解三角形：边角互化问题、周长问题、面积问题、解多三角形问题专项训练
考点目录
边角互化问题
周长与周长最值问题
面积与面积最值问题
解多三角形问题
1．（2025·辽宁大连·一模）在
ABC
V
中， 已知
2
2
2
2
b
c
a
c
a
c
+
-
-
=
，下列说法正确的是（ ）
A．
π
6
B =
B．若
3
b =
， 则
ABC
V
面积最大值为 9 3
4
C．记
ABC
V
的内切圆半径为R ， 设
R
f b
=
， 则
f b 在
1,
bÎ
+¥ 上单调递增
D．若
2
2
sin
cos
1
A
B
+
> ，若a 和c 的长度一定，则有两个满足条件的不同三角形
【答案】B
【详解】选项A：由余弦定理得：
2
2
2
cos
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
，
又
2
2
2
2
b
c
a
c
a
c
+
-
-
=
，
所以
2
cos
2
2 cos
bc
A
c
a
b
A
c
-
=
=
，
由正弦定理得：2sin
sin
2sin
cos
C
A
B
A
-
=
，
因为
π
A
B
C
+
+
= ，所以
π
C
A
B
=
-
+
，
所以
2sin
sin
2sin
cos
A
B
A
B
A
+
-
=
，
即2sin
cos
2cos
sin
sin
2sin
cos
A
B
A
B
A
B
A
+
-
=
，
即2sin
cos
sin
A
B
A
=
，
因为
0,π
AÎ
，所以sin
0
A >
，
所以
1
cos
2
B =
，又
0,π
BÎ
，
所以
π
3
B =
，故A 选项不正确；
选项B：因为
π
3,
3
b
B
=
=
，
所以由余弦定理
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
得：
2
2
9
a
c
ac
=
+
-
，
考点一
边角互化问题
所以
2
2
9
2
a
c
ac
ac
ac
ac
=
+
-
³
-
=
，
当且仅当
3
a
c
=
=
时等号成立，即
9
ac £
，
所以
1
1
3
9 3
sin
9
2
2
2
4
ABC
S
ac
B
=
£
´ ´
=
V
，
所以B 选项正确；
选项C：由
ABC
V
的内切圆半径为R ，
则
1
1
sin
2
2
ABC
S
a
b
c R
ac
B
=
+
+
=
V
，
即
sin
3
2
ac
B
ac
R
a
b
c
a
b
c
=
=
+
+
+
+
，
当
π
3
2,
b
A
=
=
时，
2
a
c
b
=
=
=
，此时
1
3
3
R =
；
当
π
2,
2
b
A
=
=
时，
2 3
4 3
,
3
3
c
a
=
=
，此时
2
8 3
3
3
1
3
2 2
2 3
R =
= -
+
.
因为
1
3
1
3
2
R =
>
，所以
2
3
1
1
3
2
R = -
<
.
所以
R
f b
=
在
1,
bÎ
+¥ 上的不单调递增，故C 选项错误；
选项D：由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
=
得：
sin
sin
a
B
A
b
=
，
由
2
2
sin
cos
1
A
B
+
> 即
2
2
2
sin
1 cos
sin
A
B
B
> -
=
，
所以sin
sin
A
B
>
，又
,
0,π
A BÎ
，
所以sin
sin
A
B
>
，又
π
3
B =
，
所以
π
3
A >
且
2π
π
3
A
B
<
-
=
，即
π 2π
,
3
3
A
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
又a 和c 的长度一定，此时满足条件的角A 只有一个值，
所以只有一个满足条件的三角形，
故D 选项不正确；
故选：B.
2．（25-26 高二上·贵州黔南·开学考试）在
ABC
V
中，角
,
,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
cos
cos
a
c
B
b
c
A
-
=
-
，且
2
2
2
c
a
b
ab
=
+
-
，则
ABC
V
的形状为（ ）
A．钝角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【答案】D
【详解】由
2
2
2
c
a
b
ab
=
+
-
得
2
2
2
a
b
c
ab
+
-
=
，
所以
2
2
2
1
cos
2
2
a
b
c
C
ab
+
-
=
=
，又
0,π
C Î
，所以
π
3
C =
.
由
cos
cos
a
c
B
b
c
A
-
=
-
，根据正弦定理可得sin
sin
cos
sin
sin
cos
A
C
B
B
C
A
-
=
-
，
又
sin
sin
sin cos
cos sin
A
B
C
B
C
B
C
=
+
=
+
，
sin
sin
sin cos
cos sin
B
A
C
A
C
A
C
=
+
=
+
，
所以sin cos
sin cos
B
C
A
C
=
，又cos
0
C ¹
，所以sin
sin
B
A
=
，
由正弦定理可得a
b
=
.因为
π
,
3
a
b C
=
=
，所以ABC
V
是等边三角形.
故选：D.
3．（2025·四川巴中·模拟预测）在
ABC
V
中，若
cos
3 sin
c
c
A
a
A
B
+
=
+
，则A = （ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】B
【详解】由正弦定理可得
sin
sin
cos
3sin sin
C
C
A
A
A
B
+
=
+
，
又
sin
sin π
sin
A
B
C
C
+
=
-
=
，所以sin
sin
cos
3sin
sin
C
C
A
A
C
+
=
，
因为
0,π
C Î
，所以sin
0
C >
，故1 cos
3sin
A
A
+
=
，
即
π
3sin
cos
2sin
1
6
A
A
A
æ
ö
-
=
-
=
ç
÷
è
ø
，即
1
sin
6
2
π
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
因为
0,π
AÎ
，所以
π
π 5π
,
6
6
6
A
æ
ö
-
Î -
ç
÷
è
ø，所以
π
π
6
6
A-
=
，即
π
3
A =
.
故选：B
4．（25-26 高三上·重庆·阶段练习）在
ABC
V
中，则下列条件不是A
B
>
的充要条件的为（ ）
A．sin
sin
A
B
>
B．cos
cos
A
B
<
C．cos2
cos2
A
B
<
D．sin2
sin2
A
B
>
【答案】D
【详解】选项A：利用正弦定理可得
2
sin
sin
a
b
R
A
B
=
=
，
故\sin
sin
A
B
>
，等价于a
b
> ，而在
ABC
V
中，a
b
> 等价于A
B
>
，故选项A 正确；
选项B：cos
cos
A
B
<
，由余弦函数
cos ,
0,π
y
x x
=
Î
为减函数可得A
B
>
，故选项B 正确；
选项C：cos2
cos2
A
B
<
，利用二倍角公式可得
2
2
1
2sin
1
2sin
A
B
-
< -
，
所以
2
2
sin
sin
A
B
>
，即sin
sin
A
B
>
，等价于a
b
> ，
而在
ABC
V
中，a
b
> 等价于A
B
>
，故选项C 正确；
选项D：sin2
sin2
A
B
>
不能推出a
b
> ，如
45
A
°
=
，
60
B
°
=
时满足sin2
sin2
A
B
>
，
但由大角对大边可得a
b
<
，故选项D 不正确．
故选：D.
