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专题16 三角函数的图象与性质
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题16 三角函数的图象与性质
命题解读
命题预测
复习建议
函数的图象与性质是
高考的一个重点考点，同样
三角函数的图象和性质也是
高考常考的知识点，三角函
数的单调性、周期、最值是
高考的高频考点，题型有选
择、填空、解答，难度比较
适中，常常与三角恒等变换
的方法与技巧相联系，注重
考察函数方程、转化等思
想。
预计2024 年的高考对于
三角函数图象与性质的考察
还是一个重点，主要是以选
择或者填空为主，难度不是
很大，但要注意三角恒等变
换与这部分的结合，因此需
要掌握各种公式和图象。
集合复习策略：
1.能画出正弦函数、余弦函
数、正切函数的图象；
2.掌握三角函数的图象和性
质，能通过图象看性质；
3.掌握三角函数的性质在解
题中的应用。
→➊考点精析←
一、正弦函数
,余弦函数
,正切函数
的图象与性质
函
数
图
象
定
义
域
值
域
最
值
当
时，
；
当
时，
．
当
时，
；
当
时，
．
既无最大值，也无最小值
周
期
性
最小正周期为
最小正周期为
最小正周期为
奇
偶
,奇函数
，偶函
，奇函
2
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性
数
数
单
调
性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在
上是增函数．
对
称
性
对称中心
；
对称轴
，
既是中心对称图形又是轴对
称图形.
对称中心
；
对称轴
，
既是中心对称图形又是
轴对称图形.
对称中心
；
无对称轴，
是中心对称图形但不是轴
对称图形.
二、函数
的图象与性质
1．函数
的图象的画法
（1）变换作图法
由函数
的图象通过变换得到
（A>0,ω>0）的图象，有两种主要
途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.
3
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（2）五点作图法
找五个关键点，分别为使y 取得最小值、最大值的点和曲线与x 轴的交点.其步骤为：
①先确定最小正周期T=
,在一个周期内作出图象；
②令
,令X 分别取0，
,
,
,求出对应的x 值，列表如下：
由此可得五个关键点；
③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到
的简图.
2．函数
（A>0,ω>0）的性质
（1 ）奇偶性：
时，函数
为奇函数；
时，函数
为偶函数.
（2）周期性：
存在周期性，其最小正周期为T=
.
（3 ）单调性：根据
y=sint
和
t=
的单调性来研究，由
得
单
调
增
区
间
；
由
4
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得单调减区间.
（4）对称性：利用y=sin x 的对称中心为
求解，令
，
求得x.
利用y=sin x 的对称轴为
求解，令
，得其对称
轴.
3．函数
（A>0,ω>0）的物理意义
当函数
（A>0,ω>0,
）表示一个简谐振动量时，则A 叫做振幅，
T=
叫做周期，f =
叫做频率,
叫做相位，x=0 时的相位
叫做初相.
三、三角函数的综合应用
（1 ）函数
，
的定义域均为
；函数
的定义域均为
.
（2）函数
，
的最大值为
，最小值为
；函
数
的值域为
.
（3）函数
，
的最小正周期为
；函数
的最小正周期为
．
5
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（4 ）对于
，当且仅当
时为奇函数，当且仅当
时为偶函数；对于
，当且仅当
时为奇函数，当且仅当
时为偶函数；对于
，当且仅当
时为奇函数．
（5）函数
的单调递增区间由不等式
来确定，单调递减区间由不等式
来确定；函数
的
单调递增区间由不等式
来确定，单调递减区间由不等式
来确定；函数
的单调
递增区间由不等式
来确定．
【注】函数
，
，
（
有可能为负
数）的单调区间：先利用诱导公式把
化为正数后再求解．
（6）函数
图象的对称轴为
，对称中心为
6
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；函数
图象的对称轴为
，对称
中心为
；函数
图象的对称中心为
.
【注】函数
，
的图象与
轴的交点都为对称中心，
过最高点或最低点且垂直于
轴的直线都为对称轴. 函数
的图象与
轴
的交点和渐近线与
轴的交点都为对称中心，无对称轴.
→➋真题精讲←
1.（2023 全国甲卷10） 函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长度得到，则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先利用三角函数平移的性质求得
，再作出
与
的
部分大致图像，考虑特殊点处
与
的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为
向左平移
个单位所得函数为
7
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，所以
，
而
显然过
与
两点，
作出
与
的部分大致图像如下，
考虑
，即
处
与
的大小关系，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
所以由图可知，
与
的交点个数为
.
