三角函数：三角函数的图像与性质专项训练
1．（2025·广东广州·模拟预测·多选）已知函数
π
sin 2π
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，则（ ）
A．
f x 的最小正周期为2
B．
f x 图象的一条对称轴方程为
1
6
x =
C．
f x 在区间
4
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上先单调递增后单调递减
D．
f x 在区间
5π
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø 上恰有8 个零点
【答案】BCD
【详解】对A：函数
f x 的最小正周期为：
2π
1
2π
T =
= ，故A 错误；
对B：由
π
π
2π
π
6
2
x
k
+
=
+
，
Z
k Î
Þ
1
2
6
k
x =
+
，
Z
k Î
是函数
f x 的对称轴，当
0
k =
时，
1
6
x =
，故B 正确；
对C：
π
π
π
2 π
2π
2 π
2
6
2
k
x
k
-
£
+
£
+
，
Z
k Î
得函数
f x 的单调递增区间为：
1
1
,
3
6
k
k
é
ù
-
+
ê
ú
ë
û ，
Z
k Î
，
所以函数
f x 在
7
1, 6
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，在7 4
,
6 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，故C 正确；
对D：由
π
2π
π
6
x
k
+
=
，
Z
k Î
Þ
1
2
12
k
x =
-
，所以函数
f x 在
5π
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø 上的零点有：1
1
5
2
12
12
-
=
，2
1
11
2
12
12
-
=
，
3
1
17
2
12
12
-
=
，…，8
1
47
5π
2
12
12
4
-
=
<
，9
1
53
5π
2
12
12
4
-
=
>
，所以函数
f x 在
5π
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø 上的零点有8 个，故D 正确.
故选：BCD
2．（24-25 高一下·山东威海·期末·多选）已知函数
π
2sin
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，则（ ）
A．
y
f x
=
的图象关于直线
π
3
x =
对称
B．
f x 在
π π
,
3 3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø上单调递增
C．
y
f x
=
的图象关于点
2π ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 对称
D．当
0,4π
xÎ
时，曲线
sin 2
x
y =
与
y
f x
=
的交点个数为4
【答案】ABD
【详解】A：由
π
π
π
2sin
2
3
3
6
f æ
ö
æ
ö
=
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，则
y
f x
=
的图象关于直线
π
3
x =
对称，对；
B：由题设
π
π π
(
,
)
6
6 2
t
x
=
+
Î -
，结合正弦函数性质知
( )
2sin
f x
h t
t
=
=
单调递增，对；
考点一
已知函数解析式求函数的性质
C：由
2π
2π
π
π
2sin
2sin
2
3
3
6
2
f æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
-
+
=
-
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，则
y
f x
=
的图象关于直线
2π
3
x = -
对称，故
2π ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 不是对
称中心，错；
D：由
sin 2
x
y =
在[0,π]上单调递增，在[π,3π] 上单调递减，在[3π,4π]上单调递增，
且
sin 2
x
y =
在[0,π]、[π,3π] 、[3π,4π]上对应值域依次为[0,1]、[ 1,1]
-
、[ 1,0]
-
，
由题设
π
π 25π
[
,
]
6
6
6
t
x
=
+
Î
，令
( )
2sin
f x
h t
t
=
=
，
则( )
2sin
h t
t
=
在π π
[
,
]
6 2 、3π 5π
[
,
]
2
2 、7π 25π
[
,
]
2
6
上单调递增，对应值域依次为[1,2]、[ 2,2]
-
、[ 2,1]
-
，
在π 3π
[
,
]
2
2
、5π 7π
[
,
]
2
2 上单调递减，对应值域均为[ 2,2]
-
，
所以
f x 在
π
[0,
]
3 、4π 7π
[
,
]
3
3
、10π
[
,4π]
3
上单调递增，对应值域依次为[1,2]、[ 2,2]
-
、[ 2,1]
-
，
在π 4π
[
,
]
3
3
、7π 10π
[
,
]
3
3
上单调递减，对应值域均为[ 2,2]
-
，
所以
sin 2
x
y =
与
f x 分别在π 4π
[
,
]
3
3
、4π 7π
[
,
]
3
3
、7π 10π
[
,
]
3
3
、10π
[
,4π]
3
上各有一个交点，即共有4 个交点，对.
故选：ABD
3．（24-25 高二下·甘肃白银·期末·多选）已知函数
1
π
2cos 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，则（ ）
A．
f x 的值域为
2 2
- ,
B．
f x 的最小正周期为4p
C．曲线
y
f x
=
关于直线
π
3
x =
对称
D．函数
π
3
y
f
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 为奇函数
【答案】ABD
【详解】
f x 的值域为
2 2
- ,
，
f x 的最小正周期
2π
4π
1
2
T =
=
，A，B 均正确.
因为
π
0
3
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，所以曲线
y
f x
=
不关于直线
π
3
x =
对称，C 错误.
因为
1
π
π
3
2
2cos
2sin
2
2
x
f
x
x
æ
ö
æ
ö
+
=
+
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，所以
π
3
y
f
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 为奇函数，D 正确.
故选：ABD
4．（24-25 高二下·陕西铜川·期末·多选）若函数
π
sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
f x 的最小正周期为π
B．函数
f x 在区间
π
5π
,
12 12
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增
C．函数
f x 的图象关于直线
π
12
x =
对称
D．函数
f x 的图象关于点2π ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称
【答案】ABD
【详解】对于A，由最小正周期公式得函数
f x 的最小正周期为
2π
π
2
T =
=
，故A 正确；
对于B，由
π 5π
,
12 12
x
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û ，得
π
π π
2
3
2 2
x
é
ù
-
Î -
ê
ú
ë
û
,
，
因为
sin
y
x
=
在
π π
,
2 2
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增，
所以由正弦函数性质得函数
f x 在区间
π
5π
,
12 12
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增，故B 正确；
对于C，因为
π
π
π
π
1
sin
sin
12
6
3
6
2
f æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
所以函数
f x 的图象不关于
π
12
x =
对称，故C 错误；
对于D，因为
2π
2π
π
sin 2
sinπ
0
3
3
3
f æ
ö
æ
ö
=
´
-
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以函数
f x 的图象关于点2π ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，故D 正确.
故选：ABD.
5．（24-25 高一下·河北承德·期末·多选）已知函数
π
sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，则（ ）
A．
f x 的最小正周期为π
B．
π
3
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 是奇函数
C．
f x 的图象关于直线
5π
12
x = -
对称
D．
f x 在区间
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递减
【答案】ABC
【详解】对于A，
f x 的最小正周期为2π
π
2 =
，故A 正确；
对于B，
π
π
π
sin 2
sin 2
3
3
3
f
x
x
x
é
ù
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
= -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
，
因为
π
3
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 的定义域为R 关于原点对称，且
π
π
sin 2
sin
2
0
3
3
f
x
f
x
x
x
æ
ö
æ
ö
+
+
- +
= -
-
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
恒成立，
所以
π
3
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 是奇函数，故B 正确；
对于C，因为
min
5π
5π
π
π
sin
sin
1
12
2
6
3
f
f x
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
-
+
=
-
= - =
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
所以
f x 的图象关于直线
5π
12
x = -
对称，故C 正确；
对于D，因为
π
π
π
0,
2
,π
3
3
3
x
t
x
é
ù
é
ù
Î
Þ =
+
Î
ê
ú
ê
ú
ë
û
ë
û ，且
sin
y
t
=
在
π ,π
3
t
é
ù
Îê
ú
ë
û 上先增后减，故D 错误.
故选：ABC.
6．（24-25 高二下·陕西榆林·期末·多选）函数
π
2sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，则下列选项正确的是（ ）
A．函数
f x 的图象关于点
π ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 中心对称
B．函数
f x 图象的对称轴是直线
5π
π
12
x
k
k
=
+
ÎZ
C．函数
f x 在
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û 上的最大值为
3
D．函数
f x 的图象向右平移π
12 个单位长度后为奇函数的图象
【答案】AC
【详解】对于A，令
π
2
π
3
x
k
k
-
=
ÎZ ，解得
π
π
6
2
k
x
k
=
+
ÎZ ，
所以函数
f x 图象的对称中心为
π
π ,0
6
2
k
k
æ
ö
+
Î
ç
÷
è
ø
Z ，
取
1
k = - ，函数
f x 的图象关于点
π ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 中心对称，故选项A 正确；
对于B，令
π
π
2
π
3
2
x
k
k
-
=
+
ÎZ ，可得
5π
π
12
2
k
x
k
=
+
ÎZ ，
所以函数
f x 图象的对称轴方程为
5π
π
12
2
k
x
k
=
+
ÎZ ，故选项B 错误；
对于C，设
π
2
3
t
x
=
-
，因为
π
0, 3
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，所以
π π
,
3 3
t
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û ，
因为
2sin
y
t
=
在
π π
,
3 3
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增，当
π
3
x =
时，
f x 在
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û 上的最大值为
3 ，故选项C 正确；
对于D，函数
π
2sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø 向右平移π
12 个单位后得到函数
π
π
π
2sin 2
2sin 2
2cos2
12
3
2
g x
x
x
x
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
-
-
=
-
= -
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
，
所以函数
g x 为偶函数，故选项D 错误．
故选：AC．
1．（24-25 高二下·甘肃兰州·期末·多选）已知函数
2 3sin
2cos
f x
x
x
=
+
，则（ ）
A．
f x 的图象关于直线
π
3
x =
对称
B．
f x 在
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增
C．
f x 在
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û 上的值域为
1,2
D．将函数
π
sin
6
y
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 图象上所有点的纵坐标扩大到原来的4 倍，横坐标不变，可以得到
f x 的图象
【答案】ABD
【详解】
3
1
2 3sin
2cos
4
sin
cos
2
2
f x
x
x
x
x
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
π
π
π
4 sin cos
cos sin
4sin
6
6
6
x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，
对于A，
π
4sin
4
6
π
3
f x
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
，所以
f x 的图象关于直线
π
3
x =
对称，故A 正确；
对于B，当
π
0, 3
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，
π
,
π
6
2
π
6
x +
é
ù
Îê
ú
ë
û ，由
sin
y
x
=
在
π π
,
2 2
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增，
所以
f x 在
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，故B 正确；
对于C，当
π
0, 3
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，
π
,
π
6
2
π
6
x +
é
ù
Îê
ú
ë
û ，所以1
π
sin
1
2
6
x
æ
ö
£
+
£
ç
÷
è
ø
，
所以
π
2
4sin
4
6
x
æ
ö
£
+
£
ç
÷
è
ø
，所以
f x 在
π
0, 3
é
ù
ê
ú
ë
û 上的值域为
2,4 ，故C 错误；
对于D，将函数
π
sin
6
y
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 图象上所有点的纵坐标扩大到原来的4 倍可得函数
π
4sin
6
y
x
=
+
æ
ö
ç
÷
è
ø 的图象，即
π
4sin
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø的图象，故D 正确.
