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2024 年 1 月“七省联考”押题预测卷 03
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ， ，
所以 .
故选：D.
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必
要条件
【答案】A
【解析】因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知非零向量 ， 满足 ， ，若 ，则向量 在向量 方向上的
投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，∴ ，又 ，所以 ，∴ 或 （舍去），
所以 ，
所以 在 方向上的投影向量为 .
.
故选：A
4．形如 我们称为“二阶行列式”，规定运算 ，若在复平面上的一个点A
对应复数为 ，其中复数 满足 ，则点A在复平面内对应坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得： ，
则 ，
所以点A在复平面内对应坐标为 .
故选：A.
5．已知圆 ，圆 ，下列直线中不能与圆 ， 同
时相切的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意知： ，
所以圆 的圆心为 ，半径为1；圆 的圆心为 ，半径为2，
对于A，圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故满足相切条
件，
圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线 是两圆的一条公切线；
对于B，圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故满足相切条
件，圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线 是两圆的一条公切线；
对于C，圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故满足相切条
件，
圆 的圆心 到直线的距离为 ，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线 是两圆的一条公切线；
对于D，圆 的圆心 到直线的距离为 ，不满足相切条件，
即直线 不可能是两圆的公切线；
故选：D.
6．若函数 在 内恰好存在4个 ，使得 ，则 的取
值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令 ,则 或 ，
即 或
故 可取 ，
由于 ，则 ，
要使在 内恰好存在4个 ，使得 ，则 ，解得 ，
故选：B
7．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其工作原理中有多次的 棉滤
芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是
多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层 棉滤芯可以过滤
掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒
杂质含量不超过2mg/L，则 棉滤芯的层数最少为（参考数据： ， ）（
）A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】A
【解析】设经过 层 棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为 ，则 ，
令 ，解得 ，两边取常用对数得 ，即
即 ，因为 ， ，
所以 ，解得 ，因为 ，所以 的最小值为9．
故选：A
8．设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设 ，作出单位圆，与 轴交于 点，则 ，
过点 作 垂直于 轴，交射线 于点 ，连接 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，
由三角函数定义可知 ， ， ，
设扇形 的面积为 ，则 ，即 ，故
，
因为 ，所以 ，
又 ，由 得 ，即 ，
令 ， ，
则 ，当 时， ，
故 在 上单调递减，所以 ，所以 ，
故 ，
综上， .
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A. 已知随机变量 服从二项分布： ，设 ，则 的方差
B. 数据 的第60百分位数为9
C. 若样本数据 的平均数为2，则 的平均数为8
D. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
【答案】BC
【解析】对于A，易知 ，而 ，
所以 ，A错误；
对于B，共有7个数据，而 ，故第60百分位数为9，B正确；
对于C，若样本数据 的平均数为2，
则 的平均数为 ，C正确；
对于D，由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，
每个个体被抽到的概率都是 ， 错误.
故选：BC
10．在正四棱台 中， ， ， 则（ ）
A. 该正四棱台的体积为
B. 直线 与底面 所成的角为60°
C. 线段 的长为10
D. 以 为球心，且表面积为 的球与底面 相切
【答案】BD
【解析】连接 ， ，过 作 ，垂足为 .
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，
所以该正四棱台的体积 ，A错误.直线 与底面 所成的角为 ，由 ，所以 ，B正
确.
，C错误
设以 为球心，且表面积为 的球的半径为 ，则 ，解得 ，
所以以 为球心，且表面积为 的球与底面 相切，D正确.
故选：BD.
11．已知双曲线 ，直线l： 与双曲线有唯一的公共点M，过点M且
与l垂直的直线分别交x轴、y轴于 ， 两点.当点M变化时，点 之
变化.则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 点坐标可以是 D. 有最大值
【答案】ACD
【解析】对于A，联立 消y可得 ，
直线与双曲线只有一个公共点，且 ，则 ，
∴ ，∴ ，即选项A正确；
对于B，由方程可得 ，则 ，∴ ，
则 的直线方程为 ，令 ， ，
令 ， ，所以 ，即B错误；
对于C，则易知 ，若 ，则 ，，取 ， ，即 ，所以C正确；
对于D，可得
，当且仅当 时，等号成立，即D正确；
故选：ACD
12．已知函数 ， 的定义域均为R，它们的导函数分别为 ， ，且
， ，若 是偶函数，则下列正确的是（ ）．
A.
B. 的最小正周期为4
C. 是奇函数
D. ，则
【答案】ABD
【解析】A选项， 为偶函数，故 ，
两边求导得， ，
令 得 ，解得 ，A正确；
B选项，因为 ， ，
所以 ①，
因为 ，所以 ②，
则①②相减得， ③，
又 ④，
则③④相减得 ，即 ，
又 ，故 的最小正周期为4，B正确；
C选项，假如 为奇函数，则 ，
当 时，可得 ，
但 ，当 可得 ，
显然不满足要求，故 不是奇函数，C错误；
D选项，因为 ，所以 ，又 ，故 ，
由B选项得 ，故 ，解得 ，
且 ，
由B选项知 的一个周期为4，故 ，
所以 ，
则 ，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．二项式 的展开式中，所有项系数和为 ，则 的系数为______（用数字作
答）.
