文档文本内容
核心 6 三角函数性质与图象
一.单选题.
【求正弦（型）函数的最小正周期 2025四川资阳期中】
1．函数 的最小正周期为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】【解析】 ,所以最小正周期为 ,选C.
【五点法画函数图象 2024甘肃兰州三模】
2．用“五点法”画 的图象时，下列哪个点不是关键点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据五点作图法得到五个关键点，得到答案.
【详解】 五点作图法在 内的五个关键点为
，可知 不是关键点．
故选：A
【求sinx型三角函数的单调性 2024广西柳州·一模】
3．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】先求出函数 在实数集 上的单调递增区间，再与定义域取交集
可得出结果.
【详解】 ，要求其单调递增区间则： ，
解得： ．当 时，递增区间为： ；当 时，
递增区间为： ．因为 ，所以递增区间为： ，
故选B．
【点睛】本题考查正弦型三角函数单调性区间的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
【求含sinx（型）函数的值域和最值 2025北京丰台·期末】
4．函数 在区间 上的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由 时， ，再利用三角函数性质可得答案.
【详解】当 时，
，所以
所以函数 在区间 上的最大值为
故选：C
【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为 ，再利用三角函数性质求值域；
（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
【利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 2024广东茂名一模】
5．函数 在 上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断函数的单调性，再求函数的最大值.
【详解】因为函数 均在 单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
所以函数在区间 的最大值是当 时， .
故选：D.
【三角函数的对称性中心 2024湖北荆州二模】
6．若对于任意x∈R都有f(x)＋2f(－x)＝3cos x－sin x，则函数f(2x)图象的对称中心为
（ ）
A． (k∈Z) B． (k∈Z)
C． (k∈Z) D． (k∈Z)
【答案】D
【分析】用 替换已知等式中的 ，从而可求得函数 的解析式，再由两角和的正弦公
式化为一个角的一个三角函数形式，利用正弦函数的对称中心求得结论．
【详解】因为f(x)＋2f(－x)＝3cos x－sin x，
所以f(－x)＋2f(x)＝3cos x＋sin x.解得f(x)＝cos x＋sin x＝ ，
所以f(2x)＝ .
令2x＋ ＝kπ(k∈Z)，得x＝ (k∈Z).
所以f(2x)图象的对称中心为 (k∈Z).
故选：D．
【点睛】本题考查求三角函数的对称性，解题是求出函数解析式并把函数化为一个角的一
个三角函数形式，然后再由正弦函数性质求解．
【利用cosx（型）函数的对称性求参数 2025福建福州·期末】
7．将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象关于原点对称，
则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角函数的平移变换求出函数 的图象，然后利用函数的对称性求得 的关
系式，即可得出答案.
【详解】函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，
所以 ，
因为函数 图象关于原点对称， ，
所以 ，所以 的值可以是 .
故选：B.
【正切函数图象的应用 2024安徽马鞍山·一模】
8．已知函数 （ ， ）的图象经过点 ，若函数 在区间 内恰有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先求 ，再根据 ,求 的范围，结合正切函数的图象，列不等式，
即可求 的取值范围.
【详解】由条件可知 ， ，所以 ，
，当 时， ，
若函数在区间 上恰有2个零点，则 ，
解得 .
故选：D
【解正切不等式 2025陕西渭南·期末】
9．已知 且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对 的范围分三种情况讨论，结合正切函数的性质计算可得；
【详解】解：因为 在 上单调递增，当 时 ，则 即 ，解得 ，所以
，
当 时 ，则 即 ，解得 ，所以
，
当 时 ，此时 无意义，故舍去，
综上可得 .
故选：B
【由正切（型）函数的奇偶性求参数 2025湖北武汉·期中】
10．已知函数 与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的
最小值为 ，若将函数 的图象向左平移 个单位后恰好为奇函数，则 的值为
（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】根据题意求得 的最小正周期为 ，得到 ，结合三角函数的图象变换，
得到 ，由 为奇函数，求得 ，进而求得 的值.
【详解】因为函数 与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为 ，可得函数 的最小正周期为 ，所以 ，所以 ，
将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 ，
又因为 为奇函数，可得 ，即 ，
因为 ，当 时，可得 ；当 时，可得 ，
所以 的值为 或 .
故选：D.
