第16讲二次函数与一元二次方程（知识点+7题型）（暑假预习讲义）（解析版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_暑假预习讲义+测试卷

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第16 讲二次函数与一元二次方程（知识点+7 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 求抛物线与x 轴的交点坐标
题型2 求抛物线与y 轴的交点坐标
题型3 已知二次函数的函数值求自变量的值
题型4 抛物线与x 轴的交点问题
题型5 求x 轴与抛物线的截线长
题型6 图象法确定一元二次方程的近似根
题型7 根据二次函数图象确定相应方程根的情况
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
二次函数与一元二次
方程的内在联系
抛物线与x 轴的交点
判别式的几何意义
利用二次函数图像解
1. 经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，理解两者的内在联系，知
道一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数
y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像与x 轴交点的横坐标。
2. 掌握一元二次方程根的判别式Δ=b^2-4ac 的几何意义，能根据判别式的
值判断抛物线与x 轴的交点个数，也能根据抛物线与x 轴的交点情况求参数
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一元二次方程
二次函数与一元二次
不等式的初步联系
函数与方程思想
的取值范围。
3. 能利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解，体会“数形结合”是解
方程的重要方法，理解代数问题与几何问题的相互转化。
4. 初步了解二次函数与一元二次不等式的关系，能通过观察二次函数的图像，
直接写出简单一元二次不等式的解集。
5. 能综合运用二次函数的图像与性质、一元二次方程的知识解决实际问题和
代数综合题，发展函数与方程思想和数形结合能力。
学习重点：二次函数与一元二次方程的内在联系，判别式的几何意义，利用二次函数图像求一元二次
方程的近似解。
学习难点：理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式三者之间的相互转化关系，数形结合思想
在函数与方程综合问题中的灵活应用。
知｜识｜框｜架
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知｜识｜精｜讲
知识点01 二次函数与一元二次方程的基本关系
核心结论：对于二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ），当ݕ= Ͳ 时，函数转化为一元二次方程ܽݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ。
方程的实数根就是抛物线与ݔ轴交点的横坐标。
数学语言：
若ݔ= ݔͲ是方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的根，则点(ݔͲ,Ͳ)是抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
与ݔ轴的交点。
即时即练
1．二次函数ݕ= ݔʹ െʹݔ的图像上有两点ܣܽ
,Ͳ 和ܤܾ
,Ͳ ，则ܽ
+ܾ
的值等于（
）
A．െʹ
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【分析】A，B 两点纵坐标均为0，说明ܽ
，ܾ
是方程ݔʹ െʹݔ= Ͳ 的两个根，解方程得到两个根后，即可计
算ܽ
+ܾ
的值．
【详解】解：∵点ܣܽ
,Ͳ 和ܤܾ
,Ͳ 在二次函数ݕ= ݔʹ െʹݔ的图像上，
∴ܽ，ܾ是方程ݔʹ െʹݔ= Ͳ 的两个根，
对方程变形得ݔݔെʹ = Ͳ，
解得ݔͳ = Ͳ，ݔʹ = ʹ，
∴ܽ+ܾ
= Ͳ + ʹ = ʹ．
【易错提醒】
切勿混淆抛物线与x 轴、y 轴的交点：与x 轴交点对应y=0，与y 轴交点对应x=0（坐标为(0,c)）
只有当y=0 时，二次函数才转化为一元二次方程，y 取其他非零值时对应一元二次方程的解是抛物线与水平
线y=k 的交点横坐标
知识点02
抛物线与x 轴的交点个数和判别式的关系
对于二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ），判别式Δ =ܾ
ʹ െͶܽܿ
的符号决定了抛物线与ݔ轴的交点个数：
判别式Δ的符号
一元二次方程根的情况
抛物线与࢞
轴的交点个
数
Δ > Ͳ
有两个不相等的实数根
2 个不同的交点
Δ = Ͳ
有两个相等的实数根
1 个公共点（顶点）
Δ < Ͳ
没有实数根
0 个交点
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即时即练
2．在平面直角坐标系中，抛物线ܥͳǣݕ=
ͳ
Ͷ ݔʹ െʹݔ+ ͵ 与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y
轴交于点C；抛物线ܥʹǣݕ=െ
ͳ
Ͷ ݔʹ +ܽ
ݔ+ܿ
经过B，C 两点．
(1)求点A，B 的坐标；
(2)求抛物线ܥʹ的函数表达式；
(3)在抛物线ܥʹ上是否存在一点M，使以点C，A，B，M 为顶点的四边形是以ܣܤ为边的平行四边形，若存
在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)ܣʹ,Ͳ ，ܤ͸,Ͳ
(2)ݕ=െ
ͳ
Ͷ ݔʹ + ݔ+ ͵
(3)点M 的坐标为Ͷ,͵
【分析】（1）解方程
ͳ
Ͷ ݔʹ െʹݔ+ ͵ = Ͳ，即可求解；
（2）求得ܥͲ,͵ ，再利用待定系数法求解即可；
（3）分两种情况求解，即可．
【详解】（1）解：令ݕ= Ͳ，则
ͳ
Ͷ ݔʹ െʹݔ+ ͵ = Ͳ，
解得ݔͳ = ʹ，ݔʹ = ͸，
∴ܣʹ,Ͳ ，ܤ͸,Ͳ ；
（2）解：令ݔ= Ͳ，则ݕ= ͵，
∴ܥͲ,͵ ，
∵抛物线ܥʹǣݕ=െ
ͳ
Ͷ ݔʹ +ܽ
ݔ+ܿ
经过B，C 两点，
∴െ
ͳ
Ͷ ൈ͸ʹ + ͸ܽ+ܿ
= Ͳܿ
= ͵
，
解得ܽ
= ͳܿ
= ͵ ，
∴抛物线ܥʹ的函数表达式为ݕ=െ
ͳ
Ͷ ݔʹ + ݔ+ ͵；
（3）解：∵ܣʹ,Ͳ ，ܤ͸,Ͳ ，ܥͲ,͵ ，
∴ܣܤ= ͸ െʹ = Ͷ，
当四边形ܥܣܤ形以ܣܤ为边，ܤܥ为对角线的平行四边形，
∴形Ͷ,͵ ，
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当ݔ= Ͷ 时，ݕ=െ
ͳ
Ͷ ൈͶʹ + Ͷ + ͵ = ͵，
∴点形Ͷ,͵ 在抛物线ܥʹ上；
当四边形ܥܤܣ形以ܣܤ为边，ܣܥ为对角线的平行四边形，
∴形െͶ,͵ ，
当ݔ=െͶ 时，ݕ=െ
ͳ
Ͷ ൈെͶ ʹ െͶ + ͵ =െͷ ≠͵，
∴点形െͶ,͵ 不在抛物线ܥʹ上，形െͶ,͵ 不符合题意；
综上，点M 的坐标为Ͷ,͵ ．
【易错提醒】
Δ = Ͳ 时是一个公共点（顶点在ݔ轴上），不是没有交点，也不是两个不同的交点
Δ < Ͳ 时，方程没有实数根，但二次函数本身仍然存在，抛物线与ݔ轴没有交点
此结论仅适用于抛物线与ݔ轴的交点，与ݕ轴的交点个数始终为1 个（坐标(Ͳ,ܿ)）
知识点03
利用二次函数图像求一元二次方程的近似根
方法：夹逼法
画出二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
的图像，确定抛物线与ݔ轴交点的大致位置
在交点两侧取两个靠近的自变量值ݔͳ和ݔʹ，计算对应的函数值ݕͳ和ݕʹ
若ݕͳ和ݕʹ异号，则在ݔͳ和ݔʹ之间必有一个根
逐步缩小自变量的取值范围，直到达到所需的精度
即时即练
3．二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的图象如图所示，ܣʹǤͳͳ, െͲǤͷͳ ，ܤʹǤ͸ͳ,ͲǤͷͶ 为图象上的两点，则
方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳܽ
≠Ͳ 的一个解可能是（
）
A．ʹǤ〷ͷ
B．ʹǤ͸ͳ
C．ʹǤͶͷ
D．ʹǤͳͳ
【答案】C
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐
标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与ݔ轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变
量相关．
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根据自变量两个取值所对应的函数值是െͲǤͷͳ 和ͲǤͷͶ，可得当函数值为0 时，ݔ的取值应在所给的自变量
两个值之间．
【详解】解：∵图象上有两点分别为ܣʹǤͳͳ, െͲǤͷͳ ，ܤʹǤ͸ͳ,ͲǤͷͶ ，
∴当ݔ= ʹǤͳͳ 时，ݕ=െͲǤͷͳ；当ݔ= ʹǤ͸ͳ 时，ݕ= ͲǤͷͶ，
∴当ݕ= Ͳ 时，ʹǤͳͳ < ݔ< ʹǤ͸ͳ，只有选项C 符合，
故选：C．
【易错提醒】
夹逼法的原理是：当函数值由正变负或由负变正时，中间必有一个根
近似根的精度取决于取值范围的大小，范围越小，精度越高
不要将函数值的大小与根的大小混淆，根是自变量ݔ的值，不是函数值ݕ
题型1 求抛物线与x 轴的交点坐标
【例1】已知关于x 的函数ݕ= 数ݔʹ + ͵数+ ͳ ݔ+ ͵
(1)若该二次函数的对称轴是直线ݔ= ͳ，求该函数的解析式；
(2)当该函数与x 轴的交点的横坐标为整数时，求整数m 的值．
【答案】(1)ݕ=െ
ͳ
ͷ ݔʹ +
ʹ
ͷ ݔ+ ͵
(2)当该函数与x 轴的交点的横坐标为整数时，整数m 的值为0 或1 或െͳ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次函数和一元二次方程的关系，解一元二次方程．
（1）根据对称轴是直线ݔ= ͳ，得到െ
͵数+ͳ
ʹ数= ͳ，据此求解即可；
（2）当数= Ͳ 时，求得该函数与x 轴的交点的横坐标为െ͵；当数≠Ͳ 时，利用因式分解法解方程数ݔʹ +
͵数+ ͳ ݔ+ ͵ = Ͳ，得到ݔͳ =െ
ͳ
数，ݔʹ =െ͵，据此求解即可．
【详解】（1）解：׶二次函数ݕ= 数ݔʹ + ͵数+ ͳ ݔ+ ͵ 的对称轴是直线ݔ= ͳ，
∴െ
͵数+ͳ
ʹ数= ͳ，
解得数=െ
ͳ
ͷ，
经检验，数=െ
ͳ
ͷ是该方程的解，
∴抛物线的解析式为ݕ=െ
ͳ
ͷ ݔʹ +
ʹ
ͷ ݔ+ ͵；
（2）解：当数= Ͳ 时，ݕ= ݔ+ ͵，
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由ݔ+ ͵ = Ͳ，得ݔ=െ͵，
∴该函数与x 轴的交点的横坐标为െ͵，是整数，符合题意，m 的值为0，
当数≠Ͳ 时，函数ݕ= 数ݔʹ + ͵数+ ͳ ݔ+ ͵ 是二次函数，
由数ݔʹ + ͵数+ ͳ ݔ+ ͵ = Ͳ，
解得ݔͳ =െ
ͳ
数，ݔʹ =െ͵，
׶该函数与x 轴的交点的横坐标为整数，即െ
ͳ
数是整数，
∴数= ͳ 或െͳ
∴综上所述，当该函数与x 轴的交点的横坐标为整数时，整数m 的值为0 或1 或െͳ．
【技巧归纳】
解方程的根就是交点的横坐标，交点坐标为(ݔͳ,Ͳ)、(ݔʹ,Ͳ)
方程有两个不相等实根→两个交点；有两个相等实根→一个交点；无实根→无交点
优先用因式分解法解方程，其次用公式法
【变式1-1】
1．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹܽ
≠Ͳ 的图象与直线ݕ= ʹݔെ͵ 交于点ܣͳ,ܾ
．
(1)求a 和b 的值；
(2)当x 取何值时，二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ中的函数值y 随x 值的增大而增大？
(3)求抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ与直线ݕ= ʹݔെ͵ 的另一个交点B 的坐标．
【答案】(1)ܽ
=െͳ，ܾ
=െͳ．
(2)当ݔ< Ͳ 时，二次函数ݕ=െݔʹ的函数值ݕ随ݔ的增大而增大．
(3)点ܤ的坐标为െ͵, െͻ ．
【分析】（1）先求出点A 的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可；
（3）联立两函数解析式，解之即可得到答案．
【详解】（1）解：在ݕ= ʹݔെ͵ 中，当ݔ= ͳ 时，ݕ= ʹ ൈͳ െ͵ =െͳ，
∴ܣͳ, െͳ ，即ܾ
=െͳ，
把点A 的坐标代入ݕ=ܽ
ݔʹܽ
≠Ͳ 得െͳ =ܽ
ڄ ͳʹ，
∴ܽ
=െͳ；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为ݕ=െݔʹ，
∴对称轴为y 轴，函数图象开口向下，
∴当ݔ< Ͳ 时，二次函数ݕ=െݔʹ的函数值ݕ随ݔ的增大而增大；
（3）解：联立
ݕ=െݔʹ
ݕ= ʹݔെ͵ ，解得ݔ=െ͵
ݕ=െͻ 或ݔ= ͳ
ݕ=െͳ ，
∴点B 的坐标为െ͵, െͻ ．
【变式1-2】
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2．在平面直角坐标系ݔRݕ中，抛物线ݕ= ݔʹ െ͵数ݔെͶ数ʹ 数≠Ͳ ．
(1)①证明：抛物线与ݔ轴恒有两个交点；
②求出抛物线与ݔ轴交点的坐标（用含数的式子表示）；
(2)过点ܲ
ݐ,Ͳ 作ݔ轴的垂线，交抛物线于点形，交直线ݕ= 数ݔ+ 数ʹ于点ܰ
（形，ܰ
不重合）．
①若数=െͳ，ݐ= ʹ，求形ܰ
的长；
②若当ͳ < ݐ< ͵，形ܰ
的长随ݐ的增大而增大，求数的取值范围．
【答案】(1)①证明：∵令ݕ= Ͳ，则ݔʹ െ͵数ݔെͶ数ʹ = Ͳ，即ܽ
= ͳ，ܾ
=െ͵数，ܿ=െͶ数ʹ，
∴Δ =ܾ
ʹ െͶܽܿ
= െ͵数ʹ + ͳ͸数ʹ = ʹͷ数ʹ，
∵数≠Ͳ，
∴ʹͷ数ʹ > Ͳ，
∴抛物线与ݔ轴恒有两个交点；
②抛物线与ݔ轴交点坐标为െ数,Ͳ 和
Ͷ数,Ͳ
．
(2)①形ܰ
= 〷；②െͳ ൑数< Ͳ 或Ͳ < 数൑
ͳ
ͷ或数൒
͵
ʹ．
【分析】（1）①将二次函数转换成一元二次方程，利用判别式判断出一元二次方程解的情况即二次函数与
ݔ轴交点的情况，②再运用公式法求解交点即可；
（2）①先根据题意求出二次函数解析式和一次函数解析式，以及ܲ
点坐标，再根据题意判断出ܲ
、形、ܰ
三点共线，即ݔܲ= ݔ形= ݔܰ
= ʹ，即可求出ݕ形、ݕܰ，最后根据形ܰ
= ݕ形െݕܰ
求解即可；②根据题意判断
出ܲ
、形、ܰ
三点共线，即ݔܲ= ݔ形= ݔܰ
= ݐ，即可求出ݕ形、ݕܰ，再根据形ܰ