5．（25-26 高三上·江苏·阶段练习·多选）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
π
π
cos sin
sin
6
6
A
B
C
æ
ö
æ
ö
+
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
2
a
c
+
=
，则（ ）
A．cos
cos cos
3sin cos
C
A
B
A
B
+
=
B．
ABC
V
的面积的最大值为
3
2
C．b 的一个可能的取值为8
5
D．b 的一个可能的取值为4
5
【答案】AC
【详解】由
π
π
cos sin
sin
6
6
A
B
C
æ
ö
æ
ö
+
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，可得
π
5π
cos sin
sin
6
6
A
B
A
B
æ
ö
æ
ö
+
=
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
所以
π
π
5π
5π
cos
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
6
6
6
6
A
B
B
A
B
A
B
æ
ö
+
=
+
-
+
ç
÷
è
ø
，
所以
3
1
1
3
cos
sin
cos
cos
cos
sin
2
2
2
2
A
B
A
B
A
B
A
B
+
=
+
+
+
，
所以
3
1
1
1
3
cos
sin
cos
cos
cos
cos
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
+
=
-
+
+
，
所以
3
1
3
3
cos
sin
sin
sin
sin
cos
cos
sin
2
2
2
2
A
B
A
B
A
B
A
B
= -
+
+
，
所以
1
3
sin
sin
sin
cos
0
2
2
A
B
A
B
-
+
=
，因为0
π
A
<
<
，所以sin
0
A ¹
，
所以
1
3
sin
cos
0
2
2
B
B
-
+
=
，所以tan
3
B =
，因为0
π
B
<
<
，所以
π
3
B =
，
对于A，
2
1
cos
cos cos
cos π
3
cos cos
cos
c
π
os
2
C
A
B
A
B
A
B
A
A
æ
ö
+
=
-
-
+
=
-
+
ç
÷
è
ø
2π
2π
cos
sin
sin
i
1
3
cos
cos
s
sin
3s n
2
2
co
3
3
A
A
A
A
B
A
=
+
=
+
=
，故A 正确；
对于B，因为
2
a
c
+
=
，所以
2
1
2
a
c
ac
+
æ
ö
£
=
ç
÷
è
ø
，
所以
π
1
3
=
sin
2
3
4
ABC
S
ac
£
V
，故B 错误；
对于CD，由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
2
cos
3
b
a
c
ac
B
a
c
ac
a
c
ac
=
+
-
=
+
-
=
+
-
2
2
4
3
2
3
6
4
3
1
1
a
a
a
a
a
=
-
-
=
-
+
=
-
+ ，
又
2
a
c
+
=
，所以0
2
a
<
<
，所以
2
1
4
b
£
<
，所以1
2
b
£
<
，故C 正确，D 错误.
故选：AC.
6．（25-26 高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试·多选）
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c 且
cos
2
cos
C
a c
B
b
-
=
，下列说法正确的是（ ）
A．
π
3
B =
B．若
2
b =
且
ABC
V
存在且唯一，则0
2
a
<
£
或
2 2
a =
C．若sin
2 sin
C
A
=
，则b
a
=
D．若
2
b =
，则
ABC
V
面积最大值为1
2
+
【答案】BCD
【详解】由cos
2
2 sin
sin
cos
sin
C
a
c
A
C
B
b
B
-
-
=
=
，
2 sin
cos
sin
cos
sin
cos
A
B
C
B
B
C
-
=
，
2 sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
sin
A
B
B
C
C
B
B
C
A
=
+
=
+
=
，
由于sin
0
A ¹
，所以
2
cos
2
B =
，
0,π
BÎ
Q
，
π
4
B
\
=
，故A 错误；
由正弦定理得
2
2 2
sin
sin
2
2
a
b
A
B
=
=
=
，即
2 2 sin
a
A
=
，又
ABC
V
存在且唯一，
所以0
2
a
b
<
£
=
或
2
A
p
=
，
2 2
a =
，故B 正确；
由sin
2 sin
C
A
=
，则
3
sin
π
2 sin
4
A
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
2
2
cos
sin
2 sin
2
2
A
A
A
+
=
，
sin
cos
A
A
=
，即tan
1
A = ，而A 为三角形内角，
所以
π
4
A =
，则
π
4
A
B
=
=
，所以b
a
=
，故C 正确；
若
2
b =
，则由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
cos
2
4
b
a
c
ac
B
a
c
ac
=
+
-
=
+
-
=
，
所以有
2
2
2
4
2
a
c
ac
ac
+
=
+
³
，即
4
2 2
ac £
+
，当且仅当
4
2 2
a
c
=
=
+
时取等号，
ABC
V
的面积为
1
2
2
sin
4
2 2
1
2
2
4
4
ac
B
ac
=
£
´
+
= +
，故D 正确.
故选：BCD.
7．（25-26 高二上·湖南邵阳·阶段练习·多选）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2 cos
cos
cos
0
a
A
c
B
b
C
+
+
=
，点D 在线段BC 上，且
4
=
AD
，则（ ）
A．角A 的大小为2π
3
B．若AD 为
BAC
Ð
的角平分线，则1
1
1
4
b
c
+
=
C．若
0
AD AC
×
=
uuur uuur
，则线段BD 的长度的取值范围为4 3 ,
3
æ
ö
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
D．若
0
AD BC
×
=
uuur uuur
，则
ABC
V
的周长的最大值为16
8 3
+
【答案】ABC
【详解】选项A：若2 cos
cos
cos
0
a
A
c
B
b
C
+
+
=
，
即2sin
cos
sin
cos
sin
cos
0
A
A
C
B
B
C
+
+
=
，2sin
cos
sin(
)
0
A
A
B
C
+
+
=
，
故2sin
cos
sin
0
A
A
A
+
=
，
因为A 为三角形内角，所以sin
0
A ¹
，所以
1
cos
2
A = -
，
2π
3
A =
.故选项A 正确.
