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2024 年 1 月“七省联考”押题预测卷 02
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考
证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2．已知复数 在复平面内对应点的坐标为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3． 展开式中 项的系数为（ ）
A. B. C. 20 D. 240
4．函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，
富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台
，上下底面的中心分别为 和 ，若 ， ，则正四棱台 的体积为（ ）
A. B. C. D.
6．公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家
雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形
中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用 sec（角）表示；锐角的斜边与其对
边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则 （ ）
A. B. C. 4 D. 8
7．已知奇函数 在 上可导，其导函数为 ，且 恒成立，则
（ ）
A. 1 B. C. 0 D.
8．如图，已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，过 的直线与 分别
在第一､二象限交于 两点， 内切圆半径为 ，若 ，则 的离心率为（
）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该
项目的冠亚军.已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为 ，平均数
为 ，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为 ，平均数为 ，下面
说法正确的是（ ）
A. 新数据的极差可能等于原数据的极差B. 新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C. 若 ，则新数据的方差一定大于原数据方差
D. 若 ，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数
10．已知函数 的部分图象如图所示．则（ ）
A. 的图象关于 中心对称
B. 在区间 上单调递增
C. 函数 的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 的图象
D. 将函数 图象所有点的横坐标缩小为原来的 ，得到函数 的图象
的
11．已知 是圆 上一点， 是圆 上一点，则（ ）
A. 的最小值为2
B. 圆 与圆 有4条公切线
C. 当 取得最小值时， 点的坐标为
D. 当 时，点 到直线 的距离小于2
12．已知正四面体 的棱长为2，下列说法正确的是（ ）
A. 正四面体 的外接球表面积为
B. 正四面体 内任意一点到四个面的距离之和为定值
C. 正四面体 的相邻两个面所成二面角的正弦值为
D. 正四面体 在正四面体 的内部，且可以任意转动，则正四面体 的
体积最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知等差数列 前3项和 ， ， ， 成等比数列，则数列 的公差
_______________．
14.已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为
________．15.正三棱台 中， ， ，点 ， 分别为棱 ， 的中
点，若过点 ， ， 作截面，则截面与上底面 的交线长为________．
16．已知函数 的最小值为0，则a的值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 和 .
18．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的最大值．19．如图，底面ABCD是边长为2的菱形， ， 平面ABCD， ，
，BE与平面ABCD所成的角为 .
（1）求证：平面 平面BDE；
（2）求二面角B-EF-D的余弦值.
20．“村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育
赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风､
乡土味､欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.
某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随
机抽取了男､女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 20
女生 15
合计 100
附： .0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）根据所给数据完成上表，依据 的独立性检验，能否有 的把握认为该中学学
生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两
名男生进球的概率均为 ，这名女生进球的概率为 ，每人射门一次，假设各人进球相互独立，
求3人进球总次数 的分布列和数学期望.
21．已知函数 ， .
（1）求 的单调区间；
（2）当 时， 与 有公切线，求实数 的取值范围.22．已知椭圆T： ，其上焦点F与抛物线K： 的焦点重合.
（1）若过点F的直线交椭圆T于点A、B，同时交抛物线K于点C、D（如图1所示，点C在椭圆与
抛物线第一象限交点上方），试证明：线段AC大于BD长度的大小；
（2）若过点F的直线交椭圆T于点A、B，过点F与直线AB垂直的直线EG交抛物线K于点E、G
（如图2所示），试求四边形AEBG面积的最小值.
