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核心 3 函数定义域、值域与解析式
一．单选题．
【具体函数的定义域 2025高三上·安徽六安·阶段练习】
1．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】函数满足根号下被开方数正，对数真数为正即可.
【详解】根据题意知道 ，
解得 ，即 .
故选：D.
【抽象函数的定义域 2024安徽芜湖三模】
2．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 的定义域得到 ，即可求出函数 的定义域.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
所以 ，
即 ，解得 ，即 的定义域是 .
故选：A.
【实际问题中的定义域 2025河北邯郸市期末测试】
3．已知矩形的周长为定值 ，设它的一条边长为 ，则矩形面积的函数 的定义域
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据矩形的周长的定义和边长的范围可得选项.
【详解】边长为 ，另一条边长为 ，得 ，所以 ，
故选：D.
【点睛】本题考查函数的定义域，在求解函数的定义域时，需考虑自变量的实际意义，属
于基础题.
【二次函数中求参问题 2024云南玉溪一模】
4．函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是
A．[0，4] B．[4，6] C．[2，6] D．[2，4]
【答案】D
【分析】因为函数 的图象开口朝上，由 ，
结合二次函数的图象和性质可得 的取值范围.
【详解】函数 的图象是开口朝上，
且以直线 为对称轴的抛物线，
故 ，
函数 的定义域为 ,值域为 ，
所以 ，
即 的取值范围是 ,故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数的定义域与值域，意在考查灵活
应用所学知识解答问题的能力.
【已知二次函数类型求解析式 2025上安徽合肥阶段测试】
5．已知二次函数 满足 ，且 的最大值是8，则此二次函
数的解析式为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件设二次函数为 ，代入条件求解即可.
【详解】根据题意，由 得: 图象的对称轴为直线 ，
设二次函数为 ，
因 的最大值是8，所以 ，当 时， ，
即二次函数 ，
由 得: ，解得： ，
则二次函数 ，
故选：A.
【函数方程组法求解析式 2024广东广州三模】
6． 的定义域为 ，满足 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立方程组求出 的解析式，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】由 ，得 ，联立消去 ，得
，
而 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：A
【分段函数的值域 2024湖南湘潭市二模】
7．函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】当 时，由换元法结合二次函数的值域即可得到结果，当 时，由基本不
等式即可得到其值域.
【详解】根据题意，当 时， ，令 ，可得 ，所以 ，因此可得 ，
由二次函数性质可得，当 时， 取得最大值 ，
此时 ；
当 时， ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
所以 的最小值为20，因此 ；
综上可得，函数 的值域为 .
故选：A.
【定义域相同问题 2025广东深圳·期末测试】
8．与分段函数 的定义域和奇偶性均相同的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求出 的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可.
【详解】因为 的定义域为
当 时， ， ， ，所以 ；
当 时， ， ， ，所以 ；
所以 为奇函数.对于A， 的定义域为
，所以 为偶函数；
对于B， 的定义域为
，所以 为奇函数；
对于C， 的定义域为 ，且 为奇函数；
对于D， 的定义域为 ，
， 为偶函数；
故选：B.
【狄利克雷函数 2025年上河南濮阳模拟测试】
9．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），当时数
学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象
来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数: （其中 为有理数
集， 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，
数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研
究“概念、性质、结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为： （其
中 ，且 ）以下对 的说法错误的是（ ）A． 的定义域为
B．
C．当 时， 的值域为 ；当 时， 的值域为
D． 的图像关于y轴对称
【答案】C
【分析】无理数集和有理数集的并集是实数集，A易判断；分 和 两种情况，判
断B即可；
的函数值只有两个，故C易判断；分 和 两种情况，判断D即可；
【详解】显然无理数集和有理数集的并集是实数集，故A正确；
若 ，则 ；
若 ，则 ，所以 ，故B正确；
的函数值只有两个， 的值域为 ，故C错误；
若 ，则 ， ；若 ，则 ， ；
所以 为偶函数，故D正确；
故选:C.
【新定义函数解析式 2024辽宁沈阳·一模】
10．定义两种运算： ， ，则函数 的解析式
为（ ）
A． ，
B． ，C． ，
D． ，
【答案】A
【分析】根据已知的定义可化简得到 ，根据函数定义域的求法可求得
，结合定义域再次化简函数解析式即可得到结果.
【详解】由题意知： ，
由 得： 或 ，即 定义域为 ，
， .
