵行·阶段练习）△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交直线BC 于D 、E ，
且
150
BAC
DAE
，则
BAC
的度数
．
【答案】30或110
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，
分三种情况：当
BAC
是锐角时，根据线段垂直平分线的性质得
,
AD
BD AE
CE
，再根据等腰三角形的
性质得
,
ABD
BAD
BAC
CAD
CAE
ACE
，然后表示
150
CAE
ACE
BAC
CAD
，
最后根据三角形的内角和定理得出答案；当
BAC
是直角，不符合题意；当
BAC
是钝角时，先表示出
ABD
BAD
BAC
CAD
，再表示出
150
ACE
CAD
BAC
，然后根据三角形内角和定理得
出答案.
【详解】解：当
BAC
是锐角时，如图所示，
∵
ABC
V
的两边
,
AB AC 的垂直平分线分别交于直线BC 于点D，E，
∴
,
AD
BD AE
CE
，
∴
,
ABD
BAD
BAC
CAD
CAE
ACE
.
∵
150
DAE
BAC
，
∴
150
CAE
ACE
BAC
CAD
.
38 / 43
∵
180
ABC
ACB
BAC
，
∴
150
180
BAC
CAD
BAC
BAC
CAD
，
解得
30
BAC
.
当
BAC
是直角，不符合题意；
当
BAC
是钝角时，如图所示，
∵
ABC
V
的两边
,
AB AC 的垂直平分线分别交于直线BC 于点D，E，
∴
,
AD
BD AE
CE
，
∴
,
ABD
BAD
BAC
CAD
CAE
ACE
.
∵
150
DAE
BAC
，
∴
(150
)
150
CAE
ACE
CAD
BAC
CAD
BAC
.
∵
180
ABC
ACB
BAC
，
∴
150
180
BAC
CAD
BAC
CAD
BAC
，
解得
=110
BAC
.
所以
BAC
的度数是30或110.
故答案为：30或110.
15．（24-25 八年级上·江苏宿迁·期中）如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么，这
个三角形是
．
【答案】钝角三角形
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握锐角三角形，直角三角形，钝角三角形三边垂直平
分线交点的位置是解题的关键．
根据锐角三角形，直角三角形，钝角三角形三边垂直平分线交点的位置，即可解答．
【详解】解：如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是钝角三角形，
故答案为：钝角三角形．
三、解答题
16．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在
ABC
V
中，D 为BC 的中点，DE
BC
交
BAC
的平分线
AE 于E ，EF
AB
于F ，EG
AC
交AC 延长线于G .
39 / 43
(1)求证：BF
CG
.
(2)猜想AB 、AC 、AF 的数量有什么关系？并证明你的猜想；
(3)若
10cm
AB
，
6cm
AC
，则BF ________cm.
【答案】(1)见解析
(2)2AF
AB
AC
，见解析
(3)2
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．
（1）连接BE 、EC ，先根据线段垂直平分线的性质的性质得BE
EC
，再根据角平分线的性质得FE
EG
，
然后根据HL 证明Rt
Rt
BFE
CGE
△
≌
△
，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）证明
Rt
Rt
HL
AEF
AEG
≌
得AF
AG
，再结合（1）的结论BF
CG
，得
2
AB
AC
AF
BF
AG
CG
AF
；
（3）根据（2）的结论得
8cm
AF
，再根据BF
AB
AF
可得答案.
