第 47 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
分类练习（解析卷）
考点一：平面的基本性质..................................................................................................................2
考法1：平面的基本性质及其推论.......................................................................................2
考法2：证明点共线、线共点与点共面...............................................................................2
考法3：空间几何体的截面问题...........................................................................................3
考点二：空间线线关系......................................................................................................................6
考法4：异面直线的判定.......................................................................................................6
考法5：异面直线所成角的计算...........................................................................................7
考法6：等角定理的应用.......................................................................................................9
考点三：空间平行关系......................................................................................................................9
考法7：平行关系的简单判定与命题辨析...........................................................................9
考法8：证明线面平行...........................................................................................................9
考法9：证明面面平行.........................................................................................................11
考法10：平行性质定理的应用...........................................................................................12
考点四：空间垂直关系....................................................................................................................12
考法11：垂直关系的简单判定与命题辨析.......................................................................12
考法12：证明线线垂直.......................................................................................................13
考法13：证明线面垂直.......................................................................................................14
考法14：证明面面垂直.......................................................................................................17
考点五：空间线面关系的综合应用................................................................................................18
考法15：正方体中线面关系的综合判定...........................................................................18
考法16：空间位置关系中的存在性与探究问题...............................................................19
考法17：空间位置关系中的距离与最值问题...................................................................21答案速查表
1 2 3 4 5
D 见解析 ABD 见解析 C
6 7 8 9 10
BCD C ACD 60∘或120∘ B
11 12 13 14 15
见解析 见解析 见解析 见解析 D
16 17 18 19 20
ABD ABC 见解析 见解析 见解析
21 22 23 24 25
见解析 见解析 见解析 见解析 ABD
26 27 28 29 30
7❑√2
见解析 见解析 ACD BCD
2
考点一：平面的基本性质
考法1：平面的基本性质及其推论
1.（2025·福建福州·检测）在正方体ABCD-A B C D 中，M为AB的中点，l为平面
1 1 1 1
A MC 与平面ABCD的交线，则
1 1
A. l∥AC B. l⟂AC C. l∥BD D. l⟂BD
1 1 1 1
【答案】D
【解析】设N为BC的中点，则l即为MN所在直线，故l⟂平面BDD B ，所以l⟂BD ，故选D.
1 1 1
【点拨】本题考查平面的基本性质，通过寻找平面的交线，结合正方体的几何性质判断线线垂直
关系.
考法2：证明点共线、线共点与点共面
2.如图，在正方体ABCD-A B C D 中，E，F分别是AB，A A 上的点，且A F=2FA，
1 1 1 1 1 1
BE=2AE.
（1）证明：E，C，D ，F四点共面；
1（2）设D F∩CE=O，证明：A，O，D三点共线.
1
【答案】见解析
【解析】（1）证明：如图，连接EF，A B，D C.
1 1
在正方体ABCD-A B C D 中，A F=2FA，BE=2AE，所以EF∥A B，
1 1 1 1 1 1
又BC∥A D ，且BC=A D ，
1 1 1 1
所以四边形BCD A 是平行四边形，所以A B∥D C，
1 1 1 1
∴EF∥D C，所以E，C，D ，F四点共面；
1 1
（2）证明：由D F∩CE=O，∴O∈D F，又D F⊂平面ADD A ，∴O∈平面ADD A ，
1 1 1 1 1 1 1
同理O∈平面ABCD，又平面ADD A ∩平面ABCD=AD，
1 1
∴O∈AD，即A，O，D三点共线.
【点拨】本题考查点共面与点共线的证明，利用平行线的传递性证明四点共面，利用公理3（两个
相交平面的公共点必在交线上）证明三点共线.
考法3：空间几何体的截面问题
3.（2026·湖南八中·一模）（多选）如图，在正方体ABCD-A B C D 中，点E，F，G，
1 1 1 1
H分别为棱A B ，BC，CD，B C 的中点，则下列结论正确的是（ ）
1 1 1 1
❑√6
A. 异面直线EF与A C 所成角的正弦值为
1 1 3
B. EF∥平面A A C C
1 1
C. 直线AE与CH是异面直线
D. 过A，E，G三点的平面截正方体ABCD-A B C D 所得的截面形状为菱形
1 1 1 1
【答案】ABD【解析】对于A，如图所示，取A C 的中点O，连接OE，OC ，因为OE∥B C ∥BC，
1 1 1 1 1
1 1
OE= B C ，CF= BC，所以四边形OEFC为平行四边形，所以EF∥OC ，故∠COC 或其
2 1 1 2 1 1
补角即为异面直线EF与A C 所成角，设正方体ABCD-A B C D 的棱长为a，在Rt△OC C中，
1 1 1 1 1 1 1
❑√2 ❑√6 CC ❑√6
OC = a，CC =a，OC= a，所以sin∠COC = 1= ，即异面直线EF与A C 所成
1 2 1 2 1 OC 3 1 1
❑√6
角的正弦值为 ，故A正确；
3
对于B，由选项A可知，EF∥OC ，OC ⊂平面A A C C，EF⊄平面A A C C，所以EF∥
1 1 1 1 1 1
平面A A C C，故B正确；
1 1
对于C，如图所示，连接EH，因为A C ∥EH，A C ∥AC，所以AC∥EH，所以A，C，E，
1 1 1 1
H四点共面，所以直线AE与直线CH共面，故C错误；
对于D，如图所示，取AB的中点K，连接KE，KC，连接C E，C G，因为KE∥B B∥C C，
1 1 1 1
KE=C C，所以四边形C EKC为平行四边形，所以C E∥CK，C E=CK，同理AG∥CK，
1 1 1 1
AG=CK，所以C E∥GA，C E=GA，所以四边形C EAG为平行四边形，则过A，E，G三点
1 1 1
的平面截正方体ABCD-A B C D 所得的截面为四边形C EAG，又AE=AG=❑
√
a2+
(a) 2
=
❑√5
a，
1 1 1 1 1
2 2
所以四边形C EAG为菱形，故D正确，故选：ABD.