= ݕ形െݕܰ
求出形ܰ
是关于ݐ
的二次函数解析，分类讨论（i）ݐʹ െͶ数ݐെͷ数ʹ > Ͳ，（ii）ݐʹ െͶ数ݐെͷ数ʹ < Ͳ，根据二次函数的性质和
不等方程的性质分别求解即可．
【详解】（1）①略；
②由①得ݔʹ െ͵数ݔെͶ数ʹ = Ͳ 且Δ = ʹͷ数ʹ，
∴ݔ=
͵数േʹͷ数ʹ
ʹ
=
͵数േͷ数
ʹ
，
∵数≠Ͳ，
∴解得：ݔͳ =െ数，ݔʹ = Ͷ数，
∴抛物线与ݔ轴交点坐标为െ数,Ͳ 和
Ͷ数,Ͳ ；
（2）①∵数=െͳ，
∴抛物线解析式为：ݕ= ݔʹ + ͵ݔെͶ，直线解析式为：ݕ=െݔ+ ͳ，
∵ݐ= ʹ，
∴ܲ
ʹ,Ͳ ，
∵点ܲ
ʹ,Ͳ 作ݔ轴的垂线，交抛物线于点形，交直线于点ܰ
，
∴ܲ、形、ܰ
三点共线，即ݔܲ= ݔ形= ݔܰ
= ʹ，
∴ݕ形= ʹʹ + ͵ ൈʹ െͶ = ͸，ݕܰ
=െʹ + ͳ =െͳ，
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∴形ܰ
= ݕ形െݕܰ
= 〷；
②∵点ܲ
ݐ,Ͳ 作ݔ轴的垂线，交抛物线于点形，交直线于点ܰ
，
∴ܲ、形、ܰ
三点共线，即ݔܲ= ݔ形= ݔܰ
= ݐ，
∴ݕ形= ݐʹ െ͵数ݐെͶ数ʹ，ݕܰ
= 数ݐ+ 数ʹ，
∴形ܰ
= ݕ形െݕܰ
= ݐʹ െͶ数ݐെͷ数ʹ ，
分类讨论：
（i）ݐʹ െͶ数ݐെͷ数ʹ > Ͳ，即形ܰ
= ݐʹ െͶ数ݐെͷ数ʹ，
∵形ܰ
= ݐʹ െͶ数ݐെͷ数ʹ = ݐെʹ数ʹ െͻ数ʹ，
∴形ܰ
是关于ݐ的二次函数，即对称轴为直线ݐ= ʹ数，
∴当ͳ < ݐ< ͵，形ܰ
的长随ݐ的增大而增大，
∴ʹ数൑ͳ，解得数൑
ͳ
ʹ，
（ܽ）当Ͳ < 数൑
ͳ
ʹ时，
∵ݐʹ െͶ数ݐെͷ数ʹ = ݐെͷ数
ݐ+ 数> Ͳ，
∵ͳ < ݐ< ͵，
∴ݐ+ 数> Ͳ，
∴ݐെͷ数> Ͳ，即ݐ> ͷ数，
∴ͷ数൑ͳ，解得数൑
ͳ
ͷ，
∴Ͳ < 数൑
ͳ
ͷ，
（ܾ）当数< Ͳ 时，
∵ݐʹ െͶ数ݐെͷ数ʹ = ݐെͷ数
ݐ+ 数> Ͳ，
∵ͳ < ݐ< ͵，
∴ݐെͷ数> Ͳ，
∴ݐ+ 数> Ͳ，即ݐ>െ数，
∴െ数൑ͳ，解得数൒െͳ，
∴െͳ ൑数< Ͳ，
（ii）ݐʹ െͶ数ݐെͷ数ʹ < Ͳ，即形ܰ
=െݐʹ െͶ数ݐെͷ数ʹ ，
∵形ܰ
=െݐʹ െͶ数ݐെͷ数ʹ =െݐെʹ数ʹ + ͻ数ʹ，
∴形ܰ
是关于ݐ的二次函数，即对称轴为直线ݐ= ʹ数，
∴当ͳ < ݐ< ͵，形ܰ
的长随ݐ的增大而增大，
∴ʹ数൒͵，解得数൒
͵
ʹ，
∵ݐʹ െͶ数ݐെͷ数ʹ = ݐെͷ数
ݐ+ 数< Ͳ，
∵ͳ < ݐ< ͵，数൒
͵
ʹ，
∴ݐ+ 数> Ͳ，
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∴ݐെͷ数< Ͳ，即ݐ< ͷ数，
∴ͷ数൒͵，解得数൒
͵
ͷ，
∴数൒
͵
ʹ
∴当ͳ < ݐ< ͵，形ܰ
的长随ݐ的增大而增大，求数的取值范围为െͳ ൑数< Ͳ 或Ͳ < 数൑
ͳ
ͷ或数൒
͵
ʹ．
题型2 求抛物线与y 轴的交点坐标
【例2】抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
的对称轴是直线ݔ= ͳ，与x 轴负半轴的交点坐标为ݔͳ,Ͳ ，且െͳ < ݔͳ <
Ͳ，与ݕ轴交于点Ͳ,ͳ ，则下列结论中，正确的是（
）
A．ܾܽܿ
> Ͳ
B．Ͷܽ+ ʹܾ+ܿ
> ͳ
C．ܾʹ < Ͷܽܿ
D．ܽ
ݔʹ െͳ +ܾ
ݔെͳ ൑Ͳ
【答案】D
【分析】先根据已知条件得到抛物线的基本参数范围，再结合抛物线的对称性，交点性质和最值性质逐个
判断选项．
【详解】解：׶抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
过点(Ͳ,ͳ)，
∴ܿ
= ͳ > Ͳ，
׶对称轴为直线ݔ= ͳ，
∴െܾʹܽ= ͳ，
可得ܾ
=െʹܽ，
׶抛物线与ݔ轴的一个交点满足െͳ < ݔͳ < Ͳ，对称轴为ݔ= ͳ，
∴另一个交点满足ʹ < ݔʹ < ͵，可得抛物线开口向下，
∴ܽ
< Ͳ，
׶ܾ
=െʹܽ，ܽ
< Ͳ，
∴ܾ
> Ͳ，
选项A：׶ܽ
< Ͳ，ܾ
> Ͳ，ܿ> Ͳ，∴ܾܽܿ
=ܽ
൉ܾ൉ܿ< Ͳ，故A 选项错误；
选项B：׶ ݔ= ʹ 与ݔ= Ͳ 关于对称轴ݔ= ͳ 对称，∴ݔ= ʹ 时ݕ= ݕ(Ͳ) = ͳ，即Ͷܽ+ ʹܾ+ܿ
= ͳ，不满足Ͷܽ+
ʹܾ+ܿ
> ͳ，故B 选项错误；
选项C：抛物线与ݔ轴有两个交点，∴Δ =ܾ
ʹ െͶܽܿ
> Ͳ，即ܾʹ > Ͷܽܿ
，故C 选项错误；
对选项D：׶抛物线开口向下，顶点在对称轴ݔ= ͳ 处，∴对任意ݔ，都有ݕ൑ݕ(ͳ)，即：ܽݔʹ +ܾݔ+ܿ
൑ܽ
൉ͳʹ +ܾ
൉ͳ +ܿ，移项整理得：ܽݔʹ െܽ
+ܾݔെܾ
൑Ͳ，因式分解得ܽ
(ݔʹ െͳ) +ܾ(ݔെͳ) ൑Ͳ，故D 选项正确．
【技巧归纳】
交点坐标恒为(Ͳ,܋)，常数项ܿ
就是交点的纵坐标
当ܿ
= Ͳ 时，抛物线过原点(Ͳ,Ͳ)
无需计算，直接看一般式的常数项即可得出
【变式2-1】
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1．抛物线ݕ=െ͵ ݔെͳ ʹ + ʹ 与ݕ轴的交点为（
）
A．Ͳ,ͳ
B．ͳ,Ͳ
C．െͳ,Ͳ
D．Ͳ, െͳ
【答案】D
【分析】抛物线与y 轴交点的横坐标为0，令ݔ= Ͳ 代入抛物线解析式求出y 的值，即可得到交点坐标．
【详解】解：∵y 轴上所有点的横坐标都为0，
∴令ݔ= Ͳ，代入抛物线解析式ݕ=െ͵ ݔെͳ ʹ + ʹ，
得ݕ=െ͵ ൈ(Ͳ െͳ)ʹ + ʹ =െ͵ ൈͳ + ʹ =െͳ，
∴抛物线与y 轴的交点坐标为Ͳ, െͳ ．
【变式2-2】
2．某游乐场的圆形喷水池中心R 有一雕塑Rܣ，从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如
图，以R 为原点，水平方向为ݔ轴，建立平面直角坐标系，点A 在ݕ轴上，ݔ轴上的点C、ܦ为水柱的落
水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为ݕ=െ
ͳ
͸ (ݔെͷ)ʹ + ͸．
(1)求雕塑Rܣ的高；
(2)求落水点C、ܦ之间的距离；
(3)若需要在Rܦ上的点ܧ处竖立雕塑ܧܨ，Rܧ= ͳm，ܧܨ= ͵m，ܧܨ٣ RD．问：顶部ܨ是否会碰到水柱？
请通过计算说明．
【答案】(1)雕塑Rܣ的高为
ͳͳ
͸ m
(2)ʹʹm
(3)当ݔ= ͳ 时，ݕ=െ
ͳ
͸ ൈ(ͳ െͷ)ʹ + ͸ =
ͻ
ʹ，
∴点ͳ,
ͻ
ʹ 在抛物线ݕ=െ
ͳ
͸ (ݔെͷ)ʹ + ͸ 上．
又∵͵ <
ͻ
ʹ，
∴顶部ܨ不会碰到水柱．
【分析】（1）直接令ݔ= Ͳ，代入ݕ=െ
ͳ
͸ ݔെͷ ʹ + ͸ 求解可得；
（2）可先求出Rܦ的距离，再根据对称性求ܥܦ的长；
（3）利用ݕ=െ
ͳ
͸ ݔെͷ ʹ + ͸，计算出ݔ= ͳ 的函数值ݕ，再与ܧܨ的长进行比较可得结论．
【详解】（1）解：当ݔ= Ͳ 时，ݕ=െ
ͳ
͸ ൈ(Ͳ െͷ)ʹ + ͸ =
ͳͳ
͸ ，
∴点ܣ的坐标为Ͳ,
ͳͳ
͸ ，
∴雕塑Rܣ的高为
ͳͳ
͸ m．
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（2）解：当ݕ= Ͳ 时，െ
ͳ
͸ (ݔെͷ)ʹ + ͸ = Ͳ，
解得ݔͳ =െͳ（舍去），ݔʹ = ͳͳ，
∴点ܦ的坐标为(ͳͳ,Ͳ)，
∴Rܦ= ͳͳm．
∵从ܣ点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴Rܥ= Rܦ= ͳͳm，
∴ܥܦ= Rܥ+ Rܦ=ʹʹm．
（3）略
题型3 已知二次函数的函数值求自变量的值
【例3】将抛物线ܥǣ ݕ=െ(ݔെ͵)ʹ + ͸ 进行平移得抛物线ܥ̵ ǣ ݕ=െݔʹ + ʹ，点ܲ
数,ͷ 在抛物线ܥ上，对应
点̵ܲ
在抛物线ܥ̵ 上，则点̵ܲ
的横坐标可以是（
）．
A．ͳ
B．ʹ
C．͵
D．Ͷ
【答案】A
【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含数的代数式表示出点̵ܲ
的坐标，再将点̵ܲ
的
坐标代入抛物线ܥ̵ 的方程，即可求出点̵ܲ
的横坐标．
【详解】解：׶抛物线ܥǣݕ=െ(ݔെ͵)ʹ + ͸ 的顶点为͵,͸ ，抛物线ܥ̵ ǣݕ=െݔʹ + ʹ 的顶点为Ͳ,ʹ ，
∴平移规律为：向左平移3 个单位，向下平移4 个单位，
׶点ܲ
数,ͷ 在抛物线ܥ上，平移后对应点为̵ܲ
，
∴̵ܲ
的坐标为数െ͵,ͷ െͶ ，即数െ͵,ͳ ，
׶̵ܲ
在抛物线ܥ̵ 上，
将̵ܲ
数െ͵,ͳ 代入ݕ=െݔʹ + ʹ 得：ͳ =െ(数െ͵)ʹ + ʹ，
整理得(数െ͵)ʹ = ͳ，
解得数= ʹ 或数= Ͷ，
则数െ͵ 的值可以是െͳ 或ͳ，
因此点̵ܲ
的横坐标可以是െͳ 或ͳ，选项A 符合．
【技巧归纳】
步骤：列方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
=݇
→移项化为标准式→解方程
方程有几个解，就有几个对应的自变量值
实际问题中，需舍去不符合实际意义的解
【变式3-1】
1．在平面直角坐标系中，二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ ʹ 的图象过点ܣʹ,݇
,ܤെͳ,݇
．
(1)求ܾܽ的值；
(2)已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ ʹ 的最大值为
ͷ
ʹ െ
ͳ
Ͷܽ
ʹ，求该二次函数的表达式．
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【答案】(1)െͳ
(2)ݕ=െݔʹ + ݔ+ ʹ
【分析】（1）根据点ܣʹ,݇
,ܤെͳ,݇
的纵坐标相等，建立方程解答即可；
（2）由（1）知ܾ
=െܽ
，把二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ ʹ 转化为ݕ=ܽ
ݔʹ െܽ
ݔ+ ʹ，结合函数的最大值为
ͷ
ʹ െ
ͳ
Ͷܽ
ʹ，
确定a 值即可．
【详解】（1）解：二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ ʹ 的图象过点ܣʹ,݇
,ܤെͳ,݇
，
∴݇
= Ͷܽ+ ʹܾ+ ʹ，݇
=ܽ
െܾ
+ ʹ，
∴Ͷܽ+ ʹܾ+ ʹ =ܽ
െܾ
+ ʹ，
∴͵ܽ+ ͵ܾ
= Ͳ，
解得ܾ
=െܽ
，
∴ܾܽ=
െܽܽ=െͳ．
（2）解：由（1）知ܾ
=െܽ
，
故二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ ʹ 转化为ݕ=ܽ
ݔʹ െܽ
ݔ+ ʹ，
则ݕ=ܽ
ݔʹ െܽ
ݔ+ ʹ =ܽ
ݔെ
ͳ
ʹ
ʹ
+
ͳെܽ
Ͷ ，
∵函数的最大值为
ͷ
ʹ െ
ͳ
Ͷܽ
ʹ，
∴二次函数图象开口向下，即ܽ
< Ͳ，且
ͷ
ʹ െ
ͳ
Ͷܽ
ʹ =
ͳെܽ
Ͷ ，
整理，得ܽ
ʹ െܽ
െʹ = Ͳ，
解得ܽ
=െͳ 或ܽ
= ʹ（舍去），
故ܽ
=െͳ．
故抛物线的解析式为ݕ=െݔʹ + ݔ+ ʹ．
【变式3-2】
2．在高尔夫比赛中，从地面斜向上击出的高尔夫球离地面的高度݄
(m)满足二次函数关系式݄
=ܽ
ݐʹ +ܾݐ，
其中ݐ(s)是高尔夫球运动的时间，在一次训练时，小明如图击出高尔夫球．已知高尔夫球在距离击出点水
平距离为ͳͲm 时达到最大高度为ͳͲm．如图建立平面直角坐标系．
(1)求出ܽ
和ܾ
的值；
(2)求高尔夫球落地点ܣ与击出点R 的距离Rܣ的长；
(3)若该高尔夫球击出ݐ秒后和（ݐ+ Ͷ）秒后，高尔夫球的高度相同，求ݐ的值和此时高尔夫球的高度．
【答案】(1)ܽ
=െ
ͳ
ͳͲ，ܾ
= ʹ
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(2)Rܣ= ʹͲm
(3)ݐ= ͳ 或ݐ= ͳʹ 时高尔夫球的高度相同，且此时高度为ͻǤ͸m
【分析】（1）高尔夫球在距离击出点水平距离为ͳͲm 时达到最大高度为ͳͲm，抛物线的顶点坐标为ͳͲ,ͳͲ ，
设抛物线解析式为݄
= 数(ݐെͳͲ)ʹ + ͳͲ，因为抛物线过原点，所以当ݐ= Ͳ 时，݄= Ͳ，代入݄
= 数(ݐെͳͲ)ʹ +
ͳͲ 求出数的值，即可得到抛物线的解析式，根据抛物线的解析式确定ܽ
和ܾ
的值；
（2）根据点ܣ的纵坐标为Ͳ，可得െ
ͳ
ͳͲ ݐʹ + ʹݐ= Ͳ，解方程求出ݐ的值，即可得到Rܣ的长度；
（3）因为高尔夫球击出ݐ秒后和（ݐ+ Ͷ）秒后，高尔夫球的高度相同，根据抛物线的对称性可知
ݐ+(ݐ+Ͷ)
ʹ
= ͳͲ，
解方程即可求出ݐ的值，把ݐ的值代入二次函数的解析式即可求出此时高尔夫球的高度．
【详解】（1）解：׶高尔夫球在距离击出点水平距离为ͳͲm 时达到最大高度为ͳͲm，
∴抛物线的顶点坐标为ͳͲ,ͳͲ ，
设抛物线解析式为݄
= 数(ݐെͳͲ)ʹ + ͳͲ，
∴当ݐ= Ͳ 时，݄
= Ͳ，
可得：数Ͳ െͳͲ ʹ + ͳͲ = Ͳ，
解得：数=െ
ͳ
ͳͲ，
∴抛物线解析式为݄
=െ
ͳ
ͳͲ (ݐെͳͲ)ʹ + ͳͲ，
整理可得：݄
=െ
ͳ
ͳͲݐʹ + ʹݐ，
∴ܽ
=െ
ͳ
ͳͲ，ܾ
= ʹ；
（2）解：׶点ܣ的纵坐标为Ͳ，
∴݄
=െ
ͳ
ͳͲݐʹ + ʹݐ= Ͳ，
解得：ݐͳ = Ͳ（舍去），ݐʹ = ʹͲ，
∴Rܣ= ʹͲm；
（3）解：由（1）得：݄
=െ
ͳ
ͳͲ ݐʹ + ʹݐ．
∴抛物线的对称轴为：ݐ= ͳͲ，
׶ ݐ秒后和（ݐ+ Ͷ）秒后，高尔夫球的高度相同，
∴
ݐ+(ݐ+Ͷ)
ʹ
= ͳͲ，
解得：ݐ= ͳ，
当ݐ= ͳ 时，݄
=െ
ͳ
ͳͲ ݐʹ + ʹݐ=െ
ͳ
ͳͲ ൈͳʹ + ʹ ൈͳ = ͻǤ͸m，
答：ݐ= ͳ 或ݐ= ͳʹ 时高尔夫球的高度相同，且此时高度为ͻǤ͸m．
题型4 抛物线与x 轴的交点问题
【例4】若抛物线ݕ= ݔʹ +ܽ
ݔ+ܾ
与ݔ轴两个交点间的距离为ʹ，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦
抛物线的对称轴为直线ݔ= ͳ，将此抛物线向左平移ʹ 个单位，再向下平移͵ 个单位，得到的抛物线顶点坐
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标______________．
【答案】െͳ, െͶ
【分析】根据定弦抛物线的定义和对称轴求出原抛物线的解析式，得到原抛物线顶点坐标，再根据二次函
数图象平移规律计算平移后抛物线的顶点坐标.
【详解】解：׶定弦抛物线的对称轴为直线ݔ= ͳ，抛物线与ݔ轴两个交点间的距离为ʹ，
∴抛物线与ݔ轴的两个交点坐标为(Ͳ,Ͳ)，(ʹ,Ͳ)，
∴抛物线的解析式为ݕ= ݔ(ݔെʹ)，
∴ݕ= (ݔെͳ)ʹ െͳ
∴原抛物线的顶点坐标为(ͳ, െͳ)，
将抛物线向左平移ʹ 个单位，横坐标减ʹ，再向下平移͵ 个单位，纵坐标减͵，
可得平移后顶点的横坐标为ͳ െʹ =െͳ，纵坐标为െͳ െ͵ =െͶ，
∴平移后抛物线顶点坐标为( െͳ, െͶ).