【详解】（1）证明：如图，连接BE 、EC ，
∵ED
BC
，D 为BC 中点，
∴BE
EC
，
∵EF
AB
，EG
AG
，且AE 平分
FAG
，
∴FE
EG
，
在Rt
BFE
△
和Rt
CGE
△
中，
BE
CE
EF
EG
，
∴
Rt
Rt
HL
BFE
CGE
≌
，
40 / 43
∴BF
CG
；
（2）解：2AF
AB
AC
，证明如下：
在Rt AEF 和Rt
AEG
△
中，
AE
AE
EF
EG
，
∴
Rt
Rt
HL
AEF
AEG
≌
，
∴AF
AG
，
由（1）知BF
CG
，
∴
2
AB
AC
AF
BF
AG
CG
AF
．
即2AF
AB
AC
；
（3）解：由（2）知2AF
AB
AC
，
∵
10cm
AB
，
6cm
AC
，
∴
2
10
6
16 cm
AF
，
∴
8cm
AF
，
∴
10
8
2 cm
BF
AB
AF
，
故答案为：2．
17．（24-25 八年级上·福建厦门·期中）如图，在
ABC
V
中，
90
C
．
(1)尺规作图：作
ABC
的平分线交AC 于D ；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)若
4
CD
，求点D 到边AB 的距离．
【答案】(1)见详解
(2)点D 到边AB 的距离为4
【分析】本题考查作图一基本作图，角平分线的性质，解题的关键是理解题意正确作图，熟练掌握角平分
线的性质定理．
（1）根据作平分线的方法作出图形即可；
（2）利用角平分线的性质定理证明
4
DH
DC
．
【详解】（1）解：如图，射线BD 即为所求，
41 / 43
（2）解：过点D 作DH
AB
于点H ，
∵BD 平分
ABC
，DH
AB
，DC
BC
，
∴
4
DH
DC
，
∴点D 到边AB 的距离为4．
18．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，在
ABC
V
中，AB
CA
，
(1)利用尺规，作线段AB 的垂直平分线DE ，垂足为E，交AC 于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下
①当BC
AD
，求
A
的度数
②若
ABC
V
的面积是12，
4
BC
，点M、N 分别是BC 、DE 上的动点，求BN
NM
的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)①36，②6
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握作已知线段的垂直平分线．也考查了线段垂直平分线的性质
和等腰三角形的性质．
（1）利用基本作图作AB 的垂直平分线DE 即可；
（2）①根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到AD
BD
BC
，设
DBA
A
x
，
2
BDC
C
x
然后计算
36
A
x
即可；
②如图，根据线段垂直平分线的性质得到NA
NB
，利用三角形三边的关系得到BN
NM
AN
MN
AM
（当且仅当A、N、M 共线时取等号），再利用垂线段最短，得到当AM
BC
时，AM 的长度最小，然后根
据三角形面积公式计算出AM 即可．
【详解】（1）解：（1）如图，DE 为所作．
42 / 43
（2）①∵DE 垂直平分AB ，BC
AD
，
∴AD
BD
BC
，
∴在
ABD
△
中，设
DBA
A
x
，
在BDC 中，
2
BDC
C
x
，
又∵AB
AC
，
∴在ABC 中，
2
ABC
C
x
，
5
180
A
ABC
C
x
，
∴
36
A
x
；
②∵如图，DE 垂直平分AB ；
∴NA
NB
，
∴BN
NM
AN
MN
AM
（当且仅当A、N、M 共线时取等号），
∵当AM
BC
时，AM 的长度最小，
∵
1
12
2
ABC
S
AM BC
△
，
∴
6
AM
，
∴BN
NM
的最小值为6．
19．（24-25 八年级上·陕西渭南·期中）斜拉索桥是利用一组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔的
桥梁上，它不用建造桥墩，为了保持受力平衡，要求修建时必须满足两根斜拉索的长度相等．如图所示，AB
和AC 表示的两根斜拉索分别被固定在桥面上的点B 、C 处，已测出OA
BC
，BO
CO
，则该斜拉索桥
是否符合修建规定？说明你的理由．
43 / 43
【答案】该斜拉索桥符合修建规定，理由见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的应用；证明OA是线段BC 的垂直平分线，即可得到AB
AC
．
【详解】解：该斜拉索桥符合修建规定，理由如下，
∵OA
BC
，BO
CO
，
∴OA是线段BC 的垂直平分线，
∴AB
AC
．
即两根斜拉索的长度相等．
20．（24-25 八年级上·江苏宿迁·期中）请确定一个点P，使得点P 到AB 和BC 的距离相等，且满足它到点
A 和点C 的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹．）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何
图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质
把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和角平分线的性质．利用基本作
图作
ABC
的平分线和AC 的垂直平分线，它们相交于点P，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质
可判断点P 满足条件．
【详解】解：如图，点P 为所作．