1
【点拨】本题考查正方体中的线面关系及截面问题，通过构造平行线和辅助面，结合几何体的性
质逐一判断选项.4.如图，在长方体ABCD-A B C D 中，AB=2BC=2，A A =4，P为棱AB的中点．
1 1 1 1 1
（1）证明：平面PCD ⟂平面PDD ；
1 1
（2）画出平面D PC与平面A ADD 的交线，并说明理由；
1 1 1
（3）求过D ，P，C三点的平面α将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．
1
【答案】见解析
【解析】（1）在长方体ABCD-A B C D 中，AB=2BC=2，
1 1 1 1
∴△ADP与△BPC都是等腰直角三角形，
∴∠APD=∠BPC=45∘，∴∠DPC=90∘，∴DP⟂PC，
∵DD ⟂平面ABCD，PC⊂平面ABCD，∴DD ⟂PC，
1 1
又DD ∩DP=D，DD ，DP⊂面PDD ，∴CP⟂面PDD ，
1 1 1 1
又PC⊂平面PCD ，∴平面PCD ⟂平面PDD ；
1 1 1
（2）延长CP与DA的延长线相交于M，连接M D ，
1
则M D 即为平面D PC与平面A ADD 的交线，理由如下：
1 1 1 1
M∈AD，∴M∈平面A ADD ，M∈CP，∴M∈平面D PC，
1 1 1
∴平面D PC与平面A ADD 的交线为D M；
1 1 1 1
（3）令M D 与A A 的交点为N，
1 1
则三棱台APN-DCD 的体积为V -V ，
1 M-DCD M-ANP
1
∵P为棱AB的中点，∴P为CM的中点，
∴A是MD的中点，N是M D 的中点，
1
1
∴MD=2AD=2，AN= A A =2，
2 11 1 8 1 1 1
∴V = × ×2×4×2= ，V = × ×2×1×1= ，
M-DCD 1 3 2 3 M-ANP 3 2 3
7
∴三棱台APN-DCD 的体积为V -V = ，
1 M-DCD 1 M-ANP 3
7 17
∴过D ，P，C三点的平面α将四棱柱分成的上部分的体积为2×1×4- = .
1 3 3
17
3 17
∴过D ，P，C三点的平面α将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比为 = .
1 7 7
3
【点拨】本题考查面面垂直的证明、截面交线的画法以及几何体体积的计算，利用长方体的性质
和锥体体积公式进行求解.
考点二：空间线线关系
考法4：异面直线的判定
5.（2026·浙江湖州·检测）已知正方体ABCD-A B C D ，E为棱AB的中点，则下列与直
1 1 1 1
线BD 不互为异面直线的是（ ）
1
A. 直线DE B. 直线A E C. 直线A C D. 直线A A
1 1 1
【答案】C
【解析】对于直线DE，DE在底面ABCD内，不与BD 共面，也不相交，所以是异面直线.
1
对于直线A E，与BD 不在同一平面，无交点，不平行，所以是异面直线.
1 1
对于直线A C，与BD 相交于中心点，是相交直线，所以不是异面直线.
1 1
对于直线A A ，两者无交点，不平行，不在同一平面内，所以是异面直线.
1
【点拨】本题考查异面直线的判定，利用正方体的结构特征逐一分析各直线与BD 的位置关系即
1
可.
6.（2026·广东汕头·二模）（多选）如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别是
DE，BE，EF，EC的中点，则在该正四面体中，下列结论正确的是（ ）
A. DE与MN平行
B. BD与MN为异面直线
C. GH与MN成60∘角D. DE与MN垂直
【答案】BCD
【解析】将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B,C)-DEF，如图所示，A，B，C三点是
同一点，因此有：
对于A，M，N分别是EF，AE的中点，则MN∥AF，而DE与AF异面，故DE与MN不平行，
故A错误；
对于B，易知BD与MN为异面直线，故B正确；
对于C，依题意知GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60∘，故GH与MN成60∘角，故C正确；
对于D，连接GF，则点A在平面DEF上的投影A 在GF上，所以DE⟂平面A A F，所以DE⟂AF，
1 1
而AF∥MN，所以DE与MN垂直，故D正确.