选项B：根据题意，由于
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
V
V
V
，
即1
2π
1
π
1
π
sin
sin
sin
2
3
2
3
2
3
bc
c
AD
b
AD
=
´ ´
´
+
´ ´
´
Þ
4
4
bc
b
c
=
+
Þ 1
1
1
4
b
c
+
=
.故选项B 正确.
选项C：若
0
AD AC
×
=
uuur uuur
，则
π
6
BAD
Ð
=
.
在
ABD
△
中，由正弦定理得：
4
π
sin
sin 6
BD
B
=
，
2
sin
BD
B
=
，
由于
π
0, 3
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则BD 的长度的取值范围为4 3 ,
3
¥
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
.故选项C 正确.
选项D：若
0
AD BC
×
=
uuur uuur
，根据等面积法有1
2π
1
1
sin
4
2
3
2
2
bc
a
AD
a
=
´ ´
=
´ ´
，即
8
3
bc
a
=
.
由余弦定理得：
2
2
2
2π
2
cos 3
b
c
a
bc
+
-
=
，整理可有
2
2
2
8
(
)
3
b
c
a
bc
a
a
+
=
+
=
+
，
故
2
8
3
b
c
a
a
+
=
+
，
ABC
V
的周长
2
8
3
L
a
a
a
=
+
+
.
又因为
2
2
8
8
(
)
4
4
3
3
b
c
a
a
bc
a
+
=
+
³
=
´
（当且仅当b
c
=
时取等号），解得
8 3
a ³
，
故
ABC
V
的周长
2
8
16
8 3
3
L
a
a
a
=
+
+
³
+
，周长的最小值为16
8 3
+
.故选项D 错误.
故选：ABC
8．（25-26 高三上·江苏南京·开学考试·多选）已知
ABC
V
中，
1
c = ，若sin
cos
cos
C
a
B
b
A
=
+
，
1
cos
cos
sin
4
A
B
C =
，则（ ）
A．
2
2
sin
sin
sin
C
A
B
=
+
B．
6
sin sin
8
A
B =
C．
6
2
AC
BC
+
=
D．
ABC
V
的面积是1
8
【答案】ACD
【详解】A 选项，sin
cos
cos
C
a
B
b
A
=
+
，
1
c = ，
故sin
cos
cos
=
+
c
C
a
B
b
A ，
由正弦定理得
2
sin
sin
cos
sin
cos
sin
sin
C
A
B
B
A
A
B
C
=
+
=
+
=
，
又
0,π
C Î
，故sin
0
C >
，所以sin
1
C = ，
又
0,π
C Î
，故
π
2
C =
，则
π
2
A
B
+
=
，cos
sin
A
B
=
，
因为
2
2
sin
cos
1
A
A
+
= ，所以
2
2
sin
sin
sin
C
A
B
=
+
，A 正确；
B 选项，
1
1
cos
cos
sin
cos
cos
4
4
A
B
C
A
B
=
Þ
=
，
又cos
sin
A
B
=
，cos
sin
B
A
=
，故
1
sin
sin
4
A
B =
，B 错误；
C 选项，由勾股定理得
2
2
2
1
a
b
c
+
=
= ，
由正弦定理得
1
1
π
sin
sin
sin 2
a
b
A
B
=
=
= ，
故
sin
,
sin
a
A b
B
=
=
，
由B 知，
1
sin
sin
4
ab
A
B
=
=
，则
2
2
1
6
2
1
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
+
+
=
+
=
，
即
6
2
AC
BC
+
=
，C 正确；
D 选项，
ABC
V
的面积为
8
1
1
1
sin
1
2
2
4
ab
C =
´
=
，D 正确.
故选：ACD
9．（25-26 高三上·广东湛江·阶段练习）设
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin
5sin
b
A
B
=
，
则a = .
【答案】5
【详解】因为sin
5sin
b
A
B
=
，
由正弦定理可得：
5
ba
b
=
，又
0
b ¹
，
解得
5
a =
.
故答案为：5
10．（25-26 高二上·广西来宾·阶段练习）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
3 cos
sin
a
B
b
A
=
．则B 的值为 ．
【答案】π
3
【详解】∵3 cos
sin
a
B
b
A
=
，
∴由正弦定理得3sin
cos
sin
sin
A
B
B
A
=
，
又sin
0
A ¹
，故3 cos
sin
B
B
=
，
∴tan
3
B =
，
∵0
π
B
<
<
，
∴
π
3
B =
，
故答案为：π
3
11．（2025·河北衡水·模拟预测）在
ABC
V
中，若
3
2
AC
BC
=
，sin
2cos
A
B
=
，则cos A =
.
【答案】15
5
/ 1 15
5
【详解】由正弦定理得sin
sin
AC
BC
B
A
=
，又
3
2
AC
BC
=
，得
3
sin
sin
2
B
A
=
①，
再由sin
2cos
A
B
=
，得
1
cos
sin
2
B
A
=
②，
①②代入
2
2
sin
cos
1
B
B
+
= ，得
2
2
9
1
sin
sin
1
4
4
A
A
+
= ，得
2
2
sin
= 5
A
，
所以
2
3
cos
= 5
A
，即
15
cos
5
A =
或
15
cos
5
A = -
.
又因为
3
2
AC
BC
BC
=
>
，由大边对大角得B
A
>
，所以A 为锐角，
所以
15
cos
5
A =
.
故答案为：15
5
.
12．（25-26 高二上·四川绵阳·开学考试）在
ABC
V
中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为
ABC
V
的外
心，且有
2 3
3
AB
BC
AC
+
=
，sin
(cos
3)
cos
sin
0
C
A
A
A
-
+
= ，若AO
xAB
yAC
=
+
uuur
uuur
uuur
，,x y ÎR ，则
2
x
y
-
=
．
【答案】3
- 或
43
33
-
【详解】由正弦定理可知
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
=
=
=
，所以(cos
3)
cos
0
c
A
a
A
-
+
=
，
又因为
2 3
3
AB
BC
AC
+
=
，所以
2 3
3
c
a
b
+
=
，
联立可得2 cos
3
b
A
c
=
，
由余弦定理得
2
2
2
cos
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
，所以
2
2
2
3
cos
2
2
b
c
a
c
A
bc
b
+
-
=
=
，解得
2
2
2
2
b
a
c
=
+
.
联立
2 3
3
c
a
b
+
=
得
2
2
6
5
0
a
ac
c
-
+
=
，解得
3
a
c
b
c
=
ìïí =
ïî
或
5
3 3
a
c
b
c
=
ìïí =
ïî
.