故选：C.
2.（2023 全国Ⅱ16）已知函数
，如图A，B 是直线
与曲线
8
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的两个交点，若
，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】设
，依题可得，
，结合
的解可得，
，从而得到
的值，再根据
以及
，即可得
，进而求得
．
【详解】设
，由
可得
，
由
可知，
或
，
，由图可知，
，即
，
．
因为
，所以
，即
，
．
所以
，
9
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所以
或
，
又因为
，所以
，
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查根据图象求出
以及函数
的表达式，从而解出，熟练掌握三
角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
3.（2023 全国乙卷）已知函数
在区间
单调递增，直线
和
为函数
的图像的两条相邻对称轴，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入
即可得到答
案.
【详解】因为
在区间
单调递增，
所以
，且
，则
，
，
当
时，
取得最小值，则
，
，
10
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则
，
，不妨取
，则
，
则
，
故选：D.
4.（2023 北京卷17） 设函数
．
（1）若
，求
的值．
（2）已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件
③这三个条件中选择一个作为已知，使函数
存在，求
的值．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
在区间
上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
.
（2）条件①不能使函数
存在；条件②或条件③可解得
，
.
【解析】
【分析】（1）把
代入
的解析式求出
，再由
即可求出
的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把
的解析式化简，根据
在
11
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上的单调性及函数的最值可求出
，从而求出
的值；把
的值代入
的解
析式，由
和
即可求出
的值；若选条件③：由
的单调性可知
在
处取得最小值
，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【小问1 详解】
因为
所以
，
因为
，所以
.
【小问2 详解】
因为
，
所以
，所以
的最大值为，最小值为
.
若选条件①：因为
的最大值为，最小值为
，所以
无
解，故条件①不能使函数
存在；
若选条件②：因为
在
上单调递增，且
，
所以
,所以
,
,
所以
，
12
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又因为
，所以
，
所以
，
所以
，因为
，所以
.
所以
，
；
若选条件③：因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得最小值
，即
.
以下与条件②相同．
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象．若
是函数
的一个极值点，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式和两角差的公式得到
，利用平移变换得到
，再根据
是函数
的一个极值点，即当
时，函数
13
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取得最值求解.
【详解】由
，化简得
，
所以
．
又
是函数
的一个极值点，
所以当
时，函数
取得最值，
所以
，
解得
．
因为
，
所以
．
故选：A．
2.（2023·广东·校联考模拟预测）若函数
是区间
上的减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
函数
是区间
上的减函数，则
①当
时，则
，则由
得
14
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，故
，则
无解.
②当
时，则
，则由
得
，故
，
则有
.
综上①②知：
.
故选：B
3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数
在
上存在零点，且在
上单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由三角函数的图象与性质可得
及
，
继而可得
，计算可得结果.
15
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【详解】化简
，
在
时，
，该区间上有零点，故
，
又
时
单调，则
，即
，
故
故选：C
4．（2023·江苏常州·校考二模）已知函数
(
，
)，若函数
的最小正周期
且在
处取得最大值2，则
的最小值为（ ）
A．5
B．7
C．11
D．13
【答案】D
【分析】由函数式的最大值2 结合函数的特点求出a 值，再把函数式化成
，
由取最大值的条件结合周期范围得解.
【详解】
，所以
的最大值为
，即
，又
，所以
，所以
.
又
在
处取得最大值2，所以
，
即
，即
，又函数
的最小正周期
，
所以
，又
，所以
，所以
的最小值为13.
故选：D
16
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【点睛】涉及解决
类型函数的问题，运用辅助角公共化成
是
关键.
