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2024 年 1 月“七省联考”押题预测卷 04
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ， ，故 .
故选：B
2．设复数 在复平面内对应的点在第二象限，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】设 ，其中 ，
，
其中 ，
所以复数 在复平面内对应的点在第四象限.
故选：D
3．已知 ， ，若 ，则 =（ ）
.
A 20 B. 15 C. 10 D. 5
【答案】C
【解析】因为 ，所以： .
所以：
所以： .
故选：C4．已知函数 的定义域为 ，满足 ．当 时
，则 的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为函数 的定义域为 ，满足 ，
所以 是偶函数，所以 的图象关于y轴对称，故排除A；
当 时， ，所以 ，故排除B，C．
故选:D
5．已知 为坐标原点，点 在 轴正半轴上，点 在第一象限，且 ， ，点 在第
四象限，且 ， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ，且 ，所以 .
又 ， ，且 ，所以 ，所以 ， .所以 .
故选：B
6．已知抛物线 的焦点为F， ，点 是抛物线上的动点，则当 的值最小时， =（
）
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】由题知，抛物线的准线方程为 ， ，过P作 垂直于准线于 ，连接 ，由抛
物线定义知 .
由正弦函数知，要使 最小值，即 最小，即 最大，即直线 斜率最大，即直线 与
抛物线相切.
设 所在的直线方程为： ，联立抛物线方程：
，整理得：
则 ，解得
即 ，解得 ，代入 得
或 ，再利用焦半径公式得
故选：B.7．已知直角三角形ABC中， ，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则
的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以 为原点建系， ，
，即 ，故圆的半径为 ，
∴圆 ，设 中点为 ，
，，∴ ，
故选：D.
8．设函数 ，若函数 存在两个极值点 ，且不等式
恒成立，则t的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 定义域为 ， ，
又函数 存在两个极值点 ，
所以方程 在 上有两个不相等的正实数根，
则 ，解得 ，
又
设 ，
则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增加，
因为不等式 恒成立，
即 恒成立，所以 .
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知一组样本数据 为不全相等 的个正数，其中 ，若由
生成一组新的数据 ，则这组新数据与原数据中可能相等的量有（ ）
A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差
【答案】BC
【解析】对于A，因为样本数据 为不全相等的 个正数，所以极差大于0，
所以由 生成一组新的 的极差是 极差的3倍，故A错误；
对于B，设 为 的平均数， 为 的平均数，可得 ，
当 时，可得 ，故B正确；
对于C，当 为正奇数时，设样本数据 的中位数为 ，
则数据 的中位数 ，当 时， ，故C正确；
对于D， 为 的标准差，因为样本数据 为不全相等的 个正数，
所以 ，设 为 的标准差，可得 ，
则 ，
，故D
错误.
故选：BC.
10．在四棱锥 中，底面 是菱形，P在底面上的射影E在线段 上，则（ ）
A. B.
C. 平面 D. ⊥平面
【答案】AC
【解析】A选项，由题意得 ⊥平面 ，底面 是菱形，连接 与 交于点 ，则 ， ⊥ ，
因为 ，故 ，
又 ，故 ，A正确；
B选项，因为 ⊥平面 ，所以 ，
由于 与 不一定相等，故 不一定相等，B错误；
C选项，因为底面 是菱形，所以 ，
又 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，C正确；
D选项，连接 ，若 不重合，此时 中， 为斜边，
故 与 不垂直，
故 与 不垂直，故此时 与平面 不垂直，D错误.
故选：AC
11．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，过 的直线交双曲线 的
右支于 ， 两点（其中点 在第一象限内），设 ， 分别为 ， 的内心，则（ ）
A. 点 的横坐标为2
B. 当 时，
C. 当 时， 内切圆的半径为D.
【答案】BCD
【解析】由双曲线方程知： ，令圆 在x轴上的切点横坐标为 ，
结合双曲线定义及圆切线性质有 ，即 ，
所以圆 在x轴上的切点与右顶点为 重合，又 轴，则 的横坐标为1，A错；
由 ，则 ，故 ，
而 ，所以 ，故 ，得 ，
所以 ，B对；
若 为 内切圆圆心且 知：以直角边切点和 为顶点的四边形为正方形，
结合双曲线定义：内切圆半径
由B分析知： ，C对；
由 分别是 的角平分线，又 ，所以 ，结合A分析易知 ，
在 中 ，D对.
故选：BCD
12．投掷一枚质地不均匀的硬币，己知出现正面向上的概率为p，记 表示事件“在n次投掷中，硬币正
面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（ ）
A. 与 是互斥事件 B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对A，因为对立事件 是互斥事件，所以A正确；
对B， ，所以B错；
对C，由全概率公式可知
，所以C正确；
对D，由C可知 ，
因为 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 且 ，
所以 ，所以 ，
所以 是关于n的递减数列，
所以 ，D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．将函数 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长
度得到函数 的图象，则 ______.