【点拨】本题考查正四面体的展开与折叠，通过将平面展开图还原为空间几何体，利用中位线定
理和正四面体的性质判断线线位置关系.
考法5：异面直线所成角的计算
7.（2026·河南湘豫联盟·检测）如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD为等腰
1 1 1 1
梯形，AB∥CD，AB=2CD=2BC，BB =❑√2CD，则直线A D与BC 所成的角为（ ）
1 1 1
A. 30∘ B. 45∘ C. 60∘ D. 90∘
【答案】C
【解析】本题考查“补体法”，体现整体思想.
如图，将直四棱柱ABCD-A B C D 补成正六棱柱ADCBEF-A D C B E F ，连接BE ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
C E ，显然BE ∥A D，则∠C BE 即为直线A D与BC 所成的角或其补角.设CD=1，则
1 1 1 1 1 1 1 1
C E =❑√3，BE =BC =❑√3，所以△C BE 为正三角形，从而∠C BE =60∘ .故选C.
1 1 1 1 1 1 1 1【点拨】本题考查异面直线所成的角，通过补全几何体为正六棱柱，利用平移将异面直线转化为
相交直线，在三角形中求解角度.
8.（2026·山东德州·一模）（多选）已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为2，E，F分别
1 1 1 1
是棱AB，A D 的中点，则（ ）
1 1
A. 异面直线AB 与CD所成角的大小为45∘
1
❑√6
B. 直线AC 与平面ABB A 所成角的正弦值为
1 1 1 3
C. C F⟂平面DD E
1 1
2
D. 四面体B-CEF的体积为
3
【答案】ACD
【解析】对于A，正方体ABCD-A B C D 中，AB∥CD，则异面直线AB 与CD所成角即为
1 1 1 1 1
AB 与AB所成角，即∠B AB(或其补角)，而△B AB为等腰直角三角形，故∠B AB=45∘，故
1 1 1 1
A正确；
对于B，由于C B ⟂平面ABB A ，故AB 为AC 在平面ABB A 内的射影，则直线AC 与平面
1 1 1 1 1 1 1 1 1
ABB A 所成角为∠C AB ，在Rt△C B A中，C B =2，AC =❑√22+22+22=2❑√3，故
1 1 1 1 1 1 1 1 1
C B 2 ❑√3
sin∠C AB = 1 1= = ，故B错误；
1 1 AC 2❑√3 3
1
对于C，设G为A B 的中点，连接A E，C G，则C G∥D F，C G=D F，而A E∥D F，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A E=D F，故C G∥A E，C G=A E，则四边形A EGC 为平行四边形，故C E∥A G；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Rt△A D F≅Rt△A B G，则∠A FD =∠A GB ，而∠A GB +∠A GA=90∘，故
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∠A FD +∠A GA=90∘，设D F，A G交于H，则∠A HF=90∘，即D F⟂A G，则
1 1 1 1 1 1 1 1
C E⟂D F；又DD ⟂平面A B C D ，C F⊂平面A B C D ，故DD ⟂C F，又
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
DD ∩D F=D ，DD ，D F⊂平面DD E，故C F⟂平面DD E，故C正确；
1 1 1 1 1 1 1 1
1
对于D，由于V =V =V = S ⋅h，(h为三棱锥F-BEC的高，h=2)，而BE=1，
B-CEF F-BCE F-EBC 3 △EBC
1 1 2
BC=2，则V = × ×2×1×2= ，故D正确.
B-CEF 3 2 3【点拨】本题考查正方体中的线面关系，通过线面角的定义、线面垂直的判定以及等体积法计算
三棱锥的体积，综合性较强.
考法6：等角定理的应用
9.若空间两个角α与β的两边对应平行，当α=60∘时，则β=＿＿＿＿＿＿．
【答案】60∘或120∘
【解析】当空间两个角α与β的两边对应平行，且两边的方向完全一致时，β=α=60∘；
当空间两个角α与β的两边对应平行，且两边方向不完全一致时，β=180∘-α=120∘.
【点拨】本题考查空间等角定理，空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补.
考点三：空间平行关系
考法7：平行关系的简单判定与命题辨析
10.（2026·广东东莞·二模）设α,β为两个不同平面，l为一条直线，则α∥β的充分条件可
以是（ ）
A. l∥α,l∥β B. l⟂α,l⟂β C. l⊂α,l∥β D. l⟂α,l∥β
【答案】B
【解析】对于A，如图：当α∩β=l'，l∥l'时，满足l∥α,l∥β，但不能得出α∥β，故A错误；
对于B，由垂直于同一直线的两平面互相平行，可得当l⟂α,l⟂β时，则有α∥β，故B满足题意；
对于C，如图：当α∩β=l'，l⊂α且l∥l'，则有l∥β.所以由l⊂α,l∥β不能得出α∥β，故C
错误；
对于D，因为l⟂α,l∥β，根据线面垂直的判定定理可得α⟂β，故D错误.