5．（2023·广东湛江·统考一模）已知
，函数
，下列选项正确的有
（ ）
A．若
的最小正周期
，则
B．当
时，函数
的图象向右平移
个单位长度后得到
的图象
C．若
在区间
上单调递增，则
的取值范围是
D．若
在区间
上只有一个零点，则
的取值范围是
【答案】ACD
【解析】由余弦函数图象与性质，可得
，得
，所以A 正确；
当
时，可得
，
将函数
的图象向右平移
个单位长度后得
，所以B 错误；
若
在区间
上单调递增，则
，
解得
，
又因为
，所以只有当
时，此不等式有解，即
，所以C 正确；
17
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若
在区间
上只有一个零点，则
，解得
，所以D 正确．
故选：ACD．
6．（2023·江苏·二模）已知函数
的最小正周期为
，若将
其图象向右平移
个单位长度后关于
轴对称，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先根据函数图象的平移得到平移后函数图象对应的解析式，再根据其图象关于
轴对称及
得到的值，进而可得函数
可能的解析式．
【详解】解：由题意知
．
将
的图象向右平移
个单位长度后得到
的图象，
因为其图像关于
轴对称，
所以
．
又
，
所以
．
即
，
由诱导公式知
，
18
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故选：B．
【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移、三角函数图象的对称性等，考查数学运算、
直观想象、逻辑推理等核心素养．
7．（2023·广东广州·统考一模）已知函数
的图像关于直线
对称，则（ ）
A．函数
的图像关于点
对称
B．函数
在
有且仅有2 个极值点
C．若
，则
的最小值为
D．若
，则
【答案】ABD
【解析】依题意，
，即
，而
，则
，
，
对于A，因为
，于是函数
的图像关于点
对称，A 正
确；
对于B，当
时，
，而正弦函数
在
上有且只有两个极
值点，
所以函数
在
有且仅有2 个极值点，B 正确；
对于C，因为
，又
，因此
中一个为函数
的最大值点，
19
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另一个为其最小值点，又函数
的周期为
，所以
的最小值为
，C 错误；
对于D，依题意，
，
则
，因此
，D 正确.
故选：ABD
8．（2023·江苏常州·校考二模）已知定义域为
的函数
，
的最小正周期均为
，
且
，
，则（ ）
A．
B．
C．函数
是偶函数
D．函数
的最大值是
【答案】BC
【分析】根据函数的周期性以及已知条件，求得
的解析式；再结合特殊角的三
角函数值，诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和最值，即可判断和选择.
【详解】因为
，
的最小正周期均为
，
，
则
，即
，又
，
故可得：
，
，
则
；
综上所述，
；
对A：
，故A 错误；
20
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对B：
，
，
显然
，故B 正确；
对C：
，又
为偶函数，
故函数
是偶函数，C 正确；
对D：
，
又
的最大值为
，故D 错误.
故选：BC.
9．（2023·广东江门·统考一模）已知函数
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
的值域为
B．
的图像关于点
中心对称
C．
的最小正周期为
D．
的增区间为
（
）
【答案】AD
【解析】因为
，所以
，A 正确；
，但
，因此
的图象不可能关于点
成中心对称，
21
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B 错；
的最小正周期是
，所以
的最小正周期是
，C 错；
由
得
，
，
，
时，
，易得
时，
递增，
时，
递减，
又
的最小正周期是
，
所以
的增区间是
（
），D 正确；
故选：AD．
10．（2023·广东深圳·统考一模）已知函数
的图象是由函数
的图象向右
平移
个单位得到，则（ ）
A．
的最小正周期为π
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象关于直线
对称
D．
的图象关于点
对称
【答案】AD
【解析】因为
，向右平移
个单位得
，则最小正周期为
，故A 选项正确；
22
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令
，解得
，所以单调递增区间为
，故B 选项错误；
令
解得
，故C 选项错误；
令
解得
所以函数
的对称中心为
，故D 选
项正确.
故选：AD
11．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知函数
，
将
的图像向右平移
个单位长度后的函数
的图像，若
为偶函数，则函数
在
上的值域为___________.
【答案】
【分析】根据三角函数的变换规则得到
的解析式，再根据
为偶函数求出的值，
即可求出
的解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】解：因为
，
将
的图像向右平移
个单位长度得到
，
又
为偶函数，所以
，
，解得
，
，
因为
，所以
，
23
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所以
，因为
，则
，所以
，
则
.
故答案为：
12．（2023·江苏南京·统考二模）已知
，
．
(1)若函数
图象的两条相邻对称轴之间的距离为
，求
的值；
(2)若函数
的图象关于
对称，且函数
在
上单调，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，依题意
，即可求出
，从而得到函数
解析式，再代入计算可得；
（2）由对称性得到
，
，再由函数在区间上的单调性求出
的范围，即可得
解.
【详解】（1）因为
，
因为函数
图象的两条相邻对称轴之间的距离为
，
所以
，则
，所以
，解得
，
24
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所以
，所以
.
（2）由
，函数
的图象关于
对称，
所以
，
，所以
，
，
由
，
，则
，
又函数
在
上单调，所以
，解得
，
所以当
时
.
13．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知函数
.
(1)求
的最小正周期及对称轴方程；
(2)
时，
的最大值为，最小值为，求
，
的值.