【技巧归纳】
Δ > Ͳ→抛物线与x 轴有两个不同的交点
Δ = Ͳ→抛物线与x 轴有一个交点（顶点在x 轴上）
Δ < Ͳ→抛物线与x 轴没有交点
隐含前提：二次项系数ܽ
≠Ͳ，否则是一次函数
【变式4-1】
1．将抛物线ݕ= ݔʹ െ͸ݔ+ ͳʹ 向下平移m 个单位长度．若平移后得到的抛物线与x 轴有1 个公共点，则m
的值是_______．
【答案】3
【分析】先根据二次函数图像平移的上加下减规律，得到平移后抛物线的解析式，再根据抛物线与x 轴只
有1 个公共点，可得一元二次方程根的判别式Δ = Ͳ，据此列方程即可求解m 的值．
【详解】解：将抛物线ݕ= ݔʹ െ͸ݔ+ ͳʹ 向下平移数个单位长度后，得到的抛物线解析式为ݕ= ݔʹ െ͸ݔ+
ͳʹ െ数，
׶平移后抛物线与ݔ轴有ͳ 个公共点，
∴Δ = Ͳ，即( െ͸)ʹ െͶ ൈͳ ൈ(ͳʹ െ数) = Ͳ，
整理得，͵͸ െͶͳ + Ͷ数= Ͳ，
解得数= ͵，
故答案为：͵．
【变式4-2】
2．已知二次函数ݕ= ݔʹ െ数ݔ+ 数െͳ．（m 为常数，数≠ʹ）
(1)求证：该函数图象与x 轴总有两个公共点．
(2)设该函数图象与x 轴交于A，B 两点．若数൑͵，求线段ܣܤ的长的取值范围．
【答案】(1)见解析
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(2)Ͳ < ܣܤ൑ͷ
【分析】（1）令ݕ= Ͳ，则ݔʹ െ数ݔ+ 数െͳ = Ͳ，求出Δ > Ͳ，即可得证；
（2）由（1）可得Δ = 数െʹ ʹ > Ͳ，从而可得ݔͳ =
数+ 数െʹ
ʹ
= 数െͳ，ݔʹ =
数െ数െʹ
ʹ
= ͳ，表示出ܣܤ= ݔͳ െ
ݔʹ = 数െʹ ，再结合数൑͵，计算即可得出结果．
【详解】（1）证明：令ݕ= Ͳ，则ݔʹ െ数ݔ+ 数െͳ = Ͳ，
Δ = െ数ʹ െͶ ൈͳ ൈ数െͳ = 数ʹ െͶ数+ Ͷ = 数െʹ ʹ，
∵数≠ʹ，
∴数െʹ ʹ > Ͳ，即Δ > Ͳ，
∴该函数图象与x 轴总有两个公共点；
（2）解：由（1）可得Δ = 数െʹ ʹ > Ͳ，
设函数图象与ݔ轴交于点ܣݔͳ,Ͳ ，ܤݔʹ,Ͳ ，
∵利用公式法解方程ݔʹ െ数ݔ+ 数െͳ = Ͳ 可得：ݔͳ =
数+ 数െʹ
ʹ
= 数െͳ，ݔʹ =
数െ数െʹ
ʹ
= ͳ，
∴ܣܤ= ݔͳ െݔʹ = 数െͳ െͳ = 数െʹ ，
∵数൑͵，
∴െ͵ ൑数൑͵，
∵数≠ʹ，
∴数െʹ ≠Ͳ，
∴数െʹ > Ͳ，
∵当数=െ͵ 时，数െʹ = െ͵ െʹ = ͷ，当数= ͵ 时，数െʹ = ͵ െʹ = ͳ，
∴Ͳ < 数െʹ ൑ͷ，即Ͳ < ܣܤ൑ͷ．
题型5 求x 轴与抛物线的截线长
【例5】若抛物线ݕ= ݔʹ +݀
ݔ+݁
与ݔ轴两交点距离为Ͷ，对称轴为ݔ= ʹ，则抛物线解析式为_____________．
【答案】ݕ= ݔʹ െͶݔ
【分析】本题利用抛物线对称轴公式求出参数݀
，再结合抛物线与ݔ轴两交点的距离，根据根与系数的关系
求出参数݁，即可得到抛物线解析式．
【详解】解：对于抛物线ݕ= ݔʹ +݀
ݔ+݁，可得二次项系数ܽ
= ͳ，一次项系数ܾ
=݀
，常数项ܿ
=݁
．
已知抛物线对称轴为ݔ= ʹ，由抛物线对称轴公式ݔ=െܾʹܽ，得：െ݀ʹൈͳ = ʹ
解得݀
=െͶ．
设抛物线与ݔ轴两交点的横坐标分别为ݔͳ，ݔʹ，由题意得两交点距离为Ͷ，即：ݔͳ െݔʹ = Ͷ
等式两边同时平方，得：ݔͳ െݔʹ ʹ = ͳ͸
由完全平方公式变形得：ݔͳ + ݔʹ ʹ െͶݔͳݔʹ = ͳ͸
根据根与系数的关系，可得ݔͳ + ݔʹ =െܾܽ
=െ݀
，ݔͳݔʹ =ܿܽ
=݁，
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将݀
=െͶ 代入得ݔͳ + ݔʹ = Ͷ，代入上式得：Ͷʹ െͶ݁= ͳ͸
整理得：ͳ͸ െͶ݁= ͳ͸
解得݁
= Ͳ．
将݀
=െͶ，݁= Ͳ 代入原抛物线方程，得抛物线解析式为ݕ= ݔʹ െͶݔ．
【技巧归纳】
通用公式：|ܠͳ െܠʹ| =
(ܠͳ + ܠʹ)ʹ െͶܠͳܠʹ =
Δ
|܉|
截线长只与Δ和ܽ
有关，与抛物线的对称轴位置无关
已知截线长，可反推Δ的值，进而求参数
【变式5-1】
1．如图，二次函数ݕ= ݔʹ + ͸ݔ+ܿ
的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴正半轴交于点C，若ܣܤ= Ͷ，则
点C 的坐标是________ ．
【答案】Ͳ,ͷ
【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确利用根和系数的关系
是解题关键．
设点A、B 的横坐标分别为m、n，ܣܤ= 数െ㐠=
数+ 㐠ʹ െͶ数㐠=
͵͸ െͶܿ= Ͷ，即可求解．
【详解】解：令ݕ= ݔʹ + ͸ݔ+ܿ
= Ͳ，
设点A、B 的横坐标分别为m、n，
∴数+ 㐠=െ͸，数㐠=ܿܿ
> Ͳ ，
则ܣܤ= 数െ㐠=
数+ 㐠ʹ െͶ数㐠=
͵͸ െͶܿ= Ͷ，
解得：ܿ= ͷ，
∴点C 的坐标为Ͳ,ͷ ，
故答案为：Ͳ,ͷ ．
【变式5-2】
2．已知二次函数ݕ= ݔʹ െ͸ݔ+ ͷ(ͳ ൑ݔ൑͸)．
(1)求二次函数图象的顶点坐标；
(2)过点ܣ(ݐ,Ͳ)与y 轴平行的直线交抛物线于点B，若ܣܤ= ͷ，求t 的值；
(3)若点形ݔͳ,ݕͳ ，ܰ
ݔʹ,ݕʹ 为二次函数图象上的两点，且ݔʹ െݔͳ = Ͷ，求ݕʹ െݕͳ的最大值．
【答案】(1) ͵, െͶ
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(2)ݐ= ͸
(3)ͳ
【分析】（1）将二次函数的解析式化为顶点式，即可解答；
（2）把ݔ= ݐ代入函数ݕ= ݔʹ െ͸ݔ+ ͷ，得点B 的坐标为ݐ,ݐʹ െ͸ݐ+ ͷ ，ܣܤ= ݐʹ െ͸ݐ+ ͷ = ͷ，求出t
的值，再根据ͳ ൑ݐ൑͸ 即可解答；
（3）由ݔʹ െݔͳ = Ͷ 得到ݔʹ = ݔͳ + Ͷ，从而得到
ͳ ൑ݔͳ ൑͸
ͳ ൑ݔͳ + Ͷ ൑͸ ，求出ͳ ൑ݔͳ ൑ʹ，由于ݕʹ െݕͳ =
ݔʹʹ െ
͸ݔʹ + ͷ െݔͳʹ െ͸ݔͳ + ͷ
= ͳݔͳ െͳ，则ݕʹ െݕͳ随ݔͳ的增大而增大，即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数ݕ= ݔʹ െ͸ݔ+ ͷ = ݔെ͵ ʹ െͶ，
∴该二次函数图象的顶点坐标为͵, െͶ ．
（2）解：∵过点ܣ(ݐ,Ͳ)与y 轴平行的直线交抛物线于点B，
∴把ݔ= ݐ代入函数ݕ= ݔʹ െ͸ݔ+ ͷ，得ݕ= ݐʹ െ͸ݐ+ ͷ，
∴点B 的坐标为ݐ,ݐʹ െ͸ݐ+ ͷ ，
∵ܣܤ= ͷ，
∴ܣܤ= ݐʹ െ͸ݐ+ ͷ = ͷ，
解得ݐͳ = Ͳ，ݐʹ = ͸，
∵二次函数自变量的取值范围为ͳ ൑ݔ൑͸，
∴ͳ ൑ݐ൑͸，
∴ݐ= ͸．
（3）解：∵ݔʹ െݔͳ = Ͷ，
∴ݔʹ = ݔͳ + Ͷ，
∵点形ݔͳ,ݕͳ ，ܰ
ݔʹ,ݕʹ 为二次函数图象上，
∴ͳ ൑ݔͳ ൑͸
ͳ ൑ݔʹ ൑͸ ，即
ͳ ൑ݔͳ ൑͸
ͳ ൑ݔͳ + Ͷ ൑͸ ，
解得ͳ ൑ݔͳ ൑ʹ，
∵ݕʹ െݕͳ =
ݔʹʹ െ͸ݔʹ + ͷ െݔͳʹ െ͸ݔͳ + ͷ
= ݔʹʹ െݔͳʹ െ͸ ݔʹ െݔͳ
= ݔͳ + Ͷ ʹ െݔͳʹ െ͸ ൈͶ
= ͳݔͳ െͳ，
∵ͳ > Ͳ，
∴ݕʹ െݕͳ随ݔͳ的增大而增大，
∴当ݔͳ = ʹ 时，ݕʹ െݕͳ有最大值，为ݕʹ െݕͳ = ͳ ൈʹ െͳ = ͳ．
题型6 图象法确定一元二次方程的近似根
【例6】二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ,ܽ,ܾ,ܿ为常数）的部分取值如下表，则关于x 的一元二次方程ܽ
ݔʹ +
19 / 60
学科网（北京）股份有限公司ܾ
ݔ+ܿ
= Ͳ（ܽ
≠Ͳ,ܽ,ܾ,ܿ为常数）的一个解x 的取值范围是（
）
x
···
6.17
6.18
6.19
6.20
．．．
ݕ
=ܽ
ݔʹ +ܾݔ
+ܿ
···
െͲǤͲʹ
െͲǤͲͳ
0.01
0.04
．．．
A．͸Ǥͳͳ < ݔ< ͸Ǥͳͻ
B．͸Ǥͳ〷< ݔ< ͸Ǥͳͳ
C．͸Ǥͳ͸ < ݔ< ͸Ǥͳ〷
D．͸Ǥͳͻ < ݔ< ͸ǤʹͲ
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解的含义是解题关键．ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 应该在ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
< Ͳ 与ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
> Ͳ 之间，从表格中选择对应的数据即可．
【详解】解：由表格得：
ݔ= ͸Ǥͳͳ 时，ܽݔʹ +ܾݔ+ܿ
=െͲǤͲͳ < Ͳ，
ݔ= ͸Ǥͳͻ 时，ܽݔʹ +ܾݔ+ܿ
= ͲǤͲͳ > Ͳ，
∴ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的一个解ݔ的范围为：͸Ǥͳͳ < ݔ< ͸Ǥͳͻ．
故选：A．
【技巧归纳】
步骤：画出抛物线→找到与x 轴交点的大致位置→代入区间端点计算函数值
当ݔ=ܽ
时ݕ> Ͳ，ݔ=ܾ
时ݕ< Ͳ，则根在ܽ
和ܾ
之间
利用抛物线的对称性，可快速确定另一个根的范围
通常精确到十分位即可满足题目要求
【变式6-1】
1．数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程ݔʹ + ʹݔെʹ = Ͳ 的实数根时，先画出函数ݕ= ݔʹ +
ʹݔെʹ 的图象如图所示，该图象与x 轴的公共点A 的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程ݔʹ + ʹݔെʹ = Ͳ
的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）．
【答案】െʹǤ〷
【分析】先根据图象求出抛物线的对称轴，再根据其对称性求出另一个交点的横坐标，即可得出方程的解．
【详解】解：根据图象可知抛物线与x 轴的交点的横坐标是ݔ= ͲǤ〷，且对称轴是ݔ=െͳ，则抛物线与x 轴
的另一个交点得横坐标是ݔ=െͳ ൈʹ െͲǤ〷=െʹǤ〷，
所以方程ݔʹ + ʹݔെʹ = Ͳ 的负实数根可能是െʹǤ〷．
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【变式6-2】
2．在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为ܮͳǣݕ= ݔʹ െݔ+ ͳ，ܮʹǣݕ= ݔʹ െ͸ݔ+ ͻ，ܮ͵ǣݕ=
ݔʹ + ݔെʹ，请完成以下问题：
(1)看图说话：
①ܮͳǣݕ= ݔʹ െݔ+ ͳ 与ݕ轴交点坐标为______；ܮʹǣݕ= ݔʹ െ͸ݔ+ ͻ 与ݔ轴交点坐标为________；ܮ͵ǣݕ= ݔʹ +
ݔെʹ 与ݔ轴的交点坐标为െʹ,Ͳ 和ͳ,Ͳ ，方程ݔʹ + ݔെʹ = Ͳ 的两根为ݔͳ =_________；ݔʹ =________．
②抛物线ܮͳǣݕ= ݔʹ െݔ+ ͳ 的顶点坐标为________；抛物线ܮ͵ǣݕ= ݔʹ + ݔെʹ 的顶点坐标为________．
③这三个函数的图象都可看作由抛物线ݕ= ݔʹ经过平移而得到；若将抛物线ݕ= ݔʹ先向_______平移______
个单位，再向_______平移______个单位得到ܮ͵的图象；
(2)若抛物线ܮͳ，ܮʹ，ܮ͵的顶点分别为ܣ，ܤ，ܥ，连ܣܤ，ܣܥ，ܤܥ，则直接写出ᇞܣܤܥ的面积________．
【答案】(1)①Ͳ,ͳ ，͵,Ͳ ，െʹ,ͳ；②
ͳ
ʹ ,
͵
Ͷ ，െ
ͳ
ʹ , െ
ͻ
Ͷ ；③左，
ͳ
ʹ，下，
ͻ
Ͷ
(2)
͵͵
ͳ
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标，图象的平移以及图象围成的三角形
的面积等知识点，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
（1）①根据函数解析式求图象和坐标轴的交点坐标即可，根据二次函数和一元二次方程的关系求出方程的
根即可；
②根据顶点坐标公式求解即可；
③根据顶点的坐标，确定平移即可；
（2）假设ܣܥ与ݔ轴交于点ܦ，求出直线ܣܥ的解析式，然后求出ܦ点坐标，最后利用三角形的面积公式
求解即可．
【详解】（1）解：①∵ܮͳǣݕ= ݔʹ െݔ+ ͳ，ܿ= ͳ，
∴ܮͳǣݕ= ݔʹ െݔ+ ͳ 与ݕ轴交点坐标为Ͳ,ܿ
，即Ͳ,ͳ ；
当ݕ= Ͳ 时，ݔʹ െ͸ݔ+ ͻ = Ͳ，
解得ݔͳ = ݔʹ = ͵，
∴ܮʹǣݕ= ݔʹ െ͸ݔ+ ͻ 与ݔ轴交点坐标为͵,Ͳ ；
∵ܮ͵ǣݕ= ݔʹ + ݔെʹ 与ݔ轴的交点坐标为െʹ,Ͳ 和ͳ,Ͳ ，
∴方程ݔʹ + ݔെʹ = Ͳ 的两根为ݔͳ =െʹ，ݔʹ = ͳ；
故答案为：Ͳ,ͳ ，͵,Ͳ ，െʹ,ͳ；
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②抛物线ܮͳǣݕ= ݔʹ െݔ+ ͳ 的顶点横坐标为െ
െͳ
ʹ =
ͳ
ʹ，顶点纵坐标为
ͳ
ʹ
ʹ
െ
ͳ
ʹ + ͳ =
͵
Ͷ，
∴顶点坐标为
ͳ
ʹ ,
͵
Ͷ ；
抛物线ܮ͵ǣݕ= ݔʹ + ݔെʹ 的顶点横坐标为െ
ͳ
ʹ，顶点纵坐标为െ
ͳ
ʹ
ʹ
െ
ͳ
ʹ െʹ =െ
ͻ
Ͷ，
∴顶点坐标为െ
ͳ
ʹ , െ
ͻ
Ͷ ；
故答案为：
ͳ
ʹ ,
͵
Ͷ ，െ
ͳ
ʹ , െ
ͻ
Ͷ ；
③∵ܮ͵ǣݕ= ݔʹ + ݔെʹ =
ݔ+
ͳ
ʹ
ʹ
െ
ͻ
Ͷ，
∴若将抛物线ݕ= ݔʹ先向左平移
ͳ
ʹ个单位，再向下平移
ͻ
Ͷ个单位得到ܮ͵的图象；
故答案为：左，
ͳ
ʹ，下，
ͻ
Ͷ；
（2）解：如图所示，假设ܣܥ与ݔ轴交于点ܦ，根据题意可得ܣ
ͳ
ʹ ,
͵
Ͷ ，ܤ͵,Ͳ ，ܥെ
ͳ
ʹ , െ
ͻ
Ͷ
设直线ܣܥ的解析式为ݕ=݇
ݔ+ܾ，
将
ͳ
ʹ ,
͵
Ͷ ，െ
ͳ
ʹ , െ
ͻ
Ͷ 代入解析式得，
͵
Ͷ =
ͳ
ʹ݇
+ܾ
െ
ͻ
Ͷ =െ
ͳ
ʹ݇
+ܾ
，
解得݇
= ͵ܾ
=െ
͵
Ͷ
，
∴ݕ= ͵ݔെ
͵
Ͷ，
当ݕ= Ͳ 时，͵ݔെ
͵
Ͷ = Ͳ，
解得ݔ=
ͳ
Ͷ，
∴ܦ
ͳ
Ͷ ,Ͳ ，
∴ܵᇞܣܤܥ=
ͳ
ʹ ܤܦڄ ݕܣെݕܥ=
ͳ
ʹ ൈ͵ െ
ͳ
Ͷ ൈ
͵
Ͷ +
ͻ
Ͷ =
͵͵
ͳ ，
故答案为：
͵͵
ͳ ．
题型7 根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【例7】已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
（ܽ
≠Ͳ ）的自变量ݔ与函数ݕ的几组对应值如下表：
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ݔ
െͶ
Ͳ
ͳ
ͷ
ݕ
Ͳ
ͳ
ͷ
െʹ〷
则下列关于该二次函数的说法正确的是（
）
A．图象开口向上
B．当െͶ < ݔ< ͳ 时，ݕ的取值范围为Ͳ < ݕ൑ͳ
C．一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= ͻ 有两个相等的实数根
D．图象的对称轴是直线ݔ=െ
ͳ
ʹ
【答案】C
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可求解．
【详解】解：把െͶ,Ͳ ，Ͳ,ͳ 和(ͳ,ͷ) 代入ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
得，
ͳ͸ܽെͶܾ+ܿ
= Ͳܿ
= ͳܽ
+ܾ
+ܿ
= ͷ
，
解得ܽ
=െͳܾ
=െʹܿ
= ͳ
，
∴二次函数解析式为ݕ=െݔʹ െʹݔ+ ͳ，
∵ܽ
=െͳ < Ͳ，
∴图象开口向下，故选项A 错误；
∵图象开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，
∵ݕ=െݔʹ െʹݔ+ ͳ =െ(ݔ+ ͳ)ʹ + ͻ ，
∴抛物线的对称轴为直线ݔ=െͳ，故选项D 错误；
∴当െͶ < ݔ< ͳ 时，可知ݔ=െͳ 时函数ݕ取最大值ͻ，
又由表格知，ݔ=െͶ 时ݕ= Ͳ，
∴当െͶ < ݔ< ͳ 时，ݕ的取值范围为Ͳ < ݕ൑ͻ，故选项B 错误；
∵二次函数顶点坐标为( െͳ,ͻ)，
∴直线ݕ= ͻ 与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= ͻ 有两个相等的实数根，故选
项C 正确．
【技巧归纳】
交点个数=方程实数根的个数
交点在x 轴正半轴→根为正；在负半轴→根为负；在原点→有一个根为0
顶点在x 轴上→方程有两个相等的实数根
可结合图象判断根的大小关系、正负性
【变式7-1】
1．如图，二次函数ݕͳ =ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 与ݔ轴，ݕ轴分别交于ܣ，ܤ两点，对称轴为直线ݔ= ʹ，一次
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函数ݕʹ =െʹݔ+ 数的图象也经过ܣ，ܤ两点，则下列结论错误的是(
)
A．ܾܽܿ
< Ͳ
B．当Ͳ < ݔ<
数
ʹ时，ݕʹ > ݕͳ
C．方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
െ
数
ʹ = Ͳ 有两个不相等的实数根
D．二次函数ݕͳ =ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的图象的最低点的坐标为ʹ, െ͵ܾ+ܿ
【答案】D
【分析】由抛物线开口向上，与y 轴交于正半轴，得到ܽ
> Ͳ，ܿ> Ͳ，由抛物线的对称轴为直线ݔ= ʹ 得到ܾ
=െͶܽ
< Ͳ，即可判断A 选项；求出A，B 的坐标，结合图象即可判断B 选项；根据抛物线ݕͳ =ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 与直线ݕʹ =െʹݔ+ 数有两个交点即可判断C 选项；由ܾ
=െͶܽ
得到二次函数ݕͳ =ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
=െ
ͳ
Ͷܾݔʹ +ܾݔ+ܿ，进而求出图象的最低点的坐标，即可判断D 选项．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与y 轴交于正半轴，
∴ܽ
> Ͳ，ܿ> Ͳ，
∵抛物线的对称轴为直线ݔ= ʹ，
∴െܾʹܽ= ʹ，
∴ܾ
=െͶܽ
< Ͳ，
∴ܾܽܿ
< Ͳ．故A 选项正确．