【答案】
【解析】令 可得二项式 的所有项系数和为 ，所以 .
二项式 的展开式的通项公式为 ， ，1，…，8，
所以 的展开式中， 的系数为 .
故答案为：
14.随机变量 有3个不同的取值，且其分布列如下：
则 的最小值为______.
【答案】
【解析】依题意知 ，则 ，则 ，
设 ，则 ，
故 ，所以 ，
当 时， 取最小值 ，
故答案为：
15.已知数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，若对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是______________．
【答案】
【解析】由 ，
当 时， ，
当 时，由 得 ，
两式相减并化简得 ，
也符合上式，所以 ，
令 ，
为常数，
所以数列 是等差数列，首项 ，
所以 ，
对称轴为 ，
由于 对任意的 恒成立，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
16．已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为______．
【答案】 ##
【解析】由 得 ，即 ，
设 ，则 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增．
因为x，y均为正实数，所以 ，由 ，可得 ，即 ．
由 知，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，所以 ．
则 ．令 ，
则 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 的最小值为 ．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
.
（1）求C；
（2）若 ， ，点D在边AB上，且 ，求CD的长.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由已知借助正弦定理可得：
，
即 ，即 ，
，故 ；
（2）由余弦定理知 ，∴ ，
由 知， ，
即 .
18．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；（2）设数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为 ，
时， ,
两式相减得 ，
， ， ， ，
相乘得 ，所以 ，
当 时符合上式，
所以 ；
（2） ，
当 为奇数时 ，
.
19．如图，直三棱柱 中， 为等腰直角三角形， ，E，F分别是棱
上的点，平面 平面 ，M是 的中点．（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）过F作 交 于 ，因为平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ，则 ，
平面 ，
为中点，且 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
，又 平面 ，
， 平面 ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2） ，
可确定一平面 ，
， 平面 ， 平面
平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
，
四边形 为平行四边形，
以 为x，y，z轴建系，
则 ，
设 为平面 的法向量，
，则 ，即 ，令 ，则 ，
是平面 的一个法向量，
为平面 的一个法向量，
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
20．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入
一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四
个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打
开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲
的选择之外的一个空箱子.
（1）计算主持人打开4号箱的概率；
（2）当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还
是改选1号或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）
【答案】（1） （2）甲应该改选1号或3号箱.
【解析】（1）设 分别表示1，2，3，4号箱子里有奖品，
设 分别表示主持人打开 号箱子，
则 ，且 两两互斥.
由题意可知，事件 的概率都是 ， ， ，
， .
由全概率公式，得 .
（2）在主持人打开4号箱的条件下，1号箱､2号箱､3号箱里有奖品的条件概率分别为，
，
，
通过概率大小比较，甲应该改选1号或3号箱.
21．已知椭圆E： ，椭圆上有四个动点A，B，C，D， ，AD与BC相交于P
点.如图所示.
（1）当A，B恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD与BC的斜率之积是否为定
值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；
（2）若点P的坐标为 ，求直线AB的斜率.
【答案】（1）是定值，定值为 （2）
【解析】（1） 由题意知， ， ，所以 ， ，所以 ，
设直线CD的方程为 ，设 ， ，
联立直线CD与椭圆的方程 ，整理得 ，
由 ，解得 ，且 ，
则 ， ，
所以，
故直线AD与BC的斜率之积是定值，且定值为 .
（2）设 ， ， ，记 ( )，
得 .所以 .
又A，D均在椭圆上，所以 ，
化简得 ，
因为 ，所以 ，
同理可得 ，
即直线AB： ，
所以AB的斜率为 .
22．已知函数 ， ．
（1）当 时，求证： ；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）已知 ，证明： ．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析
【解析】（1）当 时，∵ ，
∴ ，
令 得 ，或 （舍）
当 ， ， 单调递减；当 ， ， 单调递增
∴当 时，
即 ，∴
（2）令 （ ），则 ．
当 时， ，则函数 在 上单调递增，
当 时， ，则函数 在 上单调递减，
所以， ，即 ，
所以，当 时， ，即 ，
当 时，取 ，由于 ，
而 ，得 ，
故 ，不合乎题意.
综上所述， ．
（3）当 时，
由（1）可得 ，则 ，
可得 ，即 ，即 （ ），
令 ，所以， ，
所以， ，即 （ ），
所以， ， ，
令 （ ），则 ，且 不恒为零，
所以，函数 在 上单调递增，
故 ，则 （ ），
所以， ， ，
所以，
．