故选：ABD.
2．（24-25 高一下·江西上饶·期末·多选）函数
π
sin
0,
0,
2
f x
A
x
A
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
>
<
ç
÷
è
ø 的部分图象如图所示，则下
列说法正确的是（ ）
考点二
先求函数的解析式，进而求函数的性质
A．
1
w =
B．函数
f x 的图象关于点
π ,0
6
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 对称
C．将函数
π
2cos 2
3
y
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 的图象向右平移π
4 个单位得到函数
f x 的图象
D．若方程
f x
m
=
在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上有且只有一个实数根，则m 的取值范围是
3, 3
é-
ë
【答案】BC
【详解】由图可知，
2
A =
，π
π
π
3
12
4
T
T
-
=
Þ
=
，
2π
2
T
w =
=
，故A 错误；
所以
2sin 2
f x
x
j
=
+
，又
f x 过点
π ,2
12
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
π
π
2sin 2
2
12
12
f
j
æ
ö
æ
ö
=
´
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以π
π
2 π
6
2
k
j
+
=
+
，
Z
k Î
，即
π
2 π
3
k
j =
+
，
Z
k Î
，
π
2
j <
Q
，
π
3
j =
，
故
π
2sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，
π
2sin0
0
6
f æ
ö
-
=
=
ç
÷
è
ø
，故B 正确；
对于C，将函数
π
2cos 2
3
y
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø 的图象向右平移π
4 个单位得到：
π
π
π
π
π
π
2cos 2
2cos 2
2cos
2
2cos
2
4
3
2
3
2
3
2
3
y
x
x
x
x
p
p
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
=
-
+
=
-
+
-
=
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
π
2sin 2
3
x
f x
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
，故C
正确；
对于D，当
π
0, 2
é
ù
Îê
ú
ë
û
x
时，
π
π 4π
2
,
3
3
3
x
é
ù
+
Îê
ú
ë
û ，令
π
2
3
t
x
=
+
，则
2sin
y
t
=
，
π 4π
,
3
3
t
é
ù
Îê
ú
ë
û .
当
π 4π
,
3
3
t
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，
2sin
y
t
=
在π π
,
3 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，在π 4π
,
2
3
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递减；
又
π
2sin
3
3 =
，
4π
2sin
3
3 = -
，
π
2sin
2
2 =
.
因为
2sin
y
t
=
的图象与y
m
=
有且只有一个实数根，
所以m 的取值范围是
3, 3
2
é-
È
ë
，故D 错误.
故选：BC.
3．（24-25 高二下·福建漳州·期末·多选）已知函数
π
sin
0
0
2
f x
A
x
A
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
>
<
ç
÷
è
ø
，
，
的部分图象如图所
示，下列说法不正确的是（ ）
A．该图象对应的函数解析式为
π
2sin 2
6
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
B．函数
f x 的图象关于点5π ,0
6
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称
C．函数
f x 的图象关于直线
π
6
x = -
对称
D．函数
f x 在7π ,π
12
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递减
【答案】ACD
【详解】由图象可知
2
A =
，
π
π
π
π
4
3
12
4
T
T
=
-
=
Þ
=
，
由
2π
π
T
w
=
=
，所以
2
=
w
，
又
π
0
3
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，即
π
2sin 2
0
3
j
æ
ö
´
+
=
ç
÷
è
ø
，
所以
2π
2 π
π
Z
3
k
k
j
+
=
+
Î
，即
π
2 π
Z
3
k
k
j =
+
Î
，
又
π
2
j <
，所以
π
3
j =
，所以
π
2sin 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，
故A 选项不正确；
由
5π
5π
π
2sin 2
2sin 2π
0
6
6
3
f æ
ö
æ
ö
=
´
+
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以函数
f x 的图象关于点5π, 0
6
æ
ö
ç
÷
è
ø
对称，故B 选项正确；
由
π
π
π
2sin 2
2sin 0
0
2
6
6
3
f
é
ù
æ
ö
æ
ö
-
=
´ -
+
=
=
¹ ±
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
，
故函数
f x 的图象不关于直线
π
6
x = -
对称，故选项C 不正确；
由7π
π
12
x
£
£
有3π
π
7π
2
2
3
3
x
£
+
£
，
因为
sin
y
t
=
在3π 7π
,
2
3
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，故
f x 在7π ,π
12
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，故D 选项不正确；
故选：ACD.
4．（24-25 高二下·湖南永州·期末·多选）已知函数
f x 的图象是由函数
sin 2
y
x
=
的图象向右平移π
6 个单位得
到，则（ ）
A．
f x 的最小正周期为π
B．
f x 在区间
π π
[
,
]
6 3
-
上单调递增
C．
f x 的图象关于直线
π
3
x =
对称
D．
f x 的图象关于点π , 0
6
æ
ö
ç
÷
è
ø对称
【答案】AD
【详解】因为
sin 2
y
x
=
，向右平移π
6 个单位得
π
π
sin 2
sin 2
6
3
f x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
对于A：最小正周期为
2π
π
2
T =
=
，故A 正确；
对于B：由
π π
[
,
]
6 3
xÎ -
，得
π 2π
,
3
3
2
[
]
x
-
Î
，得
π
2π π
2
[
,
]
3
3
3
x -
Î -
，
因为
sin
y
x
=
在
2π
π
,
3
2
é
ù
-
-
ê
ú
ë
û 上递减，在
π π
,
,
2 3
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上递增，
所以
f x 在区间
π π
[
,
]
6 3
-
上不单调递增，所以B 错误；
对于C：因为
π
π
π
π
3
sin 2
sin
1
3
3
3
3
2
f æ
ö
æ
ö
=
´
-
=
=
¹ ±
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以
f x 的图象不关于直线
π
3
x =
对称，所以C 错误；
对于D：因为
π
π
π
sin 2
sin 0
0
6
6
3
f æ
ö
æ
ö
=
´
-
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，所以
f x 的图象关于点π , 0
6
æ
ö
ç
÷
è
ø对称，所以D 正确.
故选：AD.
5．（24-25 高一下·广东揭阳·期末·多选）设函数
( )
cos
3sin
f x
x
x
=
-
，则下列结论正确的是（ ）
A．2π
-
是
( )
f x 的一个周期
B．
( )
f x 的图象关于直线
π
6
x =
对称
C．
(
π)
f x +
的一个零点为
π
6
x =
D．
( )
f x 在区间π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减
【答案】AC
【详解】因为函数
π
( )
cos
3sin
2cos
3
f x
x
x
x
æ
ö
=
-
=
+
ç
÷
è
ø ，所以它的一个周期为2π
-
，故A 正确；
令
π
6
x =
，求得
( )
0
f x =
，故B 错误；
π
π
(
π)
2cos
π
2cos
3
3
f x
x
x
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
= -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，令
π
6
x =
，
求得
π
π
π
(
π)
2cos
0
6
6
3
f
æ
ö
+
= -
+
=
ç
÷
è
ø
，故
(
π)
f x +
的一个零点为
π
6
x =
，故C 正确；
当
π ,π
2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时，
π
5π 4π
,
3
6
3
x
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，而函数
cos
y
x
=
在5π ,π
6
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，
在
4π
π, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，所以
( )
f x 在π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上没有单调性，故D 错误．
故选：AC．
6．（24-25 高一下·辽宁葫芦岛·期末·多选）已知函数
4tan
0,0
π
f x
x
w
j
w
j
=
+
>
<
<
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
1
w =
B．
5π
4tan 2
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
C．
f x 的图象与y 轴的交点坐标为
4 3
0,
3
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
D．函数
y
f x
=
的图象关于点7π ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称
【答案】BCD
【详解】A 选项，由图象可以看出
f x 的最小正周期为π
2 ，
又
0
w >
故
π
2
π
2
w =
=
，A 错误；
B 选项，将
π
3
x =
代入得
π
π
π,
3
2
2
Z
k k
j
´
+
=
Î
+
，解得
π
π,
Z
6
k k
j = -
+
Î
，
因为0
π
j
<
<
，所以只有
1
k = 时，
5π
6
j =
满足要求，
故
5π
4tan 2
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，B 正确；
C 选项，
5π
3
4 3
4tan
4
6
3
0
3
f
æ
ö
=
=
´ -
= -
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
f x 的图象与y 轴的交点坐标为
4 3
0,
3
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，C 正确；
D 选项，
7π
3
x =
时，
3
5π
14π
5π
11π
2
6
2
6
x +
=
+
=
，
由于
tan
y
z
=
的一个对称中心为11π
2 ,0
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
故函数
y
f x
=
的图象关于点7π ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，D 正确.