【解析】（1）
25
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∴
，则
的最小正周期为
，
∵
的对称轴为直线
，
，
∴由
，
，解得
，
，
∴
的对称轴方程为
，
.
（2）
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，
当
时，
的最大值为
，最小值为
，
∴由
，解得
，
当
时，
的最大值为
，最小值为
，
∴由
，解得
，
综上所述，
，
或
，
.
→➍专题训练←
26
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1. 将函数f ( x)=2sin(2 x + π
3 )图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，
再将所得图象向左平移π
12个单位得到函数g( x)的图象，则在g( x)图象的所有对称轴中，
离原点最近的对称轴为
A．x =−π
24
B．x = π
4
C．x = 5 π
24
D．x = π
12
【答案】A
【解析】将函数f (x)=2sin(2 x + π
3)的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐
标不变，得到y =2sin(4 x + π
3)的图象，
再将所得图象向左平移π
12个单位得到函数g(x)的图象，
即g(x)=2sin[4(x + π
12)+ π
3]=2sin(4 x + 2π
3 )，
由4 x + 2π
3 = π
2 +k π ,k ∈Z，得x = 1
4 k π −π
24 ,k ∈Z，
则当k =0时，离原点最近的对称轴方程为x =−π
24 ，故选A．
【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变
量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同
名函数；
（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的
自变量
而言的，如果
的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和
方向．
2.（2023·湖北·校联考三模）已知函数
在
上
27
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单调递增，在
上单调递减，若函数
在
上单调，则a 的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
由已知条件
时
取得最大值，有
，即
．
又由已知得
，于是
，
由于
，故在
．所以函数
，
因为
，所以
，
因为
在
上单调，所以
，
解得，
故
．
故选：D．
3．（2023·安徽·校联考三模）已知函数
，则下列结论正确
的有（ ）
A．
的最小正周期为
B．直线
是
图像的一条对称轴
C．
在
上单调递增
D．若
在区间
上的最大值为1，
则
【答案】D
【详解】
，
所以
的最小正周期为
，A 错误；
因为
，
，所以直线
不是
图像的一条
对称轴，B 错误；
28
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当
时，
，而函数
在
上不单调，C 错误；
当
时，
，因为
在区间
上的最大值为1，即
，所以
，解得
，D 正确．
故选：D．
4．（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知函数
，且
在
上单调.则下
列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
在区间
上有2 个零点
D．若
，且
，则
【答案】BC
【详解】由函数
，
因为
，可得
，
可得
，
则
，
又因为
上单调，所以
，即
，
因为
，可得
，
取
，可得
，则
，可得
，
又因为
，可得
，可得
，
检验：当
，
，故
单调递减，满足题意，
所以A 不正确，B 正确；
29
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由
，可得
，
令
，即
，解得
或
，
所以函数
在
上有两个零点，所以C 正确；
由
且
，
，令
，则
，
因为
，且
，可得
，
根据函数的对称性，可得
，即
，
即
，可得
，
所以
，所以D 不正确.
故选：BC.
5．（多选）（2023·山西运城·统考三模）已知函数
，满足
，
，且在
上单调，则
的取值可能为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】AB
【详解】由
，知函数
的图象关于直线
对称，
又
，即
是函数
的零点，
则
，
，
即
，
.
30
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由
在
上单调，
则
，即
，
所以
.
当
时，由
，
，得
，
，
又
，所以
，此时当
时，
，
所以
在
上单调递增，故
符合题意；
当
时，由
，
，得
，
，
又
，所以
，此时当
时，
，
所以
在
上单调递增，故
符合题意；
当
时，由
，
，得
，
，
又
，所以
，此时当
时，
，
所以
在
上不单调，故
不符合题意.
综上所述，
或3.
故选：AB.
10．（多选）（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在
上单调递增
C．
的图象关于直线
对称
D．若
，则
的最小值为
【答案】BC
【详解】对于A，由函数
，则
，故A 错误；
对于B，由
，则
，
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因为函数
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
故B 正确；
对于C，由
，则
，因为函数
的对称轴为直线
，故C
正确；
对于D，由
，则
，令
，解得
，
因为函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，故D 错误.
故选：BC.