∵ݕʹ =െʹݔ+ 数与y 轴交于点A，与x 轴交于点B
∴令ݔ= Ͳ，则ݕʹ = 数，
令ݕʹ = Ͳ，则െʹݔ+ 数= Ͳ，解得ݔ=
数
ʹ，
∴ܣͲ,数，ܤ
数
ʹ ,Ͳ ，
∴由图象可得，当Ͳ < ݔ<
数
ʹ时，ݕʹ > ݕͳ．故B 选项正确．
∵抛物线ݕͳ =ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 与直线ݕʹ =െʹݔ+ 数有两个交点，
∴方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
=
数
ʹ，即ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
െ
数
ʹ = Ͳ 有两个不相等的实数根．故C 选项正确．
∵ܾ
=െͶܽ，
∴ܽ
=െ
ͳ
Ͷܾ，
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∴二次函数ݕͳ =ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
=െ
ͳ
Ͷܾݔʹ +ܾݔ+ܿ，
当ݔ= ʹ 时，ݕͳ =െ
ͳ
Ͷܾ
ൈʹʹ + ʹܾ+ܿ
=ܾ
+ܿ，
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线ݔ= ʹ，
∴二次函数ݕͳ =ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的图象的最低点的坐标为ʹ,ܾ+ܿ
．故D 选项错误．
【变式7-2】
1．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ）的图象经过点ͳ,ʹ 和͵,Ͷ ．
(1)若该函数的图象经过原点，求a 的值；
(2)求证：无论a 取何值，方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= ʹݔ总有实数根．
(3)直接写出该函数图象与一次函数ݕ=ܽ
ݔ的图象的公共点个数及对应的a 的取值范围．
【答案】(1)ܽ
=െ
ͳ
͵
(2)见解析
(3)当ܽ
=
ͳ
ͳ͵或ܽ
= ͳ 时，公共点个数为ͳ；当ܽ
<
ͳ
ͳ͵且ܽ
≠Ͳ 或ܽ
> ͳ 时，公共点个数为ʹ；当
ͳ
ͳ͵ <ܽ
< ͳ 时，
公共点个数为Ͳ
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据题意可得ܾ
= ͳ െͶܽ,ܿ= ͳ + ͵ܽ，再利用一元二次方程根的判别式解答即可；
（3）分三种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ）的图象经过点ͳ,ʹ ，͵,Ͷ ，原点，
∴ܽ
+ܾ
+ܿ
= ʹ
ͻܽ+ ͵ܾ+ܿ
= Ͷܿ
= Ͳ
，
解得：ܽ
=െ
ͳ
͵ܾ
=
〷
͵ܿ
= Ͳ
，
即ܽ
=െ
ͳ
͵；
（2）解：∵二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ
≠Ͳ）的图象经过点ͳ,ʹ ，͵,Ͷ ，
∴ܽ+ܾ
+ܿ
= ʹ，ͻܽ+ ͵ܾ+ܿ
= Ͷ，
∴ܾ
= ͳ െͶܽ，ܿ= ͳ + ͵ܽ，ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= ʹݔ，
整理得：ܽݔʹ +ܾ
െʹ ݔ+ܿ
= Ͳ，
∴Δ =ܾ
െʹ ʹ െͶܽܿ
= ͳ െͶܽെʹ ʹ െͶܽ
ͳ + ͵ܽ
= ʹܽ+ ͳ ʹ ൒Ͳ，
∴无论a 取何值，方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= ʹݔ总有实数根；
（3）解：联立得：ܽݔʹ +ܾݔ+ܿ
=ܽ
ݔ，
整理得：ܽݔʹ +ܾ
െܽ
ݔ+ܿ
= Ͳ，
当ܾ
െܽ
ʹ െͶܽܿ
< Ͳ 时，没有交点；
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由（2）得：ܾ
= ͳ െͶܽ，ܿ= ͳ + ͵ܽ，
即ܾ
െܽ
ʹ െͶܽܿ
< Ͳ，
ͳ െͶܽെܽ
ʹ െͶܽ
ͳ + ͵ܽ
< Ͳ，
即ͳ͵ܽʹ െͳͶܽ+ ͳ < Ͳ，
∴ͳ͵ܽെͳܽ
െͳ < Ͳ，
∴ͳ͵ܽെͳ < Ͳܽ
െͳ > Ͳ
①或ͳ͵ܽെͳ > Ͳܽ
െͳ < Ͳ
②，
解不等式①得：无解；
解不等式②得：
ͳ
ͳ͵ <ܽ
< ͳ，
∴当
ͳ
ͳ͵ <ܽ
< ͳ 时，没有公共点，即公共点个数为Ͳ；
当ܾ
െܽ
ʹ െͶܽܿ
= Ͳ 时，公共点个数为ͳ，
即ͳ͵ܽെͳܽ
െͳ = Ͳ，
解得：ܽ
=
ͳ
ͳ͵或1，
∴当ܽ
=
ͳ
ͳ͵或1 时，公共点个数为ͳ；
当ܾ
െܽ
ʹ െͶܽܿ
> Ͳ 时，公共点个数为ʹ，
即ͳ͵ܽെͳܽ
െͳ > Ͳ，
∴ͳ͵ܽെͳ > Ͳܽ
െͳ > Ͳ
③或ͳ͵ܽെͳ < Ͳܽ
െͳ < Ͳ
④，
解不等式③得：ܽ
> ͳ；
解不等式④得：ܽ
<
ͳ
ͳ͵，
∴当ܽ
> ͳ 或ܽ
<
ͳ
ͳ͵且ܽ
≠Ͳ 时，公共点个数为ʹ；
综上所述，当ܽ
=
ͳ
ͳ͵或ͳ 时，公共点个数为ͳ；当ܽ
<
ͳ
ͳ͵且ܽ
≠Ͳ 或ܽ
> ͳ 时，公共点个数为ʹ；当
ͳ
ͳ͵ <ܽ
< ͳ
时，公共点个数为Ͳ．
一、单选题
1．关于抛物线ݕ=െݔʹ + 数ݔ+ 数+ ͳ，下列说法错误的是（
）
A．该抛物线一定经过点െͳ,Ͳ
B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1
C．若点െʹ,㐠、ͷ,㐠在该抛物线上，则m 的值为3
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D．当数= ʹ 时，该抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为4
【答案】B
【分析】把ݔ=െͳ 代入ݕ=െݔʹ + 数ݔ+ 数+ ͳ 计算，得出ݕ= Ͳ，故该抛物线一定经过点െͳ,Ͳ ；对于选
项B，将抛物线解析式化为顶点式，求顶点纵坐标关于数的表达式的最小值；对于选项C，利用抛物线对称性，
由点( െʹ,㐠)和(ͷ,㐠)求出对称轴，进而求数的值；先得出抛物线的解析式，再求出抛物线与x 轴的交点的横
坐标，再列式计算，即可作答．
【详解】解：将ݔ=െͳ 代入抛物线解析式，得ݕ=െ( െͳ)ʹ + 数ڄ ( െͳ) + 数+ ͳ = Ͳ，
∴该抛物线一定经过点െͳ,Ͳ ，
故A 选项不符合题意；
∵ݕ=െݔʹ + 数ݔ+ 数+ ͳ，
∴ݕ=െݔെ
数
ʹ
ʹ
+
数ʹ
Ͷ + 数+ ͳ，
∴顶点纵坐标为
数ʹ
Ͷ + 数+ ͳ =
(数+ʹ)ʹ
Ͷ
，
∵
(数+ʹ)ʹ
Ͷ
൒Ͳ，
∴顶点纵坐标的最小值为Ͳ，不是ͳ，
故B 选项符合题意；
∵点െʹ,㐠和ͷ,㐠纵坐标相同，
∴抛物线对称轴为直线ݔ=
െʹ+ͷ
ʹ
=
͵
ʹ，
又抛物线对称轴为ݔ=
数
ʹ，
∴
数
ʹ =
͵
ʹ，
得数= ͵，
故C 选项不符合题意；
当数= ʹ 时，抛物线解析式为ݕ=െݔʹ + ʹݔ+ ͵，
令ݕ= Ͳ，得െݔʹ + ʹݔ+ ͵ = Ͳ，
解得ݔͳ =െͳ，ݔʹ = ͵，
即两个交点之间的距离为͵ െെͳ = Ͷ，
故D 选项不符合题意．
2．抛物线ݕ=െʹ ݔെͳ ʹ െ͵ 与ݕ轴交点坐标是（
）
A．Ͳ, െ͵
B．Ͳ, െͳ
C．ͳ, െ͵
D．Ͳ, െͷ
【答案】D
【分析】抛物线与ݕ轴交点的横坐标为Ͳ，将ݔ= Ͳ 代入抛物线解析式计算出ݕ的值，即可得到交点坐标．
【详解】解：当ݔ= Ͳ 时，ݕ=െʹ ݔെͳ ʹ െ͵
=െʹ ൈͲ െͳ ʹ െ͵
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=െʹ ൈͳ െ͵
=െͷ，
∴抛物线与ݕ轴的交点坐标是Ͳ, െͷ ．
3．若抛物线ݕ= ݔʹ + ݔെͳ 与ݔ轴的交点坐标为数,Ͳ ，则代数式数ʹ + 数+ ͳͳͻ 的值为（
）
A．118
B．119
C．120
D．121
【答案】C
【分析】先求出数ʹ + 数的值，再用整体代入法计算所求代数式的值．
【详解】解：∵点数,Ͳ 是抛物线ݕ= ݔʹ + ݔെͳ 与ݔ轴的交点，
∴将数,Ͳ 代入ݕ= ݔʹ + ݔെͳ，可得数ʹ + 数െͳ = Ͳ，
∴整理得数ʹ + 数= ͳ，
将数ʹ + 数= ͳ 代入数ʹ + 数+ ͳͳͻ 得原式= ͳ + ͳͳͻ = ͳʹͲ．
4．函数ݕ= ݔʹ െ数+ ͳ ݔ+ 数（m 为常数）的图象与x 轴公共点的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．1 或2
【答案】D
【分析】二次函数图象与x 轴公共点的个数，等价于ݕ= Ͳ 时对应一元二次方程的实数根个数，利用一元二
次方程根的判别式即可判断公共点个数．
【详解】当函数图象与x 轴相交时，ݕ= Ͳ，可得一元二次方程ݔʹ െ数+ ͳ ݔ+ 数= Ͳ，
׶ܽ
= ͳ，ܾ
=െ数+ ͳ ，ܿ= 数，
∴ܾ
ʹ െͶܽܿ
= െ数+ ͳ
ʹ െͶ ൈͳ ൈ数= 数ʹ + ʹ数+ ͳ െͶ数= 数െͳ ʹ，
׶任意实数的平方都大于等于0，
∴ܾ
ʹ െͶܽܿ
൒Ͳ，
∴当数= ͳ 时，ܾʹ െͶܽܿ
= Ͳ，方程有1 个相等的实数根，图象与x 轴有1 个公共点；
当数≠ͳ 时，ܾʹ െͶܽܿ
> Ͳ，方程有2 个不相等的实数根，图象与x 轴有2 个公共点；
因此函数图象与x 轴公共点的个数是1 或2，
故选：D．
5．如图，抛物线ݕ=ܽ
(ݔെ݄
)ʹ +݇
与ݔ轴的一个交点是( െʹ,Ͳ)，顶点是(ͳ,͵)，下列说法中不正确的是
（
）
A．抛物线的对称轴是直线ݔ= ͳ
B．抛物线开口向下
C．抛物线与ݔ轴另一个交点是(ʹ,Ͳ)
D．当ݔ= ͳ 时，ݕ有最大值3
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【答案】C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴与在对称轴处取得最值，即可判断A、B、D 选项；根据抛物线的
对称性，可由抛物线的对称轴与ݔ轴的一个交点坐标，直接得到另一个交点坐标，即可判断C 选项．
【详解】解：从函数图象可知抛物线的对称轴为ݔ= ͳ，抛物线开口向下，当ݔ= ͳ 时，ݕ有最大值是3．
故A、B、D 正确．
׶抛物线ݕ=ܽ
(ݔെ݄
)ʹ +݇
与x 轴的一个交点是( െʹ,Ͳ)，对称轴为直线ݔ= ͳ，
∴抛物线ݕ=ܽ
(ݔെ݄
)ʹ +݇
与x 轴的另一个交点是(Ͷ,Ͳ)．
故C 选项错误，符合题意．
6．在平面直角坐标系中，二次函数ݕ=െܽ
ݔʹ െͶܽݔെͶܽ+ ͵（a 为常数，且ܽ
≠Ͳ）的图象与y 轴的交点
在x 轴下方，则该二次函数有（
）
A．最大值െ͵
B．最小值െ͵
C．最大值3
D．最小值3
【答案】C
【分析】先根据二次函数与y 轴交点位置得到a 的取值范围，判断二次函数开口方向，再对二次函数配方
得到顶点纵坐标，即可求出函数最值．
【详解】解：将ݔ= Ͳ 代入ݕ=െܽ
ݔʹ െͶܽݔെͶܽ+ ͵，得ݕ=െͶܽ+ ͵，
∵二次函数ݕ=െܽ
ݔʹ െͶܽݔെͶܽ+ ͵（a 为常数，且ܽ
≠Ͳ）的图象与y 轴的交点在x 轴下方，
∴െͶܽ+ ͵ < Ͳ，
解得ܽ
>
͵
Ͷ > Ͳ，
∴二次项系数െܽ
< Ͳ，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴ݕ=െܽ
ݔʹ െͶܽݔെͶܽ+ ͵ =െܽ
ݔʹ + Ͷݔ+ Ͷ + ͵ =െܽ
(ݔ+ ʹ)ʹ + ͵，
∴该二次函数的最大值为͵．
7．已知抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（ܽ、ܾ、ܿ为常数，且ܽ
≠Ͳ）经过点െͳ,Ͳ 、Ͳ,͸ ，其对称轴在ݕ轴右侧，
下列结论：①ܾܽܿ
< Ͳ；②ܽ
>െ͸；③ܾെܽ
=െ͸；④Ͷܽܿ
െܾ
ʹ < Ͳ．其中正确的有（
）
A．①②③
B．①④
C．①②④
D．②③④
【答案】C
【分析】先将已知点代入抛物线解析式，得到ܿ
的值和ܽ
与ܾ
的关系，再结合对称轴在ݕ轴右侧的条件，
逐一判定每个结论的正确性即可.
【详解】解：将点(Ͳ,͸)代入ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ，得ܿ
= ͸，ܿ> Ͳ，
将点( െͳ,Ͳ)代入抛物线解析式，得ܽ
െܾ
+ܿ
= Ͳ，整理得ܾ
=ܽ
+ ͸，即ܾ
െܽ
= ͸，故结论③错误；
∵抛物线对称轴在ݕ轴右侧，
∴对称轴ݔ=െܾʹܽ> Ͳ，
∴ܽ
与ܾ
异号，
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∴ܾܽ
< Ͳ，
∵ܿ= ͸ > Ͳ，
∴ܾܽܿ
< Ͳ，故结论①正确.
将ܾ
=ܽ
+ ͸ 代入ܾܽ
< Ͳ，得ܽ
(ܽ+ ͸) < Ͳ，解得െ͸ <ܽ
< Ͳ，故结论②正确；
∵抛物线与ݔ轴已经有一个交点( െͳ,Ͳ)在ݕ轴的左侧，且对称轴在ݕ轴右侧，
∴顶点不可能在ݔ轴上，
∴抛物线与ݔ轴有两个不同的交点，
∴Δ =ܾ
ʹ െͶܽܿ
> Ͳ，即Ͷܽܿ
െܾ
ʹ < Ͳ，故结论④正确；
综上，正确结论为①②④.
8．若二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ െͶݔ+ ʹܽ
≠Ͳ 的图象与ݔ轴没有交点，则ܽ
的取值范围为（
）
A．ܽ
> ʹ
B．ܽ
< ʹ
C．ܽ
>െʹ
D．ܽ
<െʹ
【答案】A
【分析】二次函数图象与x 轴没有交点，说明对应一元二次方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式
性质，判别式小于0，解不等式即可得到a 的取值范围．
【详解】解：∵二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ െͶݔ+ ʹܽ
≠Ͳ 的图象与ݔ轴没有交点，
∴一元二次方程ܽ
ݔʹ െͶݔ+ ʹ = Ͳ 没有实数根，
即Δ =ܾ
ʹ െͶܽܿ
< Ͳ，
∴Δ = ( െͶ)ʹ െͶ൉ܽ൉ʹ = ͳ͸ െͳܽ
< Ͳ，
解得ܽ
> ʹ．
9．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（a，b，c 为常数，且ܽ
> Ͳ）的图象与x 轴的一个交点在( െͳ，Ͳ)和(Ͳ，Ͳ)
之间，且对称轴为直线ݔ= ʹ，则下列结论错误的是（
）
A．ܿ< Ͳ
B．ͷܽ+ܿ
> Ͳ
C．ͻܽ+ ͵ܾ+ܿ
> Ͳ
D．当ݔ> Ͷ 时，y 的值随x 值的增大而增大
【答案】C
【分析】先根据对称轴公式得到ܾ
与ܽ
的关系，设二次函数与ݔ轴的左交点横坐标为ݔͳ，右交点横坐标为ݔʹ，
根据对称性可得Ͷ < ݔʹ < ͷ，结合该二次函数的增减性，逐一判断各选项的正误．
【详解】解：∵二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
的对称轴为直线ݔ= ʹ，
∴െܾʹܽ= ʹ，
∴ܾ
=െͶܽ，
设二次函数与ݔ轴的左交点横坐标为ݔͳ，右交点横坐标为ݔʹ，
由题意得െͳ < ݔͳ < Ͳ，
∵两个交点关于对称轴ݔ= ʹ 对称，
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∴
ݔͳ+ݔʹ
ʹ
= ʹ，即ݔʹ = Ͷ െݔͳ，
∵െͳ < ݔͳ < Ͳ，
∴Ͷ < ݔʹ < ͷ，
∵ܽ
> Ͳ，抛物线开口向上，
∴在对称轴的左侧，即ݔ< ʹ 时，y 随x 的增大而减小，
在对称轴的右侧，即ݔ> ʹ 时，y 随x 的增大而增大，
∵当ݔ= ݔͳ时，ݕ= Ͳ，ݔ= Ͳ 时，ݕ=ܿ，又ݔͳ < Ͳ，
∴ܿ< Ͳ，故A 选项正确；
∵当ݔ=െͳ 时，ݕ=ܽ
െܾ
+ܿ
=ܽ
െെͶܽ
+ܿ
= ͷܽ+ܿ，
∵െͳ < ݔͳ < ʹ，
∴ͷܽ+ܿ
> Ͳ，故B 选项正确；
∵当ݔ= ͵ 时，ݕ= ͻܽ+ ͵ܾ+ܿ，当ݔ= ݔʹ时，ݕ= Ͳ，
又ʹ < ͵ < ݔʹ，
∴ͻܽ+ ͵ܾ+ܿ
< Ͳ，故C 选项错误；
∵当ݔ> ʹ 时，y 随x 的增大而增大，
∴当ݔ> Ͷ 时，y 随x 的增大而增大，故D 选项正确．
10．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
的图象分别经过点ܣ( െͳ,Ͳ)，点ܤ(Ͳ, െ͵)，且顶点在第四象限，下列
说法中，正确的是（
）
A．该函数图象开口向下
B．该函数图象与x 轴只有一个交点
C．a 的取值范围是Ͳ <ܽ
< ͵
D．当ݔ< Ͳ 时，y 随x 的增大而增大
【答案】C
【分析】先将已知点代入二次函数，得到ܾ
,ܿ用ܽ
表示的式子，再结合顶点在第四象限的性质，逐一判断选
项正误．
【详解】׶二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
经过点ܤ(Ͳ, െ͵)，
代入得ܿ
=െ͵，
将ܣ( െͳ,Ͳ) 代入函数得ܽ
െܾ
+ܿ
= Ͳ，
代入ܿ
=െ͵ 得ܾ
=ܽ
െ͵，
∴二次函数解析式为ݕ=ܽ
ݔʹ + (ܽെ͵)ݔെ͵，
׶顶点在第四象限，
∴顶点横坐标大于Ͳ，纵坐标小于Ͳ，
∴顶点纵坐标为
െͳʹܽെ(ܽെ͵)ʹ
Ͷܽ
=
െܽ
+͵ ʹ
Ͷܽ
< Ͳ，可知分子分母异号，由题意得ܽ
≠െ͵，
∴െͳʹܽെ(ܽെ͵)ʹ =െܽ
ʹ െ͸ܽെͻ =െܽ
+ ͵ ʹ < Ͳ 恒成立，
∴可得ܽ
> Ͳ，函数开口向上，故选项A 错误；
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判别式Δ =ܾ
ʹ െͶܽܿ
= (ܽെ͵)ʹ + ͳʹܽ
= (ܽ+ ͵)ʹ，
׶ܽ
> Ͳ，
∴Δ = (ܽ+ ͵)ʹ > Ͳ，
∴函数图象与ݔ轴有两个交点，故选项B 错误；
顶点横坐标为െܾʹܽ=
͵െܽ
ʹܽ
> Ͳ，
׶ܽ
> Ͳ，
∴͵ െܽ
> Ͳ，
解得ܽ
< ͵，
综上可得Ͳ <ܽ
< ͵，故选项C 正确；
׶对称轴ݔ=
͵െܽ
ʹܽ
> Ͳ，函数开口向上，
∴当ݔ<
͵െܽ
ʹܽ
时，ݕ随ݔ的增大而减小，
׶ ݔ< Ͳ <
͵െܽ
ʹܽ，
∴ݔ< Ͳ 时，ݕ随ݔ增大而减小，故选项D 错误．
11．如图，抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ + ݔെ͸ 与ݔ轴交于ܣെ͵,Ͳ ,ܤ两点，下列说法正确的是（
）
A．抛物线的对称轴为直线ݔ=െͳ
B．抛物线的顶点坐标为െ
ͳ
ʹ , െ͸
C．ܣ,ܤ两点之间的距离为5
D．当ݔ< Ͳ 时，ݕ的值随ݔ值的增大而减小
【答案】C
【分析】将点ܣ坐标代入抛物线解析式求出ܽ
的值，确定函数解析式，根据二次函数的性质逐项分析判断
即可求解．
【详解】解：∵抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ + ݔെ͸ 过点ܣ( െ͵,Ͳ)，
