第 45 讲 数列的综合应用 · 分类练习
考点一：数列在实际问题与数学文化中的应用..............................................................................1
考法1：求解数学文化背景下的数列问题...........................................................................1
考法2：构建实际生活情境中的数列模型...........................................................................1
考点二：数列的特殊模型与性质探究..............................................................................................2
考法3：求解数列的公共项问题...........................................................................................2
考法4：求解数列的插项问题...............................................................................................2
考法5：利用蛛网图或函数单调性分析递推数列...............................................................2
考法6：探究数列中的整数与存在性问题...........................................................................2
考点三：数列与函数、不等式的综合..............................................................................................3
考法7：利用函数性质探究数列通项与最值.......................................................................3
考法8：利用导数探究数列性质或证明不等式...................................................................3
考法9：结合取整函数求解数列问题...................................................................................4
考法10：利用放缩法或裂项相消证明数列不等式.............................................................4
考法11：求解数列中的不等式恒成立与参数范围问题.....................................................5
考点四：数列与几何、概率的综合..................................................................................................6
考法12：求解数列与解析几何的交汇问题.........................................................................6
考法13：求解数列与平面几何的交汇问题.........................................................................6
考法14：求解数列与概率统计的交汇问题.........................................................................7
考点五：数列中的新定义问题..........................................................................................................8
考法15：探究新定义数列的通项与求和.............................................................................8
考法16：探究新定义数列的性质与证明.............................................................................9
考法17：探究新定义集合、数组与数列的综合.................................................................9
考法18：证明新定义背景下的不等式...............................................................................10考点一：数列在实际问题与数学文化中的应用
考法1：求解数学文化背景下的数列问题
