文档文本内容
第四题 函数的定义与性质
高考真题
4. 设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【思路分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【解析】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
知识点总结
1. 函数的概念
(1) 设A，B是两个 非空 的数集，如果按某个确定的 对应关系 f ，使对于集合A中
的 每一个 元素x，在集合B中都有 唯一 的元素y和它对应，那么称 f ： A → B 为从
集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中将所有的输入值x组成的集合A叫做函
数y＝f(x)的 定义域 ，将所有的输出值y组成的集合叫做函数的 值域 .
(2) 函数的定义含有三个要素，即定义域 A，值域C和对应关系f.当函数的定义域及从定
义域到值域的对应关系确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，当且仅当两个函数的定
义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
2. 常用的函数的表示方法
(1) 解析法：就是把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表
达式，简称解析式；
(2) 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的函数关系；
(3) 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
3. 分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，且每个子区间的解析式不同，则这种函数称
为分段函数．
4. 求复合函数定义域的方法
(1) 若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b
求出．
(2) 若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
5. 函数的单调性
(1) 单调函数的定义
增函数 减函数
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间
A上，如果对于任意的两个数x ， 当x <x 时，都有 f ( x ) ＞ f ( x )，
1 1 2 1 2
定义 x ∈A： 那么就说函数f(x)在区间A上
2
当x <x 时，都有 f ( x ) ＜ f ( x )，那么就 是减函数
1 2 1 2
说函数f(x)在区间A上是增函数
图象
描述
自左向右看，图象是 上升的 自左向右看，图象是 下降的
(2) 单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间A上是增函数或是减函数，那么称A为单调区间．
(3) 复合函数的单调性
对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上
和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数 y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有 单
调性 ，并且具有这样的规律： 同增异减 .
6. 若函数f(x)，g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上具有以下性质：
(1) f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有 相同 的单调性．
(2) f(x)与a·f(x)，当a>0时，具有相同的单调性；当a<0时，具有相反的单调性．
(3) 当f(x)恒不等于零时，f(x)与具有 相反 的单调性．
(4) 当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)都是增(减)函数．
7. 函数的最值
前提 函数y＝f(x)的定义域为D
条件 (1) 对于任意x∈D，都有 (3) 对于任意x∈D，都有f ( x ) ≥ M ；
f ( x ) ≤ M ；
(4) 存在x ∈D，使得 f ( x ) ＝
0 0
(2) 存在x ∈D，使得f(x )＝M
0 0
M
结论 M为最大值 M为最小值
几何 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐
意义 标 标
8. 奇、偶函数的定义
对于函数f(x)定义域内的 任意 一个x，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) (或 f ( － x ) ＋ f ( x ) ＝ 0 )，
则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) (或 f ( － x ) － f ( x )
＝ 0 )，则称f(x)为偶函数．
9. 奇、偶函数的性质
(1) 具有奇偶性的函数，其定义域关于 原点 对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数
的必要条件是其定义域关于 原点 对称)．
(2) 奇函数的图象关于 原点 对称，偶函数的图象关于 y 轴 对称．
(3) 若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__.
(4) 定义在(－∞，＋∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之
和．
10. 函数的周期性
(1) 周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个 x值，都
有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，就把函数f(x)称为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2) 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那么这个
最小的正数就叫做f(x)的 最小 正周期．
11. 常用结论
(1) 函数单调性的两个等价结论
设∀x ，x ∈D(x ≠x )，则
1 2 1 2
①>0(或(x －x )[f(x )－f(x )]>0)⇔f(x)在D上单调递增；
1 2 1 2
②<0(或(x －x )[f(x )－f(x )]<0)⇔f(x)在D上单调递减．
1 2 1 2
(2) 函数最值存在的两条结论
①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在
端点取到；
②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．(3) 函数奇偶性的常用结论
①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反
的单调性．
③在公共定义域内：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(4) 函数周期性的常用结论
对于f(x)定义域内任一自变量的值x：
①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
(5) 对称性的三个常用结论
①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x
＝a对称．
③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．
题型展示
求函数的定义域
(2022·北京卷) 函数f(x)＝＋的定义域是 ( － ∞ ， 0 ) ∪ (0,1 ] .
【解析】 因为f(x)＝＋，所以解得x≤1且x≠0，故函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
求函数的解析式
根据下列条件求各函数的解析式．
(1) 已知f＝lg x，求f(x)；
【解答】 (换元法)令＋1＝t(t>1)，则x＝，所以f(t)＝lg ，所以f(x)＝lg (x>1)．
(2) 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)．
【解答】 (待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax
＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，所以a＝2，b＝7，所以f(x)＝2x＋7.
函数解析式的求法： (1) 凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的
表达式，然后用x替代g(x)，便得f(x)的表达式．(2) 待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法．(3) 换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用
换元法，即令t＝g(x)，反解出x，代入原式可得f(t)，改写即得f(x)，此时要注意新元的取值
范围．(4) 方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一
个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．(5) 赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出
函数解析式．
分段函数
(1) (2022·三明质检)已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝ － 2 .
【解析】 因为f(x)＝所以f(f(－2))＝f(3－2)＝log 3－2＝－2.
3
(2) (2022·德州二模)设函数若f(a)＝1，则a＝ 0 或 e .
【解析】 当a≤0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a＝0；当a>0时，f(a)＝lna＝1，解得a＝e.
