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2.2 函数的单调性与最值
思维导图
知识点总结
知识点一 增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D 上单调递增，
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是
．
(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D 上单调递减，
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是
．
思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？
(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？
答案 (1)不是；(2)不能．
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知识点二 函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严
格的) ，区间D 叫做y＝f(x)的
．
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以
单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能
开．
(2)单调区间D⊆定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
知识点三 函数的最大(小)值及其几何意义
最值
条件
几何意义
最大值
①对于∀x∈I，都有 ，
②∃x0∈I，使得
函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标
最小值
①对于∀x∈I，都有 ，
②∃x0∈I，使得
函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标
思考 函数f(x)＝x2＋1≥－1 总成立，f(x)的最小值是－1 吗？
答案 f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.
知识点四 求函数最值的常用方法
1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最
大(小)值．
2．运用已学函数的值域．
3．运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝ ，ymin＝
．
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝ ，ymin＝
．
4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
典型例题分析
考向一 函数单调性的判定与证明
例1 根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1,1)上的单调性．
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反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤
考向二 求单调区间并判断单调性
例2 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及
在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
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(1)函数单调区间的两种求法
①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出
现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来
表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
考向三 利用函数的单调性求最值
例3 已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
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反思感悟 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为
f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定
出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的
函数值或者发展趋势．
基础题型训练
一、单选题
1．函数
在
上是减函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若函数f(x)是R 上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)
C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)
D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)
3．函数
为
的导函数，令
，则下列关系正
确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
4．函数
的值域为
A．
B．
C．
D．
5．设a，
，若
时，恒有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
的图像关于
对称，且对任意的
，
，总有
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．函数
满足条件：①对定义域内任意不相等的实数
，
恒有
；
②对定义域内任意两个实数
，
都有
成立，则称为
函数，
下列函数为
函数的是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
8．关于函数
，下列命题中正确的是（ ）
A．函数图象关于y 轴对称
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B．当
时，函数在
上为增函数
C．当
时，函数有最大值，且最大值为
D．函数的值域是
三、填空题
9．函数
的单调递减区间为________.
10．二次函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是______.
11．如果对于函数
的定义域内任意两个自变量的值
，
，当
时，都有
且存在两个不相等的自变量
，
，使得
，则称
为定义
域上的不严格的增函数．已知函数
的定义域、值域分别为
，
，
，
且
为定义域
上的不严格的增函数，那么这样的函数
共有________个．
12．已知
在
上单调递增，则实数a 的取值范围为______.
四、解答题
13．设函数
,
,函数
.
(1)若
时,画出函数
的图象,并指出函数的单调区间；
(2)求
在区间
上的最小值.
14．设函数
，求证：函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
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15．已知函数
，二次函数
满足
，且不等式
的解集为
．
(1)求
，
的解析式；
(2)设
，根据定义证明：
在
上为增函数．
16．设
是偶函数，
是奇函数，且
，求函数
的解析
式．
提升题型训练
一、单选题
1．函数y=x2-5x-6 在区间[2，4]上是（ ）
A．递减函数
B．递增函数
C．先递减再递增函数
D．先递增再递减函数
2．定义
，若函数
在
上单调递减，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，若函数
在
上为减函数，且函数
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在
上有最大值，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
在
上是增函数，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．当
时，函数
有最小值是
，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．3
D．1 或3
6．已知函数
是定义在
上的单调函数，且
，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．4
二、多选题
7．已知函数
的图象由如图所示的两段线段组成，则下列正确的为（ ）
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A．
B．函数
在区间
上的最大值为2
C．
的解析式可表示为：
D．
，不等式
的解集为
8．函数
与函数
在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
9．
的最大值为______．
10．已知函数
在
上单调,则实数
取值范围是__________.
11．函数
在
上的最小值为8，则实数
______.
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12．已知
，
，若
对任意
都成立，则
的取值范围是______．
四、解答题
13．已知函数
,当自变量x 在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小
值.
(1)R；(2)
；(3)
.
14．已知函数
，且
，
.
（1）求
，
；
（2）判断
在
上的单调性并证明.
15．设函数
的定义域为
，且有：
，② 对任意正实数
都有
，③
为减函数
（1）求：
的值；
（2）求证：当
时，
；
（3）求证：当
时，都有
；
（4）解不等式：
.
16．对于定义在区间
上的函数
，若存在闭区间
和常数，使得对任意
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，都有
，且对任意
，当
时
恒成立，则称函数
为区间
上的“平底型”函数.
（I）若函数
是
上的“平底型”函数，求
的值；
（Ⅱ）判断函数
是否为
上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅲ）若函数
是区间
上的“平底型”函数，且函数的最小值为，
求
.
的值．
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