【点拨】本题考查空间中线面、面面平行与垂直的判定，利用相关定理及反例进行判断.
考法8：证明线面平行
11.（2026·山东师大附中·检测）如图，在三棱锥S-ABC中，底面ABC是正三角形，中心
为O，SC=AB=6，⃗CD=2⃗DS.
（1）证明：OD∥平面ABS；
【答案】见解析【解析】（1）延长CO交AB于点E，则E为AB的中点，连接SE，如下图所示：
因为O为正△ABC的中心，所以CO=2OE，
CO CD
又因为⃗CD=2⃗DS，即CD=2DS，所以 = =2，故OD∥SE
OE DS
因为OD⊄平面ABS，SE⊂平面ABS，故OD∥平面ABS.
【点拨】本题考查线面平行的证明，通过构造三角形，利用对应线段成比例得到线线平行，进而
证明线面平行.
12.（2026·浙江温州·二模）如图所示，三棱锥A-BCD中，BC⟂BD，AD⟂BD，且
BC=❑√2，BD=AD=1，E，F分别为AB和CD的中点．
（1）证明：BD上存在点P，使得AD∥平面PEF；
【答案】见解析
【解析】（1）证明：取BD的中点P，连接PE，PF
因为E是AB的中点，P是BD的中点，
所以在△ABD中，EP是中位线，故EP∥AD.
又EP⊂平面PEF，AD⊄平面PEF，
所以AD∥平面PEF.
【点拨】本题考查线面平行的证明，通过取中点构造三角形的中位线，利用中位线平行于底边得
到线线平行，从而证明线面平行.考法9：证明面面平行
13.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⟂平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⟂PD，
AD⟂CD，∠BAD=60∘，M，N分别为AD，PA的中点．
（1）证明：平面BMN∥平面PCD；
【答案】见解析
【解析】（1）证明：连接BD，如图
∵AB=AD，∠BAD=60∘，
∴△ABD为等边三角形，
∵M为AD的中点，
∴BM⟂AD，
∵AD⟂CD，
又CD，BM⊂平面ABCD，
∴BM∥CD，
又BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴BM∥平面PCD，
∵M，N分别为AD，PA的中点，
∴MN∥PD，
又MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴MN∥平面PCD．
又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN=M，
∴平面BMN∥平面PCD．【点拨】本题考查面面平行的证明，通过证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，
从而得到面面平行.
考法10：平行性质定理的应用
14.已知四棱锥P-ABCD，底面为菱形ABCD，PD⟂平面ABCD，PD=AD=CD=2，
π
∠BAD= ，E为PC上一点．
3
（1）平面PAD∩平面PBC=l，证明：BC∥l；
【答案】见解析
【解析】（1）证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BC∥平面PAD，
又因为平面PAD∩平面PBC=l，所以BC∥l．
【点拨】本题考查线面平行的性质定理，若一条直线平行于一个平面，经过该直线的平面与此平
面相交，则该直线与交线平行.
考点四：空间垂直关系
考法11：垂直关系的简单判定与命题辨析
15.（2026·浙江强基联盟·联考）已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，m⊂α，
n⊂β，下列条件是“α⟂β”的充分条件的是（ ）
A. m∥n B. m⟂n C. m∥β D. m⟂β
【答案】D
【解析】因为m⊂α，m⟂β，由面面垂直的判定定理可得α⟂β．选项D正确.
【点拨】本题考查面面垂直的判定定理，若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相
垂直.
16.（2026·山东潍坊·模拟）（多选）已知α,β为两个不重合的平面，m,l为两条不重合的直
线，则下列选项是“l⟂α”的充分条件的是（ ）
A. α∥β,l⟂β B. m∥l,m⟂α
C. m⊂α,l⟂m D. α⟂β,α∩β=m,l⊂β,l⟂m
【答案】ABD【解析】对于A，由线面垂直的性质定理可知，若α∥β，l⟂β，则l⟂α，故A是充分条件；
对于B，由线面垂直的判定定理可知，若m∥l，m⟂α，则l⟂α，故B是充分条件；
对于C，若m⊂α，l⟂m，则l与α可能平行、相交或l⊂α，故C不是充分条件；
对于D，由面面垂直的性质定理可知，若α⟂β，α∩β=m，l⊂β，l⟂m，则l⟂α，故D是充分
条件.
【点拨】本题考查线面垂直的判定与性质，利用线面垂直的判定定理、面面垂直的性质定理进行
判断.