当
3
a
c
b
c
=
ìïí =
ïî
时，而
2
3
cos
2
AB AC
bc
A
c
×
=
=
uuur uuur
，
由AO
xAB
yAC
=
+
uuur
uuur
uuur
，得
2
AO AB
xAB
yAC AB
×
=
+
×
uuur uuur
uuur
uuur uuur ，
因为O 为
ABC
V
的外心，则
2
1
2
AO AB
AB
×
=
uuur uuur
uuur
，
所以
2
2
2
1
3
2
2
c
x c
y
c
=
×
+
×
，所以2
3
1
x
y
+
= ①.
同理，由AO
xAB
yAC
=
+
uuur
uuur
uuur
，得
2
AO AC
xAB AC
yAC
×
=
×
+
uuur uuur
uuur uuur
uuur ，
又因为
2
1
2
AO AC
AC
×
=
uuur uuur
uuur
，
所以
2
2
2
1
3
2
2
b
x
c
y b
=
×
+
×
，因为
3
b
c
=
，即得
2
2
2
1
1
2
2
b
x
b
y b
=
×
+
×
，
所以
2
1
x
y
+
= ②.
联立①②解得
1,
1
x
y
= -
= ，所以
2
3
x
y
-
= - .
当
5 ,
3 3
a
c b
c
=
=
时，同理可得2
3
1
x
y
+
= ③，
18
9
x
y
+
=
④
解得
43
2
33
x
y
-
= -
.
故答案为：3
- 或
43
33
-
.
13．（25-26 高三上·河北保定·阶段练习）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
sin
sin
sin
3 sin
A
B
C
c
a
b
c
B
+
+
-
+
=
．
(1)若
2 3
a =
，求
ABC
V
外接圆的半径；
(2)若
3,
2,
2
b
c
BD
DC
=
=
=
uuur
uuur
，求线段AD 的长．
【答案】(1)2
(2) 2 13
3
【详解】（1）因为
sin
sin
sin
3 sin
A
B
C
c
a
b
c
B
+
+
-
+
=
，
所以由正弦定理得
2
2
2
2
2
3
(
)
2
bc
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
bc
=
+
+
+
-
=
+
-
=
+
-
+
，
所以
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
，
则由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
=
，
又
0,π
AÎ
，所以
π
3
A =
，
设
ABC
V
外接圆的半径为R ，
则
2 3
2.
2sin
3
a
R
A
=
=
=
（2）由
2
BD
DC
=
uuur
uuur
，得
2
2
AD
AB
AC
AD
-
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
，
所以
1
2
3
3
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
则
2
2
2
2
2
1
4
1
2
π
1
4
4
1
|
|
2
cos
9
9
3
3
3
9
9
9
2
AD
AB
AC
AB
AC
c
b
bc
=
+
+
´
´
´
=
+
+
´
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
1
4
4
1
52
4
9
3 2
9
9
9
2
9
=
´
+
´
+
´ ´ ´
=
，
所以
2 13
3
AD
AD
=
=
uuur
．
14．（25-26 高二上·河北衡水·开学考试）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
2 cos
cos
cos
0
b
A
c
A
a
C
+
+
=
．
(1)求A 的大小；
(2)若
5,
7
AB AC
b
c
= -
+
=
uuur uuur
g
，求a 的值．
【答案】(1)
2 π
3
A =
(2)
39
a =
【详解】（1）由已知2 cos
cos
cos
0
b
A
c
A
a
C
+
+
=
，
所以2sin
cos
sin
cos
sin
cos
0
B
A
C
A
A
C
+
+
=
，
所以
2sin
cos
sin
2sin
cos
sin
0
B
A
A
C
B
A
B
+
+
=
+
=
，
因为sin
0
B ¹
，所以
1
cos
2
A = -
．
因为
0,π
AÎ
，所以
2 π
3
A =
．
（2）由已知可得
1
cos
5
2
AB AC
bc
A
bc
=
= -
= -
uuur uuur
g
，所以
10
bc =
．
因为
2
2
2 2 cos ,
7
a
b
c
bc
A b c
=
+
-
+ =
，
所以
2
2
2
49 10
39
a
b
c
bc
bc
=
+
-
+
=
-
=
，所以
39
a =
．
15．（25-26 高三上·内蒙古·开学考试）已知
ABC
V
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2
2 cos
b
c
a
C
=
+
.
(1)求A；
(2)若
ABC
V
的周长为9，面积为3 3
4
，求a.
【答案】(1)
π
3
A =
(2)
4
a =
.
【详解】（1）在
ABC
V
中，由2
2 cos
b
c
a
C
=
+
及正弦定理得2sin
sin
2sin
cos
B
C
A
C
=
+
，
则sin
2sin
cos
2sin(
)
2sin
cos
2cos
sin
C
A
C
A
C
A
C
A
C
+
=
+
=
+
，
因此2cos
sin
sin
A
C
C
=
，而sin
0
C >
，则
1
cos
2
A =
，又
(0,π)
AÎ
，
所以
π
3
A =
.
（2）由（1）及已知得
1
3
3 3
sin
2
4
4
ABC
S
bc
A
bc
=
=
=
△
，解得
3
bc =
，
由
9
a
b
c
+
+
=
，得
9
b
c
a
+
=
-
，
由余弦定理得
2
2
2
2
2
cos
(
)
3
a
b
c
bc
A
b
c
bc
=
+
-
=
+
-
，则
2
2
(9
)
9
a
a
=
-
- ，
所以
4
a =
.
16．（25-26 高三上·上海·阶段练习）在
ABC
V
中，
2
π
2 6
3,
,
sin
3
3
a
A
b
a
B
=
=
=
.
(1)求sinB ；
(2)求c 以及
ABC
SV
的值.
【答案】(1)
2
2
(2)
2
6
3
3
,
2
4
ABC
c
S
+
+
=
=
V
【详解】（1）由
2
2 6
sin
3
b
a
B
=
，根据正弦定理得，
2 6
sin
sin
sin
3
b
B
A
B
=
，
因为sin
0
B >
，所以
2 6
2 6
3
sin
2
3
3
2
b
A
=
=
´
=
，
由sin
sin
a
b
A
B
=
，则
3
2
sin
3
2
B
=
，解得
2
sin
2
B =
.
（2）由余弦定理得，
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
，
则
2
1
3
2
2
2
2
c
c
=
+
- ´
´ ´
，解得
2
6
2
c
+
=
（负值舍去），
所以
1
1
2
6
3
3
3
sin
2
2
2
2
2
4
ABC
S
bc
A
+
+
=
=
´
´
´
=
V
.