故选：BCD
7．（24-25 高一下·湖南邵阳·期末）已知函数
cos
0,
0,0
π
f x
A
x
A
w
j
w
j
=
+
>
>
<
<
的图象关于直线
π
3
x =
对
称，点
0,2 在
f x 的图象上，
1
0
f x
=
，
2
f x
A
=
，且
1
2
x
x
-
的最小值是π
4 ．
(1)求
f x 的解析式；
(2)求不等式
2
f x >
的解集；
(3)若对任意的
2
,
6
3
π
π
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，不等式
2
2
1
0
f x
a
a
+
-
+ ³
恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)
π
4cos 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
(2)
π
π
, π
3
k
k
k
æ
ö
-
Î
ç
÷
è
ø
Z
(3)
, 1
3,
¥
¥
-
-
È
+
【详解】（1）因为
1
2
x
x
-
的最小值是π
4 ，所以
2π
π
4
π
4
T
w
=
=
´
=
，所以
2
w =
．
因为
f x 的图象关于直线
π
3
x =
对称，所以
π
π
cos 2
3
3
f
A
A
j
æ
ö
æ
ö
=
´
+
= ±
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以
2π
cos
1
3
j
æ
ö
+
= ±
ç
÷
è
ø
，所以
2π
π
3
k
k
j
+
=
ÎZ ，即
2π
π
3
k
k
j =
-
ÎZ ．
因为0
π
j
<
<
，所以
π
3
j =
．
因为点
0,2 在
f x 的图象上，所以
π
cos
2
3
A
=
，所以
4
A =
．
故
π
4cos 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ；
（2）不等式
2
f x >
等价于不等式
π
4cos 2
2
3
x
æ
ö
+
>
ç
÷
è
ø
，
即
π
1
cos 2
3
2
x
æ
ö
+
>
ç
÷
è
ø
，所以
π
π
π
2 π
2
2 π
3
3
3
k
x
k
k
-
<
+
<
+
ÎZ ，
解得
π
π
π
3
k
x
k
k
-
<
<
ÎZ ，
即不等式
2
f x >
的解集为
π
π
, π
3
k
k
k
æ
ö
-
Î
ç
÷
è
ø
Z ．
（3）因为
2
,
6
3
π
π
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，所以
π
2π 5π
2
,
3
3
3
x
é
ù
+
Îê
ú
ë
û ，
所以
π
1
cos 2
1,
3
2
x
æ
ö
é
ù
+
Î -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û ，则
4,2
2,4
f x
f x
Î -
Þ -
Î -
．
因为对任意的
2
,
6
3
π
π
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，不等式
2
2
1
0
f x
a
a
+
-
+ ³
恒成立，
所以
2
max
2
1
4
a
a
f x
é
ù
-
+ ³ -
=
Þ
ë
û
2
2
3
0
a
a
-
-
³
，即
3
1
0
a
a
-
+
³
，
解得
1
a £ - 或
3
a ³
，
即a 的取值范围为
, 1
3,
¥
¥
-
-
È
+
．
8．（24-25 高一下·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数
4cos
0,0
π
f x
x
w
j
w
j
=
+
>
<
<
的图象经过
1,4
A x
，
2,0
B x
，
π , 4
3
C æ
ö
-
ç
÷
è
ø 三点，且
1
2
x
x
-
的最小值为π
4 ．
(1)求
f x 的解析式；
(2)求
f x 在
π π
,
3 6
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上的值域；
【答案】(1)
π
4cos 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
(2)
2,4
-
【详解】（1））由题意
4cos
0,0
f x
x
w
j
w
j
p
=
+
>
<
<
的图象经过
1,4
A x
，
2,0
B x
三点，且
1
2
x
x
-
的最小值
为π
4 ，
可得
f x 的最小正周期
π
4
π
4
T =
´
=
，则2
π
p
w =
，解得
2
w =
．
则
4cos 2
f x
x
j
=
+
，
由
2π
2π
4cos
4
cos
1
3
3
3
f
p
j
j
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
= - Þ
+
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
故2π
π
π
2 π
2 π
3
3
k
k
j
j
+
=
+
Þ
=
+
，k ÎZ ，
又因为
π
j <
，所以
π
3
j =
．
故
π
4cos 2
3
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ．
（2）由于
π π
,
3 6
x
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û ，所以
π
π 2π
2
,
3
3
3
x
é
ù
+
Î -
ê
ú
ë
û ，
故
π
1
cos 2
,1
3
2
x
æ
ö
é
ù
+
Î -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û ，
π
4cos 2
2,4
3
x
æ
ö
+
Î -
ç
÷
è
ø
．
所以函数
f x 的值域为
2,4
-
．
9．（24-25 高一下·上海·期中）已知函数
π
sin
,
0,
0,
2
f x
A
x
A
w
q
w
q
æ
ö
=
+
>
>
<
ç
÷
è
ø 的图象，如图所示：
(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)若( )
(
)(
0)
g x
f mx m
=
>
在
π π
,
2 3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø上是严格增函数，求实数m 的最大值.
(3)将函数
y
f x
=
的图象向右移动π
6 个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的
0
1
a
a
<
<
倍得到
y
g x
=
的图象，若
y
g x
=
在区间
1,1
-
上至少有30个最大值，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
π
( )
2 sin(2
)
3
f x
x
=
+
(2) 1
4 .
(3)
4
0
59π
a
<
£
.
【详解】（1）设函数
π
sin
,
0,
0,
2
f x
A
x
A
w
q
w
q
æ
ö
=
+
>
>
<
ç
÷
è
ø 的最小正周期为T ，
观察图象可得函数
( )
f x 的最大值为2 ，最小值为
2
-
，3
5π
π
3π
4
6
12
4
T =
-
=
，
所以
π
T =
，
所以
2
A =
，2π
π
w =
，
所以
2
w =
，
又
π
2
12
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，所以
π
2sin 2
2
12
q
æ
ö
´
+
=
ç
÷
è
ø
，
所以
π
π
2
2 π
12
2
k
q
´
+
=
+
，k ÎZ ，又
π
2
q <
，
所以
π
3
q =
所以
π
( )
2 sin(2
)
3
f x
x
=
+
.
（2）由条件可得
π
( )
2 sin(2
)
3
g x
mx
=
+
，
0
m >
，
设
π
2
3
t
mx
=
+
，则当
π
π
2
3
x
-
<
<
时，
π
2 π
π
π
3
3
3
m
m
t
-
+
< <
+
，
因为( )
(
)(
0)
g x
f mx m
=
>
在
π π
,
2 3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 上是严格增函数，又
π
π
2 π
π
π
3
3
3
3
m
m
-
+
<
<
+
由条件，
π 2 π
π
π π
π
,
,
3
3
3
2 2
m
m
æ
ö
é
ù
-
+
+
Í -
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û ，
所以
2 π
π
π
3
3
2
π
π
π
3
2
m
m
ì
+
£
ïïí
ï-
+
³ -
ïî
，解得
1
4
5
6
m
m
ì
£
ïïí
ï
£
ïî
，
所以
1
0
4
m
<
£
.
所以m 的最大值是1
4 .
（3）因为函数
y
f x
=
的图象向右移动π
6 个单位，可得函数
2 sin 2
y
x
=
的图象，
将
2 sin 2
y
x
=
图象的上各点的横坐标缩短到原来的
0
1
a
a
<
<
倍，可得函数
2
2 sin
y
x
a
æ
ö
=
ç
÷
è
ø 的图象，
所以
2
( )
2 sin
g x
x
a
æ
ö
=
ç
÷
è
ø ，
令( )
2
g x =
，可得
2
sin
1
x
a
æ
ö =
ç
÷
è
ø
，所以2
π
2 π
2
x
k
a
=
+
，k ÎZ ，
所以
π
π
4
a
x
ak
=
+
，k ÎZ ，
因为
y
g x
=
在区间
1,1
-
上至少有30个最大值，
又
π
π
π
14
π
15
π
15
π
4
4
4
a
a
a
a
a
a
´
+
< -
´
+
<
´
+
，
所以
π
15
π+
1
4
a
a
-
´
³ - ，所以59 π
1
4 a £ ，
所以
4
59π
a £
，又0
1
a
<
< ，
所以
4
0
59π
a
<
£
.