17.（2024·广东华师附中·检测）（多选）设a,b为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，
则下列结论不正确的是（ ）
A. 若a∥b,b∥α，则a∥α B. 若a∥b,a∥α,b∥β，则α∥β
C. 若a⟂b,a⟂α,b∥β，则α⟂β D. 若a⟂α,b∥α，则a⟂b
【答案】ABC
【解析】对于A，若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，故A错误；
对于B，若a∥b，a∥α，b∥β，则α与β相交或平行，故B错误；
对于C，若a⟂b，a⟂α，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；
对于D，若b∥α，则在α内存在直线c，使得b∥c，又a⟂α，所以a⟂c，所以a⟂b，故D正确.
【点拨】本题考查空间中线面、面面位置关系的判定与性质，利用相关定理及反例进行判断.
考法12：证明线线垂直
18.（2026·山东九五协作体·检测）如图，直三棱柱ABC-A B C 中，AC=BC=CC ，
1 1 1 1
❑√6
AB= A C.
2 1
（1）证明：AC ⟂A B；
1 1
【答案】见解析
【解析】（1）不妨设AC=BC=CC =1，则A C=❑√2，A B=❑√3，
1 1 1
所以A B2=A C2+BC2，所以BC⟂A C；
1 1 1
因为ABC-A B C 为直三棱柱，所以CC ⟂平面ABC，
1 1 1 1
BC⊂平面ABC，所以CC ⟂BC；
1
又A C∩CC =C，所以BC⟂平面ACC A ；
1 1 1 1因为AC ⊂平面ACC A ，所以BC⟂AC .
1 1 1 1
因为ACC A 为正方形，所以AC ⟂A C，
1 1 1 1
又A C∩BC=C，所以AC ⟂平面A CB，
1 1 1
因为A B⊂平面A CB，所以AC ⟂A B.
1 1 1 1
【点拨】本题考查线线垂直的证明，通过勾股定理逆定理证明线线垂直，进而证明线面垂直，再
利用线面垂直的性质得到线线垂直.
考法13：证明线面垂直
19.（2026·安徽合肥·一模）如图，在长方体ABCD-A B C D 中，AB=AD=2A A ，AC
1 1 1 1 1
与BD交于点M，N为棱A B 的中点．
1 1
（1）证明：MN⟂平面MC D ；
1 1
【答案】见解析
【解析】（1）以A 为坐标原点，|A A |为单位长，⃗A B 为x轴正方向建立如图所示的空间直角
1 1 1 1
坐标系A -xyz．
1
由题设知N(1,0,0)，M(1,1,1)，C (2,2,0)，D (0,2,0)．
1 1
由⃗NM⋅⃗MC =(0,1,1)⋅(1,1,-1)=0得，⃗NM⟂⃗MC ．
1 1
由⃗NM⋅⃗M D =(0,1,1)⋅(-1,1,-1)=0得，⃗NM⟂⃗M D ．
1 1
而MC ⊂平面MC D ，M D ⊂平面MC D ，MC ∩M D =M，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以MN⟂平面MC D ．
1 1
【点拨】本题考查线面垂直的证明，利用空间直角坐标系，通过向量的数量积为0证明线线垂直，
进而得到线面垂直.
20.（2026·安徽师大附中·检测）如图，已知PA⟂平面ABC，平面PAB⟂平面PBC，（1）求证：BC⟂平面PAB．
【答案】见解析
【解析】（1）因为PA⟂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PA⟂BC，
在平面PAB内作AD⟂PB于点D，如下图所示，
因为平面PAB⟂平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，AD⊂平面PAB，
所以AD⟂平面PBC，
因为BC⊂平面PBC，
所以AD⟂BC，
因为PA∩AD=A，PA⊂平面PAB，AD⊂平面PAB，
所以BC⟂平面PAB.
【点拨】本题考查线面垂直的证明，利用线面垂直的性质定理得到线线垂直，再结合面面垂直的
性质定理得到线面垂直，进而证明线线垂直，最后利用线面垂直的判定定理证得结论.
21.（2026·广东汕头·一模）如图，在长方体ABCD-A B C D 中，点E、F分别在BB 、
1 1 1 1 1
DD 上，且AE⟂A B，AF⟂A D．
1 1 1
（1）求证：A C⟂平面AEF；
1
【答案】见解析
【解析】（1）因为BC⟂平面ABB A ，AE⊂平面ABB A ，所以AE⟂BC．
1 1 1 1
又AE⟂A B，A B∩BC=B，所以AE⟂平面A BC
1 1 1
因为A C⊂平面A BC，所以AE⟂A C
1 1 1
同理：因为CD⟂平面ADD A ，AF⊂平面ADD A ，所以AF⟂CD．
1 1 1 1又AF⟂A D，A D∩CD=D，所以AF⟂平面A CD
1 1 1
因为A C⊂平面A CD，所以AF⟂A C
1 1 1
又因为AE⟂A C，AE∩AF=A，所以A C⟂平面AEF
1 1
【点拨】本题考查线面垂直的证明，利用长方体的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直，再利
用线面垂直的判定定理证明结论.