1．（24-25 高一下·内蒙古赤峰·期末）已知
ABC
V
中，, ,
a b c 分别为角, ,
A B C 的对边，已知
π ,
1
2cos
,
1
6
B
c
b
A
a
=
=
+
= ，则
ABC
V
的周长为（ ）
A．1
3
+
B．2
2
3
+
C．3
3
+
D．4
3
4
+
【答案】A
【详解】
1
2cos
c
b
A
=
+
Q
，由正弦定理得
sin
sin
1
2cos
sin
2cos
sin
C
B
A
B
A
B
=
+
=
+
，
又
sin
sin
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
=
+
=
+
，
所以
sin
cos
cos
sin
sin
sin
A
B
A
B
A
B
B
-
=
-
=
，
则A
B
B
-
=
，
2
A
B
=
或
π
A
B
B
-
=
-
，
π
A =
（舍），
所以
π
2
3
A
B
=
=
，
π
2
C =
，
则
1
2 3
2 3
π
3
sin
sin
π
sin
3
3
6
3
sin 3
a
c
b
c
B
A
=
=
=
=
=
=
，
，
1
3
ABC
C
a
b
c
=
+
+
= +
V
.
故选：A.
2．（24-25 高一下·黑龙江大庆·期末）在
ABC
V
中，已知
4
AC =
，
2
AB =
，
ABC
V
的周长为9，则sin B = （ ）
A．
1
4
-
B．
3
4
C．15
4
D．
15
4
-
【答案】C
【详解】已知
4
AC =
，
2
AB =
，
ABC
V
的周长为9，则
3
BC = ，
则
2
2
2
2
2
2
2
3
4
1
cos
2
2 2 3
4
AB
BC
AC
B
AB BC
+
-
+
-
=
=
= -
×
´ ´
，
又0
π
B
<
<
，则
2
2
1
15
sin
1 cos
1
4
4
B
B
æ
ö
=
-
=
- -
=
ç
÷
è
ø
.
故选：C.
3．（24-25 高一下·安徽·阶段练习）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
7
a =
，
ABC
V
的面积为
6 3 ，且cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
，则
ABC
V
的周长为（ ）
A．15
B．16
C．18
D．20
考点二
周长与周长最值问题
【答案】C
【详解】因为cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
，
由正弦定理得sin cos
3sin sin
sin
sin
A
C
A
C
B
C
+
=
+
，
因为
π
B
A
C
=
-
+
，可得3sin sin
cos sin
sin
A
C
A
C
C
=
+
，
又因为sin
0
C ¹
，可得3sin
cos
1
A
A
-
= ，所以
π
1
sin
6
2
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
因为0
π
A
<
<
，所以
π
3
A =
，
又因为
1
sin
6 3
2
ABC
S
bc
A
=
=
V
，可得
24
bc =
，
又由
2
2
2
2
cos ,
7
a
b
c
bc
A a
=
+
-
=
，可得
2
2
73
b
c
+
=
，所以
11
b
c
+
=
，
所以
ABC
V
的周长为
18
a
b
c
+
+
=
．
故选：C.
4．（25-26 高二上·浙江·开学考试）设
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对应的边分别为, ,
a b c ，其面积
1 sin sin sin
8
S
A
B
C
=
，
若sin
sin
sin
2
A
B
C
+
+
=
，则
ABC
V
的周长为（ ）
A．1
B．
1
2
C．2
D．3
4
【答案】A
【详解】由正弦定理有
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
=
=
=
，R 为
ABC
V
的外接圆半径，
所以
2 sin
,
2 sin
,
2 sin
a
R
A b
R
B c
R
C
=
=
=
，
所以
2
1
1
1
sin
2 sin
2 sin
sin
2
sin
sin
sin
sin
sin
sin
2
2
8
S
ab
C
R
A
R
B
C
R
A
B
C
A
B
C
=
=
´
´
´
=
=
，
所以
2
1
2
8
R =
，即
1
4
R =
，又sin
sin
sin
2
A
B
C
+
+
=
，所以
ABC
V
的周长为
1
2 sin
2 sin
2 sin
2
sin
sin
sin
2
1
2
a
b
c
R
A
R
B
R
C
R
A
B
C
+
+
=
+
+
=
×
+
+
=
´
= .
故选：A
5．（2025·河南·模拟预测）在
ABC
V
中，
π ,
2 7,
3
A
BC
ABC
=
=
V
的面积为6 3 ，则
ABC
V
的周长为
.
【答案】10
2 7
+
【详解】因为
1
sin
6 3
2
ABC
S
AB AC
A
=
×
=
V
，所以
24
AB AC
×
=
.
由余弦定理可得
2
2
BC
AB
=
+
2
2
cos
AC
AB AC
A
-
×
=
2
2
AB
AC
AB AC
+
-
×
2
2
(
)
3
(
)
72
28
AB
AC
AB AC
AB
AC
=
+
-
×
=
+
-
=
.
则
10
AB
AC
+
=
，所以
ABC
V
的周长为
10
2 7
AB
AC
BC
+
+
=
+
.
故答案为：10
2 7
+
.
6．（2025·上海杨浦·模拟预测）在
ABC
V
中，, ,
a b c 分别为角, ,
A B C 的对边.已知
ABC
V
是一个面积为
5 的锐角三
角形，且
2,
3
a
b
=
=
，则
ABC
V
的周长为
.
【答案】5
5
+
/
5
5
+
【详解】由于三角形的面积为5 ，所以1
5
sin
5
sin
2
3
ab
C
C
=
Þ
=
,
因为
2
2
5
4
2
cos
1
cos
3
9
3
C
C
æ
ö
= -
=
Þ
= ±
ç
÷
ç
÷
è
ø
，故
2
cos
3
C =
（锐角三角形），
当
2
cos
3
C =
时：
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
=
+
-
2
2
2
2
3
2 2 3
5
5
3
C
c
=
+
- ´ ´ ´
= Þ
=
，
则
ABC
V
的周长为5
5
+
.
故答案为：5
5
+
.