1.（2026·浙江强基联盟·检测）（多选）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分
损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分
损一”，加长一截就是“三分益一”．我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为a ，用
1
1
“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长81×(1- )，记为a ，再用“三分益一”得到
3 2
1
第三个音“太簇”的弦长54×(1+ )，记为a ，⋯，按此规律依次交替损益就能得到“十
3 3
二律吕”的弦长．把上述依次得到的弦长组成的数列记为{a }(n∈N* )．则下列说法正确
n
的是（ ）
A. a =64
5
B. 2a =3a
7 8
C. ∃k∈N*，使得：a +a =2a
2k-1 2k+3 2k+1
D. ∀k∈N*，都有a a =(a ) 2
2k-1 2k+3 2k+1
考法2：构建实际生活情境中的数列模型
2.（2025·河北衡水中学·一模）近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车
的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已
处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要
安装､人工等费用24万元，从第二年起，包括人工､维修等费用每年所需费用比上一年增
加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（
）
A. 204万元 B. 220万元 C. 304万元 D. 320万元
考点二：数列的特殊模型与性质探究
考法3：求解数列的公共项问题
3.已知n∈N，n≥1，将数列{2n-1}与数列{n2-1}的公共项从小到大排列得到新数列{a }，
n
100
1
则∑ =＿＿＿＿＿＿．
a
n=1 n
考法4：求解数列的插项问题
a a a n
4.已知数列{a }满足 1+ 2+⋯+ n= (n∈N* )．
n 3 32 3n 3（1）求{a }的通项公式；
n
（2）在{a }相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列{b }的前2n项和T ．
n n 2n
考法5：利用蛛网图或函数单调性分析递推数列
5.（多选）已知数列{a }满足：a =0，a =ln(ea n+1)-a (n∈N* )，前n项和为S ，则下列
n 1 n+1 n n
选项错误的是（ ）（参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099）
A. {a }是单调递增数列，{a }是单调递减数列
2n-1 2n
B. a +a ≤ln3
n n+1
C. S <670
2020
D. a ≤a
2n-1 2n
考法6：探究数列中的整数与存在性问题
6.（2025·江西三新协同·模拟）已知{a }是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前n项
n
和为S ，a =1．集合A={S ∣S =2k-1,k∈Z}，A中元素个数为m，将A中所有元素取出，
n 1 n n
1 1 1
并按从小到大排列，记为数列{b }．若 + +⋯+ <t，则称数列{a }为m∼t数列．
n b b b n
1 2 m
（1）若a =a +a ,a =1，写出一个2∼2数列{a }；
n+2 n+1 n 2 n
（2）若{a }是公比为偶数的等比数列，证明：{a }为m∼2数列；
n n
（3）若m∼t数列{a }是等差数列，求t的最小正整数．
n
考点三：数列与函数、不等式的综合
考法7：利用函数性质探究数列通项与最值
7.（2025·安徽淮北淮南·二模）（多选）设数列{a }的前n项和为S ，对任意正整数n有
n n
S =4S +3，下列命题正确的有（ ）
n+2 n
A. 若a =1，则S =7
1 3B. {a }一定不是等差数列
n
C. 若{a }为等比数列，则公比为2
n
D. 若a =1,a =2，则{a }为等比数列
1 2 n
8.（2025·河南驻马店高中·检测）（多选）已知各项均不为零的数列{a }，其前n项和是S ，
n n
a =a，且S =a a (n=1,2,⋯)．下列说法正确的是（ ）
1 n n n+1
A. a =1
2
B. 若{a }为递增数列，则a的取值范围是(0,1)
n
C. 存在实数a，使得{a }为等比数列
n
a
D. ∃m∈N*，使得当k>m时，总有 2k <20.01
a
2k-1
考法8：利用导数探究数列性质或证明不等式
1
9.（2026·江苏南京·二模）曲线y= 在x=n(n∈N* )处的切线为l ，分别记l 在x,y轴上的
4x n n
n
截距为x ,y ，则∑(x⋅y +x ⋅y )=（ ）
n n i i+1 i+1 i
i=1
3n-1 3n+2 2n2+n-1 2n2+3n
A. B. C. D.
n n+1 n n+1
1
10.（2026·河北NT名校·检测）设函数g(x)= x3+ax2的图象在x=1处的切线平行于直线
3
1
2x- y=0，记g(x)的导函数为f(x)，数列{a }满足：a = ,a =f(a )．