6．（多选）（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知函数
在
上恰有三个零点，则（ ）
A．
的最大值为
B．
在
上只有一个极小值点
C．
在
上恰有两个极大值点
D．
在
上单调递增
【答案】BD
【详解】A 项，当
时，
，
由函数
恰有三个零点，
可得
，解得
，所以
无最大值，因此A 错误；
B 选项：由A 选项知，
，则当
，即
时，函数
取得
极小值，
即
在
上只有一个极小值点，因此B 正确；
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C 选项：当
，即
时，此时
，函数
取得极大值，
当
，即
时，函数
取得极大值，
但是
不一定在
内，因此C 错误；
D 选项：当
时，
，
因为
，所以
，
即
，而
在
上单调递增，
因此
在
上单调递增，因此D 正确，
故选：BD．
7.已知函数f ( x)= A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|< π
2 , x∈R)的部分图象如图.
（1）求函数f ( x)的解析式.
（2）求函数f ( x)在区间[0, 5 π
12]上的最值，并求出相应的x值.
【解析】（1）由图象可知|A|=2，又A >0，故A =2.
周期
，
又T = 2π
ω = π，∴ω=2.
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∴f (x)=2sin (2 x +φ),f(
π
3)=2sin(
2π
3 +φ)=2,
∵|φ|< π
2 ,∴φ =−π
6 .
则函数f ( x)的解析式为f ( x)=2sin(2 x−π
6 ).
（2）∵
，
∴sin(2 x−π
6 )∈[−1
2 ,1],2sin(2 x−π
6 )∈[−1,2].
当2 x−π
6 = π
2 时，x = π
3 ，f ( x)max = f ( π
3 )=2；
当2 x−π
6 =−π
6 时，x =0，f ( x)min= f (0)=−1.
所以f ( x)max= f ( π
3 )=2，f ( x)min= f (0)=−1.
8.已知函数
.
（1）求
的最小正周期；
（2）若
在区间
上的最大值与最小值的和为2，求
的值.
【解析】
（1）
，
则
.
（2）因为
，所以
.
34
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当
，即
时，
单调递增；
当
，即
时，
单调递减，
所以
.
又因为
，所以
，
故
，因此
.
9. 已知函数
.
（1）求函数
图象的对称轴方程；
（2）将函数
的图象向右平移
个单位，所得图象对应的函数为
.当
时，求函数
的值域.
【解析】
（1）
.
令
，解得
.
故函数
图象的对称轴方程为
.
（2）易知
.
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∵
，∴
，
∴
，
∴
，
即当
时，函数
的值域为
.
10. 已知向量
，函数
（
）的最小正周期是
.
（1）求
的值及函数
的单调递减区间；
（2）当
时,求函数
的值域.
【解析】
（1）
，又
的最小正周期为
，∴
.
∴
.
令
，得
，
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∴函数
的单调递减区间为
.
（2）∵
，∴
，∴
,
故
的值域为
.
11.已知函数f (x)=2√3sin
2(
π
4 + x)+2sin(
π
4 + x)cos(
π
4 + x).
（1）求函数f (x)的单调递增区间；
（2）在Δ ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且角A满足f ( A)=√3+1，
若a=3，BC边上的中线长为3，求Δ ABC的面积S.
【
解
析
】
（
1
）
f (x)=2√3sin
2(
π
4 + x)+2sin(
π
4 + x)cos(
π
4 + x)=√3[1−cos(
π
2 +2 x)]+sin(
π
2 +2 x)
=√3sin 2 x +cos2 x +√3=2sin(2 x + π
6)+√3.
令−π
2 +2k π ≤2 x + π
6 ≤π
2 +2k π，k ∈Z，得−π
3 +k π ≤x ≤π
6 +k π，k ∈Z，
所以函数f (x)的单调递增区间为[−π
3 +k π , π
6 +k π]，k ∈Z.
（2）f ( A)=2sin(2 A + π
6)+√3=√3+1，sin(2 A + π
6)= 1
2，
因为A ∈(0,π )，所以2 A ∈(0,2π )，2 A + π
6 ∈(
π
6 , 13 π
6 )，
所以2 A + π
6 = 5 π
6 ，则A = π
3 ，
又BC上的中线长为3，所以|⃗AC +⃗AB|=6，
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所以|⃗AC|
2+|⃗AB|
2+2⃗AC ⋅⃗AB =36，即b
2+c
2+2bc cos A =36，
所以b
2+c
2+bc =36，①
由余弦定理得a
2=b
2+c
2−2bc cos A，所以b
2+c
2−bc =9，②
由①②得：bc = 27
2 ，
所以S Δ ABC = 1
2 bc sin A = 27√3
8
.
38