∴Ͳ = ͻܽെ͵ െ͸，解得ܽ
= ͳ，
∴抛物线解析式为ݕ= ݔʹ + ݔെ͸，
∵ݕ= ݔʹ + ݔെ͸ = (ݔ+
ͳ
ʹ )ʹ െ
ʹͷ
Ͷ ，
∴对称轴为直线ݔ=െ
ͳ
ʹ，顶点坐标为െ
ͳ
ʹ , െ
ʹͷ
Ͷ ，
故A，B 选项错误；
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令ݕ= Ͳ，则ݔʹ + ݔെ͸ = Ͳ，
解得ݔͳ =െ͵，ݔʹ = ʹ，
∴ܤ(ʹ,Ͳ)，
∴ܣܤ= ʹ െ( െ͵) = ͷ，
故C 选项正确；
∵ܽ
= ͳ > Ͳ，对称轴为直线ݔ=െ
ͳ
ʹ，
∴当ݔ<െ
ͳ
ʹ时，ݕ随ݔ的增大而减小；
当ݔ>െ
ͳ
ʹ时，ݕ随ݔ的增大而增大；
∴当ݔ< Ͳ 时，在ݔ<െ
ͳ
ʹ时，ݕ的值随ݔ的增大而减小，在െ
ͳ
ʹ < ݔ< Ͳ 时，随ݔ的增大而增大；
故D 选项错误．
12．对于题目“一段抛物线ܮǣݕ=െݔݔെ͵ +ܿ
Ͳ ൑ݔ൑͵ 与直线݈ǣݕ= ݔ+ ʹ 有唯一公共点，若c 为整数，
确定所有c 的值，”甲的结果是ܿ
= ͷ，乙的结果是ܿ
= ͵ 或4，则（
）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【答案】D
【分析】分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，Δ = Ͳ 求得ܿ
= ͳ，②当抛物线与直线不相切，但
在Ͳ ൑ݔ൑͵ 上只有一个交点时，得到点Ͳ,ʹ 在抛物线L 的下方，点͵,ͷ 在抛物线上或上方，据此列出不
等式组，求解再结合c 为整数可得ܿ
= ͵,Ͷ,ͷ，故ܿ
= ͳ,͵,Ͷ,ͷ，即可判断．
【详解】解：∵抛物线ܮǣݕ=െݔݔെ͵ +ܿ
Ͳ ൑ݔ൑͵ 与直线݈ǣݕ= ݔ+ ʹ 有唯一公共点，
∴①如图1，抛物线与直线相切，
联立解析式ݕ=െݔ(ݔെ͵) +ܿ
ݕ= ݔ+ ʹ
得ݔʹ െʹݔ+ ʹ െܿ
= Ͳ，
∴Δ = െʹ ʹ െͶ ʹ െܿ
= Ͳ
解得：ܿ= ͳ，
当ܿ
= ͳ 时，相切时只有一个交点，符合题意；
②如图2，抛物线与直线不相切，但在Ͳ ൑ݔ൑͵ 上只有一个交点
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∵当ݔ= Ͳ 时，ݕ= ݔ+ ʹ = Ͳ + ʹ = ʹ，
当ݔ= ͵ 时，ݕ= ݔ+ ʹ = ͵ + ʹ = ͷ．
由图象可知，当点Ͳ,ʹ 在抛物线L的下方，点͵,ͷ 在抛物线上或上方时，抛物线L与直线l不相切，且Ͳ ൑ݔ൑
͵ 范围内只有一个交点，
∴ܿ
> ʹ
െ͵ ൈ͵ െ͵ +ܿ
൑ͷ ，
解得ʹ＜ܿ൑ͷ，
又∵c 为整数，
∴ܿ= ͵,Ͷ,ͷ，
综上，ܿ= ͳ,͵,Ͷ,ͷ，所以甲乙合在一起也不正确．
13．关于抛物线ݕ= ݔʹ െʹ数ݔ+ 数ʹ + 数െͳ(数是常数)，以下结论中错误的是()
A．抛物线的顶点在一条定直线上运动
B．若点ܣ数െʹ,ݕͳ ，ܤ数+ ͳ,ݕʹ 在抛物线上，则ݕͳ > ݕʹ
C．无论数为何值，抛物线的顶点到直线ݕ= ݔ的距离都等于Ͷ ʹ
D．若数= ʹ，݇
是抛物线与ݔ轴交点的横坐标，则݇
Ͷ݇
ͳ+݇͸െͳʹ݇Ͷ+Ͷ݇ʹ+ͳ͸的值为
ͳ
ʹͲͲ
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，判别式的应用，顶点坐标的求解，二次函数增减性，点到直线
的距离，以及代数式降次求值，逐一判断每个结论即可．
【详解】解：先整理抛物线解析式，配方得：ݕ= ݔʹ െʹ数ݔ+ 数ʹ + 数െͳ = (ݔെ数)ʹ + 数െͳ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线ݔ= 数，顶点坐标为数,数െͳ
，
由顶点坐标数,数െͳ
，得顶点满足ݕ= ݔെͳ，即所有顶点都在定直线ݕ= ݔെͳ 上，A 正确；
点ܣ数െʹ,ݕͳ 到对称轴ݔ= 数的距离为数െʹ െ数= ʹ，
点ܤ数+ ͳ,ݕʹ 到对称轴的距离为数+ ͳ െ数= ͳ，
∵抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，ʹ > ͳ，
∴ݕͳ > ݕʹ，故B 正确；
设二次函数顶点为点形数,数െͳ ，
如图所示，过点形向ݔ轴作垂线，交ݔ轴于点ܪ，交直线ݕ= ݔ于点ܰ
，过点形向直线ݕ= ݔ作垂线交直
线ݕ= ݔ于点ܧ，
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∴点ܰ
数,数,ܪ数,Ͳ ，ס形ܧܰ
= סܰܪR = ͻͲι，
∴Rܪ=ܰ
ܪ= 数,形ܰ
= 数െͳ െ数= ͳ，
∴ᇞRܰܪ是等腰直角三角形，
∴Rܰ
=
Rܪʹ +ܰ
ܪʹ =
ʹ 数，
∵ס形ܧܰ
= סܰܪR = ͻͲι，ס形ܰܧ= סRܰܪ，
∴ᇞ形ܰܧ׾ᇞRܰܪ，
∴
形ܰ
Rܰ
=
形ܧ
Rܪ，即
ͳ
ʹ 数=
形ܧ
数，解得形ܧ= Ͷ ʹ，
∴顶点数,数െͳ
到直线ݕ= ݔ的距离为Ͷ ʹ，
∴无论数为何值，距离都等于Ͷ ʹ，故C 正确．
当数= ʹ 时，抛物线解析式为ݕ= ݔʹ െͶݔ+ Ͷ + ʹ െͳ = ݔʹ െͶݔെʹ ，݇
是抛物线与ݔ轴交点的横坐标，݇
ʹ െͶ݇െʹ = Ͳ ，即݇ʹ = Ͷ݇+ ʹ ，依次降次计算得：݇Ͷ = (݇ʹ)ʹ = (Ͷ݇+ ʹ)ʹ = ͳ͸݇ʹ + ͳ͸݇+ Ͷ = ͳ͸ Ͷ݇+
ʹ + ͳ͸݇+ Ͷ = ͳͲ݇+ ͵͸ ，݇
͸ =݇
Ͷ ڄ݇
ʹ = ͳͲ݇+ ͵͸
Ͷ݇+ ʹ = ͵ʹͲ݇ʹ + ͵ͲͶ݇+ 〷ʹ = ͵ʹͲ Ͷ݇+ ʹ + ͵ͲͶ݇+ 〷ʹ = ͳͷͳͶ݇+ 〷ͳʹ ，݇
ͳ = (݇Ͷ)ʹ = (ͳͲ݇+ ͵͸)ʹ = ͸ͶͲͲ݇ʹ + ͷ〷͸Ͳ݇+ ͳʹͻ͸ = ͸ͶͲͲ Ͷ݇+ ʹ + ͷ〷͸Ͳ݇+ ͳʹͻ͸ = ͵ͳ͵͸Ͳ݇+ ͳͶͲͻ͸
，
整理分母得：݇ͳ +݇
͸ െͳʹ݇Ͷ + Ͷ݇
ʹ + ͳ͸ = ͵ͳ͵͸Ͳ݇+ ͳͶͲͻ͸ + ͳͷͳͶ݇+ 〷ͳʹ െͳʹ ͳͲ݇+ ͵͸ + Ͷ Ͷ݇+
ʹ + ͳ͸ = ͵ʹͲͲͲ݇+ ͳͶͶͲͲ = ͶͲͲ ͳͲ݇+ ͵͸ ，分子为݇Ͷ = ͳͲ݇+ ͵͸ ，因此分式݇
Ͷ݇
ͳ+݇͸െͳʹ݇Ͷ+Ͷ݇ʹ+ͳ͸ =
ͳͲ݇+͵͸
ͶͲͲ ͳͲ݇+͵͸ =
ͳ
ͶͲͲ ≠
ͳ
ʹͲͲ，故D 不正确，符合题意．
14．已知抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
> Ͳ 的对称轴是直线ݔ= ͳ，抛物线与ݔ轴交于点数,Ͳ ，㐠,Ͳ ，其中Ͳ <
㐠< ͳ．下列结论中错误的是（
）
A．ͳ < 数< ʹ
B．若关于ݔ的方程ܽ
ݔെ数
ݔെ㐠=െͳ 有实数根，则ܾʹ െͶܽܿ
൒Ͷܽ
C．ܾ+ ʹܿ> Ͳ
D．不等式ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
<െܿ数ݔ+ܿ
的解集是Ͳ < ݔ< 数
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【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，利用对称轴性质、交点式、不等式变形逐一判断选项即可；
【详解】解：对于A 选项，∵抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
> Ͳ 对称轴为ݔ= ͳ，与ݔ轴交于数,Ͳ , 㐠,Ͳ ，
∴
数+㐠
ʹ
= ͳ，即数+ 㐠= ʹ，得㐠= ʹ െ数；
∵Ͳ < 㐠< ͳ，
∴Ͳ < ʹ െ数< ͳ，即ͳ < 数< ʹ，A 正确；
对于B 选项，原抛物线可写为ݕ=ܽ
ݔെ数
ݔെ㐠，方程ܽ
ݔെ数
ݔെ㐠=െͳ 即抛物线与直线ݕ=െͳ
有交点；
∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为
Ͷܽܿ
െܾʹ
Ͷܽ
，
∴
Ͷܽܿ
െܾʹ
Ͷܽ
൑െͳ，
∵ܽ
> Ͳ，不等式变形得Ͷܽܿ
െܾ
ʹ ൑െͶܽ，即ܾ
ʹ െͶܽܿ
൒Ͷܽ，B 正确；
对于C 选项，由对称轴ݔ= ͳ =െܾʹܽ
得ܾ
=െʹܽ；
∵抛物线与ݔ轴有两个交点，顶点在ݔ轴下方，
∴ݔ= ͳ 时，ݕ=ܽ
+ܾ
+ܿ
< Ͳ；代入ܾ
=െʹܽ
得ܽ
െʹܽ+ܿ
=ܿ
െܽ
< Ͳ，即ܿ
<ܽ
；
∴ܾ
+ ʹܿ=െʹܽ+ ʹܿ= ʹܿ
െܽ
< Ͳ，C 错误；
对于D 选项，整理不等式ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
<െܿ数ݔ+ܿ：移项得ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ数ݔ< Ͳ，即ݔܽ
ݔ+ܾ
+ܿ数< Ͳ；
∵
数,Ͳ 在抛物线上，
∴ܽ
数ʹ +ܾ数+ܿ
= Ͳ，两边除以数得ܽ
数+ܾ
=െܿ数，即ܾ
+ܿ数=െܽ
数；代入得ݔڄܽ
ݔെ数< Ͳ，
∵ܽ
> Ͳ，
∴ݔݔെ数< Ͳ 解集为Ͳ < ݔ< 数，D 正确；
二、填空题
1．抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ + ͳ 与x 轴没有交点，请写出一个符合条件的a 的值为________．
【答案】1（答案不唯一，ܽ
> Ͳ 即可）
【分析】由Δ =ܾ
ʹ െͶܽܿ
= Ͳʹ െͶ ൈܽ
ൈͳ < Ͳ 进行求解即可．
【详解】解：׶抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ + ͳ 与ݔ轴没有交点，
∴Δ =ܾ
ʹ െͶܽܿ
= Ͳʹ െͶ ൈܽ
ൈͳ < Ͳ ，
解得ܽ
> Ͳ，
取ܽ
= ͳ．
2．二次函数ݕ= ݔʹ + ʹݔ+ ͳ 与ݔ轴交于െܽ
,Ͳ ，则ܽ
的值为______．
【答案】ͳ
【分析】二次函数图象与ݔ轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于ܽ
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的一元二次方程即可得到ܽ
的值．
【详解】解：∵二次函数ݕ= ݔʹ + ʹݔ+ ͳ 与ݔ轴交于点െܽ
,Ͳ ，
∴将ݔ=െܽ
，ݕ= Ͳ 代入ݕ= ݔʹ + ʹݔ+ ͳ 得െܽ
ʹ + ʹ ൈെܽ
+ ͳ = Ͳ，
整理得ܽʹ െʹܽ+ ͳ = Ͳ，
∴ܽ
െͳ ʹ = Ͳ，
解得ܽ
ͳ =ܽ
ʹ = ͳ,
∴ܽ
的值为ͳ．
3．若二次函数ݕ= ʹݔʹ + ݔെͳ 与x 轴的交点分别为ݔͳ,Ͳ ，ݔʹ,Ͳ ，则ݔͳ + ݔʹ =______．
【答案】െ
ͳ
ʹ
【分析】根据二次函数与ݔ轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵二次函数ݕ= ʹݔʹ + ݔെͳ 与ݔ轴交点的横坐标ݔͳ，ݔʹ是一元二次方程ʹݔʹ + ݔെͳ = Ͳ 的两
个根，
∴ݔͳ + ݔʹ =െ
ͳ
ʹ．
4．已知二次函数ݕ= ݔʹ െͷݔ+݇
（݇
为常数）的图象与ݔ轴的两个交点为ݔͳ,Ͳ ，ݔʹ,Ͳ ，若ݔͳ = ͵，则ݔʹ
的值是__________
【答案】2
【分析】先把(͵,Ͳ)代入ݕ= ݔʹ െͷݔ+݇
得݇
= ͸，则抛物线解析式为ݕ= ݔʹ െͷݔ+ ͸，然后解方程ݔʹ െͷݔ+
͸ = Ͳ 即可．
【详解】解：把(͵,Ͳ)代入ݕ= ݔʹ െͷݔ+݇
得ͻ െͳͷ +݇
= Ͳ，
解得݇
= ͸，
∴抛物线解析式为ݕ= ݔʹ െͷݔ+ ͸，
当ݕ= Ͳ 时，ݔʹ െͷݔ+ ͸ = Ͳ，
解得ݔͳ = ͵，ݔʹ = ʹ．
故答案为：2．
5．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
的ݕ与ݔ的部分对应值如下表：
ݔ
ڮ
െʹ
0
2
4
5
ڮ
ݕ
ڮ
7
െͷ
െͻ
െͷ
0
ڮ
则关于ݔ的一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的解为_____．
【答案】ݔͳ = ͷ，ݔʹ =െͳ
【分析】先根据表格中y 值相等的点求出二次函数的对称轴，再利用对称性得到ݕ= Ͳ 对应的另一个ݔ的
值，即可得到一元二次方程的解
【详解】解：根据表格可得，点(Ͳ, െͷ)，(Ͷ, െͷ)都在二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
的图象上，
∴二次函数图象的对称轴为直线ݔ=
Ͳ+Ͷ
ʹ = ʹ，
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由表格信息可得，当ݔ= ͷ 时，ݕ= Ͳ，
∴点(ͷ,Ͳ)关于对称轴ݔ= ʹ 的对称点为( െͳ,Ͳ)，
∴关于ݔ的一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的解是ݔͳ =െͳ,ݔʹ = ͷ.
6．已知抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿܽ
≠Ͳ 的对称轴是直线ݔ= ͳ，与ݔ轴交于ܣ、ܤ两点，若ܤ点坐标是െͶ,Ͳ ，
则方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的两根是_____．
【答案】
ݔͳ =െͶ，ݔʹ = ͸
【分析】利用二次函数的对称性，根据一个交点坐标和对称轴即可求出另一个交点坐标，从而得到方程的另一个
根．
【详解】解：∵抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ(ܽ
≠Ͳ)与ݔ轴交点的横坐标就是方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的两根，其
中一个交点为ܤ( െͶ,Ͳ)，
∴方程的一个根为ݔͳ =െͶ，
设方程的另一个根为ݔʹ，
又∵抛物线的对称轴为直线ݔ= ͳ，
∴
ݔʹ+(െͶ)
ʹ
= ͳ，
解得ݔʹ = ͸，
∴方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的两根为ݔͳ =െͶ，ݔʹ = ͸．
7．抛物线ݕ= ݔʹ + 数ݔ+ 数െʹ 与x 轴交于A，B 两点，且ܣܤ=
ͷ，则m 的值为_______．
【答案】ͳ 或͵
【分析】设ܣݔͳ,Ͳ ，ܤݔʹ,Ͳ ，可得ݔͳ,ݔʹ是一元二次方程ݔʹ + 数ݔ+ 数െʹ = Ͳ 的两个根，利用根与系数的
关系表示ݔͳ + ݔʹ与ݔͳݔʹ，结合ܣܤ=
ͷ的条件，建立关于数的一元二次方程，求解即可得到数的值．
【详解】解：设ܣݔͳ,Ͳ ，ܤݔʹ,Ͳ ，
令ݕ= Ͳ，得
ݔʹ + 数ݔ+ 数െʹ = Ͳ，
由根与系数的关系得ݔͳ + ݔʹ =െ数，ݔͳݔʹ = 数െʹ，
ܣܤ= |ݔͳ െݔʹ| =
ݔͳ + ݔʹ ʹ െͶݔͳݔʹ =
െ数ʹ െͶ 数െʹ =
数ʹ െͶ数+ ͳ，
∵ܣܤ=
ͷ，
∴数ʹ െͶ数+ ͳ =
ͷ，
两边平方得数ʹ െͶ数+ ͳ = ͷ，
整理得数ʹ െͶ数+ ͵ = Ͳ，
因式分解得数െͳ
数െ͵ = Ͳ，
解得数= ͳ 或数= ͵．
8．抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（a，b，c 为常数，ܽ
< Ͳ）经过ܣʹ,Ͳ ，ܤെͶ,Ͳ 两点，下列四个结论：
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①一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的根为ݔͳ = ʹ，ݔʹ =െͶ；
②若点ܥെͷ,ݕͳ ，ܦπ,ݕʹ 在该抛物线上，则ݕͳ < ݕʹ；
③对于任意实数t，总有ܽ
ݐʹ +ܾݐ൑ܽ
െܾ；
④若一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= ݌（p 为常数）有两实数根m，n，则数+ 㐠=െʹ．
其中正确的结论是_________．（填序号）
【答案】①③④
【分析】利用抛物线与ݔ轴交点和一元二次方程的关系，抛物线的对称性，增减性，最值性质以及根与系
数的关系，逐一验证每个结论即可．
【详解】解：∵抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
经过ܣʹ,Ͳ ，ܤെͶ,Ͳ 两点，
∴一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的根为ݔͳ = ʹ，ݔʹ =െͶ，结论①正确；
抛物线的对称轴为直线ݔ=
ʹ+ െͶ
ʹ
=െͳ，
∵ܽ
< Ͳ，
∴抛物线开口向下，当ݔ>െͳ 时，ݕ随ݔ的增大而减小，
∵点ܥെͷ,ݕͳ 关于对称轴ݔ=െͳ 的对称点坐标为͵,ݕͳ ，且െͳ < ͵ < π，
∴ݕͳ > ݕʹ，结论②错误；
∵抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点，顶点横坐标为ݔ=െͳ，
∴对任意实数ݔ，都有ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
൑ܽ
ൈെͳ ʹ +ܾ
ൈെͳ +ܿ，不等式两边同时减ܿ，得ܽ
ݔʹ +ܾݔ൑ܽ
െܾ
，因此对任意实数ݐ，总有ܽ
ݐʹ +ܾݐ൑ܽ
െܾ，结论③正确；
将方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= ݌整理为ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
െ݌= Ͳ，
若方程的两实数根为数，㐠，由根与系数的关系可得数+ 㐠=െܾܽ，
由对称轴公式ݔ=െܾʹܽ=െͳ，
整理得െܾܽ
=െʹ，
即数+ 㐠=െʹ，结论④正确；
综上所述，正确的有①③④．
9．抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（a，b，c 是常数，ܽ
> Ͳ）经过െʹ,Ͳ ，数,Ͳ 两点，且ʹ < 数< ͵．下列五个
结论：
①ܾ
< Ͳ；
②Ͷܽ+ ʹܾ+ܿ
> Ͳ；
③若抛物线经过点െͳ, െͳ ，则ܽ
>
ͳ
͵；
④关于x 的不等式ʹܽݔʹ + ʹܾݔ<ܿݔ的解集为െʹ < ݔ< Ͳ；
⑤点ܣݔͳ,ݕͳ ，ܤݔʹ,ݕʹ 在抛物线上，若ݔͳ + ݔʹ >
ͳ
͵，ݔͳ < ݔʹ，总有ݕͳ < ݕʹ，则ʹ < 数൑
〷
͵．
其中正确的结论是__________（填写序号）．
【答案】①④⑤
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【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可.