1. 根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的
解析式代入求解．
2. 已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或取值范围时，应根据每一段的解析式分
别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
求具体函数的单调区间
(1) 函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的增区间是( D )
A. (－∞，－2) B. (－∞，1)
C. (1，＋∞) D. (4，＋∞)
【解析】 由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．设t＝x2－2x－8，则y＝ln
t为增函数．要求函数f(x)的增区间，即求函数t＝x2－2x－8的增区间(定义域内)．因为函数t
＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，所以函数 f(x)的增区间为
(4，＋∞)．
(2) 函数y＝|－x2＋2x＋1|的增区间是 [ 1 － ， 1 ] ， [ 1 ＋ ，＋ ∞ ) .
【解析】 作出函数的图象如图所示，由图象知，其增区间是[1－，1]，[1＋，＋∞)．
确定函数单调性的四种方法：
①定义法，②导数法，③图象法，④性质法．
利用函数的单调性求参数
(1) 已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为 ( － 3 ，－ 1 ) ∪ ( 3 ，＋ ∞ ) .
【解析】 由已知可得解得－3＜a＜－1 或 a>3，所以实数 a 的取值范围为(－3，－
1)∪(3，＋∞)．
(2) 已知函数f(x)＝满足对∀x ，x ∈R且x ≠x ，有>0成立，则实数a的取值范围是
1 2 1 2
.
【解析】 因为对∀x ，x ∈R，且x ≠x ，有>0成立，所以函数f(x)在R上单调递增，所
1 2 1 2
以解得0<a≤.
(3) 若函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是 ( － ∞ ，－ 3 ] .
【解析】 y＝＝1＋，由题意知得a≤－3，所以a的取值范围是(－∞，－3]．
利用单调性求参数的范围(或值)的方法：
(1) 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调
区间比较求参数；
(2) 若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
求函数最值
(1) 若函数f(x)＝－在x∈[1,4]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值是( A )
A. B. 2
C. D.
【解析】 因为f(x)＝－在[1,4]上是增函数，所以M＝f(4)＝2－＝，m＝f(1)＝0，因此M
－m＝.
(2) 已知函数f(x)＝那么f(x)的最小值是 2 － 6 .
【解析】 当x≤1时，f(x) ＝0；当x＞1时，f(x) ＝2－6，当且仅当x＝时取到最小值．
min min
因为2－6＜0，所以f(x) ＝2－6.
min
函数奇偶性的判定
判断下列函数的奇偶性 f(x)＝x3－.
【解答】 原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且对于定义域内的任意一个 x都
有f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，从而函数f(x)为奇函数．
判断函数奇偶性的步骤是：①求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，若不对
称，则既不是奇函数也不是偶函数；②验证f(－x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(－
x)＝0或＝±1(f(x)≠0)是否成立．
函数奇偶性的应用
(2022·深圳二模)已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－kx是偶函数，则k＝ .【解析】 由题意知f(x)＝ln(ex＋1)－kx是偶函数，则x∈R，f(－x)＝f(x)，即ln(e－x＋1)－
k(－x)＝ln(ex＋1)－kx，即ln(ex＋1)－x＋kx＝ln(ex＋1)－kx，即(k－1)x＝－kx，解得k＝，经检
验k＝满足题意．
函数的周期性
(2022·泰州期末)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝
3x＋a，则f(101)＋f(102)等于( C )
A. －4 B. －2
C. 2 D. 4
【解析】 因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，
所以f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4.又当0≤x≤1时，f(x)＝3x＋a，f(0)＝0，
所以f(0)＝30＋a＝0，即a＝－1，所以当0≤x≤1时，f(x)＝3x－1，所以f(1)＝2，f(2)＝f(0)＝
0，所以f(101)＋f(102)＝f(1)＋f(2)＝2.
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已
知区间上，进而解决问题．
真题演练
一、单选题
1．函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2．下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
3．设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
4．函数 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
5．下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
6．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
7．设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
8．已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大
值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
9．设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
10．已知函数f(x)=sinx+ ，则（）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线 对称 D．f(x)的图象关于直线 对称
【答案】D
二、填空题11．已知函数 ，则 ．
【答案】1
12．函数 的定义域是 ．
【答案】
13．设 是定义在R上的奇函数．若当 时， ，则 ．
【答案】
14．若存在常数 ，使得函数 满足 ，则 的一个正周期为 ．
【答案】 （不唯一）
模拟训练
一、单选题
1．已知函数 为奇函数，且当 时， ，则 ( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
【答案】A
2．给出四个命题：①映射就是一个函数；② 是函数；③函数 的图象与 轴
最多有一个交点；④ 与 表示同一个函数.其中正确的有
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
3．在区间 上为增函数的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
4．若定义在 上的偶函数 在区间 上单调递增，且 ，则满足 的 的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
5．已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
6．定义在R上的偶函数 ，对任意的 ，都有 ， ，则
不等式 的解集是
A． B．
C． D．
【答案】D
二、多选题
7．已知函数 为R上的奇函数， 为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
8．下列说法正确的是（ ）A．偶函数 的定义域为 ，则
B．一次函数 满足 ，则函数 的解析式为
C．奇函数 在 上单调递增，且最大值为8，最小值为 ，则
D．若集合 中至多有一个元素，则
【答案】AC
三、填空题
9．偶函数 的定义域是 ，则 .
【答案】2
10．下面四个函数：① ；② ；③ ；④ 中值域为R的函数为
.
【答案】①④
11．已知实数 、 满足方程 ，当 时，则 的取值范围是 ．
【答案】
12．已知函数 的最大值为 ,最小值为 ，则 ．
【答案】