22.（2026·安徽铜陵·检测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PC，
PB=PD．
（1）求证：AC⟂平面PBD；
【答案】见解析
【解析】（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接PO，
因为四边形ABCD为菱形，
所以AC⟂BD，
因为PA=PC，
所以PO⟂AC，
又因为BD与PO相交于O点，BD,PO⊂平面PBD，
所以AC⟂平面PBD．
【点拨】本题考查线面垂直的证明，利用等腰三角形的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判
定定理证明结论.
考法14：证明面面垂直
23.（2025·安徽合肥·检测）如图，三棱柱ABC-A B C 的所有棱长都为2，∠A AC=60∘
1 1 1 1
，M是A A 的中点，AC ⟂BM．
1 1
（1）证明：平面ACC A ⟂平面ABC；
1 1【答案】见解析
【解析】（1）证明：取AC的中点O，连接OB,OM,A C，
1
因为M是A A 的中点，所以OM∥A C，
1 1
又因为三棱柱ABC-A B C 的所有棱长都是2，
1 1 1
所以四边形ACC A 为菱形，所以AC ⟂A C，所以AC ⟂OM，
1 1 1 1 1
因为AC ⟂BM，且OM∩BM=M，OM,BM⊂平面BOM，所以AC ⟂平面BOM，
1 1
又因为OB⊂平面BOM，所以AC ⟂OB，
1
在等边△ABC中，因为O为AC的中点，所以AC⟂OB，
又因为AC∩AC =A ，且AC,AC ⊂平面ACC A ，所以OB⟂平面ACC A ，
1 ❑ 1 1 1 1 1
因为OB⊂平面ABC，所以平面ACC A ⟂平面ABC.
1 1
【点拨】本题考查面面垂直的证明，通过线面垂直的判定定理证明线面垂直，再利用面面垂直的
判定定理证得结论.
24.（2025·河北保定·一模）在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60∘，
AD=2，QD=QA．
（1）若QA=❑√5，QC=❑√7，证明：平面QAD⟂平面ABCD；
【答案】见解析
【解析】（1） 取AD的中点O，连接OC,OQ，
因为QA=QD，所以QO⟂AD，
又因为QA=❑√5,AD=2，所以QO=❑√QA2-AO2=2，
因为∠ABC=60∘,AD=2，四边形ABCD是菱形，所以△ACD是等边三角形，
所以OC=❑√CD2-OD2=❑√3，所以OQ2+OC2=4+3=7=QC2，所以OQ⟂OC，又AD∩OC=O，AD,OC⊂平面ABCD，
所以OQ⟂平面ABCD，又OQ⊂平面AQD，所以平面QAD⟂平面ABCD；
【点拨】本题考查面面垂直的证明，利用勾股定理逆定理证明线线垂直，进而证明线面垂直，最
后利用面面垂直的判定定理证得结论.
考点五：空间线面关系的综合应用
考法15：正方体中线面关系的综合判定
25.（2026·山东枣庄·检测）（多选）在正方体ABCD-A B C D 中，若点O 为底面
1 1 1 1 1
A B C D 的中心，则
1 1 1 1
A. BO ∥平面ACD
1 1
B. BO ⟂AC
1
π
C. A B与AC所成的角为
1 6
D. BO 与平面ABCD所成的角的正切值为❑√2
1
【答案】ABD
【解析】对于A，连接BD ，交AC于O，连接D O，
1 1
因为O ，O分别为B D ，BD的中点，
1 1 1
所以O D ∥BO，且O D =BO，
1 1 1 1
所以四边形O D OB为平行四边形，
1 1
所以BO ∥D O，
1 1
又BO ⊄平面ACD ，D O⊂平面ACD ，
1 1 1 1
所以BO ∥平面ACD ，故A正确；
1 1
对于B，因为DD ⟂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
1
所以DD ⟂AC，
1
又AC⟂BD，BD∩DD =D，BD，DD ⊂平面BDD B ，
1 1 1 1
所以AC⟂平面BDD B ，
1 1
因为BO ⊂平面BDD B ，
1 1 1
所以AC⟂BO ，故B正确；
1
对于C，连接A C，BC ，A D，
1 1 1
因为A B∥D C，
1 1
所以∠ACD 或其补角即为A B与AC所成的角，
1 1
因为△ACD 为等边三角形，
1
π
所以∠ACD = ，故C错误；
1 3对于D，因为O O⟂平面ABCD，
1
所以∠O BO即为BO 与平面ABCD所成的角，
1 1
设正方体的棱长为2a，则O O=2a，OB=❑√2a，
1
O O 2a
所以tan∠O BO= 1 = =❑√2，故D正确．
1 OB ❑√2a
故选：ABD．
【点拨】本题考查正方体中的线面关系，通过构造平行四边形证明线面平行，利用线面垂直的判
定与性质证明线线垂直，以及异面直线所成角和线面角的计算.
考法16：空间位置关系中的存在性与探究问题
26.如图，在五面体ABCDE中，AD⟂平面ABC，AD∥BE，AD=2BE，AB=BC.