7．（24-25 高一下·黑龙江·阶段练习）
ABC
V
中，角A 、B 、C 的对边分别为a、b、c，若
6
sin
sin
sin
sin
,
9
4
,
3 cos
C
A
B
B
C
A
a
A
-
=
-
=
=
，则
ABC
V
的周长为
．
【答案】11
【详解】
sin
sin
sin
sin
C
A
B
B
C
A
-
=
-
，即
sin
sin
sin
sin
A
B
A
B
C
A
C
A
+
-
=
+
-
，
由积化和差公式可得：
1
sin
sin
cos2
cos2
2
A
B
A
B
B
A
+
-
=
-
，
1
sin
sin
cos2
cos2
2
C
A
C
A
A
C
+
-
=
-
，
故
1
1
cos2
cos2
cos2
cos2
2
2
B
A
A
C
-
=
-
，也即cos2
cos2
2cos2
B
C
A
+
=
，
2
2
2
1 2sin
1 2sin
2
4sin
B
C
A
-
+ -
=
-
，则
2
2
2
sin
sin
2sin
B
C
A
+
=
，也即
2
2
2
2
b
c
a
+
=
，
又因为
3
a =
，故可得
2
2
18
b
c
+
=
；
又
9
cos
46
A =
，则
2
2
2
2
cos
b
c
a
bc
A
+
-
=
，即
9
18
9
2
46
bc
-
=
´
，则
23
bc =
；
故
2
2
2
2
18
46
64
b
c
b
c
bc
+
=
+
+
=
+
=
，解得
8
b
c
+
=
；
故ABC
V
的周长为
3 8
11
a
b
c
+
+
=
+
=
.
故答案为：11.
8．（25-26 高三上·湖北荆州·阶段练习）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
2
2
2
,
3 .
a
b
c
ab C
B
A
+
-
=
+
=
(1)求
;
B
(2)C 的角平分线交AB 于点D ，若
2
CD =
，求
BCD
△
的周长．
【答案】(1) 5π
12
(2) 4
6
2
+
-
【详解】（1）因为
2
2
2
a
b
c
ab
+
-
=
，所以
2
2
2
1
2
a
b
c
ab
+
-
=
´2´
，
则
2
2
2
1
2
2
a
b
c
ab
+
-
=
，由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
a
b
c
C
ab
+
-
=
=
，
因为
(0,π)
C Î
，所以
π
3
C =
，则
π
π
3
A
B
+
+
=
，由题意得π
3
3
B
A
+
=
，
联立两式，得到
π
3
3
π
π
3
B
A
A
B
ì
+
=
ïïí
ï
+
+
=
ïî
，解得
5π
12
π
4
B
A
ì
=
ïïí
ï
=
ïî
.
（2）如图，作出符合题意的图形，
因为C 的角平分线交AB 于点D ，所以
π
6
BCD
Ð
=
，
则
π
5π
5π
π
6
12
12
BDC
Ð
=
-
-
=
，得到
BDC
B
Ð
= Ð ，故
2
BC
CD
=
=
，
而
5π
π
π
2
3
2
1
2
6
sin
sin
sin(
)
12
4
6
2
2
2
2
4
B
+
=
=
+
=
´
+
´
=
，
而
2
CD =
，则在
BCD
△
中，由正弦定理知
2
= 1
2
6
2
4
BD
+
，
解得
6
2
BD =
-
，故
BCD
△
的周长为4
6
2
+
-
.
9．（25-26 高二上·安徽蚌埠·开学考试）如图，在四边形ABCD 中，已知
ABC
V
的面积为
2
2
2
1
3 (
)
4
S
AC
BC
AB
=
-
-
，记ACD
V
的面积为
2S .
(1)求
ABC
Ð
的大小；
(2)若
ABC
V
外接圆半径为
3 ，求
ABC
V
的周长最大值.
(3)设
2π
π
,
3
6
BCD
CAD
Ð
Ð
=
=
，若
3
CD
BC
=
，且满足
1
2
S
S
l
=
成立，求常数l 的值.
【答案】(1) 2π
3
(2)2 3
3
+
(3) 3
3
3
-
【详解】（1）在
ABC
V
中，由余弦定理知，
2
2
2
2
cos
AC
AB
BC
AB BC
ABC
=
+
-
×
×
Ð
，
所以
2
2
2
2
cos
AC
AB
BC
AB BC
ABC
-
-
= -
×
×
Ð
因此
2
2
2
1
3
3
1
(
)
cos
sin
4
2
2
S
AC
BC
AB
AB BC
ABC
AB BC
ABC
=
-
-
= -
×
×
Ð
=
×
×
Ð
，
所以
3 cos
sin
ABC
ABC
-
=
Ð
Ð
，即tan
3
B = -
，
又因为
0,π
ABC
Ð
Î
，所以
2π
3
ABC
Ð
=
.
（2）由正弦定理得，2
sin
sin
sin
AC
AB
BC
R
ABC
BCA
BAC
=
=
=
Ð
Ð
Ð
，又
3
R =
，
所以
3,
2 3sin
,
2 3sin
AC
AB
ACB BC
BAC
Ð
Ð
=
=
=
，
由（1）可知
2π
3
ABC
Ð
=
，所以
π
3
BAC
ACB
Ð
+ Ð
=
，
所以
ABC
V
的周长
2 3sin
2 3sin
3
l
AB
BC
CA
ACB
BAC
Ð
Ð
=
+
+
=
+
+
π
2 3sin
2 3sin
3
3
BAC
BAC
æ
ö
=
- Ð
+
Ð
+
ç
÷
è
ø
，通过差角公式得
π
3sin
3cos
3
2 3sin
3
3
l
BAC
BAC
BAC
æ
ö
=
Ð
+
Ð
+
=
Ð
+
+
ç
÷
è
ø
，
因为
π
0, 3
BAC
æ
ö
Ð
Îç
÷
è
ø ，所以
π
π 2π
,
3
3
3
BAC
æ
ö
Ð
+
Îç
÷
è
ø ，
所以
π
3
sin
,1
3
2
BAC
æ
ù
æ
ö
Ð
+
Îç
ú
ç
÷
ç
è
ø
è
û
，所以
ABC
V
的周长的取值范围是(6,2 3
3]
+
，
所以
ABC
V
的周长的最大值为2 3
3
+ .
（3）设
ACB
a
Ð
=
，则
2π
π
π
,
,
3
6
3
ACD
CDA
CAB
a
a
a
Ð
=
-
Ð
=
+
Ð
=
-
.
在ACD
V
中，由正弦定理得sin
sin
CD
AC
CAD
ADC
Ð
Ð
=
，即
π
1
sin 6
2
CD
AC
a
æ
ö
+
×
=
×
ç
÷
è
ø
.
在
ABC
V
中，由正弦定理sin
sin
BC
AC
CAB
ABC
=
Ð
Ð
，即
3
π
sin
2
3
BC
AC
a
æ
ö
×
=
-
×
ç
÷
è
ø
.