【详解】解：׶抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（a，b，c 是常数，ܽ> Ͳ）经过െʹ,Ͳ ，数,Ͳ 两点，且ʹ < 数< ͵，
∴Ͳ < 数െʹ < ͳ，
∴Ͳ <
数െʹ
ʹ
<
ͳ
ʹ，
∴െܾʹܽ> Ͳ，
又ܽ
> Ͳ，
∴ܾ
< Ͳ；故①正确；
׶抛物线ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ（a，b，c 是常数，ܽ
> Ͳ）经过െʹ,Ͳ ，数,Ͳ 两点，且ʹ < 数< ͵，
函数草图如图：
由图像可知当ݔ= ʹ 时，ݕ< Ͳ，则Ͷܽ+ ʹܾ+ܿ
< Ͳ，故②错误；
׶抛物线经过点െͳ, െͳ ，
∴ܽ
െܾ
+ܿ
=െͳ，
׶ Ͷܽെʹܾ+ܿ
= Ͳ，
解得ܾ
= ͵ܽെͳ，
׶ Ͳ <
数െʹ
ʹ
<
ͳ
ʹ，
∴Ͳ <െܾʹܽ<
ͳ
ʹ，
又ܽ
> Ͳ，
∴Ͳ <െܾ
<ܽ
；
∴Ͳ < ͳ െ͵ܽ
<ܽ
；
解得
ͳ
Ͷ <ܽ
<
ͳ
͵，故③错误；
׶关于ݔ的不等式ʹܽݔʹ + ʹܾݔ<ܿݔ变形得ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
<
ͳ
ʹܿݔ+ܿ，
׶ ݕͳ =ܿʹ ݔ+ܿ
经过െʹ,Ͳ ，
∴由图象可知，不等式ʹܽݔʹ + ʹܾݔ<ܿݔ解集为െʹ < ݔ< Ͳ，故④正确；
׶点ܣݔͳ，ݕͳ ，ܤݔʹ，ݕʹ 在抛物线上，抛物线的对称轴为െܾʹܽ=
数െʹ
ʹ ，ݔͳ + ݔʹ >
ͳ
͵ ，ݔͳ < ݔʹ，总有ݕͳ < ݕʹ，
∴
ݔͳ+ݔʹ
ʹ
>
ͳ
͸，且
ͳ
͸ ൒
数െʹ
ʹ ，解得数൑
〷
͵，
∵ʹ < 数< ͵，
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∴ʹ < 数൑
〷
͵．
故⑤正确；
综上，正确的结论有①④⑤.
10．抛物线ݕͳ =ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
的部分图象如图，对称轴为直线ݔ= െͳ，直线ݕʹ =݇
ݔ+ܿ
与抛物线都经过点
െ͵,Ͳ ．下列说法：①ܾܽ
> Ͳ；②Ͷܽ+ܿ
> Ͳ；③关于x 的一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的两根为ݔͳ =െ͵，
ݔʹ = ͳ；④当ݔ= ͳ 时，二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾ
െ݇
ݔ有最大值．其中正确的有_______．
【答案】①③
【分析】由图象可知ܽ
< Ͳ，െܾʹܽ=െͳ，则有ܾ
= ʹܽ
< Ͳ，然后根据二次函数的图象与性质可进行排除答
案．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴ܽ
< Ͳ，
∵对称轴为直线ݔ= െͳ，
∴െܾʹܽ=െͳ，
∴ܾ
= ʹܽ
< Ͳ，
∴ܾܽ
> Ͳ，故①是正确；
∵抛物线经过点െ͵,Ͳ ，
∴ͻܽെ͵ܾ+ܿ
= Ͳ，
∴ܿ= ͵ܾെͻܽ
= ͸ܽെͻܽ
=െ͵ܽ，
∴Ͷܽ+ܿ
= Ͷܽെ͵ܽ
=ܽ
< Ͳ，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线ݔ= െͳ，与x 轴的一个交点为െ͵,Ͳ ，
∴根据二次函数的对称性可知：抛物线与x 轴的另一个交点为ͳ,Ͳ ，
∴关于x 的一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
= Ͳ 的两根为ݔͳ =െ͵，ݔʹ = ͳ，故③正确；
∵直线ݕʹ =݇
ݔ+ܿ
经过点െ͵,Ͳ ，
∴െ͵݇+ܿ
= Ͳ，
∴݇
=ܿ͵ =െ
͵ܽ
͵ =െܽ
，
∴ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾ
െ݇
ݔ=ܽ
ݔʹ + ͵ܽݔ=ܽ
ݔ+
͵
ʹ
ʹ
െ
ͻ
Ͷܽ，
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∵ܽ
< Ͳ，
∴当ݔ=െ
͵
ʹ时，y 有最大值，故④错误；
综上所述：正确的有①③．
11．如图，在平面直角坐标系中，有一段抛物线ݕ=െݔʹ + ͶݔͲ ൑ݔ൑Ͷ ，记为L，它与x 轴交于点O，M．第
1 次：将L 向右平移d（݀
> Ͳ）个单位长度，得到ܮͳ，与x 轴交于点Rͳ，形ͳ；第2 次：将ܮͳ向右平移d 个
单位长度，得到ܮʹ，与x 轴交于点Rʹ，形ʹ；……每次将前一段抛物线向右平移d 个单位长度，直至第n 次，
得到ܮ㐠，与x 轴交于点R㐠，形㐠．已知形㐠ͳͷ,Ͳ ，每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，则n 的值是
________．
【答案】
3 或4 或5
【分析】先求初始抛物线ݕ=െݔʹ + Ͷݔ与x 轴的交点M 的坐标，确定原抛物线L 在x 轴上的跨度，因为每
次平移距离为݀
，且每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，因此可以确定平移距离݀
的范围，根据
点平移的坐标规律，初始点M 经过㐠次向右平移݀
个单位后得到形㐠，结合形㐠的坐标列关系式求解㐠的值．
【详解】解：抛物线解析式为ݕ=െݔʹ + ͶݔͲ ൑ݔ൑Ͷ ，
∴令ݕ= Ͳ，
即െݔʹ + Ͷݔ= Ͳ，
解得ݔͳ = Ͳ，ݔʹ = Ͷ，
∴由题意可得，形Ͷ,Ͳ ，
∵图像依次向右平移݀
个单位，
∴点形的坐标也依次向右平移݀
个单位，
∴形ͳ Ͷ +݀
,Ͳ ，形ʹ Ͷ + ʹ݀,Ͳ ，
∴形㐠Ͷ + 㐠݀,Ͳ ，
∵形㐠ͳͷ,Ͳ ，
∴Ͷ + 㐠݀
= ͳͷ，即݀
=
ͳͳ
㐠，
∵每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，
∴ʹ <݀
< Ͷ，
即ʹ <
ͳͳ
㐠< Ͷ，
解得
ͳͳ
Ͷ < 㐠<
ͳͳ
ʹ ，
∵㐠为整数，
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∴㐠= ͵ 或Ͷ 或ͷ．
三、解答题
1．用描点法画函数ݕ=െݔʹ + ʹ 的图象，并完成下列问题：
(1)求曲线与x 轴、y 轴交点坐标；
(2)根据图象分析，y 随x 变化而变化的情况．
【答案】(1)与x 轴交点坐标为െ
ʹ,Ͳ 和
ʹ,Ͳ ，与y 轴交点坐标为Ͳ,ʹ
(2)当ݔ< Ͳ 时，y 随x 的增大而增大；当ݔ> Ͳ 时，y 随x 的增大而减小
【分析】本题考查了描点作图法画二次函数图象以及二次函数图象的相关性质．
（1）根据列表、描点、连线的步骤作出二次函数的图象，令ݔ= Ͳ，求得函数与y 轴的交点坐标；令ݕ= Ͳ，
求得函数与x 轴的交点坐标；
（2）根据函数图象以及函数增减性的定义求解即可．
【详解】（1）解：列表如下：
x
0
1
െͳ
2
െʹ
y
2
1
1
െʹ
െʹ
描点作图如图所示：
令ݔ= Ͳ，则ݕ= ʹ，即二次函数与y 轴的交点为Ͳ,ʹ ；
令ݕ= Ͳ，则െݔʹ + ʹ = Ͳ，解得ݔ=േ
ʹ，即二次函数与x 轴的交点为
ʹ,Ͳ 和െ
ʹ,Ͳ ；
（2）解：由图象可知，当ݔ< Ͳ 时，y 随x 的增大而增大；当ݔ> Ͳ 时，y 随x 的增大而减小．
2．已知二次函数：ݕ= ݔʹ െʹ数ݔ+ 数ʹ െͳ
(1)求证：该二次函数的图象与ݔ轴总有两个不同的交点；
(2)若该二次函数的图象与ݔ轴交于ܣ、ܤ两点，与ݕ轴交于点ܥ，且ᇞܣܤܥ的面积为Ͷ，求数的值．
【答案】(1)
证明：׶一元二次方程ݔʹ െʹ数ݔ+ 数ʹ െͳ = Ͳ 中ܽ
= ͳ，ܾ
=െʹ数，ܿ= 数ʹ െͳ，
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∴Δ = െʹ数ʹ െͶ ൈͳ ൈ数ʹ െͳ = Ͷ数ʹ െͶ数ʹ + Ͷ = Ͷ > Ͳ，
∴该二次函数图象与ݔ轴总有两个不同交点；
(2)数=േ
ͷ
【分析】（1）先判断一元二次方程ݔʹ െʹ数ݔ+ 数ʹ െͳ = Ͳ 根的情况，再结合二次函数与一元二次方程的
关系即可得证；
（2）令ݕ= Ͳ，求出ܣ、ܤ两点的横坐标及ܣܤ；令ݔ= Ͳ，得与ݕ轴交点ܥ的纵坐标，即高݄
= 数ʹ െͳ ，
根据ᇞܣܤܥ的面积为Ͷ 推得数ʹ െͳ = Ͷ，求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：令ݕ= Ͳ，解方程ݔʹ െʹ数ݔ+ 数ʹ െͳ = Ͳ，
ݔെ数+ ͳ
ݔെ数െͳ
= Ͳ，
解得ݔͳ = 数+ ͳ，ݔʹ = 数െͳ，
∴ܣܤ= ݔͳ െݔʹ =
数+ ͳ െ数െͳ
= ʹ，
令ݔ= Ͳ，得与ݕ轴交点ܥ的纵坐标为数ʹ െͳ，
即高为݄
= 数ʹ െͳ ，
∴三角形面积ܵ
=
ͳ
ʹ ൈܣܤൈ݄
=
ͳ
ʹ ൈʹ ൈ数ʹ െͳ = 数ʹ െͳ = Ͷ，
①数ʹ െͳ = Ͷ 时，数=േ
ͷ；
②数ʹ െͳ =െͶ 时，数ʹ =െ͵（无实数解）．
故数=േ
ͷ．
3．一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（米）和经过的水平距离d（米）可用公式݄
=݀
െͲǤͲͳ݀ʹ
来估计．
(1)当球的水平距离达到60 米时，球上升的高度是多少？
(2)当球的高度第一次达到21 米时，球的水平距离是多少？
【答案】(1)24 米
(2)球的水平距离是30 米
【分析】（1）把݀
= ͸Ͳ 代入݄
=݀
െͲǤͲͳ݀ʹ求解即可．
（2）把݄
= ʹͳ 代入݄
=݀
െͲǤͲͳ݀ʹ求解即可．
【详解】（1）解：当݀
= ͸Ͳ 米时，݄
= ͸Ͳ െͲǤͲͳ ൈ͸Ͳʹ = ͸Ͳ െͲǤͲͳ ൈ͵͸ͲͲ = ʹͶ（米）．
（2）解：由题意得݀
െͲǤͲͳ݀
ʹ＝ʹͳ，
解得݀
ͳ = ͵Ͳ，݀
ʹ = 〷Ͳ
∵第一次到达，
∴݀
= ͵Ͳ．
答：球的水平距离是30 米．
4．如图，二次函数ݕ= ݔʹ +ܾݔ+ܿ
的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，且关于直线ݔ= ͳ 对
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称，点A 的坐标为െͳ,Ͳ ．
(1)求二次函数的表达式．
(2)当ݕ< Ͳ 时，写出x 的取值范围．
【答案】(1)ݕ= ݔʹ െʹݔെ͵
(2)െͳ < ݔ< ͵
【分析】（1）先求出点ܤ坐标，再由待定系数法求解函数解析式；
（2）先求出抛物线与ݔ轴交点的横坐标，再由图象求解即可．
【详解】（1）解：∵点ܣെͳ,Ͳ 与点B 关于直线ݔ= ͳ 对称，
∴点B 的坐标为͵,Ͳ ，
代入ݕ= ݔʹ +ܾݔ+ܿ，得：ͳ െܾ
+ܿ
= Ͳ
ͻ + ͵ܾ+ܿ
= Ͳ ，
解得ܾ
=െʹܿ
=െ͵ ，
∴二次函数的表达式为ݕ= ݔʹ െʹݔെ͵
（2）解：由ݔʹ െʹݔെ͵ = Ͳ，
解得：ݔͳ = ͵，ݔʹ =െͳ
∵ݕ< Ͳ
∴െͳ < ݔ< ͵
5．如图1，一小球从地面R 点处抛出，到达最高处ܲ
点后，再重新落回地面至ܳ
点，球的抛出路线可以用
二次函数ݕ=െ
ͳ
ʹ ݔʹ + Ͷݔ刻画．
(1)求小球到达最高点ܲ
的坐标，以及小球落回地面点ܳ
的坐标；
(2)如图2，若点R 处有一斜坡，可以用一次函数ݕ=
ͳ
ʹ ݔ刻画．小球从R 点处抛出，其抛出路线不变，小球
落到斜坡上的ܣ点，求出点ܣ的坐标．
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【答案】(1)ܲ
Ͷ，ͳ ；ܳ
ͳ，Ͳ
(2) 〷,
〷
ʹ
【分析】本题考查了把ݕ=ܽ
ݔ; +ܾݔ+ܿ
化成顶点式，求抛物线与x 轴的交点坐标，投球问题(实际问题与
二次函数)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）先将解析式转化为顶点式，从而可求得小球到达的最高点ܲ
的坐标，再取ݕ= Ͳ，െ
ͳ
ʹ ݔʹ + Ͷݔ= Ͳ，
解一元二次方程求得ݔ即可得出小球落回地面点ܳ
的坐标；
（2）联立两解析式可得：
ݕ=െ
ͳ
ʹ ݔʹ + Ͷݔ
ݕ=
ͳ
ʹ ݔ
，求出方程组的解即可得点ܣ的坐标．
【详解】（1）解：由题意得，ݕ=െ
ͳ
ʹ ݔʹ + Ͷݔ=െ
ͳ
ʹ ݔെͶ ʹ + ͳ．
故小球到达的最高点ܲ
的坐标为Ͷ，ͳ ；
当ݕ= Ͳ 时，െ
ͳ
ʹ ݔʹ + Ͷݔ= Ͳ，解得ݔͳ = Ͳ（不合题意，舍去），ݔʹ = ͳ，
故小球落回地面点ܳ
的坐标为ͳ，Ͳ ；
（2）解：联立两解析式可得：
ݕ=െ
ͳ
ʹ ݔʹ + Ͷݔ
ݕ=
ͳ
ʹ ݔ
，
解得：ݔ= Ͳ
ݕ= Ͳ ，或
ݔ= 〷
ݕ=
〷
ʹ
，
故可得点ܣ的坐标为〷，
〷
ʹ ．
6．如图，二次函数ݕ= ݔʹ െ݇
െͳ ݔ+ Ͷ 的图象与ݕ轴交于点ܣ，与ݔ轴的正半轴交于点ܤ，且ᇞܣRܤ的
面积为6．
(1)直接写出ܣ、ܤ两点的坐标；
(2)求该二次函数的表达式．
【答案】(1)ܣͲ,Ͷ ，ܤ͵,Ͳ
(2)ݕ= ݔʹ െ
ͳ͵
͵ ݔ+ Ͷ
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求解函数解析式，与面积的综合问题．
（1）先令ݔ= Ͳ 求解ܣͲ,Ͷ ，再由三角形面积公式求解Rܤ= ͵，即可得到点ܤ坐标；
（2）将点ܤ͵,Ͳ 代入ݕ= ݔʹ െ݇
െͳ ݔ+ Ͷ 即可求解．
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【详解】（1）解：对于ݕ= ݔʹ െ݇
െͳ ݔ+ Ͷ，当ݔ= Ͳ 时，ݕ= Ͷ，
∴ܣͲ,Ͷ ，即Rܣ= Ͷ
∵ᇞܣRܤ的面积为6，
∴
ͳ
ʹ RܣൈRܤ= ͸，即
ͳ
ʹ ൈͶ ൈRܤ= ͸，
∴Rܤ= ͵，
∴ܤ͵,Ͳ
（2）解：将点ܤ͵,Ͳ 代入ݕ= ݔʹ െ݇
െͳ ݔ+ Ͷ，
则͵ʹ െ݇
െͳ ൈ͵ + Ͷ = Ͳ，
解得݇
=
ͳ͸
͵ ，
∴该二次函数的表达式为ݕ= ݔʹ െ
ͳ͵
͵ ݔ+ Ͷ．
7．已知二次函数ݕ= ݔʹ െ͸ݔെ݇
ʹ（k 为常数）．
(1)求证：无论k 取何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；
(2)若该函数的图象与x 轴的一个交点的横坐标为െͳ，求出k 的值及另一个交点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)݇
=േ
〷，另一个交点的坐标为〷,Ͳ
【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，根的判别式；
（1）通过计算判别式的值，再根据判别式的符号即可证明；
（2）代入െͳ,Ͳ 到ݕ= ݔʹ െ͸ݔെ݇
ʹ，求出k 的值，进而求出另一个交点的坐标．
【详解】（1）证明：令ݕ= Ͳ，则ݔʹ െ͸ݔെ݇
ʹ = Ͳ，
Δ = െ͸ ʹ െͶ ൈͳ ൈെ݇
ʹ = Ͷ݇
ʹ + ͵͸，
∵݇ʹ ൒Ͳ，
∴Ͷ݇ʹ + ͵͸ ൒͵͸ > Ͳ，
即Δ > Ͳ，