10．（24-25 高一下·河南濮阳·期末）已知函数
( )
cos(
)(
0,
0,0
π)
f x
A
x
A
w
j
w
j
=
+
>
>
<
<
的部分图象如图所示．
(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)求
( )
f x 的单调递减区间；
(3)求
( )
f x 在区间7π 7π
,
6
4
é
ù
ê
ú
ë
û 上的值域．
【答案】(1)
π
( )
2cos 2
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
(2)
π
5π
π
, π
,
12
12
k
k
k
é
ù
-
+
Î
ê
ú
ë
û
Z
(3)[ 2,1]
-
【详解】（1）由图知
2
A =
，
设
( )
f x 的最小正周期为T ，则
π
π
π
4
6
12
4
T
æ
ö
=
- -
=
ç
÷
è
ø
，
2π
π
T
w
\
=
=
，解得
2
w =
．
( )
2cos(2
)
f x
x
j
\
=
+
．
又
π
π
π
2cos
2,
2 π,
12
6
6
f
k
k
j
j
æ
ö
æ
ö
-
=
-
+
=
\-
+
=
Î
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
Z ，
即
π
2 π
,
6
k
k
j =
+
ÎZ ，又
π
0
π,
6
j
j
<
<
\
=
，
π
( )
2cos 2
6
f x
x
æ
ö
\
=
+
ç
÷
è
ø ．
（2）令
π
2 π
2
2 π
π,
6
k
x
k
k
£
+
£
+
ÎZ ，·
得
π
5π
π
π
,
12
12
k
x
k
k
-
£
£
+
ÎZ ，
( )
f x
\
的单调递减区间为
π
5π
π
, π
,
12
12
k
k
k
é
ù
-
+
Î
ê
ú
ë
û
Z ．
（3）当
7π 7π
,
6
4
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，5π
π
11π
2
2
6
3
x
£
+
£
，
即当
π
2
3π
6
x +
=
时，
π
cos 2
6
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 取到最小值1
- ，
当
π
11π
2
6
3
x +
=
时，
π
cos 2
6
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 取到最大值1
2 ，
π
1
1
cos 2
6
2
x
æ
ö
\- £
+
£
ç
÷
è
ø
， ·
π
( )
2cos 2
[ 2,1]
6
f x
x
æ
ö
\
=
+
Î -
ç
÷
è
ø
，
即
( )
f x 在区间7π 7π
,
6
4
é
ù
ê
ú
ë
û 上的值域为[ 2,1]
-
.
11．（24-25 高一下·四川成都·期末）已知函数
( )
sin(
)
f x
A
x
w
j
=
+
（
0
A >
，
0
w >
，|
|
2
j
p
<
）的部分图象如图所
示．
(1)将
f x 的图象向右平移π
4 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2 ，再向上平移两个单位长度
得到函数
g x ．求函数
g x 的解析式与对称中心．
(2)已知
2 2
2
5
f
a
æ
ö =
ç
÷
è
ø
（
π
π
2
2
a
-
<
<
），求
1 sin 2
cos2
1 cos2
1 cos2
a
a
a
a
-
-
-
+
+
的值．
(3)已知
2
( )
2
8
8
x
f
x
p
p
j
l
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
，高2024 级数学节利用函数
( )
y
x
j
=
进行了一个棋盘游戏：有一个2025 2025
´
的
正方形棋盘，开始时将一颗棋子置于左下角（棋盘最左边的边界线与最下边的边界线的交点），每走一步移动1
格，且在第n（
1
n ³ ，
N
Î
n
）步时，若
1
|
( ) |
2
n
j
³
，则将棋子向上前进一步，否则将棋子向右前进一步，棋子走到
棋盘最右边的边界线或最上边的边界线时停止，若棋子停在棋盘最上边的边界线，求实数λ 的取值范围．
【答案】(1)
π
( )
2 sin(4
)
2
6
g x
x -
=
+
；对称中心：
π
π
(
,2),
Z
24
4
k
k
+
Î
(2) 2 2
3 14
10
-
+
(3)
3
3
(
,
]
[
,
)
3
3
-¥ -
+¥
【详解】（1）由图可得
2
A =
，函数
( )
f x 的周期T 满足
7π
π
π
4
12
3
4
T =
-
=
，即
π
T =
，
2π
2
T
w =
=
，
又函数
( )
f x 的图象经过点7π
(
,
2)
12 -
，则有
7π
2 sin(2
)
2
12
j
´
+
= -
，
即7π
3π
2 π,
Z
6
2
k
k
j
+
=
+
Î
，
解得
π
π,
Z
k
k
j =
+
Î
2
3
，因|
|
2
j
p
<
，则
π
3
j =
，故
π
2 sin(2
)
3
x
f x =
+
.
依题意，将
f x 的图象向右平移π
4 个单位长度，可得
π
π
π
2 sin[2(
)
]
2 sin(2
)
4
3
6
y
x
x
-
-
=
+
=
，
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2 ，即得
π
2 sin(4
)
6
y
x -
=
，
再向上平移两个单位长度得到函数
π
( )
2 sin(4
)
2
6
g x
x -
=
+
.
由
π
4
π,
Z
6
x
k
k
-
=
Î
，即
π
π ,
Z
24
4
k
x
k
=
+
Î
，故函数
g x 的对称中心为
π
π
(
,2),
Z
24
4
k
k
+
Î
.
（2）由
π
2 2
2 sin(
)
2
3
5
f
a
a
æ
ö =
+
=
ç
÷
è
ø
，可得
π
2
sin(
)
0
3
5
a +
=
>
，
因
π
π
2
2
a
-
<
<
，则
6
π
π
5π
6
3
a
-
<
+
<
，则
π
5π
0
3
6
a
<
+
<
，
又
π
2
1
0
sin(
)
3
5
2
a
<
+
=
<
，故
π
π
0
3
6
a
<
+
<
，则
π
π
3
6
a
-
<
< -
，
则
2
π
π
21
cos(
)
1 sin (
)
3
3
5
a
a
+
=
-
+
=
.
则
2
2
2
1 sin 2
cos2
2sin
cos
2sin
1 cos2
1
cos2
1
1
2sin
1
2cos
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
+
=
-
+
+
-
-
+
+
-
2sin
(cos
sin
)
2 sin
(cos
sin
)
2 sin
cos
sin
2(| sin
|
| cos
|)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
=
= -
= -
-
+
，
因
π
π
1
π
3
π
sin
sin[(
)
]
sin(
)
cos(
)
3
3
2
3
2
3
a
a
a
a
=
+
-
=
+
-
+
1
2
3
21
2
3 7
2
5
2
5
10
-
=
´
-
´
=
，
则有
1 sin 2
cos2
2 2
3 14
10
1 cos2
1
cos2
a
a
a
a
-
-
-
+
=
-
+
+
.
（3）
2
π
π
π
( )
2 sin[2(
)
]
sin(
)
2
8
8
3
4
12
x
x
x
j
l
l
p
p
=
´
-
+
=
+
，
则
π
π
π
π
(
4)
sin[
(
4)
]
sin(
)
( )
4
12
4
12
n
n
n
n
j
l
l
j
+
=
+
+
= -
+
= -
，即| (
4) | | ( ) |
n
n
j
j
+
=
，即棋子的移动周期为4，
因
π
7π
|
(1) | |
| sin
,|
(2) | |
| sin
,
3
12
j
l
j
l
=
=
5π
π
|
(3) | |
| sin
,|
(4) | |
| sin
6
12
j
l
j
l
=
=
，
由正弦函数的单调性，可得| (2) | | (1) | | (3) | | (4) |
j
j
j
j
>
>
>
.
若| (1) |,| (2) |,| (3) |,| (4) |
j
j
j
j
中至少有3 个大于或等于
1
2 ， 符合题意，此时由
5π
1
|
| sin 6
2
l
³
可得|
1
|
l ³ ；
若| (1) |,| (2) |,| (3) |,| (4) |
j
j
j
j
中只有2 个大于或等于
1
2 ，则棋子落在右上角也符合题意，
故
π
1
|
| sin 3
2
l
³
，解得
3
|
|
3
l ³
.
综上，l 的取值范围是
3
3
(
,
]
[
,
)
3
3
-¥ -
+¥
.
12．（24-25 高一下·四川眉山·期末）已知函数
2
π
π
3sin(
)
2sin (
) 1
0
3
2
6
x
f x
x
w
w
w
=
+
+
+
-
>
的两条相邻对称轴的
距离为π
2 ．
(1)求
f x 的解析式；
(2)将函数
f x 的图象向右平移π
6 个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变），得到函数
y
g x
=
的图象．
①若
0
12
(
)
5
g x
=
，且
0
π
0, 3
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，求
0
cos2x 的值；
②若关于x 的方程
g x
k
=
在区间
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上恰有两个不同的实数解，求实数k 的取值范围．
【答案】(1)
π
2sin 2
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
(2)①4 3
3
10
-
；②
2, 4
【详解】（1）因
2
π
π
3sin(
)
2sin (
) 1
3
2
6
x
f x
x
w
w
=
+
+
+
-
π
π
3sin(
)
cos(
)
3
3
x
x
w
w
=
+
-
+
π
π
π
2sin(
)
2sin(
)
3
6
6
x
x
w
w
=
+
-
=
+
，
由函数
f x 的相邻两条对称轴的距离为π
2 ，所以函数
f x 的周期
π
2
π
2
T =
´
=
．
则
2π
2
π
w =
= ．∴
π
2sin 2
6
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ．
（2）将函数
f x 的图象向右平移π
6 个单位长度，得
)
π
π
2sin[2(
)
]
2sin(2
6
6
π
6
y
x
x
=
-
+
=
-
．
再将所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变），得到
π
4sin(2
)
6
g x
x
=
-
．
①∵
0
0
π
12
4sin 2
6
5
g x
x
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
，∴
0
π
3
sin 2
6
5
x
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
．
∵
0
π
0,
,
3
x
é
ù
Îê
ú
ë
û
则
0
π
π π
2
,
6
6 2
x
é
ù
-
Î -
ê
ú
ë
û ，则
0
4
cos 2
6
5
π
x
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
∴
0
0
0
0
π
π
π
π
π
π
2
2
cos
sin 2
sin
6
6
cos2
cos
cos
6
6
6
6
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+
-
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
é
ù
=
=
ê
÷
è
ø
ø
ú
ø
è
ë
û
è
4
3
3
1
4 3
3
5
2
5
2
10
-
=
´
-
´
=
．
②由题知，方程
g x
k
=
在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上恰有两个不同的实数解，
可转化为函数
π
4sin(2
)
6
g x
x
=
-
和函数y
k
=
的图象在区间
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上有且只有2 个交点．
由
π
0, 2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 可得
π
π 5
2
,
π
6
6 6
t
x
é
ù
=
-
Î -
ê
ú
ë
û ，作出函数( )
4sin
h t
t
=
在
π 5
,
π
6 6
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上的图象如图：
当
π
6
t = -
时，
min
min
π
( )
4sin
2
6
g x
h t
æ
ö
=
=
-
= -
ç
÷
è
ø
；
当
π
2
t =
时，
max
max
π
( )
4sin
4
2
g x
h t
=
=
=
；当
5π
6
t =
时，
5π
5π
(
)
4sin
2
6
6
h
=
=
.