n 1 2 n+1 n
（1）试判断数列{a }的单调性，并给出证明；
n
1 1 1
（2）当n≥2,n∈N*时，求证：1< + +⋯+ <2．
1+a 1+a 1+a
1 2 n
x+1
11.（2026·广东湛江·检测）已知f(x)= ，设y=f(x)与y=x-n-1(n∈N* )的图象位于
ex
第一象限的交点为P (x ,y )．
n n n
（1）求f(x)的最大值；
1
（2）证明：n+1<x <n+1+ ；
n ne
（3）证明：x -x > ．
n+1 n e+1
考法9：结合取整函数求解数列问题
n n+1 n+2
12.（2026·江西萍乡·二模）已知数列{a }满足a =1,a +a =[ ]+[ ]+[ ],n∈N ，
n 1 n+1 n 3 3 3 +
其中[x]表示不超过x的最大整数．若a2 +a =506，则m=（ ）
m m
A. 44 B. 45 C. 46 D. 47
考法10：利用放缩法或裂项相消证明数列不等式
13.（2025·广东燕博园·检测）（多选）已知函数f(x)的定义域为{x∈R∣x≠0}，且对
1 1
∀x≠0，f( )=f(2x)和f(x)+f( )=4均恒成立，令函数F(x)=f(2x )-2，则下列结论正
x x
确的是（ ）
A. f（2）=2
B. 函数F(x)为奇函数
C. 函数F(x)的图象关于直线x=1对称
D. f（1）+f（2）+f（4）+f（8）+⋯+f(22026 )=4054
14.（2026·江西宜春十校·联考）（多选）已知{a }是各项均为正数的等差数列，且公差
n
d>0，{b }是各项均为正数的等比数列，且公比q>1，若项数均为2n-1项（n≥2,n∈N*），
n
下列说法正确的有（ ）
A. 数据a ,a ,a ,⋯,a 的平均数是a
1 2 3 2n-1 n
B. 数据b ,b ,b ,⋯,b 的平均数是b
1 2 3 2n-1 n
C. 若a =b ,a =b ，则数据a ,a ,a ,⋯,a 的中位数大于数据b ,b ,b ,⋯,b
1 1 2n-1 2n-1 1 2 3 2n-1 1 2 3 2n-1
的中位数
D. 若a =b ,a =b ，则数据a ,a ,a ,⋯,a 的平均数大于数据b ,b ,b ,⋯,b
1 1 2n-1 2n-1 1 2 3 2n-1 1 2 3 2n-1
的平均数
15.（2026·浙江精诚联盟·模拟）已知数列{a }的前n项和为S ，S =4，且对∀n∈N*，
n n 2
a 2
n+1=1+
．
a 2n-1
n
（1）求a ；
nn a
（2）证明：∑ i+1 <1．
S S
i=1 i i+1
16.（2025·江西九江·一模）已知{a }是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前n项和为
n
S ，a =1．集合A={S ∣S =2k-1,k∈Z}，A中元素个数为m，将A中所有元素取出，并
n 1 n n
1 1 1
按从小到大排列，记为数列{b }．若 + +⋯+ <t，则称数列{a }为m∼t数列．
n b b b n
1 2 m
（1）若a =a +a ,a =1，写出一个2∼2数列{a }；
n+2 n+1 n 2 n
（2）若{a }是公比为偶数的等比数列，证明：{a }为m∼2数列；
n n
（3）若m∼t数列{a }是等差数列，求t的最小正整数．
n
考法11：求解数列中的不等式恒成立与参数范围问题
17.（2026·山东德州·一模）（多选）已知数列{a }满足a =a (a +2)，且a =t，则
n n+1 n n 1
（ ）
A. 存在唯一的实数t，使得{a }为常数列
n
B. 当-1<t<0时，{a }为递减数列
n
C. 当a <0时，t的取值范围为(-2,0)
3
D. 当t=1时，b =log a ，{b }前n项和为S ，则S <2n-1
n 2 n n n n
18.（2026·安徽皖江联盟·检测）已知数列{a }满足a =2,a +2<a <2a +2,S 是其前n项和．
n 1 n n+1 n n
若S =2026，则正整数m的所有可能取值的个数为＿＿＿＿＿＿．
m
考点四：数列与几何、概率的综合
考法12：求解数列与解析几何的交汇问题
19.（2026·江苏南京盐城·一模）已知圆C:(x-1) 2+ y2=1，点P (1,1)，对于圆C上的点
1
P (a ,b )(n∈N* )，按照如下方式构造点P ；过点P 作直线l 垂直于y轴，M 为点P 在y
n n n n+1 n n n n轴上的射影，点Q 满足⃗M Q =λ⃗M P （λ为常数，λ≥❑√5），直线OQ 交C于点P ，其中
n n n n n n n+1
O为坐标原点，点P 异于点O．
n+1
（1）若λ=3，求P 的坐标；
2
1 1
（2）证明：数列{ - }为等比数列；
a 2
n
（3）已知P(2,0)，设△OPP 及△PP P 的面积分别为S ,T ，若存在正整数
n+1 n n+1 n n
m,n(m<n)，使得n2T (S -T )=m2T (S -T )，求λ所有可能的值．
n m m m n n
考法13：求解数列与平面几何的交汇问题
20.（2024·广东华南师大·三模）如图，一系列由正三角形构成的图案称为谢尔宾斯基三角
形，图1三角形边长为2，则第n个图中阴影部分的面积为＿＿＿＿＿＿．
21.（2025·江西新余·二模）若存在无穷多组正整数组(a ,b ,c )，满足a2+b2=mc2，且对任