【由图象确定正（余）弦型函数解析式 2025河南新乡·阶段练习】
11．已知函数 的部分图象如图所示，则函数
的解析式为
A． B． C．
D．
【答案】B
【详解】由函数的图象可知 ， ，∴ ，∵函数的图象经
过 ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴函数的解析式为，故选B.
点睛：本题主要考查利用 的图象特征，由函数 的部分图
象求解析式，理解解析式中 的意义是正确解题的关键，属于中档题． 为振幅，有
其控制最大、最小值， 控制周期，即 ，通常通过图象我们可得 和 , 称为初象，
通常解出 ， 之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.
【利用余弦函数的单调性求参数 2024山西太原一模】
12．已知函数 （ ）在 上单调，在 上存在极值点，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦函数的性质，求得函数的单调区间以及极值点，结合题意建立不等式，
可得答案.
【详解】函数 ，令 ，
则其减区间为 ，增区间为 ， ，
由函数 在 上单调，则 ，解得 ，
①当函数 在 上单调递减时，则 ，解得 ，
由 ，则 ， ；②当函数 在 上单调递增时，则 ，解得 ，
由 ，则不符合题意；
易知当 ，即 时，函数 取得极值，
可得 ，解得 ，由 ，则 ， ，
综上所述， .
故选：B.
二．多选题.
【由正弦（型）函数的奇偶性求参数 2025福建宁德·期末】
13．设函数 ，若 ，函数 是偶函数，则 的
值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用图像平移得到解析式，再根据偶函数结合正弦函数的图像性质即可求解.
【详解】依题意 ，又其为偶函数，
则图像关于 轴对称，则 ，
得 ，又 ，
则 或 .
故选：BC
【利用余弦函数的单调性求参数 2025陕西省榆林模拟预测】
14．若函数 在区间 单调递减，且最小值为负值，则 的值可以是
（ ）A．1 B． C． D．
【答案】AC
【分析】分 和 两种情况讨论，结合余弦函数的单调性求出的范围，即可得解.
【详解】当 时， ，
由 ，得 ，
因为函数 在区间 单调递减，且最小值为负值，
所以 ，解得 ，
当 时，由 ，得 ，
因为函数 在区间 单调递减，且最小值为负值，
所以 ，解得 ，
综上所述 .
故选：AC.
【三角函数综合性质 2024江苏镇江三模】
15．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值是2
B． 向左平移 个单位后为奇函数
C． 的图象关于 对称D． 在 上是递增的
【答案】BC
【分析】先根据辅助角公式化简 ，
A．根据化简后的 直接判断最值；
B．先求解出平移后的函数解析式，然后根据解析式判断奇偶性；
C．计算 的值并判断是否为最值，由此进行判断；
D．根据 的解析式，采用整体替换的方法判断在 上的单调性.
【详解】由辅助角公式可知： ，
A． ，故错误；
B． 向左平移 个单位得到 ，
又 ，定义域为 关于原点对称，所以是奇函数，
故正确；
C．因为 为最大值，
所以 的图象关于 对称，故正确；
D．因为 ，所以 ，
因为 在 上不是单调函数，所以 在 上不是单调函数，故错误；
故选：BC.
【利用正切函数的单调性求参数 2024河南驻马店一模】16．已知当 时，函数 不单调，其中 ，
则实数 可能的取值有（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】BD
【分析】利用绝对值定义去掉绝对值符号，根据正切函数的单调性，求解 的取值范围即
可.
【详解】∵ ，
∴
当 时， ，
当 时，
∵当 时，函数 不单调，
∴ ，
，
故选：BD
【正弦函数图象的应用 2025云南玉溪·期末】
17．已知函数 的所有零点从小到大依次记为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据零点定义，结合正弦型函数和对数型函数的图象进行求解即可.
【详解】令 ，在同一直角坐标系，画出两个函数图象如下图所示：
由图可知共有20个交点，故 ，则A正确，B错误；
又函数 的图象都关于 对称，则
，
故 ，则C正确， 错误，
故选：AC
三．填空题.
【余弦函数图象的应用 2025四川巴中期末检测】
18．求函数 的图象与直线 及 轴围成的封闭图形的面积 ．
【答案】
【分析】用挖补法将所求面积转化为长方形面积求解即可.