∴无论k 取何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；
（2）解：代入െͳ,Ͳ 得，ͳ + ͸ െ݇
ʹ = Ͳ，
解得݇
=േ
〷，
当݇
=േ
〷时，ݕ= ݔʹ െ͸ݔെ〷，
令ݕ= Ͳ，则ݔʹ െ͸ݔെ〷= Ͳ，
解得ݔͳ = 〷，ݔʹ =െͳ，
∴另一个交点的坐标为〷,Ͳ ．
8．已知抛物线ݕ= ݔʹ +ܾݔ+ܿ（b，c 为常数）过点ͳ, െͶ ．
(1)若该抛物线与y 轴交于点Ͳ, െ͵ ．
①求该抛物线的解析式及顶点坐标；
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②已知ܣെ数+ ͵,ݕͳ ，ܤʹ,ݕʹ 在该抛物线上，当ݕͳ > ݕʹ时，求m 的取值范围；
(2)若该抛物线与x 轴的两个交点的横坐标的和为3，直线ݕ= ݔ+ 㐠在第四象限内有两个交点，请直接写出
n 的取值范围．
【答案】(1)①ݕ= ݔʹ െʹݔെ͵，
ͳ,  െͶ ；②数> ͵ 或数< ͳ
(2)െ͸ < 㐠<െ
͵+ ͳ〷
ʹ
【分析】（1）①根据题意得抛物线ݕ= ݔʹ +ܾݔ+ܿ
过点ͳ, െͶ 和Ͳ, െ͵ ，用待定系数法即可求解抛物线
的解析式，再化为顶点式即可求顶点坐标；②根据抛物线的对称性求出ܤʹ,ݕʹ 关于ݔ= ͳ 的对称点为Ͳ,ݕʹ ，
结合增减性，列不等式求解即可；
（2）由抛物线与x 轴的两个交点的横坐标的和为3，得ܾ
=െ͵，再求出ܿ
=െʹ，画出抛物线图象，找出临
界点求解即可．
【详解】（1）解：①由题意可知抛物线ݕ= ݔʹ +ܾݔ+ܿ
过点ͳ, െͶ 和Ͳ, െ͵ ，
∴െͶ = ͳ +ܾ
+ܿ
െ͵ =ܿ
解得ܿ
=െ͵ܾ
=െʹ ，
∴ݕ= ݔʹ െʹݔെ͵ = ݔെͳ ʹ െͶ；
∴顶点坐标为ͳ, െͶ ；
②由①可知抛物线关于ݔ=െ
െʹ
ʹൈͳ = ͳ 对称，开口向上，
则当ݔ< ͳ 时，y 随x 的增大而减小，当ݔ> ͳ 时，y 随x 的增大而增大，
∴ܤʹ,ݕʹ 关于ݔ= ͳ 的对称点为Ͳ,ݕʹ ，
∵ݕͳ > ݕʹ，
∴െ数+ ͵ < Ͳ 或െ数+ ͵ > ʹ，
解得数> ͵ 或数< ͳ；
（2）解：∵该抛物线与x 轴的两个交点的横坐标的和为3，
∴ݔͳ + ݔʹ =െܾ
= ͵，即ܾ
=െ͵，
将ͳ, െͶ 代入ݕ= ݔʹ +ܾݔ+ܿ
得，െͶ = ͳ +ܾ
+ܿ，
解得ܿ
=െʹ，
∴ݕ= ݔʹ െ͵ݔെʹ，
又∵直线ݕ= ݔ+ 㐠在第四象限内与抛物线有两个交点，
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∴令ݕ= ݔʹ െ͵ݔെʹ = Ͳ，解得ݔͳ =
͵െͳ〷
ʹ
（舍去）或ݔʹ =
͵+ ͳ〷
ʹ
，
∴当ݕ= ݔ+ 㐠经过点
͵+ ͳ〷
ʹ
,Ͳ 时，在第四象限内与抛物线有1 个交点，
即Ͳ =
͵+ ͳ〷
ʹ
+ 㐠解得㐠=െ
͵+ ͳ〷
ʹ
；
令ݔʹ െ͵ݔെʹ = ݔ+ 㐠即ݔʹ െͶݔെʹ െ㐠= Ͳ，
当Δ = െͶ ʹ + Ͷ ൈͳ ൈʹ + 㐠= ʹͶ + Ͷ㐠= Ͳ 时，解得㐠=െ͸；
∴直线ݕ= ݔ+ 㐠在第四象限内与抛物线有两个交点时，െ͸ < 㐠<െ
͵+ ͳ〷
ʹ
．
9．已知函数ݕ= ݔʹ െ数ݔ+ 数െʹ．
(1)求证：不论数为何实数，此二次函数的图象与ݔ轴都有两个不同的交点；
(2)若数= ʹ，求函数与ݔ轴的交点坐标．
【答案】(1)证明：令ݕ= Ͳ，则有ݔʹ െ数ݔ+ 数െʹ = Ͳ，
∴Δ =ܾ
ʹ െͶܽܿ
= െ数ʹ െͶ 数െʹ = 数െʹ ʹ + Ͷ > Ͳ，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴不论数为何实数，二次函数的图象与ݔ轴都有两个不同的交点．
(2) Ͳ,Ͳ ，ʹ,Ͳ
【分析】（1）由题意可令ݕ= Ͳ，则有ݔʹ െ数ݔ+ 数െʹ = Ͳ，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求
解；
（2）把数= ʹ 代入二次函数解析式进行求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：当数= ʹ 时，则有ݕ= ݔʹ െʹݔ，
∴令ݕ= Ͳ，则有ݔʹ െʹݔ= Ͳ，
解得ݔͳ = Ͳ,ݔʹ = ʹ，
∴二次函数与ݔ轴的交点坐标为Ͳ,Ͳ ，ʹ,Ͳ ．
10．如图是某跳水运动员在进行跳水训练时的截面图，运动员身体（看成一点）在空中的运动路线是一条
抛物线，已知跳板ܣܤ长为2 米，跳板距水面ܥܦ的高为3 米，训练时跳水曲线在离起跳点ܣ水平距离1 米
时达到距水面最大高度݄
米，现以ܥܦ为横轴，ܤܥ为纵轴建立直角坐标系．
(1)画出平面直角坐标系，并求当݄
= Ͷ 时，这条抛物线的解析式；
(2)在（1）的条件下，求运动员落水点与点ܥ的距离；
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(3)图中ܥܧ= ͷ 米，ܥܨ= ͸ 米，若跳水运动员在区域ܧܨ内（不含点ܧ，ܨ）入水时才能达到训练要求，直
接写出݄
的取值范围是__________．
【答案】(1)ݕ=െݔെ͵ ʹ + Ͷ
(2)5 米
(3)
ʹ〷
ͳ <݄
< Ͷ
【分析】（1）根据抛物线顶点坐标形͵,Ͷ ，设抛物线解析为：ݕ=ܽ
ݔെ͵ ʹ + Ͷܽ
≠Ͳ ，将点ܣʹ,͵ 代入
ݕ=ܽ
ݔെ͵ ʹ + Ͷܽ
≠Ͳ 求得a 的值即可；
（2）先求得抛物线与x 轴交点为：ͳ,Ͳ ，ͷ,Ͳ ，进而完成解答；
（3）若跳水运动员在区域ܧܨ内（不含点E，F）入水达到训练要求，则在函数ݕ= 数ݔെ͵ ʹ +݄
中，当
ݔ= ͷ 时，ݕ> Ͳ；当ݔ= ͸ 米，时ݕ< Ͳ，据此列关于݄
的不等式组求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：
根据题意可得，抛物线的顶点坐标为形͵,Ͷ ，点ܣʹ,͵ ，
∴设抛物线的解析式为ݕ=ܽ
ݔെ͵ ʹ + Ͷܽ
≠Ͳ ，
把点ܣʹ,͵ 代入得，ܽ
ʹ െ͵ ʹ + Ͷ = ͵，
解得，ܽ
=െͳ，
∴抛物线的解析式为ݕ=െݔെ͵ ʹ + Ͷ．
（2）解：依题意，当ݕ= Ͳ，则െݔെ͵ ʹ + Ͷ = Ͳ．
解得：ݔͳ = ͳ，ݔʹ = ͷ．
故抛物线与x 轴交点为：ͳ,Ͳ ，ͷ,Ͳ ．
∴观察图中，得出运动员落水点与点C 的距离为5 米．
（3）解：∵跳板ܣܤ长为2 米，跳板距水面ܥܦ的高ܤܥ为3 米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1
米时达到距水面最大高度݄
米，是固定不变的，
∴设抛物线的解析式为ݕ= 数ݔെ͵ ʹ +݄，且过点ܣʹ,͵ ，
∴数+݄
= ͵，
则数= ͵ െ݄
，
∵ܥܧ= ͷ 米，ܥܨ= ͸ 米，
∴当ݔ= ͷ 时，ݕ= 数ͷ െ͵ ʹ +݇
> Ͳ，
则Ͷ(͵ െ݄
) +݄
> Ͳ，
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解得：݄
< Ͷ；
当ݔ= ͸ 时，ݕ= 数͸ െ͵ ʹ +݇
< Ͳ，
则ͻ ͵ െ݄
+݄
< Ͳ，
解得݄
>
ʹ〷
ͳ ．
综上所述，݄
的取值范围是
ʹ〷
ͳ <݄
< Ͷ．
11．已知二次函数ݕ=ܽ
ݔെͳ
ݔെ͵ +ܽ
ʹ（ܽ
为常数，ܽ
≠Ͳ），顶点坐标为数,㐠．
(1)当㐠= Ͳ 时，ܽ
= ；
(2)当ܽ
< Ͳ 时，
①求证：二次函数的图像与ݔ轴总有两个公共点；
②若二次函数图像与ݔ轴的交点都在ݕ轴的右侧，则㐠的取值范围为．
【答案】(1)ܽ
= ͳ
(2)①证明：由（1）可得ݕ=ܽ
ݔʹ െͶܽݔ+ ͵ܽ+ܽ
ʹ，
令ݕ= Ͳ，即ܽ
ݔʹ െͶܽݔ+ ͵ܽ+ܽ
ʹ = Ͳ，Δ = െͶܽ
ʹ െͶ ڄܽ
͵ܽ+ܽ
ʹ = Ͷܽ
ʹ ͳ െܽ
，
∵ܽ
< Ͳ，
∴ͳ െܽ
> Ͳ，Ͷܽʹ > Ͳ，
∴Δ = Ͷܽ
ʹ ͳ െܽ
> Ͳ，
∴方程ܽ
ݔʹ െͶܽݔ+ ͵ܽ+ܽ
ʹ = Ͳ 有两个不相等的实数解，
∴二次函数的图像与ݔ轴总有两个公共点．
②Ͳ < 㐠< ͳʹ．
【分析】（1）先将函数解析式化成顶点式可知ܽʹ െܽ
= Ͳ，然后解关于a 的方程即可；
（2）①先把函数解析式化成一般式，令ݕ= Ͳ，得到关于x 的方程，再证明方程根的判别式大于零即可证
明结论；②当ݕ= Ͳ，即ܽ
ݔʹ െͶܽݔ+ ͵ܽ+ܽ
ʹ = Ͳ，由题意可知该方程的都是大于零的实数，解（1）的解
答过程可得ܽ
ݔെʹ ʹ =ܽ
െܽ
ʹ，再根据等式的性质、直接开平方法解关于x 的方程，然后让解的最小值大
于零，据此列不等式求得a 的取值范围；由（1）可知㐠=ܽ
ʹ െܽ
=ܽ
െ
ͳ
ʹ
ʹ
െ
ͳ
Ͷ，再根据二次函数的性质确
定n 的取值范围即可．
【详解】（1）解：ݕ=ܽ
ݔെͳ
ݔെ͵ +ܽ
ʹ
=ܽ
ݔʹ െͶݔ+ ͵ +ܽ
ʹ
=ܽ
ݔʹ െͶܽݔ+ ͵ܽ+ܽ
ʹ
=ܽ
ݔʹ െͶݔ+ ͵ܽ+ܽ
ʹ
=ܽ
ݔെʹ ʹ +ܽ
ʹ െܽ，
∴抛物线的顶点坐标为：ʹ,ܽʹ െܽ
，
∵抛物线顶点坐标为数,㐠，㐠= Ͳ，
∴ܽʹ െܽ
= Ͳ，解得：ܽ
= ͳ 或ܽ
= Ͳ，
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∵ܽ
≠Ͳ，
∴ܽ
= ͳ．
（2）①证明：略；
②解：当ݕ= Ͳ，即ܽ
ݔʹ െͶܽݔ+ ͵ܽ+ܽ
ʹ = Ͳ，由题意可知该方程的根都是大于零的实数，
∴ܽ
ݔെʹ ʹ െܽ
+ܽ
ʹ = Ͳ，即ܽ
ݔെʹ ʹ =ܽ
െܽ
ʹ，
∵ܽ
≠Ͳ，
∴ݔെʹ ʹ = ͳ െܽ
，
∴ݔെʹ =േ
ͳ െܽ
，即ݔ= ʹ േ
ͳ െܽ
，
∴方程的最小解为ݔ= ʹ െ
ͳ െܽ
，
∴ʹ െ
ͳ െܽ
> Ͳ，解得：ܽ
>െ͵，
∴െ͵ <ܽ
< Ͳ；
由（1）可得：㐠=ܽ
ʹ െܽ
=ܽ
െ
ͳ
ʹ
ʹ
െ
ͳ
Ͷ，
∴抛物线开口方向向上，对称轴为ܽ
=
ͳ
ʹ，
∴当ܽ
<
ͳ
ʹ时，n 随a 的增大而减小，
∴当െ͵ <ܽ
< Ͳ，n 随a 的增大而减小，
∵当ܽ
=െ͵ 时，n 有最大值㐠= െ͵ ʹ െെ͵ = ͳʹ；当ܽ
= Ͳ 时，n 有最小值㐠= Ͳʹ െͲ = Ͳ；
∴㐠的取值范围为Ͳ < 㐠< ͳʹ．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ(ܽ
> Ͳ)与正比例函数ݕ=݇
ݔ的图象都经过点ܲ
ʹ, െ
ʹ ，点A 为二次函数图象上点O 与点P 之间的一点，过点A 作x 轴的垂线，交Rܲ
于点M，交x 轴于点N．
(1)若点P 为该二次函数图象的顶点．
①求二次函数的表达式；
②求线段ܣ形长度的最大值．
(2)若该二次函数的图象与x 轴的另一个交点为ܤ数,Ͳ ，且数> ͷ，请直接写出a 的取值范围．
【答案】(1)①ݕ=
ͳ
ʹ ݔʹ െʹݔ；②当ݐ= ͳ 时，线段ܣ形的长度取得最大值
ͳ
ʹ
(2)Ͳ <ܽ
<
ͳ
͵
【分析】（1）①根据二次函数的性质和待定系数法求解即可；
②先求出正比例函数的表达式为ݕ=െݔ，设点M 的坐标为ݐ, െݐ
Ͳ ൑ݐ൑ʹ ，则点A 的坐标为ݐ,
ͳ
ʹ ݐʹ െʹݐ，
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列出关于ܣ形的解析式，利用二次函数的性质求解即可；
（2）根据二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ的图象经过点ܲ
ʹ, െʹ ，求出ܾ
=െͳ െʹܽ，令ݕ= Ͳ，求出ݔͳ = Ͳ，
ݔʹ =െܾܽ．然后根据数=െܾܽ
> ͷ 和ܽ
> Ͳ 求解即可．
【详解】（1）解：①∵点ܲ
ʹ, െʹ 为二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ图象的顶点，
∴可得方程组
Ͷܽ+ ʹܾ
=െʹ,
െܾʹܽ= ʹ,
解得ܽ
=
ͳ
ʹ ,ܾ
=െʹǤ
∴二次函数的表达式为ݕ=
ͳ
ʹ ݔʹ െʹݔ．
②׶正比例函数ݕ=݇
ݔ的图象经过点ܲ
ʹ, െʹ ，
∴ʹ݇
=െʹ，解得݇
=െͳ．
∴正比例函数的表达式为ݕ=െݔ．
设点M 的坐标为ݐ, െݐ
Ͳ ൑ݐ൑ʹ ，则点A 的坐标为ݐ,
ͳ
ʹ ݐʹ െʹݐ，
∴ܣ形=െݐെ
ͳ
ʹ ݐʹ െʹݐ=െ
ͳ
ʹ ݐʹ + ݐ=െ
ͳ
ʹ ݐെͳ ʹ +
ͳ
ʹ．
∴当ݐ= ͳ 时，线段ܣ形的长度取得最大值
ͳ
ʹ；
（2）解：a 的取值范围是Ͳ <ܽ
<
ͳ
͵．
∵二次函数ݕ=ܽ
ݔʹ +ܾݔ的图象经过点ܲ
ʹ, െʹ ，
∴Ͷܽ+ ʹܾ
=െʹ，
化简，得ܾ
=െͳ െʹܽ．
令ݕ= Ͳ，则ܽ
ݔʹ +ܾݔ= Ͳ，
解得ݔͳ = Ͳ，ݔʹ =െܾܽ．
∵二次函数的图象与x 轴的一个交点为ܤ数,Ͳ ，且数> ͷ，
∴数=െܾܽ
> ͷ．
׶ܽ
> Ͳ，
∴െܾ
> ͷܽ，即ܾ
<െͷܽ．
∴െͳ െʹܽ
<െͷܽ，
解得ܽ
<
ͳ
͵．
׶ܽ
> Ͳ，
∴a 的取值范围是Ͳ <ܽ
<
ͳ
͵．
13．2025 赛季中乙联赛南通海门珂缔缘主场首战，将于本周六在海门体育中心举行．俱乐部首次启用“极速
安检＋电子票秒过”智慧通道，让球迷可以“随到随进”，如图记录的是周六下午通道开放后，等待安检的球
迷数ݕ（人）随时间ݔ（分钟）变化的图象（图象ܣܤܥ段为抛物线，ܥܦ段与ݔ轴重合，ݔ= Ͳ 对应ͳͷǣͲͲ）．请
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根据图象回答：
(1)ͳͷǣ͵Ͳ 时，等待安检的球迷有多少人；
(2)当Ͳ ൑ݔ൑͵Ͳ 时，求等待人数y 与x 的函数关系式；
(3)从几点几分开始，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队？
【答案】(1)245 人
(2)ݕ=െ
ͳ
ͷ ݔെ͵Ͳ ʹ + ʹͶͷ
(3)ͳ͸ǣͲͷ
【分析】（1）观察图象，ݔ= Ͳ 对应ͳͷǣͲͲ，ݔ= ͵Ͳ 对应ͳͷǣ͵Ͳ，此时ݕ= ʹͶͷ；
（2）写出抛物线的顶点式解析式，代入ܣͲ,͸ͷ ，求出ܽ
，即可得到y 与x 的函数关系式；
（3）当ݕ= Ͳ 时，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队，求解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】（1）解：观察图象，ݔ= Ͳ 对应ͳͷǣͲͲ，ݔ= ͵Ͳ 对应ͳͷǣ͵Ͳ，此时ݕ= ʹͶͷ，
ͳͷǣ͵Ͳ 时，等待安检的球迷有245 人；
（2）解：观察图象得，ܤ͵Ͳ,ʹͶͷ ，
所以设抛物线的解析式为ݕ=ܽ
ݔെ͵Ͳ ʹ + ʹͶͷ（Ͳ ൑ݔ൑͵Ͳ），
把ܣͲ,͸ͷ 代入抛物线的解析式中，得͸ͷ =ܽ
Ͳ െ͵Ͳ ʹ + ʹͶͷ，
解得ܽ
=െ
ͳ
ͷ，
所以抛物线的解析式为ݕ=െ
ͳ
ͷ ݔെ͵Ͳ ʹ + ʹͶͷ（Ͳ ൑ݔ൑͵Ͳ）；
（3）解：由（2）知，抛物线的解析式为ݕ=െ
ͳ
ͷ ݔെ͵Ͳ ʹ + ʹͶͷ，
令ݕ= Ͳ，则Ͳ =െ
ͳ
ͷ ݔെ͵Ͳ ʹ + ʹͶͷ，