由图可知：实数k 的取值范围是
2, 4 ．
1．（24-25 高二下·河北·期末）已知函数
( )
sin(
)(
0)
f x
x
j j
=
+
>
在(0,π) 上没有零点，则j 的最小值为（ ）
A．π
4
B．π
2
C．π
D．2π
【答案】C
【详解】因为
( )
f x 的最小正周期为2π，且
f x 在
0,π 上没有零点，π
0
π
-
=
,
所以
(0)
(π)
0
f
f
=
=
，所以
π,
Z
k k
j =
Î
，
因为
0
j >
，所以j 的最小值为π.
故选：C.
2．（24-25 高一下·湖南·期末）将函数
2π
cos 2
3
f x
x
æ
ö
ç
÷
è
=
ø
+
的图象向右平移
0
j j >
个单位长度后，所得图象对应
的函数为奇函数，则j 的最小值为（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
3
D．7π
12
【答案】A
【详解】由题意有
2π
2π
cos 2
cos 2
2
3
3
f x
x
x
j
j
j
é
ù
é
ù
æ
ö
-
=
-
+
=
+
-
ç
÷
ê
ú
ê
ú
ë
û
è
ø
ë
û
，
又
f x
j
-
为奇函数，所以2π
π
2
π,
3
2
k
k
j
-
=
+
ÎZ ，
解得
π
π ,
12
2
k
k
j =
-
ÎZ ，当
0
k =
时，
π
12
j =
，
故选：A.
3．（24-25 高一下·江西九江·期末）将函数
π
( )
sin
6
f x
x
w
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø的图象向左平移π
3 个单位长度后得到的图象关于y
轴对称，则w 的值可能是（ ）
A．11
B．13
C．14
D．15
【答案】B
【详解】依题意得，
π
π
π
sin
sin
2
1
3
6
6
g x
x
x
w
w
w
é
ù
æ
ö
é
ù
=
+
+
=
+
+
´
ç
÷
ê
ú
ê
ú
è
ø
ë
û
ë
û
为偶函数，
则
π
π
2
1
π
6
2
k
w +
´
=
+
，即
3
1,
k
k
w =
+
ÎZ .
故选：B.
4．（24-25 高二下·云南·期末）已知函数
π
2cos
0
4
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
的图象关于点
1,0 对称，则w 的最小值为
考点三
已知函数的性质求参数范围
（ ）
A．π
2
B．1
4
C．
1
2
D．π
4
【答案】D
【详解】由题意可得
π
2cos
0
4
w
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，
则
π
π
π,
4
2
k
k
w +
=
+
ÎZ，解得
π
π,
4
k
k
w =
+
ÎZ .
因为
0
w >
，所以
0
k =
时，w 取得最小值π
4 .
故选：D.
5．（24-25 高一下·贵州·阶段练习）已知函数
π
3cos 2
0
6
f
x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
，若
f x 在区间
0, π 内有且仅有3 个
零点和2 条对称轴，则w 的取值范围是（ ）
A．7 17
,
6 12
æ
ù
ç
ú
è
û
B．7 17
,
3
6
é
ù
ê
ú
ë
û
C．7 5
,
6 3
é
ö
÷
êë
ø
D．7 17
,
6 12
é
ö
÷
êë
ø
【答案】A
【详解】因为
0,π
xÎ
，所以
π
π
π
2
,2π
6
6
6
x
w
w
é
ö
+
Î
+
÷
êë
ø ，
由于函数
( )
f x 在区间
0,π 上有且仅有3 个零点和2 条对称轴，
根据函数的图像：
所以5π
π
2π
3π
2
6
w
<
+
£
，整理得：
7 17
,
6 12
w
æ
ù
Îç
ú
è
û ．
故选：A．
6．（24-25 高一下·河南驻马店·期末）将函数
sin 2
2cos2
f x
a
x
x
=
+
的图象沿x 轴向右平移π
6 个单位后得到的图
象关于原点对称，则实数a 的值为（ ）
A．2 3
B．2 3
3
C．
2 3
3
-
D．2 3
-
【答案】B
【详解】由题意可知
0
a ¹
，设
2
tan
a
j =
，则
2
4 sin 2
f x
a
x
j
=
+
+
，
设将函数
f x 的图象向右平移π
6 个单位可得函数
g x 的图象，
则
2
π
π
4 sin 2
6
3
g x
f
x
a
x
j
æ
ö
æ
ö
=
-
=
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
易知
0
0
g
=
，则
Z
π
3
π
k
k
j
-
+
=
Î
，即
π
π
Z
3
k
k
j =
+
Î
，
可得
2
tan
3
a
j =
=
，解得
2 3
3
a =
.
故选：B.
7．（23-24 高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知函数
π
2sin(
)
0,
2
f x
x
w
j
w
j
æ
ö
=
+
>
<
ç
÷
è
ø ，T 为
f x 的最小正周期，
且
5
12
f x
f
T
æ
ö
£
ç
÷
è
ø 对任意的
,
xÎ -¥ +¥ 恒成立，若函数
f x 在区间
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上恰有3 个零点，则w 的取值范围是
（ ）
A．14 20
,
3
3
é
ö
÷
êë
ø
B．20 26
,
3
3
é
ö
÷
êë
ø
C．20 26
,
3
3
æ
ù
ç
ú
è
û
D．14 20
,
3
3
æ
ù
ç
ú
è
û
【答案】D
【详解】由题意可得：
f x 的最小正周期
2π
T
w
=
，
又
5
12
f x
f
T
æ
ö
£
ç
÷
è
ø 对任意的
,
xÎ -¥ +¥ 恒成立，
所以
5
12
x
T
=
为
f x 的一条对称轴，
所以
5
5
π
π
π
12
6
2
T
k
k
w
j
j
´
+
=
+
=
+
ÎZ ，解得
π
π
3
k
k
j =
-
ÎZ ，
又
π π
,
2 2
j
æ
ö
Î -
ç
÷
è
ø ，则
0
k =
，
π
3
j = -
，
所以
π
2sin
3
f x
x
w
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø．
当
π
0, 2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时，
π
π
π
π
,
3
3
2
3
x
w
w
æ
ö
-
Î -
-
ç
÷
è
ø，
若函数
f x 在区间
π
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上恰有3 个零点，则
π
π
2π
3π
2
3
w
<
-
£
，解得14
20
3
3
w
<
£
，
即w 的取值范围是14 20
,
3
3
æ
ù
ç
ú
è
û .
故选：D．
8．（24-25 高一下·云南丽江·期末）已知函数
3π
sin
(
0)
4
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
，对任意的xÎR 恒有
π
( )
( )
3
f x
f
£
，且在
区间(0,
)
6
π 上有且只有一个
0x 使得
0
2
(
2
)
f x
=
，则w 的值可以是（
）
A．9
4
B．15
4
C．21
4
D．45
4
【答案】D
【详解】依题意得，
π
3π
π
3
4
2
k
k
w
p
+
=
+
ÎZ ，
解得
3
3
4
k
k
w =
-
ÎZ ，且
0
w >
①，
当
π
0, 6
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时，
3π
3π π
3π
,
4
4
6
4
x
k
w
w
æ
ö
+
Î
+
Î
ç
÷
è
ø
Z ，
又
f x 在区间
π
0, 6
æ
ö
ç
÷
è
ø 上有且只有一个
0x 使得
0
2
2
f
x
=
，
故9π
π
3π
11π
4
6
4
4
w
<
+
£
，
解得9
12
w
<
£
②，
联立①②，解得
45
4
w =
．
故选：D．
9．（24-25 高一上·山西晋城·期末）已知函数
π
2cos
0)
5
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
的图象在[0,2π] 内恰有两条对称轴，则
ω 的取值范围是
.
【答案】9
7
10
5
w
£
<
【详解】因为0
2π
x
£
£
，
所以5
5
π
π
π
2 π+ 5
x
w
w
£
+
£
，
因为函数的图象在[0,2π] 内恰有两条对称轴，
所以
π
2π
2 π
3
5
π
w
£
+
<
，
解得9
7
10
5
w
£
<
．
故答案为：9
7
10
5
w
£
<
.