故选：A.
【由图象求解析式 2025浙江嘉兴模拟考试】
11．已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）．
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】根据图象可知 ，在1的左右两侧的函数值排除部分选项，然后再由
在 上的单调性判断.
【详解】由图象可知： ，且 时， ， 时， ，排除AB;
由 ，排除D.
又 在 上递减，
所以 在 上递减，
故选：C
【囧函数 2025上海徐汇·阶段练习】
12．函数 ，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列说法中
正确的个数为（ ）
①函数 的定义域为 且 ；② ；
③函数 的图像关于直线 对称；④当 时， ；
⑤方程 有四个不同的根.
A．3 B．4 C．5 D．2
【答案】B
【分析】①令 ，求出定义域；
②代入求值，先求出 ，进而求出 的值；③写出分段函数 ，画出其图象，得到③错误；
④结合图象求出单调性，进而得到最大值；
⑤方程的根的个数转化为两函数的图象交点个数问题，数形结合求出⑤正确.
【详解】 中，令 ，解得： ，故①正确；
，故 ，②正确；
，画出函数图象如下：
显然函数 的图像关于不关于直线 对称，③错误；
从图象可看出：当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
故 ，④正确；方程 的根的个数等价于 与 有交点的个数，
在同一坐标系内画出 与 的图象，如下：
可得到 与 有四个不同的交点，故⑤正确.
故选：B
二．多选题．
【由分段函数值域求参数 2025年浙江宁波·模拟预测】
13．已知函数 ，若函数的值域为 ，则下列的 值满足条件的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】分 和 分别讨论 和 的值域，判断是否满足值域的并集为 即可.
【详解】若 ，当 时， ， ，
若函数的值域为 ，则 时， 的对称轴 ，
此时 在 单调递减，且 ，满足题意；
所以选项ACD符合题意，
若 ，当 时， ，
当 时， 的对称轴 ，此时 ，
不满足值域为 ，所以 不符合题意；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟悉一次和二次函数的图象，讨论 和 时
以及 的单调性，且对于 ，当 时
，即可判断 时， ，可判断 时不符合题意.
【抽象函数的值域相同问题 2024山东潍坊二模】
14．已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则下列函数的值域也为 的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】结合题意根据复合函数值域及函数图象变换，逐个选项验证可得答案.
【详解】对于A， 的图象可看作由 的图象向左平移一个单位得到的，故值
域不变，正确；
对于B，由 可得 ，即 的值域为 ，错误；
对于C，函数 与函数 的图象关于y轴对称，
故函数 的值域与函数 的值域相同，为 ，正确；
对于D，由 可得 ，即 的值域为 ，错误.
故选：AC
【已知 求解析式 2025河南南阳·阶段练习】
15．已知函数 ，则（ ）
A． B． 的最小值为0
C． 的定义域为 D． 的值域为
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数 的解析式，再逐项判断即得.
【详解】由 ，而 ，
所以 ，故A错误；
当 时， ，因此 的最小值为0，故B正确；
在函数 中， ，即 ，
所以函数 的定义域为 ，故C正确；
，由 ，即 ，
所以 ，所以 的值域为 ，故D错误.
故选：BC.
【根据二次函数值域求定义域 2025上山西大同阶段测试】16．已知函数 的值域为 ，则 的定义域可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据函数 的值域为 结合二次函数的对称性可求出相应的定义域，
【详解】令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
根据 的图象关于 轴对称的性质，
可得 的定义域可能为 ， 或 ，故B、C、D正确.
故选：BCD.
【求抽象函数的解析式 2024四川达州二模】
17．函数 满足： ，则（ ）
A． B．
C． 图象不关于 对称 D． 的解析式可以是
【答案】AD
【分析】取特殊值 判断A，取特殊函数 判断BC，根据所给条件验证即可
判断D.
【详解】令 ，可得 ，解得 ，故A正确；
取 ，则 满足： ，此
时 ，故B错误；
由B，当 时，函数图象关于 对称，故C错误；若 时， ，
，且
所以满足 ，故D正确.
故选：AD
【高斯函数--值域 2024湖南岳阳市二模】
18．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿
基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用
表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， .已知函数
， ，则关于函数 和 的叙述中正确的是（ ）
A． B．函数 的值域为
C．方程 的解集为R D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】根据高斯函数的定义结合选项逐项分析即可得出结果.