【详解】如图，由于 的图象关于点 对称，
所以区域Ⅰ和区域Ⅲ的面积相等，区域Ⅱ和区域Ⅳ的面积相等，
则所求的封闭图形即区域Ⅰ和Ⅳ，面积是大矩形面积的一半．
由图易知大矩形的长为6，宽为 ，故所求面积为 ．
故答案为：【求含sinx（型）的二次式的最值 2025广西柳州期末】
19．函数 在 上的值域为 .
【答案】
【分析】令 ，将问题转化成函数 的值域来解决．
【详解】
令 ，又 ，则 ，
函数 可化为： ，
由二次函数的性质可得：当 时， ，当 时， .
所以函数 在上的值域为 .
故答案为： .
【余弦函数奇偶性应用 2025云南昆明一模】
20．若 是定义域为 的奇函数， 的零点分别为 ，则
．
【答案】0
【分析】根据奇函数性质及图象平移关系易知 的图象关于 中心对称，进而可得
且 为奇数，即可求结果.
【详解】因为函数 为奇函数，所以 的图象关于 中心对称，
设函数 的 个零点分别为 ，所以 ，函数 的图象向右平移 个单位得到 ，所以 的图象关于 中心对称，
则
， ．
因为 是定义域为 的奇函数，
所以零点个数 为奇数，则 ．
故答案为：0
【点睛】关键点点睛：根据函数图象平移关系得到 的图象关于 中心对称为关键.
【余弦（型）函数的周期性应用 2024河南洛阳二模】
21．设 ，则 .
【答案】
【分析】确定 的周期为4，且 ，计算得到答案.
【详解】 ， ， ，
， ，
， 的周期为4，
且 ，
所以 .
故答案为：【求正切型三角函数的单调性 2025黑龙江省大庆市期末】
22．函数 的单调递减区间为 ．
【答案】
【分析】根据正切型函数的单调性进行求解即可.
【详解】 ．
由 ，
故函数 的单调递减区间为
故答案为：
【正切函数对称性的应用 2024河南信阳二模】
23．已知函数 ，且函数 的图象关于点 中心对称，则
．
【答案】
【分析】结合题意易得 ，进而结合正切函数的周期求解即可.
【详解】由题得 ，解得 ，
又 ，当 时， ，故 ，
因此函数 的最小正周期为 ，又 ， ， ，
则
．
故答案为： .
【三角函数图象的综合应用 2024福建南平二模】
24．已知函数 在区间 上有4个不同的零点，则实数 的取
值范围为 .
【答案】
【分析】由 ，可得 ，所以 ，从而求出 的
取值范围．
【详解】
， ，
∵函数 在区间 上有且仅有4个零点，
，解得 ，
即 的取值范围是
故答案为：
【利用cosx（型）函数的对称性求最值 2025辽宁沈阳阶段测试】
25．已知函数 的图象关于点 对称，若，则
的最小值为 ．
【答案】19
【分析】根据辅助角公式和对称性得到函数 的解析式，要使得 取得最小，则让
取最值，结合图象即可求解.
【详解】由 的图象关于点 对称可得 ，得 ，即 ，
所以 ，且 ，
所以 的最大值为2b，最小值为－2b．
如图所示，作出 的大致图象，令 ， ，
则 的对称轴方程为 ， ，
则由 可得，
当 最小时， ， ，
且 是 在 轴右侧连续的最值点，
故 的最小值为 ．【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析出当 最小时， 的取值情况，
从而结合三角函数的性质即可得解.
试题特点分析：三角函数性质与图像试题的特点在于其考查形式的多样性、涉
及知识点的广泛性、与实际问题的结合、对图像变换的考察以及试题的整体综
合性.这些特点要求学生不仅要掌握扎实的基础知识，还要具备灵活运用知识解
决复杂问题的能力.
解题方法阐述：三角函数内容抽象，学习时要从基础知识入手，循序渐进地掌
握相关知识.比如先理解三角函数的基本概念、公式，再逐步深入学习其性质和
图像等内容.学生在学习中应打好基础，引导学生深入思考，全面掌握知识体系，
养成良好的数学思维习惯.
解题经验分享：面对运用三角函数的选择题，学生要熟练掌握三角函数的基础
知识，经过多层次练习，总结归纳三角函数与选择题的关系，拓展逻辑思维，
培养解题和学习能力.例如通过大量练习不同类型的选择题，熟悉各种知识点的
考查方式.