10．（2025·北京丰台·二模）已知直线
π
3
x = -
为函数
π
cos
(
0)
3
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
图象的一条对称轴，则满足条件的一
个w 的取值为 ；若
f x 在区间
π ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 上有零点，则w 的最小值为
．
【答案】
1（答案不唯一）
4
【详解】因为直线
π
3
x = -
为函数
π
cos
(
0)
3
f x
x
w
w
æ
ö
=
+
>
ç
÷
è
ø
图象的一条对称轴，
所以
π
π
π,
Z
3
3
k
k
w
-
+
=
Î
，解得
1 3 ,
Z
k k
w = -
Î
，
又
0
w >
，所以取
1
w = （答案不唯一）；
若
f x 在区间
π ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 上有零点，令
π
π
π,
Z
3
2
x
k
k
w +
=
+
Î
，解得
π
π ,
Z
6
k
x
k
w
w
=
+
Î
，
由
π
π
π
0
3
6
k
w
w
-
<
+
<
，故
1
k £ - 且
1
3
2
k
w > -
-
,
又
0
w >
且要求w 的最小值，故
1
k = - ，所以w 的最小值为4 ；
故答案为：1（答案不唯一）；4
11．（24-25 高一下·上海·期中）已知函数
π
( )
3sin(
)(
0)
4
f x
x
w
w
=
+
>
的最小正周期为π，将
( )
y
f x
=
图像向左平移
j 个单位长度
π
(0
)
2
j
<
<
后所得图象关于y 轴对称，则j =
．
【答案】π
8
【详解】因为
π
( )
3sin(
)(
0)
4
f x
x
w
w
=
+
>
最小正周期为π，
所以2π
π
w =
，解得
2
=
w
，所以
π
( )
3sin(2
)
4
f x
x
=
+
．
将
( )
y
f x
=
的图象向左平移j 个单位长度，可得
π
( )
3sin(2
2
)
4
f x
x
j
=
+
+
的图象，
根据所得图象关于y 轴对称，可得
π
π
2
π,
Z
4
2
k
k
j +
=
+
Î
，解得
π
π ,
Z
8
2
k
k
j =
+
Î
，
又
π
0
2
j
<
<
，所以
π
8
j =
．
故答案为：π
8 ．
12．（2025·北京昌平·二模）已知将函数
cos 2
f x
x
j
=
+
的图象向右平移π
3 个单位后，所得函数图象关于原点对
称，则常数j 的一个取值为 ．
【答案】π
6 （答案不唯一）
【详解】将函数
cos 2
f x
x
j
=
+
的图象向右平移得到
π
2π
cos 2
cos 2
3
3
y
x
x
j
j
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
-
+
=
+
-
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
的图象，
又
2π
cos 2
3
y
x
j
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø 的图象关于原点对称，所以
2π
π
π
3
2
k
j -
=
+
，
即
7π
π
6
k
j =
+
，k ÎZ ，当
1
k = - 时，
π
6
j =
.
故答案为：π
6 （答案不唯一）.
13．（2025·湖南常德·一模）已知函数
π
( )
cos(
)(
0)
3
f x
x
w
w
=
-
>
在区间( π,π)
-
上有且仅有1 个零点和1 条对称轴，
则实数w 的取值范围是
.
【答案】1 2
( , ]
3 3
【详解】当
( π,π), >0
x
w
Î -
时，
π
π
π
(
π
,
π
)
3
3
3
x
w
w
w
-
Î -
-
-
，
由函数
( )
f x 在区间( π,π)
-
上有且仅有1 个零点和1 条对称轴，
π
π
|
π
| |
π
|
3
3
w
w
-
-
>
-
，
得
π
π
π
π
3
2
π
π
0
π
3
2
w
w
ì- £ -
-
< -
ïïí
ï <
-
£
ïî
或
3π
π
π
π
2
3
π
π
π
0
2
3
w
w
ì-
£ -
-
< -
ïïí
ï-
<
-
£
ïî
，解得
1
2
6
3
1
5
3
6
w
w
ì
<
£
ïïí
ï
<
£
ïî
或
2
7
3
6
1
1
6
3
w
w
ì
<
£
ïïí
ï-
<
£
ïî
，
则1
2
3
3
w
<
£
，所以实数w 的取值范围是1 2
( , ]
3 3 .
故答案为：1 2
( , ]
3 3
14．（24-25 高一下·山东青岛·期末）已知函数
cos 2
0
f x
x
j
j
=
+
>
，将曲线
y
f x
=
向左平移2j 个单位长度
后，所得图象关于原点对称，则j 的最小值为
.
【答案】π
10
【详解】将曲线
y
f x
=
向左平移2j 个单位长度后，所得曲线解析式为：
cos 2
2
cos 2
5
g x
x
x
j
j
j
=
+
+
=
+
é
ù
ë
û
，
因为
g x 的图象关于原点对称，所以
π
5
π,
2
k
k
j =
+
ÎZ ，即
π
π ,
10
5
k
k
j =
+
ÎZ，
因为
0
j >
，所以当
0
k =
时，j 取得最小值π
10 .
故答案为：π
10
15．（24-25 高一下·河南南阳·期末）已知函数
sin
0
f x
x
w
j
w
=
+
>
图象上相邻的两条对称轴之间的距离为
π
4 ，将
f x 图象上所有的点向右平移π
16 个单位长度后，所得函数
g x 的图象关于y 轴对称，则w
，j 的
最小正值为
【答案】
4
3
4
p /135°
【详解】由题意得
f x 的最小正周期
π
2π
2
4
T
w
=
´
=
，得
4,
sin 4
f x
x
w
j
=
=
+
，
则
π
π
sin 4
sin 4
16
4
g x
x
x
j
j
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
-
+
=
-
+
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
．
因为函数
g x 的图象关于y 轴对称，
所以
π
π
π
4
2
k
k
j
-
+
=
+
ÎZ ，得
3π
π
,
4
k
k
j
j
=
+
ÎZ
的最小正值为3π
4 .
故答案为：①4；②3π
4 .
16．（24-25 高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数
π
cos 2
2
f x
x
w
j
j
æ
ö
=
+
£
ç
÷
è
ø 的周期为π，5π, 0
6
æ
ö
ç
÷
è
ø
为它的一个
对称中心.
(1)求函数
f x 的解析式及其单调增区间；
(2)若关于x 的方程
2
[
]
2
0
+
×
-
=
f x
m f x
m
在
π
5π
,
12 12
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上有实数根，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
π
cos 2
6
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ，单调增区间：
5π
π
π,
π
Z
12
12
k
k
k
é
ù
-
+
+
Î
ê
ú
ë
û
(2)
0,1
mÎ
【详解】（1）由
2π
π
2
T
w
=
=
，得
1
w = ，
当
1
w = 时，因为5π ,0
6
æ
ö
ç
÷
è
ø 为它的一个对称中心,所以
5
π
2
π
π
Z
6
2
k
k
j
´
+
=
+
Î
，
所以
7π
π
Z
6
k
k
j = -
+
Î
，
又
π
2
j £
，所以
π
6
j = -
，所以
π
cos 2
6
f x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø ；
当
1
w = - 时，因为5π ,0
6
æ
ö
ç
÷
è
ø 为它的一个对称中心,所以
5
π
2
π
π
Z
6
2
k
k
j
- ´
+
=
+
Î
，
所以
13π
π
Z
6
k
k
j =
+
Î
，
又
π
2
j £
，所以
π
6
j =
，所以
π
π
cos
2
cos 2
6
6
f x
x
x
æ
ö
æ
ö
=
-
+
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ；
令
π
5π
π
π
π
π
π
π
12
12
2
2
2
6
k
x
k
k
x
k
-
£
-
£
-
£
Þ
£
+
+
+
，
Z
k Î
，
所以单调增区间：
5π
π
π,
π
Z
12
12
k
k
k
é
ù
-
+
+
Î
ê
ú
ë
û
；
（2）由
π
5
12
12
π
x
-
£
£
，得
π
π
2π
2
3
6
3
x
-
£
-
£
，故
1
π
cos 2
1
2
6
x
æ
ö
-
£
-
£
ç
÷
è
ø
，
因此函数
y
f x
=
的值域为
1 ,1
2
é
ù
-
ê
ú
ë
û .
设
π
cos 2
6
t
f x
x
æ
ö
=
=
-
ç
÷
è
ø，则
1 ,1
2
t
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û ，
要使关于x 的方程
2
[
]
2
0
f x
mf x
m
+
-
=
在
π
5π
,
12 12
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上有实数根，
即
2
2
=
-
t
m
t
在
1 ,1
2
t
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û 时有实数根，令
5
2
1, 2
n
t
é
ù
=
- Îê
ú
ë
û ，
则
2
2
2
4
4
2
n
t
m
n
t
n
n
-
=
=
=
+
-
-
在
5
1, 2
n
é
ù
Îê
ú
ë
û 时有实数根，
即y
m
=
与
4
4
y
n
n
=
+
-
在
5
1, 2
n
é
ù
Îê
ú
ë
û 有交点，由图像可知
0,1
mÎ
.
1．（24-25 高三上·山东济南·阶段练习）已知
( ) | sin
|
cos
f x
x
x
=
+
，以下说法正确的是（
）
A．
( )
f x 是偶函数
B．
( )
f x 的周期为2p
C．
( )
f x 的最小值为1
-
D．
( )
f x 的最大值为2
【答案】ACD
【详解】由题意知，函数的定义域为R ，关于原点对称，
又
(
) | sin(
) |
cos(
) | sin
|
cos
( )
f
x
x
x
x
x
f x
-
=
-
+
-
=
+
=
，所以
( )
f x 是偶函数，故A 正确；
又
(
2π) | sin(
2π) |
cos(
2π) | sin
|
cos
( )
f x
x
x
x
x
f x
+
=
+
+
+
=
+
=
，
所以2π是函数
( )
f x 的周期，从而2 π(
0)
k
k ¹
都是函数
f x 的周期，
f x 的周期可以为4π等，故B 错误；
当sin
0
x £
，即2 π
π
2 π,
Z
k
x
k k
-
£
£
Î
时，
π
( ) | sin
|
cos
sin
cos
2 sin(
)
4
f x
x
x
x
x
x
=
+
= -
+
= -
-
，
又
5π
π
π
2 π
2 π
,
Z
4
4
4
k
x
k
k
-
£
-
£
-
Î
，所以
π
2
2 sin(
)
1
4
x
-
£
+
£ ，
所以
π
1
2 sin(
)
2
4
x
- £ -
-
£
，
当sin
0
x ³
，即2 π
2 π
π,
Z
k
x
k
k
£
£
+
Î
时，
π
( ) | sin
|
cos
sin
cos
2 sin(
)
4
f x
x
x
x
x
x
=
+
=
+
=
+
，
又
π
π
5π
2 π
2 π
,
Z
4
4
4
k
x
k
k
+
£
+
£
+
Î
，所以
π
1
2 sin(
)
2
4
x
- £
+
£
，
所以函数
( ) | sin
|
cos
f x
x
x
=
+
的值域为
1,
2
é
ù
-
ë
û ，故CD 正确；
故选：ACD.