（1） 问：在线段CD上是否存在点P，使得PE⟂平面ACD? 若存在，请指出点P的位置，
并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析
【解析】（1） 当P为线段CD的中点时，PE⟂平面ACD；
证明：分别取AC,CD的中点为O,P，连接OB,PE,OP，
1
则OP∥AD,OP= AD，而AD∥BE,AD=2BE，
2
故OP∥BE,OP=BE, 即四边形OBEP为平行四边形，
则BO∥PE;
因为AD⟂平面ABC，OB⊂平面ABC, 故AD⟂OB，则AD⟂PE；
由AB=BC，O为AC中点，故OB⟂AC，则PE⟂AC，又AC∩AD=A,AC,AD⊂平面ACD，
故PE⟂平面ACD；
【点拨】本题考查线面垂直的存在性问题，通过取中点构造平行四边形，利用线面垂直的判定定
理证明结论.
1
27.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，BC= AD，E是PD的中点．
2
（3） 若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理
由．
【答案】见解析
【解析】（3） 取AD中点N，连接CN,EN，
因为E,N分别为PD,AD的中点，所以EN∥PA，
因为EN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB，所以EN∥平面PAB，
线段AD存在点N，使得MN∥平面PAB，理由如下：
由（2）知：CE∥平面PAB，又CE∩EN=E,CE⊂平面CEN,EN⊂平面CEN，
所以平面CEN∥平面PAB，又M是CE上的动点，MN⊂平面CEN，
所以MN∥平面PAB，所以线段AD存在点N，使得MN∥平面PAB．
【点拨】本题考查线面平行的存在性问题，通过取中点构造平行平面，利用面面平行的性质定理
得到线面平行.
考法17：空间位置关系中的距离与最值问题
28.（2026·安徽安庆·二模）（多选）在棱长为 1 的正方体ABCD-A B C D 中，点P是正
1 1 1 1
❑√3
方形ABCD内（含边界）一动点，若点P到平面A BC 的距离为 ，则（ ）
1 1 2❑√2
A. 点P的轨迹长度等于
2
B. D P∥平面A BC
1 1 1
❑√6
C. 直线BP与平面A BC 所成角的正弦值的最大值为
1 1 3
❑√5
D. 异面直线BP与C D 所成角的余弦值的最小值为
1 1 5
【答案】ACD
【解析】以点D为原点，以DA，DC，DD 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
1
则B(1,1,0)，A (1,0,1)，C (0,1,1)，⃗BA =(0,-1,1)，⃗BC =(-1,0,1)，
1 1 1 1
设平面A BC 的法向量为⃗m=(x ,y ,z )，则
1 1 1 1 1
{⃗m⋅⃗BA =- y +z =0
1 1 1 ，于是x = y =z ，取⃗m=(1,1,1)，设P(x,y,0)，
⃗m⋅⃗BC =-x +z =0 1 1 1
1 1 1
则⃗BP=(x-1,y-1,0)，则点P到平面A BC 的距离为
1 1
|⃗BP⋅⃗m| |x-1+ y-1| ❑√3 1 7
= = ，所以x+ y- =0或x+ y- =0（舍），于是点P的轨迹是以边
|⃗m| ❑√3 2 2 2
❑√2
AD的中点E，边CD的中点F为端点的线段，其长度为 ，A正确；
2
连D P，发现D P与平面A BC 不平行，B错误；
1 1 1 1
3❑√2
根据图形可知当点P位于线段EF的中点时，线段BP最短，BP= ，此时直线BP与平面
4
❑√3
2 ❑√6
A BC 所成角最大，故所成角的正弦值的最大值为 = ，C正确；
1 1 3❑√2 3
4
平移C D 至CD，根据图形可知当点P位于点F时，异面直线BP与C D 所成角最大，其余弦值最
1 1 1 1
1
2 ❑√5
小，最小值为 = ，选项D正确.
❑√5 5
2【点拨】本题考查正方体中的距离与最值问题，通过建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离
公式确定动点的轨迹，进而求解线面角和异面直线所成角的最值.
29.（2025·河北沧州·一模）如图，在三棱台ABC-A B C 中，平面A A C C⟂平面ABC，
1 1 1 1 1
A A =A C =C C=2，AC=4，BA=BC.
1 1 1 1
（2） 当直线BB 与平面BAC 所成的角最大时，求三棱台ABC-A B C 的体积.