解得ݔͳ = ͸ͷ 或ݔʹ =െͷ（不合题意，舍去），
答：从ͳͷǣͲͲ 开始65 分钟后，即从ͳ͸ǣͲͷ 开始，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队．
14．已知抛物线ݕ= ݔʹ െܾݔ+ܿ(ܾ> Ͳ)与x 轴交点的坐标分别为ݔͳ,Ͳ ，ݔʹ,Ͳ ，且ݔͳ < ݔʹ．
(1)若抛物线ݕͳ = ݔʹ െܾݔ+ܿ
െͳ(ܾ> Ͳ)与x 轴交点的坐标分别为ݔ͵,Ͳ ，ݔͶ,Ͳ ，且ݔ͵ < ݔͶ．试判断下列每
组数据的大小（填写<、=或>）：
①ݔͳ + ݔʹ________ݔ͵ + ݔͶ；②ݔͳ െݔ͵________ݔʹ െݔͶ；③ݔʹ + ݔ͵________ݔͳ + ݔͶ．
(2)若ݔͳ = ͳ，ʹ < ݔʹ < ͵，求b 的取值范围；
(3)当Ͳ ൑ݔ൑ͳ 时，ݕ= ݔʹ െܾݔ+ܿ(ܾ> Ͳ)最大值与最小值的差为
ͻ
ͳ͸，求b 的值．
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【答案】(1)=；>；<
(2)͵ <ܾ
< Ͷ
(3)b 的值为
͵
ʹ或
ͳ
ʹ
【分析】（1）根据根与系数的关系得到ݔͳ + ݔʹ =ܾ
，以及ݔ͵ + ݔͶ =ܾ
，即可判断①，利用二次函数的图像
与性质得到ݔ͵ < ݔͳ < ݔʹ < ݔͶ，利用不等式性质变形，即可判断②③．
（2）根据题意得到͵ < ݔʹ + ݔͳ < Ͷ，结合ݔͳ + ݔʹ =ܾ
进行求解，即可解题；
（3）根据题意得到抛物线ݕ= ݔʹ െܾݔ+ܾܿ
> Ͳ 顶点坐标为ܾʹ ,
Ͷܿെܾʹ
Ͷ
，对称轴为ݔ=ܾʹ > Ͳ；当ݔ= Ͳ 时，
ݕ=ܿ，当ݔ= ͳ 时，ݕ= ͳ െܾ
+ܿ，由ݕ= ݔʹ െܾݔ+ܿ(ܾ> Ͳ)的最大值与最小值的差为
ͻ
ͳ͸，分以下三种情
况：①当在ݔ= Ͳ 取得最大值，在ݔ= ͳ 取得最小值时，②当在ݔ= Ͳ 取得最大值，在顶点取得最小值时，
③当在ݔ= ͳ 取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：׶ ݕ= ݔʹ െܾݔ+ܾܿ
> Ͳ 与x 轴交点的坐标分别为ݔͳ,Ͳ ，ݔʹ,Ͳ ，且ݔͳ < ݔʹ，
∴ݔͳ + ݔʹ =ܾ
，且抛物线开口向上，
׶ ݕͳ = ݔʹ െܾݔ+ܿ
െͳܾ
> Ͳ 是由ݕ= ݔʹ െܾݔ+ܾܿ
> Ͳ 向下平移1 个单位得到，且ݕͳ = ݔʹ െܾݔ+ܿ
െ
ͳܾ
> Ͳ 与x 轴交点的坐标分别为ݔ͵,Ͳ ，ݔͶ,Ͳ ，ݔ͵ < ݔͶ，
∴ݔ͵ < ݔͳ < ݔʹ < ݔͶ，且ݔ͵ + ݔͶ =ܾ
，
∴ݔͳ + ݔʹ = ݔ͵ + ݔͶ，ݔͳ െݔ͵ > Ͳ > ݔʹ െݔͶ，ݔʹ + ݔ͵ < ݔͳ + ݔͶ；
（2）解：׶ ݔͳ = ͳ，ʹ < ݔʹ < ͵，
∴͵ < ݔʹ + ݔͳ < Ͷ，
由（1）可知：ݔͳ + ݔʹ =ܾ
，
∴͵ <ܾ
< Ͷ；
（3）解：抛物线ݕ= ݔʹ െܾݔ+ܾܿ
> Ͳ 顶点坐标为ܾʹ ,
Ͷܿെܾʹ
Ͷ
，
对称轴为ݔ=ܾʹ > Ͳ；
当ݔ= Ͳ 时，ݕ=ܿ，
当ݔ= ͳ 时，ݕ= ͳ െܾ
+ܿ，
①当ܾʹ ൒ͳ，则ܾ
൒ʹ，
那么，在ݔ= Ͳ 取得最大值，在ݔ= ͳ 取得最小值时，
有ܿ
െͳ െܾ
+ܿ
=
ͻ
ͳ͸，解得ܾ
=
ʹͷ
ͳ͸（不符合题意，舍去）；
②当
ͳ
ʹ ൑ܾʹ < ͳ，解得ͳ ൑ܾ
< ʹ，
那么，在ݔ= Ͳ 取得最大值，在顶点取得最小值时，
有ܿ
െ
Ͷܿെܾʹ
Ͷ
=
ͻ
ͳ͸，解得ܾ
=
͵
ʹ或ܾ
=െ
͵
ʹ（不符合题意，舍去），
③当Ͳ <ܾʹ <
ͳ
ʹ，解得Ͳ <ܾ
< ͳ，
那么，在ݔ= ͳ 取得最大值，在顶点取得最小值时，
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有ͳ െܾ
+ܿ
െ
Ͷܿെܾʹ
Ͷ
=
ͻ
ͳ͸，解得ܾ
=
〷
ʹ（不符合题意，舍去）或ܾ
=
ͳ
ʹ；
综上所述，b 的值为
͵
ʹ或
ͳ
ʹ．
15．抛物线ݕ= ݔʹ +ܾݔ+ܿ
经过点ܣെܾ,Ͳ ．
(1)求c 的值；
(2)已知B 是x 轴上方的抛物线上一点，ܤܪ٣ ݔ轴，垂足为H，且סRܤܪ= סܤܣR．
①求证：Rܪ൉ܣܪ为定值；
②若抛物线上有且仅有两个点C，D（异于点B），使得ᇞܣRܤ，ᇞܣRܥ，ᇞܣRܦ的面积相等，求该抛物线
的函数表达式．
【答案】(1)ܿ= Ͳ
(2)①证明：设ܤ(㐠,㐠ʹ +ܾ㐠)，
׶点ܤ在ݔ轴上方，
∴㐠ʹ +ܾ㐠> Ͳ，
׶ ܤ(㐠,㐠ʹ +ܾ㐠), ܣ( െܾ,Ͳ)，
∴Rܪ= 㐠, ܤܪ= 㐠ʹ +ܾ㐠, ܣܪ= 㐠+ܾ
，
∴tanסRܤܪ=
Rܪ
ܤܪ,tanסܤܣܪ=
ܤܪ
ܣܪ，
׶ סRܤܪ= סܤܣܪ，
∴tanסRܤܪ= tanסܤܣܪ，
∴
Rܪ
ܤܪ=
ܤܪ
ܣܪ，
∴Rܪڄ ܣܪ= ܤܪʹ = 㐠ʹ +ܾ㐠ʹ，
∴㐠ڄ 㐠+ܾ
= 㐠ʹ +ܾ㐠ʹ，
∴∴㐠㐠+ܾ
= 㐠㐠+ܾ
ʹ
׶ ܤܪ= 㐠ʹ +ܾ㐠= 㐠㐠+ܾ
> Ͳ
∴㐠㐠+ܾ
= ͳ
∴ܤܪ= ͳ
∴Rܪڄ ܣܪ= ܤܪʹ = ͳ，为定值．
②抛物线的函数表达式为ݕ= ݔʹ + ʹݔ或ݕ= ݔʹ െʹݔ
【分析】（1）把点ܣെܾ,Ͳ 代入抛物线，即可求解；
（2）①设ܤ(㐠,㐠ʹ +ܾ㐠)，则Rܪ= 㐠, ܤܪ= 㐠ʹ +ܾ㐠, ܣܪ= 㐠+ܾ
，根据סRܤܪ= סܤܣܪ，得到tanסRܤܪ=
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tanסܤܣܪ，因此
Rܪ
ܤܪ=
ܤܪ
ܣܪ，从而可推出㐠㐠+ܾ
= 㐠㐠+ܾ
ʹ，得到㐠㐠+ܾ
= ͳ，即可证明Rܪڄ ܣܪ= ܤܪʹ =
ͳ，为定值；
②根据同底三角形面积相等得点B，C，D 到x 轴的距离都相等，都等于ܤܪ= ͳ，结合交点个数要求，利
用一元二次方程判别式求出b 的值，即可得到抛物线解析式．
【详解】（1）解：∵抛物线ݕ= ݔʹ +ܾݔ+ܿ
经过点ܣെܾ,Ͳ ，
∴െܾ
ʹ +ܾ
ڄ െܾ
+ܿ
= Ͳ，
∴ܿ= Ͳ．
（2）①略；
②∵ᇞܣRܤ，ᇞܣRܥ，ᇞܣRܦ的面积相等，且它们有公共边ܣR，ܣR 在x 轴上，
∴点B，C，D 到x 轴的距离都相等，都等于ܤܪ= ͳ，
∴点B，C，D 是直线ݕ= ͳ 或直线ݕ=െͳ 与抛物线的交点，
由方程组
ݕ= ͳ
ݕ= ݔʹ +ܾݔ得ݔʹ +ܾݔെͳ = Ͳ，
∵Δ =ܾ
ʹ െͶ ൈെͳ =ܾ
ʹ + Ͷ > Ͳ，
∴该方程总有2 个不同实根，对应抛物线上2 个点，其中一个为B，因此异于B 有1 个点满足条件．
由方程组
ݕ=െͳ
ݕ= ݔʹ +ܾݔ得ݔʹ +ܾݔ+ ͳ = Ͳ，
∵要求异于B 共有2 个点满足条件，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴Δ =ܾ
ʹ െͶ ൈͳ =ܾ
ʹ െͶ = Ͳ，
解得ܾ
=േʹ．
∴该抛物线的函数表达式为ݕ= ݔʹ + ʹݔ或ݕ= ݔʹ െʹݔ．
16．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点ܣ处的正上方，假设每次发出的乒乓球
的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点ܣ的水平距离为ݔ（米），与桌
面的高度为ݕ（米），运行时间为ݐ（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
ݐ（秒）
0
0.16
0.2
0.4
0.6
0.64
0.8
…
ݔ（米）
0
0.4
0.5
1
1.5
1.6
2
…
ݕ（米）
0.25
0.378
0.4
0.45
0.4
0.378
0.25
…
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(1)探究ݔ与ݐ，ݕ与ݔ之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．求出ݔ关于ݐ的函数解析式和ݕ关
于ݔ的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)求发出的乒乓球经过多少秒落在桌面上？
(3)球网高度为0.14 米，球桌长（ͳǤͶ ൈʹ）米，若乒乓球弹起后，其运动路线仍是抛物线且与原抛物线形状
相同，若球弹起后在最高点击球，球沿直线擦网而过扣杀到原点，直接写出乒乓球落在桌面上弹起后的抛
物线顶点的横坐标．
【答案】(1)ݔ= ʹǤͷݐ，ݕ=െͲǤʹ(ݔെͳ)ʹ + ͲǤͶͷ
(2)ͳ 秒
(3)
ͳͳെʹͳ
Ͷ
【分析】（1）观察表格数据，ݔ与ݐ的比值恒为2.5，故ݔ关于ݐ为一次函数．ݕ与ݔ的数据关于ݔ= ͳ 对
称，顶点为(ͳ,ͲǤͶͷ)，故ݕ关于ݔ为二次函数，用顶点式求解．
（2）令ݕ= Ͳ 求出乒乓球落在桌面上时与端点ܣ的水平距离ݔ，再由ݔ= ʹǤͷݐ求出时间ݐ．
（3）形状相同"即二次项系数ܽ
=െͲǤʹ 不变．设弹起后抛物线顶点为(݄,݇)，击球路线为过原点ܣ(Ͳ,Ͳ)和球
网上端中点(ͳǤͶ,ͲǤͳͶ)的直线，由此得݇
与݄
的关系．再利用抛物线过落地点(ʹǤͷ,Ͳ)列方程求݄
．
【详解】（1）解：由表格数据可知，
ݔ
ݐ=
ͲǤͶ
ͲǤͳ͸ =
ͲǤͷ
ͲǤʹ =
ͳ
ͲǤͶ =
ͳǤͷ
ͲǤ͸ =
ʹ
ͲǤͳ = ʹǤͷ，
∴ݔ关于ݐ的函数解析式为ݔ= ʹǤͷݐ．
由表格数据可知，ݕ关于ݔ的函数图象关于直线ݔ= ͳ 对称，顶点为(ͳ,ͲǤͶͷ)，
∴可设ݕ=ܽ
(ݔെͳ)ʹ + ͲǤͶͷ，
将(Ͳ,ͲǤʹͷ)代入ݕ=ܽ
(ݔെͳ)ʹ + ͲǤͶͷ，
得ͲǤʹͷ =ܽ
(Ͳ െͳ)ʹ + ͲǤͶͷ，
解得：ܽ
=െͲǤʹ，
∴ݕ关于ݔ的函数解析式为ݕ=െͲǤʹ(ݔെͳ)ʹ + ͲǤͶͷ．
（2）解：当ݕ= Ͳ 时，െͲǤʹ(ݔെͳ)ʹ + ͲǤͶͷ = Ͳ，
(ݔെͳ)ʹ = ʹǤʹͷ，
ݔെͳ =േͳǤͷ，
解得ݔͳ = ʹǤͷ，ݔʹ =െͲǤͷ（舍去），
∴乒乓球落在桌面上时，与端点ܣ的水平距离为2.5 米．
׶ ݔ= ʹǤͷݐ，
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∴ʹǤͷ = ʹǤͷݐ，
∴ݐ= ͳ，
∴发出的乒乓球经过ͳ 秒落在桌面上．
（3）解：׶弹起后抛物线与原抛物线形状相同，
∴二次项系数为െͲǤʹ．
设弹起后抛物线的顶点坐标为(݄,݇)，
则ݕ=െͲǤʹ(ݔെ݄
)ʹ +݇．
׶球在最高点（即顶点处）击球，沿直线擦网而过扣杀到原点ܣ，
∴扣杀路线为过点(Ͳ,Ͳ)和(ͳǤͶ,ͲǤͳͶ)的直线．
设直线解析式为ݕ= 数ݔ，
将(ͳǤͶ,ͲǤͳͶ)代入，得ͲǤͳͶ = ͳǤͶ数，
解得数= ͲǤͳ，
∴扣杀路线为ݕ= ͲǤͳݔ．
׶顶点(݄,݇)在直线ݕ= ͲǤͳݔ上，
∴݇
= ͲǤͳ݄．
由（2）知乒乓球落在桌面上时的坐标为(ʹǤͷ,Ͳ)，
将(ʹǤͷ,Ͳ)代入ݕ=െͲǤʹ(ݔെ݄
)ʹ +݇，
得Ͳ =െͲǤʹ(ʹǤͷ െ݄
)ʹ + ͲǤͳ݄，
解得：݄
=
ʹʹേͶͳͶെͶͲͲ
ͳ
=
ʹʹേʹ ʹͳ
ͳ
=
ͳͳേʹͳ
Ͷ
，
׶球从ݔ= ʹǤͷ 处弹起后向原点方向运动，顶点横坐标݄
应满足Ͳ <݄
< ʹǤͷ，݄
ͳ =
ͳͳ+ ʹͳ
Ͷ
ൎ͵ǤͻͲ > ʹǤͷ（舍去），݄
ʹ =
ͳͳെʹͳ
Ͷ
ൎͳǤ͸Ͳ，符合题意，
∴乒乓球落在桌面上弹起后的抛物线顶点的横坐标为
ͳͳെʹͳ
Ͷ
．
17．某校数学小组开展以“10 米跳台跳水路线”为主题的综合实践活动．
研究背景：跳水路线所在的平面与水面垂直，且不考虑空气阻力．
建立方法：以水面所在直线为x 轴，跳台最前端点A 垂直水面的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标
系．
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收集信息：①某次训练中运动员的重心相对于水面的高度ݕm 与水平距离ݔm 的对应值如下表：
水平距离
ݔm
0
1
1.1
1.2
1.5
…
高度ݕm
10
10
9.78
9.52
8.5
…
②数学小组借助计算机画图软件，发现此次跳水路线是抛物线ݕ=െʹݔʹ +ܾݔ+ܿ
的一部分．
③运动员起跳后达到最高点时的重心相对水面的高度为݇
m 且݇
൑ͳͳǤͷ．从达到最高点开始计时，他的重
心相对水面的高度݄
m 与时间ݐs 之间满足݄
=െͷݐʹ +݇．
建立模型
(1)求y 与x 的函数解析式（不要求写自变量取值范围）；
应用模型
(2)从达到最高点开始计时，求他的重心相对水面的高度为ͷǤͷm 所用的时间；
(3)运动员进行第二次跳水训练，此次他的重心相对于水面的高度ݕm 与水平距离ݔm 的关系为ݕ= 㐠ݔʹ െ
㐠ݔ+ ͳͲ(㐠< Ͳ)．若他从达到最高点开始，至他的重心入水前需要ͳǤͷs 完成某个动作，求n 的取值范围．
【答案】(1)ݕ=െʹݔʹ + ʹݔ+ ͳͲ
(2)ͳs
(3)െ͸ ൑㐠<െͷ
【分析】（1）根据表格中的数据及抛物线ݕ=െʹݔʹ +ܾݔ+ܿ，将(ͳ,ͳͲ)，(Ͳ,ͳͲ)代入抛物线的解析式即可；
（2）首先，将ݕ=െʹݔʹ + ʹݔ+ ͳͲ 转化为顶点式，得到当ݔ= ͲǤͷ 时，݇= ͳͲǤͷ，进而得到݄
=െͷݐʹ + ͳͲǤͷ，
再由݄
= ͷǤͷ，得到െͷ ൈݐʹ + ͳͲǤͷ = ͷǤͷ，解得ݐͳ = ͳ，ݐʹ =െͳ，(舍去)，即可得出答案；
（3）根据题意得到ݕ= 㐠ݔʹ െ㐠ݔ+ ͳͲ = 㐠(ݔെͲǤͷ)ʹ + ͳͲ െͲǤʹͷ㐠，可知当ݔ= ͲǤͷ 时，݇
= ͳͲ െͲǤʹͷ㐠，
进而得݄
=െͷݐʹ + ͳͲ െͲǤʹͷ㐠，再由当݇
൑ͳͳǤͷ 时，ͳͲ െͲǤʹͷ㐠൑ͳͳǤͷ，得到㐠൒െ͸，当ݐ= ͳǤͷ 时，݄=െͷ ൈ
ͳǤͷʹ + ͳͲ െͲǤʹͷ㐠> Ͳ，得㐠<െͷ，综上，即可得出结论．
【详解】（1）解：将(ͳ,ͳͲ)，(Ͳ,ͳͲ)代入ݕ=െʹݔʹ +ܾݔ+ܿ，得െʹ ൈͳʹ +ܾ
+ܿ
= ͳͲܿ
= ͳͲ
，解得ܾ
= ʹܿ
= ͳͲ ．
∴ݕ与ݔ的函数解析式是ݕ=െʹݔʹ + ʹݔ+ ͳͲ；
（2）解：׶ ݕ=െʹݔʹ + ʹݔ+ ͳͲ =െʹ(ݔെͲǤͷ)ʹ + ͳͲǤͷ，
׶െʹ < Ͳ，
∴抛物线开口向下，
∴当ݔ= ͲǤͷ 时，݇
= ͳͲǤͷ．
∴݄
=െͷݐʹ + ͳͲǤͷ．
∴当݄
= ͷǤͷ 时，െͷ ൈݐʹ + ͳͲǤͷ = ͷǤͷ，解得ݐͳ = ͳ，ݐʹ =െͳ，(舍去)
∴他的重心相对水面的高度为ͷǤͷm 所用的时间是ͳs；
（3）解：׶ ݕ= 㐠ݔʹ െ㐠ݔ+ ͳͲ = 㐠(ݔെͲǤͷ)ʹ + ͳͲ െͲǤʹͷ㐠，
׶ 㐠< Ͳ，
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∴当ݔ= ͲǤͷ 时，݇
= ͳͲ െͲǤʹͷ㐠．
∴݄
=െͷݐʹ + ͳͲ െͲǤʹͷ㐠．
∴当݇
൑ͳͳǤͷ 时，ͳͲ െͲǤʹͷ㐠൑ͳͳǤͷ，
∴㐠൒െ͸，
当ݐ= ͳǤͷ 时，݄
=െͷ ൈͳǤͷʹ + ͳͲ െͲǤʹͷ㐠> Ͳ，
∴㐠<െͷ．
∴n 的取值范围为െ͸ ൑㐠<െͷ．