因为
3
CD
BC
=
，
两式作商得，
π
π
1
sin
sin
6
3
4
a
a
æ
ö
æ
ö
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，化简得
1
sin
2
3
2
p
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
因为
π
0, 3
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以π
π
2
,π
3
3
a
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，因此π
5π
2
3
6
a
+
=
，故
π
4
a =
.
所以
1
1
2
sin ACB=
2
4
S
AC BC
AC BC
=
×
×
Ð
×
×
.
2
1
1
5π
sin
sin
2
2
12
S
AC CD
ACD
AC CD
=
×
×
×
Ð
=
×
×
×
.
所以
1
2
6
1
3
3
π
π
6
3
sin 4
6
S
S
l
-
=
=
×
=
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
.
10．（2023·贵州贵阳·模拟预测）记
ABC
V
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
2
2
2
cos
cos
a
b
c
a
B
b
A
abc
+
-
+
=
．
(1)求C；
(2)若
ABC
V
为锐角三角形，
2
c =
，求
ABC
V
周长范围．
【答案】(1)
π
3
C =
(2)(2
2 3,6]
+
【详解】（1）在
ABC
V
中，由射影定理得cos
cos
a
B
b
A
c
+
=
，
则题述条件化简为
2
2
2
a
b
c
ab
+
-
=
，
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
a
b
c
ab
C
+
-
=
．
可得
1
cos
,
0,π ,
2
C
C
=
Î
所以
π
3
C =
.
（2）在
ABC
V
中，
由正弦定理得
2
4 3
π
sin
sin
sin
3
sin 3
a
b
c
A
B
C
=
=
=
=
，
则
ABC
V
周长
4 3
4 3
2π
2
2
(sin
sin )
2
sin
sin
3
3
3
ABC
C
a
b
A
B
A
A
é
ù
æ
ö
=
+
+
=
+
+
=
+
+
-
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
V
，
因为
2π
π
sin
sin
3sin
3
6
A
A
A
æ
ö
æ
ö
+
-
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，则
π
2
4sin
6
ABC
C
A
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
V
，
因为
ABC
V
为锐角三角形，
2π
3
A
B
+
=
，
则得
π π
π
π 2π
,
,
,
6 2
6
3
3
A
A
æ
ö
æ
ö
Î
+
Î
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
故
π
3
sin
,1 ,
(2
2 3,6]
6
2
ABC
A
C
æ
ù
æ
ö
+
Î
Î
+
ç
ú
ç
÷
ç
è
ø
è
û
V
．
11．（25-26 高三上·陕西西安·开学考试）已知, ,
a b c 分别为
ABC
V
三个内角, ,
A B C 的对边，且
cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
.
(1)证明：, ,
B A C 成等差数列；
(2)若
2
a =
，
ABC
V
的面积为
3 ，求
ABC
V
的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【详解】（1）由cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
及正弦定理，
得sin cos
3sin sin
sin
sin
0
A
C
A
C
B
C
+
-
-
=
，
即sin cos
3sin sin
sin
sin
A
C
A
C
B
C
+
=
+
，
也即
sin cos
3sin sin
sin
sin
A
C
A
C
A
C
C
+
=
+
+
，
所以sin cos
3sin sin
sin cos
cos sin
sin
A
C
A
C
A
C
A
C
C
+
=
+
+
，
由于在
ABC
V
中，sin
0
C ¹
，故3sin
cos
1
A
A
-
= ，
即
3
1
1
sin
cos
2
2
2
A
A
-
=
，所以
π
1
sin
6
2
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
又
0,π
AÎ
，
π
π 5π
,
6
6
6
A
æ
ö
-
Î -
ç
÷
è
ø，
所以
π
π
6
6
A-
=
，则
π
3
A =
.
所以
2π
2
3
A
B
C
=
+
=
，
即, ,
B A C 成等差数列.
（2）由
π
1
,
sin
3
3
2
ABC
A
S
bc
A
=
=
=
△
，得
4
bc =
.
由余弦定理得
2
2
2
2
2
cos
(
)
2
2
cos
a
b
c
bc
A
b
c
bc
bc
A
=
+
-
=
+
-
-
，
则
2
2
(
)
3
4 12
16
b
c
a
bc
+
=
+
=
+
=
，
所以
4
b
c
+
=
，则
6
a
b
c
+
+
=
，
即
ABC
V
的周长为6.
12．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
ABC
V
的周长为
3 sin
sin
sin
sin
b
C
B
C
A
+
-
(1)求角A ；
(2)若
3
a =
，求
ABC
V
面积的最大值．
【答案】(1) π
3
(2) 3 3
4
【详解】（1）由正弦定理可得
3 sin
3
sin
sin
sin
b
C
bc
B
C
A
b
c
a
=
+
-
+ -
，
因为
ABC
V
的周长为
3 sin
sin
sin
sin
b
C
B
C
A
+
-
，
所以
3bc
a
b
c
b
c
a
+
+
=
+ -
，即
3
a
b
c
b
c
a
bc
+
+
+ -
=
，化简可得
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
，
故由余弦定理可得
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
=
，
因为
0,π
AÎ
，所以
π
3
A =
；
（2）因为
3
a =
，
π
3
A =
，所以由余弦定理
2
2
2
2
cos
bc
A
b
c
a
=
+
-
可得
2
2
3
2
3
bc
b
c
bc
=
+
-
³
- ，解得
3
bc £ ，当且仅当b
c
=
时取等号，
所以
ABC
V
面积
1
1
3
3 3
sin
3
2
2
2
4
ABC
S
bc
A
=
£
´ ´
=
V
，
即当b
c
=
时，
ABC
V
面积取最大值3 3
4
.
13．（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 满足
1
sin2
sin
sin
2
B
A
B
C
A
B
C
+
+
-
=
+
-
-
，且
ABC
V
的面积大小为4.
(1)求边BC 长的最大值；
(2)当边BC 长取到最大值时，求
ABC
V
的周长.
【答案】(1)8；
(2)8
4 5
+
.