2．（24-25 高一下·辽宁抚顺·期末）关于函数
sin
sin
f x
x
x
=
+
有下述四个结论，其中正确的是（ ）
A．
f x 是奇函数
B．
f x 在区间π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减
C．
f x 的最大值为2
D．
f x 在
2024π,2024π
-
有4049 个零点
【答案】BC
【详解】由题意得
f x 的定义域为R ，
sin
sin
sin
sin
sin
sin
f
x
x
x
x
x
x
x
f x
-
=
-
+
-
=
+ -
=
+
¹ -
，
所以
f x 不是奇函数，故A 错误；
考点四
定义法求函数的性质
当
π
(
,π)
2
xÎ
时，sin
0
x >
，则
sin
sin
2sin
f x
x
x
x
=
+
=
，
此时
f x 在区间π
(
,π)
2
上单调递减，故B 正确；
因为
sin
sin
f
x
x
x
f x
-
=
+
=
，
f x 是偶函数，所以考虑
0
x ³
的情况即可，
当
[2 π,π
2 π],
x
k
k
k
Î
+
ÎN 时，函数
sin
sin
sin
sin
2sin
f x
x
x
x
x
x
=
+
=
+
=
，
此时当
π
2 π,
2
x
k
k
=
+
ÎN 时，
f x 取最大值2；
当
(π
2 π,2π
2 π],
x
k
k
k
Î
+
+
ÎN 时，函数
sin
sin
sin
sin
0
f x
x
x
x
x
=
+
=
-
=
，
综上，
f x 的最大值为2，故C 正确；
当
[π,2π]
xÎ
时，sin
0
x £
，
( )
sin
sin
0
f x
x
x
=
-
=
，此区间上
f x 有无数个零点，
故
f x 在[ 2024π,2024π]
-
不可能只有4049 个零点，故D 错误.
故选：BC.
3．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数
sin2 sin
f x
x
x
=
，则（ ）
A．π为
f x 的周期
B．
f x 的图象关于
π
2
x =
对称
C．
f x 的图象关于点π ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø对称
D．
π
2
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 是奇函数
【答案】ACD
【详解】已知
sin2 sin
f x
x
x
=
，
则
π
sin2(
π) sin(
π)
sin(2
2π)
sin
sin(2
2π) sin
sin2 sin
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
=
+
+
=
+
-
=
+
=
，
可得
(
π)
( )
f x
f x
+
=
，所以π为
f x 的周期，A 正确.
可知
π
sin2(π
) sin(π
)
sin(2π
2 ) sin
sin2 sin
f
x
x
x
x
x
x
x
-
=
-
-
=
-
= -
，
可得
(π
)
( )
f
x
f x
-
= -
，则B 错误，C 正确.
可知
π
π
π
sin2(
) sin(
)
sin(2
π) cos
sin 2
cos
2
2
2
f
x
x
x
x
x
x
x
æ
ö
+
=
+
+
=
+
= -
ç
÷
è
ø
，
则
π
sin 2(
) cos(
)
sin 2
cos
2
f
x
x
x
x
x
æ
ö
- +
= -
-
-
=
ç
÷
è
ø
，可知
π
π
2
2
f
x
f
x
æ
ö
æ
ö
- +
= -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
所以
π
2
f
x
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 是奇函数，所以D 正确.
故选：ACD.
4．（24-25 高一下·贵州贵阳·阶段练习）对于函数
cos
cos2
f x
x
x
=
+
，下列结论正确的是（ ）
A．
f x 的值域为
0,2
B．
f x 在
π
0, 4
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 上单调递减
C．
f x 的图象关于直线
π
4
x =
对称
D．π是
f x 的一个周期
【答案】BD
【详解】
cos
cos2
f x
x
x
=
+
，xÎR ，
所以
cos
cos
2
cos
cos2
f
x
x
x
x
x
f x
-
=
-
+
-
=
+
=
，所以
f x 是偶函数，
又
π
cos
π
cos2
π
cos
cos2
f
x
x
x
x
x
f
x
+
=
+
+
+
=
+
=
，所以π是函数
f x 的周期，
对于A，因为
f x 的一个周期为π，令
0,π
xÎ
，当
π
0, 2
é
ù
Îê
ú
ë
û
x
时，
2
2
cos
2cos
1,
cos ,
0,1 ,
2
1
f x
x
x
t
x t
g t
t
t
=
+
-
=
Î
=
+ - ，所以
1,2
g t Î -
，
当
π ,π
2
x
æ
ù
Îç
ú
è
û 时，
2
2
cos
2cos
1,
cos ,
1,0 ,
2
1
f x
x
x
t
x t
g t
t
t
= -
+
-
=
Î -
=
- - ，
所以
1,2
g t Î -
，所以
f x 的值域为
1,2
-
，故A 不正确；
对于B，当
π
0, 4
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，时
cos
cos2
f x
x
x
=
+
，
函数
cos
y
x
=
与
cos2
y
x
=
均在
π
0, 4
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 上单调递减，故B 正确；
对于C，因为
π
0
2,
1
2
f
f æ
ö
=
= -
ç
÷
è
ø
，所以
π
0
2
f
f æ
ö
¹
ç
÷
è
ø ，
所以
f x 的图象不关于直线
π
4
x =
对称，故C 不正确；
对于D，前面已证明正确.
故选：BD.
5．（24-25 高一下·山东潍坊·期末）已知函数
sin2
sin
cos
1
f x
x
m
x
x
=
-
+
+ ，mÎR ，则（ ）
A．
f x 的最小正周期为π
B．直线
π
4
x =
为
f x 图象的一条对称轴
C．若
f x 在区间
π
0, 4
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，则
1
m≤
D．存在m ，使得
f x 在区间
0,1013π 上恰有2025 个零点
【答案】ABD
【详解】对于A,由于函数
sin 2
y
x
=
的最小正周期为π，且
π
π
π
sin
cos ,
sin
cos
cos
sin
2
2
2
g x
x
x g x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
=
+
+
+
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，故
g x 的最小正周期为π
2 ，因此
f x 的
最小正周期为π
2 和π的最小公倍数π，故
f x 的最小正周期为π，A 正确，
对于B,
π
π
π
π
sin2
sin
cos
1
sin 2
cos
sin
1
2
2
2
2
f
x
x
m
x
x
x
m
x
x
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
+
+
+
+ = -
-
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
,而
π
sin
2
sin
cos
1
sin2
sin
cos
1
2
f
x
x
m
x
x
x
m
x
x
f
x
æ
ö
-
=
-
-
-
+
-
+ = -
-
+
+ =
+
ç
÷
è
ø 故直线
π
4
x =
为
f x 图象的
一条对称轴，B 正确，
对于C，当
π
0, 4
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，
2
sin2
sin
cos
1
sin
cos
sin
cos
f x
x
m
x
x
x
x
m
x
x
=
-
+
+ =
+
-
+
，令
π
sin
cos
2 sin
,
4
t
x
x
x
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
è
ø 当
π
0, 4
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，
π
π π
,
4
4 2
x
é
ù
+
Îê
ú
ë
û ，则
1,
2
t
é
ù
Îë
û ，且
sin
cos
t
x
x
=
+
在
π
0, 4
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 单调
递增，
故
2
,
f t
t
mt
=
-
1,
2
t
é
ù
Îë
û 单调递增，则需要
1
2
m £ ，故
2
m £
，因此若
f x 在区间
π
0, 4
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，则
2
m £
，
故C 错误，
对于D,由C 选项可知：
π
0, 2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ,令
0
f x =
，则
2
0
f t
t
mt
=
-
=
，故
2 sin
0
4
π
t
x
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
或
π
2 sin
4
t
x
m
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
，
当
2 sin
0
4
π
t
x
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
时，则
π
π
Z
4
x
k ,k
+
=
Î
,则
π
π,
Z
4
x
k
k
= -
+
Î
，当
0,1013π
xÎ
时，此时符合
π
π,
Z
4
x
k
k
= -
+
Î
的共有1013 个，
当
π
2 sin
1
4
t
x
æ
ö
=
+
= -
ç
÷
è
ø
，
π
2
π
π
sin
2 π,
4
2
4
4
x
x
k
æ
ö
+
= -
Þ
+
= -
+
ç
÷
è
ø
或
π
3π
2 π,
4
4
x
k
+
= -
+
解得
π
2 π,
x
k
= - +
或
π
2 π,
2
x
k
= -
+
故当
0,1013π
xÎ
时，符合条件的有
π,3π,
1011π
x =
L
，和
3π π
π
3π
,
2π,
4π,
1010π,
2
2
2
2
x =
+
+
+
L
共有
1012 个，
当
1
m = - ，且
π ,π
2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，此时
sin 2
sin
cos
1
f
x
x
x
x
=
+
-
+ ，令
0
f x =
，则
2
sin
cos
sin
cos
2
0
x
x
x
x
-
-
+
-
+
=
，故sin
cos
2
x
x
-
=
或sin
cos
1
x
x
-
= - ，
由于
π
sin
cos
2 sin
4
x
x
x
æ
ö
-
=
-
ç
÷
è
ø ，当
π ,π
2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，
π
π 3π
,
4
4
4
x
é
ù
-
Îê
ú
ë
û ，故
π
sin
cos
2 sin
1,
2
4
x
x
x
æ
ö
é
ù
-
=
-
Î
ç
÷
ë
û
è
ø
，故
当
π ,π
2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û ，
f x 无零点，
综上可知：当
1
m = - 时，
f x 在区间
0,1013π 上恰有2025 个零点，故D 正确，
故选：ABD
6．（24-25 高一下·广东汕尾·期末）声音是由于物体的振动产生，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是
函数
sin
y
A
t
w
=
.已知某个音是由三个纯音合成的，该音的数学模型为函数
1
1
sin
sin2
sin3
2
3
=
+
+
y
x
x
x ，下列说法
正确的是（ ）
A．该函数是偶函数
B．该函数的最小正周期为2π
C．该函数的最大值为11
6
D．该函数的图象关于(2π,0) 对称
【答案】BD
【详解】对A：因为
1
1
sin
sin
2
sin
3
2
3
f
x
x
x
x
-
=
-
+
-
+
-
1
1
sin
sin 2
sin3
2
3
x
x
x
æ
ö
= -
+
+
ç
÷
è
ø
f x
= -
.