【答案】
【解析】将函数 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，
得到 ，再向右平移 个单位长度得到函数 的图象，
则 ，
故答案为： ．
14.某医院安排王医生、李医生、赵医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防
传染病”的知识宣传活动，要求每人只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医
生不安排在同一个社区，孙医生不单独安排在一个社区，则不同的安排方法有______种．
【答案】【解析】由题意知可分为两类：
第一类：一个社区3人，剩下两个社区各1人，
当李医生、张医生2人都单独安排到一个社区时，有 种不同的安排方法；
当李医生、张医生中有1人单独安排到一个社区时，有 种不同的安排方法；
第二类：一个社区1人，剩下两个社区各2人，
当李医生、张医生中有1人单独安排到一个社区时，有 种不同的安排方法；
当李医生、张医生都不单独安排到一个社区时，有 种不同的安排方法；
综上可知，共有 （种），
故答案为：
15.设等差数列 的前 项和为 ，且 ， 是等比数列，满足 ，则
_______.
【答案】
【解析】设等比数列 的公比为 ，
为等比数列， 为等差数列， ，则 的等比数列 ，
，∴ ，则 ，∴ ， ，
，∴ ， .
故答案为：
16．如图，已知正方体 的棱长为4， ， ， 分別是棱 ， ， 的中点，
平面 截正方体 的截面面积为________.【答案】
【解析】
在正方体 中，
延长 交 延长线于 ，连接 交 于 ，并延长交 延长线于R，
延长 交 延长线于 ，连接 交 于 ，交 于 ，
易知点 共面，平面 即为平面 ，
所以平面 截正方体 的截面为六边形 ，
因为 ， ， 分別是棱 ， ， 的中点，
所以根据相似比易知点 都为其所在正方体棱的中点，则易得六边形 为正六边形，
因为正方体 的棱长为4，
所以正六边形 的边长 ，
所以截面面积为 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知等比数列 的各项均为正数，前n项和为 ，若 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 ．【答案】（1） （2）
【解析】（1）设 的公比为 ，
因为 ，即 ，
且 ，可得 ，解得 或 （舍去）．
又因为 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）可得： ，
所以
，
所以
18．在 中， ，且
（1）求角 ；
（2）若点 为 边上一点， 且 ，求 的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
即 ，
在 中，由正弦定理得， ，即 ，在 中，由余弦定理得， ，
又因为 ，所以 .
（2）如图所示，
因为 ，
所以
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得， ，
即 ，
代入 ，解得 （负值舍去），
所以 ，
所以 .
19．如图，四棱锥 的底面为矩形，平面 平面 ， 是边长为2等边三角形， ，点 为 的中点，点 为 上一点（与点 不重合）．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，直线 与平面 所成的角最大？
【答案】（1）证明见解析； （2）2.
【解析】（1）因为三角形 是等边三角形，且E是 中点，
所以 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
为
又因 面 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
因为 平面 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ；
（2）设F是 中点，以E为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建
立空间直角坐标系，由已知得 ，
设 ，则 、
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，有 ，
设直线 与平面 所成的角 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
当 时，直线 与平面 所成角最大．
20．已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）若对于任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）递增区间为 ，递减区间为
（2）【解析】（1）因为 ，则 ，
令 ，则 ，即 ，
解得 的递增区间为 ；
令 ，则 ，即 ，
解得 的递减区间为 ；
所以 的递增区间为 ，递减区间为 .
（2）因为对于任意的 恒成立，
所以 对于任意的 恒成立，
当 时， ；
当 时， ，
令 ，所以 ，
令 ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 在 上恒成立所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 .
综上，实数 的取值范围为
21．某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的 位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则为：每
位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰有2个红球与1个白球，
这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球，并将这个球放入第2个暗盒里，第
2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里，依次类推，第 位员工再从第 个暗
盒里面取出1个球并放入第 个暗盒里.第 位员工从第 个暗盒中取出1个球，游戏结束.若某员工取出的
球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金500元.设第 位员工获得奖金为
元.
（1）求 的概率；
（2）求 的数学期望 ，并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大.
【答案】（1） （2） ，第1位
【解析】（1） 的情形为第2位员工从第2个盒子中摸出红球，包括两种情况：
①第1位员工从从第1个盒子中摸出红球放入第2个盒子后第2位员工摸出红球；
②第1位员工从从第1个盒子中摸出白球放入第2个盒子后第2位员工摸出红球.
故 的概率为： .
（2）设第 位员工取出红球的概率为 则有 ,
即： ，且
故 组成首项为 ，公比为 的等比数列.即
第 位员工取出白球的概率为 .
易知 的所有可能取值为 则 的分布列如下：
1000 500
显然 关于 单调递减， 第1位员工获得奖金额的数学期望最大.
22．已知椭圆 的离心率为 ，斜率为2的直线l与x轴交于点M，l与C交于
A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时， 面积为 ．
（1）求C的方程；
（2）当M异于O点时，记直线 与y轴交于点N，求 周长的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）当M与原点O重合时，可设 ，则有 、 ，
且 ，即有 ,
则 ，
即 ，又 ，故 ，则 ，即有 ，由离心率为 ，即 ，
则 ，故 ，即有 ，
解得 ，故 ，即C的方程为 ；
（2）设直线 方程为 ，令 ，有 ，即 ，
设点 、 ，则 ，
联立直线与椭圆方程： ，消去 有 ，
，即 ，
有 ， ，
为 ，
令 ，故 ，
由 ，故 ，其中 ，即 ，
则
，
当且仅当 时等号成立，
故 周长的最小值为 .