【详解】根据高斯函数的定义：对于A，显然正确；
对于B，因为 ，函数 的值域为[0，1），所以B错误；
对于C，因为函数 的值城为[0，1），所以对任意的x，方程 的解集为R.
所以C正确；
对于D，∵ .∴ ，即 ，所以D正确.
故选：ACD.
三．填空题．
【复合函数的定义域 2024江苏苏州三模】
19．已知函数 ， ，则函数 的定义域为 .【答案】
【分析】解法1、先求得函数 的定义域为 ，令 ，进而求得函数的
定义域；
解法2、根据题意求得 ，进而求得其定义域.
【详解】解法1：由函数 ，则满足 ，可得 ，
即函数 的定义域为 ，
对于函数 ，令 ，即 ，解得 ，
即函数 的定义域为 .
解法2：由 ， ，
可得 ，
令 ，解得 ，所以 的定义域为 .
故答案为： .
【由对数函数的定义域求参数 2024辽宁大连市模拟测试】
20．若函数 的定义域为 ，则实数 的范围为 ．
【答案】
【分析】由已知可将问题转化为不等式 对任意的 恒成立，满足方程
没有实数根，求解即可.
【详解】由题意，知不等式 对任意的 恒成立，所以方程 没有实数根，
所以 ，
解得 ，所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【反比例函数值域 2025高三上·上海浦东新·阶段练习】
21．函数 （ 且 ）的值域为 .
【答案】
【分析】题目中的函数是由反比例函数 向左平移一个单位之后得到的，结合图像
以及定义域，即可求出函数的值域
【详解】
画出函数 （ 且 ）的图像如上图所示，是由反比例函数 向
左平移一个单位之后，选取部分图像得到的，当 时， 且取不到，所以结
合图像可知，函数的值域为
故答案为： .
【根式型函数的值域 2025陕西西安·模拟预测】
22．函数 的值域为 ．【答案】
【分析】首先求出函数的定义域，然后将函数平方，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】由题意可得 ，解得 ，即函数定义域为 ，
则 ，
当 时， 取最小值0，故 取到最大值4，
则函数 的最大值为2；
当 时， 取最大值1，故 取到最小值2，
则函数 的最小值为 ；
故答案为： .
【已知一次函数类型求解析式 2024高三河北秦皇岛二模】
23．一次函数 在 上单调递增，且 ，则 .
【答案】
【分析】设出一次函数的表达式，利用待定系数法解决.
【详解】设 ，则 ，
，
则 .又 在 上单调递增，即 ，
所以 ， ，则 .
故答案为：
【由奇偶性求函数解析式 2025福建龙岩阶段测试】
24．函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 在 上的解析式为 ．
【答案】
【解析】由 是定义域在 上的奇函数，根据奇函数的性质，可推得
的解析式.
【详解】解：设 ，则 ，
，
又 为奇函数，
，
.
故答案为： .
【点睛】易错点点睛：注意最后函数的解析式要写成分段的形式.
【同象函数 2025高三上广东深圳】
25．若函数 与 的值域相同，但定义域不同，则称 与 的是“同象函数”，
已知函数 ，则下列函数中与 是“同象函数”的有
① ②
③ ④
【答案】①③④
【分析】根据各函数的值域与定义域判断即可.
【详解】对于①， 的值域为 ，①是；
对于②， 的值域为 ，②不是；
对于③， 的值域为 ，③是；对于④， 的值域为 ，④是．
故答案为：①③④
试题特点分析：函数定义域、值域与解析式试题的特点主要体现在它们在高考
中的重要性和应用的广泛性，以及求解这些内容时需要运用的各种方法和技巧．
考生在备考时，应熟练掌握这些方法和技巧，并通过大量的练习来提高解题能
力．
解题方法阐述：求解定义域、值域和解析式的方法很多，但并不是孤立使用的，
而是相互关联、相互补充的．在实际解题过程中，可能需要综合运用多种方法
来解决问题．同时，需要注意的是，在求解定义域、值域和解析式时，要仔细
分析函数的特点，并结合具体的题目要求来进行解答．
解题经验分享：在解决涉及函数定义域、值域和解析式的题目时，关键在于深
刻理解这些概念的本质，并能够灵活运用各种解题技巧．同时，多做练习题，
并在解题后进行反思和总结．尝试不同的解题方法，找出最适合自己的策略．
同时，注意积累常见的函数类型及其解题技巧．
