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2024 年 1 月“七省联考”押题预测卷 03
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必
要条件
3．已知非零向量 ， 满足 ， ，若 ，则向量 在向量 方向上的
投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4．形如 我们称为“二阶行列式”，规定运算 ，若在复平面上的一个点A
对应复数为 ，其中复数 满足 ，则点A在复平面内对应坐标为（ ）
A. B. C. D.
5．已知圆 ，圆 ，下列直线中不能与圆 ， 同
时相切的是（ ）
A. B.
C. D.
6．若函数 在 内恰好存在4个 ，使得 ，则 的取
值范围为（ ）A. B. C. D.
7．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的 棉滤
芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是
多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层 棉滤芯可以过滤
掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒
杂质含量不超过2mg/L，则 棉滤芯的层数最少为（参考数据： ， ）（
）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
8．设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A. 已知随机变量 服从二项分布： ，设 ，则 的方差
B. 数据 的第60百分位数为9
C. 若样本数据 的平均数为2，则 的平均数为8
D. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
10．在正四棱台 中， ， ， 则（ ）
A. 该正四棱台的体积为
B. 直线 与底面 所成的角为60°
C. 线段 的长为10
D. 以 为球心，且表面积为 的球与底面 相切
11．已知双曲线 ，直线l： 与双曲线有唯一的公共点M，过点M且
与l垂直的直线分别交x轴、y轴于 ， 两点.当点M变化时，点 之
变化.则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 点坐标可以是 D. 有最大值
12．已知函数 ， 的定义域均为R，它们的导函数分别为 ， ，且
， ，若 是偶函数，则下列正确的是（ ）．
A.B. 的最小正周期为4
C. 是奇函数
D. ，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．二项式 的展开式中，所有项系数和为 ，则 的系数为______（用数字作
答）.
14.随机变量 有3个不同的取值，且其分布列如下：
则 的最小值为______.
15.已知数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，若
对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是______________．
16．已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）求C；
（2）若 ， ，点D在边AB上，且 ，求CD的长.
18．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．19．如图，直三棱柱 中， 为等腰直角三角形， ，E，F分别是棱
上的点，平面 平面 ，M是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
20．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入
一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四
个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打
开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲
的选择之外的一个空箱子.
（1）计算主持人打开4号箱的概率；
（2）当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还
是改选1号或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）21．已知椭圆E： ，椭圆上有四个动点A，B，C，D， ，AD与BC相交于P
点.如图所示.
（1）当A，B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD与BC的斜率之积是否为定
值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；
（2）若点P的坐标为 ，求直线AB的斜率.22．已知函数 ， ．
（1）当 时，求证： ；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）已知 ，证明： ．