1 1 1 1 1
7❑√2
【答案】
2
【解析】（2） 取AC 中点M，则OM⟂AC，由平面A A C C⟂平面ABC，平面A A C C∩平
1 1 1 1 1
面ABC=AC，
OM⊂平面A A C C，则OM⟂平面ABC，直线OB,OC,OM两两垂直，
1 1
以点O原点，直线OB,OC,OM分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设OB=a(a>0)，
则B(a,0,0),A(0,-2,0),A (0,-1,❑√3),C (0,1,❑√3),C(0,2,0)，⃗A B=(a,1,-❑√3)，
1 1 1
1 a
⃗BB =⃗BA +⃗A B =⃗BA + ⃗AB=(- ,1,❑√3)，
1 1 1 1 1 2 2
设平面A BC 的法向量⃗n=(x,y,z)，则
1 1
{ ⃗n⋅⃗AC = y+❑√3z=0
1 ，取x=❑√3，得⃗n=(❑√3,0,a)，
⃗n⋅⃗A B=ax+ y-❑√3z=0
1
❑√3
a
|⃗BB ⋅⃗n| 2
设直线BB 与平面BAC 所成的角为θ，sinθ=|cos⟨⃗BB ,⃗n⟩|= 1 =
1 1 1 |⃗BB ||⃗n| √a2
1 ❑ +4⋅❑√a2+3
4❑√3a ❑√3 ❑√3 1
= = ≤ = 36
❑√a4+15a2+36 √ 36 ❑√12+15 3，当且仅当a2= ，即a=❑√6时取等号，
❑a2+ +15 a2
a2
1
所以三棱台ABC-A B C 的体积V = (S +S +❑√S ⋅S )h
1 1 1 3 △ABC △A 1 B 1 C 1 △ABC △A 1 B 1 C 1
1 1 1 ❑√6 √1 1 ❑√6 7❑√2
= ( ×4×❑√6+ ×2× +❑ ×4×❑√6× ×2× )×❑√3= .
3 2 2 2 2 2 2 2
【点拨】本题考查空间中线面角的计算以及几何体体积的最值问题，通过建立空间直角坐标系，
利用向量法将线面角的正弦值表示为关于参数的函数，再利用基本不等式求最值.
30.（2026·安徽铜陵·检测）（多选）如图，正方体ABCD-A B C D 的棱长为2，点E为
1 1 1 1
棱A B 的中点，点F在正方体表面及其内部运动，则（ ）
1 1
A. 存在点F∈DD ，使得AF∥平面CC E
1 1
1 6❑√65
B. 当D F= FD时，直线AF与直线C E所成角的余弦值为
1 2 1 65
2
C. 当D F=❑√3时，三棱锥B -ACF的体积最小值为
1 1 3
41
D. 当点F与点D重合时，三棱锥C-EFC 的外接球表面积为 π
1 4
【答案】BCD
【解析】在CC 上取一个点H，使得FH∥CD，再取AB的中点G，连接EG,GC,GH，
1
则平面AFHG∩平面CC E=GH，
1
若AF∥平面CC E，
1
因为AF⊂平面AFHG，
由线面平行的性质定理可得AF∥GH，
而FH∥CD，可得FH∥AG，且FH=2AG，故AF,GH必相交，矛盾，故A错误，
1 4
由D F= FD，可得F为DD 的三等分点，且DF= ，
1 2 1 3
取CD的中点M，DM=1，
又G为AB中点，
故在正方形ABCD中AM∥CG，又EG∥CC ,EG=CC ，则EGHC 为平行四边形，
1 1 1
故CG∥C E，所以AM∥C E，
1 1
则∠FAM即为直线AF与直线C E所成角，
1
√ 16 5 √ 16 2❑√13
又AM=❑√4+1=❑√5,FM=❑1+ = ,AF=❑4+ = ，
9 3 9 3
AF2+AM2-FM2 6❑√65
由余弦定理可得cos∠FAM= = ，故B正确，
2AF⋅AM 65
当D F=❑√3时，易知F在以D 为球心，半径为r=❑√3的球面上，（正方体内部），
1 1
由AC=AB =B C=D A=D B =D C=2❑√2，
1 1 1 1 1 1
四面体D -AB C为正四面体，
1 1
1 2❑√2 2❑√6
× =
由正弦定理得：底面AB C外接圆半径为2 ❑√3 3 ，
1
2
所以点D 到平面AB C的距离为d=❑
√
(2❑√2) 2-
(2❑√6) 2
=
4❑√3
，
1 1
3 3
1 2
所以V =V ≥ S (d-r)= ，故C正确，
B 1 -ACF F-AB 1 C 3 △AB 1 C 3
当D,F重合时，三棱锥C-EFC 即为D-ECC ，
1 1
其外接球就是直三棱柱D EC -DGC的外接球，
1 1
由DG=CG=❑√5,DC=2，
DG2+CG2-CD2 5+5-4 3
由余弦定理可得：cos∠DGC= = = ，
2DG⋅CG 2×❑√5×❑√5 5
4
所以sin∠DGC= ，
5
1 DC 5
所以△DGC的外接圆半径为 × = ，
2 sin∠DGC 4
所以外接球的半径R=❑
√ (5) 2
+12=
❑√41
，
4 4
41π
所以球的表面积为S=4πR2=
，故D正确.
4
【点拨】本题考查正方体中的线面关系、异面直线所成角、体积最值以及外接球表面积，综合性
较强，需灵活运用几何体的性质及空间向量或几何法求解.