n n n n n n
a b c
意正整数i, j，不存在正数λ，使得 i = i = i =λ，则称正整数m是有趣数，称(a ,b ,c )为
a b c n n n
j j j
m的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）．
（1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由；
①(3n,4n,5n)；②(2n,n2-1,n2+1)(n=2,3,⋯)．
（2）过点A(-1,-1)作斜率为n的直线交圆x2+ y2=2于另一点B，由此证明：2是有趣数，
并找出2的一列有趣数组(a ,b ,c )；
n n n
（3）从1,2,⋯,6中任取两个数，求它们都是有趣数的概率．
考法14：求解数列与概率统计的交汇问题
22.（2026·湖北孝感·检测）（多选）数列{a }满足a +a =(-1) n+1 (n∈N* )，且a =-2，
n n+1 n 1
数列{a }的前n项和为S ，从{a }的前2n项中任取不同的两项，它们的和为偶数的概率为P ，
n n n n
数列{1-P }的前n项积为T ，则（ ）
n n
A. a =11
10B. S =-52
101
1
C. P >
n 2
n
D. T ≤
n 2n-1
23.（2026·湖北楚天协作体·二模）某互联网大数据实验室为研究短视频平台AI智能推荐
算法的内容传播规律，建立如下概率扩散模型：科研人员选定n名平台用户作为研究样本．
每名用户被内容打动并产生互动传播的“基础易感性”参数均为常数a(0<a<1)．内容传
播按天数逐级扩散，传播规则如下：
①第一天（冷启动推荐阶段）：AI系统从n名用户中随机选取m名用户进行初始定向推送，
每名被推送的用户主动点赞并参与传播（称为激活用户）的概率均为p，且各用户是否被
激活相互独立．
②第二天及以后（社交扩散推荐阶段）：每一天，所有已激活用户都会通过AI协同推荐，
对所有未激活用户（即n名用户中还未被激活的）进行二次流量触达．任一未激活用户只
要被成功激活，就会转为激活用户，并继续参与下一轮传播．
已知：若某一天有k个激活用户同时对同一未激活用户进行推荐触达，则此用户当天被成
功激活的概率为：1-(1-a) k．
（1）求第一天结束时，被成功激活的用户人数的数学期望；
（2）求第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率；
（3）若取n=5,m=2,p=0.4，求两天后用户甲是激活用户的概率（用含a的代数式表示）；
并结合该概率模型，简要说明为什么AI推荐平台上的部分短视频会出现爆发式流量暴涨
的现象．
24.（2026·安徽A10联盟·检测）盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同．甲、
乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则
黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中．直至盒中红球已被全部取出，游戏结束．
第一次摸球从甲开始，记P 为第n次摸球后游戏结束的概率．
n
（1）求P ,P ；
1 2
（2）求P ；
n
（3）若摸球2n次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量X ．证明：
2n
7
E(X )< ．
2n 5考点五：数列中的新定义问题
考法15：探究新定义数列的通项与求和
25.（2025·山东名校联盟·二模）对于n∈N*，将n表示为
n=a ×2k+a ×2k-1+⋯+a ×21+a ×20 (k∈N* )，其中a =1，当0≤i≤k-1(k∈N* )时，a
k k-1 1 0 k i
为0或1，定义φ(n)为正整数n的表达式中a =1(i=0,1,2,⋯,k,k∈N* )的个数，则
i
φ（63）=（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
26.（2025·江西上进联考·检测）（多选）已知S 为数列{a }的前n项和，且
n n
1 n
a = ,2S -1=S (n≥2)，规定T （1）=S ,T (m)=∑T (m-1)(m≥2)，则（ ）
1 2 n n-1 n n n i
i=1
2 1
A. S = (1- )
n 3 4n
B. 2n ⋅T （3）=2n-1 (n2-n+2)-1
n
Am+1
C. T (m+2)>T (m)+ n+m-1
n n (m+2)!
D. T (m+2)+T (m+1)=Cn-1
n n n+m
27.（2026·广东东莞·二模）进位制是人们为了计数和计算方便而约定的计数方式，通常
“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；⋯；满几进
一，就是几进制”．记十进制下的自然数m在三进制下的表示为a a ⋯a a ，则
n n-1 1 0（3）
n
m=∑a⋅3i，其中a∈{0,1,2},a ≠0，例如十进制数19=2×32+0×31+1×30，所以19在
i i n
i=0
三进制下可写为201 ．
（3）
（1）设正整数m在三进制下的各位数字之和S(m)=a +a +a +a +⋯+a ；
0 1 2 3 n