所以函数
1
1
sin
sin2
sin3
2
3
=
+
+
y
x
x
x 为奇函数，故A 错误；
对B：因为
sin
y
x
=
的最小正周期为2π，
1 sin 2
2
y
x
=
的最小正周期为2π
π
2 =
，
1 sin3
2
y
x
=
的最小正周期为2π
3 ，
且2π，π，2π
3 的最小公倍数为2π，所以
1
1
sin
sin2
sin3
2
3
=
+
+
y
x
x
x 的最小正周期为2π，故B 正确；
对C：因为
sin
y
x
=
的最大值为1，
1 sin 2
2
y
x
=
的最大值为
1
2 ，
1 sin3
2
y
x
=
的最大值为1
3 ，且
1
1
11
1
2
3
6
+
+
=
.
但是它们分别在
π
2 π
2
x
k
=
+
，
π
π
4
x
k
=
+
，
2
π
π
3
6
x
k
=
+
，
Z
k Î
时取等号，所以不能同时取得最大值，故C 错误；
对D：因为
1
1
2π
sin 2π
sin 2 2π
sin3 2π
2
3
f
x
x
x
x
+
=
+
+
+
+
+
1
1
sin
sin 2
sin3
2
3
x
x
x
f x
=
+
+
=
，
1
1
2π
sin 2π
sin 2 2π
sin3 2π
2
3
f
x
x
x
x
-
=
-
+
-
+
-
1
1
sin
sin 2
sin3
2
3
x
x
x
f x
= -
-
-
= -
，
所以
2π
2π
0
f
x
f
x
+
+
-
=
，所以该函数的图象关于(2π,0) 对称，故D 正确.
故选：BD
7．（24-25 高一下·重庆·阶段练习）已知函数
( )
sin
cos
sin
cos
f x
x
x
x
x
=
+
-
，则下列说法正确的是（ ）
A．
( )
f x 是以π为周期的周期函数
B．
( )
f x 在π ,π
4
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递减
C．
( )
f x 的最大值为
1
2
2
+
D．存在
R
a Î
，使得
(
)
f x
a
+
为奇函数
【答案】AC
【详解】对于A，
(
) | sin(
) |
| cos(
) |
sin(
)cos(
)
π
π
π
π
π
f x
x
x
x
x
+
=
+
+
+
-
+
+
，
| sin
|
| cos
|
sin cos
( )
x
x
x
x
f x
=
+
-
=
，因此
( )
f x 是以π为周期的周期函数，故A 正确；
对于B，
π
( )
1
2
f
= ，
3π
2
2
2
2
1
(
)
(
)
2
4
2
2
2
2
2
f
=
+
-
× -
=
+
，
则
π
3π
(
)
)
2
4
(
f
f
<
，故B 错误；
对于C，当
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 时，
( )
sin
cos
sin
cos
f x
x
x
x
x
=
+
-
，
令
π
sin
cos
2 sin(
)
4
t
x
x
x
=
+
=
+
[1, 2]
Î
，
2
1
sin cos
2
t
x
x
-
=
，
2
2
1
1
1
( )
(
1)
1 [ 2
,1]
2
2
2
2
t
f x
t
t
= -
+
= -
-
+ Î
-
，
当π
[
,π]
2
时，
( )
sin
cos
sin cos
f x
x
x
x
x
=
-
-
，
令
π
sin
cos
2 sin(
)
[1,
2]
4
t
x
x
x
=
-
=
-
Î
，
2
1
sin cos
2
t
x
x
-
=
，
2
1
1
( )
[1,
2
]
2
2
2
t
f x
t
= +
-
Î
+
，
因此函数
( )
f x 在[0,π]上的最大值为
3π
1
(
)
2
4
2
f
=
+
，
由选项A 得
( )
f x 在定义域R 上的最大值为
1
2
2
+
，故C 正确；
对于D，由选项C 知，函数
( )
f x 在定义域R 上的值域为
1
1
[ 2
,
2
]
2
2
-
+
，
函数
( )
f x 的图象总在x 上方，因此函数
( )
f x 不可能是奇函数，
即不存在
R
a Î
，使得
(
)
f x
a
+
为奇函数，故D 错误.
故选：AC
8．（2025·江苏·模拟预测）对于函数
2
2
*
( )
sin
cos
(
)
n
n
nf
x
x
x n
=
+
ÎN
，下列说法正确的是（ ）
A．
( )
nf
x 的最小正周期为π
B．当
2
n ³
时，
1
1
1
0
( )
( )
( )
4
n
n
n
f
x
f
x
f
x
+
-
£
-
£
C．
( )
nf
x 的最小值依次成等比数列
D．
1( )
nf
x
+
值域是
( )
nf
x 值域的子集
【答案】BCD
【详解】对于A，函数
2
2
*
( )
sin
cos
(
)
n
n
nf
x
x
x n
=
+
ÎN
，
则
2
2
2
2
*
π
π
π
sin
cos
cos
sin
2
2
2
n
n
n
n
n
n
f
x
x
x
x
x
f
x
n
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
+
=
+
=
Î
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
N
，
所以
nf
x 最小正周期不为π，故A 错误；
对于B，
2
2
2
2
2
2
1
sin
cos
sin
cos
n
n
n
n
n
n
f
x
f
x
x
x
x
x
+
+
+
-
=
+
-
-
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
1 sin
cos
1 cos
sin
cos
cos
sin
0
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
=
-
+
-
=
+
³
，
当
2
n ³
时，
2
2
2
2
1
1
1 sin
cos
4
4
n
n
nf
x
x
x
-
-
-
=
+
，
则当
2
sin
0
x =
时
2
cos
1
x = 或当
2
cos
0
x =
时
2
sin
1
x = ，
此时均有
1
0
n
n
f
x
f
x
+
-
=
，
2
2
2
2
1
1
1
1
sin
cos
4
4
4
n
n
nf
x
x
x
-
-
-
=
+
=
，
所以
1
1
1
4
n
n
n
f
x
f
x
f
x
+
-
-
<
；
当
2
sin
0
x ¹
且当
2
cos
0
x ¹
时，
2
0
cos
1
x
<
< 且
2
0
sin
1
x
<
< ，
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1 sin
cos
sin
cos
4
4
4
sin
cos
n
n
n
n
n
x
x
f
x
x
x
x
x
-
-
-
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
1
1
2
2
2
sin
cos
cos
sin
4sin
cos
sin 2
n
n
n
n
n
n
f
x
f
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
x
+
+
-
+
=
=
³
-
，
综上，当
2
n ³
时，
1
1
1
0
4
n
n
n
f
x
f
x
f
x
+
-
£
-
£
，故B 正确；
对于C，令
2
sin
0,1
t
x
=
Î
，则
2
cos
1
0,1
x
t
= - Î
，则函数
*
1
n
n
n
y
f
x
t
t
x n
=
=
+
-
ÎN
，
所以
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
y
nt
n
t
n t
t
-
-
-
-
é
ù
=
-
-
=
-
-
ë
¢
û ，令
1
1
1
0
1
1
2
n
n
y
t
t
t
t
t
-
-
=
Þ
=
-
Þ = - Þ =
¢
，
所以
1
0, 2
t
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，
0
y¢ £
，函数单调递减；当
1 ,1
2
t
æ
ù
Îç
ú
è
û 时
0
¢ >
y
，函数单调递增，
所以
min
1
2
1
1
1
|
1
2
2
2
2
n
n
n
t
y
y
=
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
+
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，所以
min
1
2 2
n
nf
x
æ
ö
=
ç
÷
è
ø
，
所以
1
1
min
min
1
2
1
2
2
1
2 2
n
n
n
n
f
x
f
x
+
+
æ
ö
ç
÷
è
ø
=
=
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
1
min
1
f
x
= ，所以
min
nf
x
依次成等比数列，故C 正确；
对于D，对
*
1
n
n
n
y
f
x
t
t
x n
=
=
+
-
ÎN
，则
0
1
|
0
1
1,
|
1
0
1
n
n
n
n
t
t
y
y
=
=
=
+
=
=
+
= ，
所以由C 可知函数
*
1
n
n
y
t
t
x n
=
+
-
ÎN
的值域即
( )
nf
x 值域是
1
2
,1
2
n
é
ù
æ
ö
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
，
所以
1( )
nf
x
+
值域是
1
1
2
,1
2
n+
é
ù
æ
ö
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
，因为
1
2
,1
2
n
é
ù
æ
ö
Í
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
1
1
2
,1
2
n+
é
ù
æ
ö
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
，
所以
1( )
nf
x
+
值域是
( )
nf
x 值域的子集，故D 正确.
故选：BCD