（i）将满足S(m)=3的正整数m从小到大排成一列，写出该列数的前四个数；
（ii）证明：S(3m+2)=S(9m+4)；
（2）已知正整数m≤80，设正项数列{b }的前n项和为T ，且
n n
∞
1 2
4T2-b2+2m⋅b -m2=0,n∈N*，证明：∑([b + ]+[b + ])=m（其中[x]表示不大于x的
n n n i 3 i 3
i=1
最大整数）．考法16：探究新定义数列的性质与证明
28.（2026·山东日照·二模）（多选）对于无穷数列{a }，若存在常数M>0，使得对任意的
n
n∈N*，都有不等式|a -a |+|a -a |+⋯+|a -a |≤M成立，则称数列{a }具有性质
2 1 3 2 n+1 n n
P．则下列结论正确的是（ ）
A. 存在公差不为0的等差数列{a }具有性质P
n
B. 以1为首项，q(|q|<1)为公比的等比数列{a }具有性质P
n
C. 若数列{a }的前n项和构成的数列{S }具有性质P，则数列{a }也具有性质P
n n n
D. 若数列{a }和{b }均具有性质P，则数列{a b }也具有性质P
n n n n
alnx
29.（2026·安徽临泉中学·二模）已知函数f(x)= (a≠0)．
x
（1）当a=1时，讨论f(x)的图象与直线y=m的交点个数；
1
（2）对任意的x∈(0,+∞)，f(x)≤1- 恒成立，求a的值；
x
1 1 1 1
（3）证明：
n+1>e2
+
3
+
4
+⋯+ n+1,n∈N*．
考法17：探究新定义集合、数组与数列的综合
30.（2026·浙江名校协作体·二模）（多选）已知集合A={a ,a ,⋯,a }(n≥3)，其中
1 2 n
a <a <a <⋯<a ，且a∈N*,i=1,2,⋯,n，定义A的和集A+A={a +a ∣a ,a ∈A}，则
1 2 3 n i i j i j
（ ）
A. 若{a }是等差数列，则A+A的元素个数为2n-1
n
n2+n
B. 若{a }是等比数列，则A+A的元素个数为
n 2
C. 若A+A的元素个数为2n-1，则{a }是等差数列
n
n2+n
D. 若A+A的元素个数为 ，则{a }是等比数列
2 nn
31.（2026·湖北鄂东南联盟·模拟）已知数列{a }的通项公式为a = ，设集合
n n 3n-1
A ={a ,a ,⋯,a }(n∈N* )，A 的所有非空子集中的最小元素的和为T ．若∀n∈N*，
n 1 2 n n n
λ>T ，则实数λ的取值范围为＿＿＿＿＿＿．
n
32.（2025·山东名校联盟·二模）若存在无穷多组正整数组(a ,b ,c )，满足a2+b2=mc2，且
n n n n n n
a b c
对任意正整数i, j，不存在正数λ，使得 i = i = i =λ，则称正整数m是有趣数，称
a b c
j j j
(a ,b ,c )为m的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）．
n n n
（1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由；
①(3n,4n,5n)；②(2n,n2-1,n2+1)(n=2,3,⋯)．
（2）过点A(-1,-1)作斜率为n的直线交圆x2+ y2=2于另一点B，由此证明：2是有趣数，
并找出2的一列有趣数组(a ,b ,c )；
n n n
（3）从1,2,⋯,6中任取两个数，求它们都是有趣数的概率．
考法18：证明新定义背景下的不等式
33.（2026·山东青岛·二模）在组合数学、表示论和数学物理中，“q-数”，是一种通过引
入参数q对经典数学对象进行推广的概念，由物理学家保罗·狄拉克首先使用，对量子力学
的发展意义重大.定义“q-数”：
(n) =1+q+q2+⋯+qn-1，其中，q≠0,1,-1.利用“q-数”可以进一步定义两个概念：“q-
q
阶乘”：
(n)! =(1) (2) (3) ⋯(n) ，且（0）! =1，“q-组合数”
q q q q q q
(n) =
(n)!
q ,k∈N,n∈N*,k≤n
k (k)! (n-k)!
q q q
(6)
（1）计算(3) 和 的值；
2 3
2
（2）证明：对任意k∈N,n∈N*,k+1≤n，
(n) -(n-1) =qn-k(n-1)
；
k k k-1
q q q
m
（3）证明：对任意k,m∈N,n∈N*,k+1≤n，(n+m+1) -( n ) =∑qn-k+i(n+i) ．
k+1 k+1 k
q q i=0 q34.（2025·广东深圳中学·一模）若数列{a }(1≤n≤m+k,n∈N*,m,k∈N* )满足
n
a ∈{-1,1}．定义广义规范数列如下：{a }中共有m+k项(m≥k)，其中m项为-1，k项为1，
n n
且对任意i≤m+k项，a ,a ,⋯,a 中的 -1 的个数不少于 1 的个数．当 m=k 时，满足上
1 2 i
述定义的数列称为规范数列．记 f(m,k) 表示“广义规范数列”的个数．
（1）若 {a } 既为等比数列，又为规范数列，求符合条件的所有 {a } 的通项公式；
n n
（2）求 f(m,2),∀m>2；进一步证明：当 m>k 时，f(m,k)=f(m-1,k)+f(m,k-1)；
（3）当 k=5 且 m≥9 时，记 P 表示 m+5 项数列中符合广义规范数列的概率，求
m+5
7
证：P ≤ ．
m+5 64
n(n+1)(2n+1)
（提示：12+22+⋯+n2= ）
6