【详解】（1）由条件知
1
sin 2
sin(
)
sin(
)
2
B
A
B
C
A
B
C
+
+
-
-
-
-
=
，
即
1
sin 2
sin(
)
sin(
)
2
B
A
B
C
B
A
C
+
+
-
+
-
+
=
，
展开得
1
2sin
cos
2sin
cos(
)
2
B
B
B
A
C
+
-
=
，
于是
1
sin [ cos(
)
cos(
)]
4
B
A
C
A
C
-
+
+
-
=
，
展开得
1
sin
sin
sin
8
A
B
C =
，
设
ABC
V
的外接圆半径大小为R ，
则根据正弦定理得
2
2
1
1
sin
2
sin
sin
sin
4
2
4
ABC
S
ab
C
R
A
B
C
R
=
=
=
=
V
，
解得
4
R =
，
所以
2 sin
8sin
8
BC
R
A
A
=
=
£
，
于是当
2
A
p
=
时，边BC 长最大，最大值为8．
（2）由（1）知
,
8
2
A
BC
p
=
=
，此时
2
B
C
p
+
=
，
于是sin
sin
cos
2
C
B
B
p
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
，
1
sin
sin
sin
sin
sin
sin
cos
8
A
B
C
B
C
B
B
=
=
=
，
所以
2
1
5
(sin
cos
)
1
2sin
cos
1
2
8
4
B
B
B
B
+
= +
= + ´
=
，因为
π
0, 2
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
所以
5
sin
cos
2
B
B
+
=
，即
5
sin
sin
2
B
C
+
=
于是
5
2 sin
2 sin
8
4 5
2
AC
AB
R
B
R
C
+
=
+
= ´
=
，
所以
ABC
V
的周长为8
4 5
+
．
14．（2025·江苏宿迁·三模）已知, ,
a b c 分别为
ABC
V
三个内角, ,
A B C 的对边，且
3sin(
)
1
cos B
A
C
+
-
= .
(1)求B ；
(2)若
4
b =
，
ABC
V
的面积为4 3 ，D 为AC 边上一点，满足
3
AC
AD
=
uuur
uuur
，
①求
ABC
V
的周长；
②求BD 的长.
【答案】(1)
π
3
B =
(2)①
ABC
V
的周长为
12
a
b
c
+
+
=
,②
4 7
3
BD =
【详解】（1）由
3sin(
)
1
cos B
A
C
+
-
= ，
可得，
3sin
cos
1
B
B
-
= ，即
π
2sin
1
0
6
B
æ
ö
-
- =
ç
÷
è
ø
，
即
π
1
sin
6
2
B
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，又
0,π
BÎ
，
则
π
π
6
6
B -
=
，即
π
3
B =
.
（2）①因为
1
3
sin
4 3
2
4
ABC
S
ac
B
ac
=
=
=
△
，所以
16
ac =
.
由余弦定理：
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
，
则
2
2
16
a
c
ac
=
+
-
，即
2
64
a
c
+
=
，则+
8
a c =
，
所以
4
a
c
=
=
，即
ABC
V
为等边三角形，
为
12
a
b
c
+
+
=
.
，所以
4
3
AD =
，
在
ABD
△
中，由余弦定理得，
2
2
2
π
2
cos 3
BD
AB
AD
AB AD
=
+
-
×
×
16
4
1
16
2 4
9
3
2
=
+
- ´ ´
´
7
16
9
=
´
，
所以
4 7
3
BD =
.
1．（2025·山西·三模）在
ABC
V
中，
45
A =
o，
10
BC =
，
3 2
2
AB
AC
=
，则
ABC
V
的面积是（ ）
A．3
4
B．3
2
C．3
D．12
【答案】C
【详解】由余弦定理
2
2
2
2
cos
BC
AB
AC
AB AC
A
=
+
-
×
×
，
得
2
2
2
9
3 2
π
2
cos
10
2
2
4
AC
AC
AC
+
- ´
=
，解得
2
AC =
，则
3 2
AB =
．
所以
ABC
V
的面积为
1
1
2
sin
2 3 2
3
2
2
2
ABC
S
AB AC
A
=
×
×
=
´ ´
´
=
V
．
故选：C.
2．（24-25 高一下·北京通州·期中）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知
2
b =
，
sin
3cos sin
A
B
C
=
，则
ABC
V
面积的最大值为（ ）
A．3
8
B．5
8
C．11
16
D．3
4
【答案】D
【详解】在
ABC
V
中，3cos sin
sin
sin(
)
sin
cos
cos
sin
B
C
A
B
C
B
C
B
C
=
=
+
=
+
，
整理得sin
cos
2cos
sin
B
C
B
C
=
，即tan
2tan
B
C
=
，显然C 为锐角，即tan
0
C >
，
由正弦定理得
sin
sin
b
C
c
B
=
，又sin
3cos
sin
A
B
C
=
，
则
ABC
V
面积
1
1 2sin
sin
3cos
sin
2
2
sin
ABC
C
S
bc
A
B
C
B
=
=
×
×
V
2
2
2
2
2
2
3
sin
3tan
3tan
tan
sin
cos
2tan
tan
1
2 tan
1
C
C
C
B
C
C
C
C
C
=
×
=
=
+
+
+
3
3
3
1
4
1
2 tan
2 2 tan ·
tan
tan
C
C
C
C
=
£
=
æ
ö
+
×
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
1
tan
tan
C
C
=
，所以tan
1
C = ，即
π
4
C =
时取等号，
所以
ABC
V
面积的最大值为3
4 .
故选：D.
3．（24-25 高一下·江苏无锡·阶段练习）已知△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若tan
2tan
B
C
=
，
2
b =
，则△ABC 面积的最大值为（ ）
A．3
4
B．
1
2
C．
3
2
D．3
2
考点三
面积与面积最值问题
【答案】D
【详解】
tan
2tan
B
C
=
Q
，
sin
sin
2
cos
cos
B
C
B
C
=
×
，即sin cos
2cos sin
B
C
B
C
=
，
sin cos
cos sin
3cos sin
B
C
B
C
B
C
\
+
=
，
sin(
)
sin
3cos sin
B
C
A
B
C
\
+
=
=
，
由正弦定理知，sin
sin
a
c
A
C
=
，
3 cos
a
c
B
\
=
，即cos
3
a
B
c
=
，
2
2
2
sin
1
cos
1
9
a
B
B
c
\
=
-
=
-
，
由余弦定理知，
2
2
2
cos
2
3
a
c
b
a
B
ac
c
+
-
=
=
，
化简得
2
2
2
2
3
3
12
c
b
a
a
=
-
=
-
，
ABC
V
面积
2
2
2
4
2
1
1
1
3
3
sin
1
2
2
9
2
9
a
a
c
a
S
ac
B
ac
c
×
-
=
=
×
-
=
2
2
4
4
2
1
3
(12
)
1
4
36
2
9
6
a
a
a
a
a
-
-
=
=
-
+
，
当
2
9
2
a =
时，S 有最大值为3
2 ．
故选：D．
4．（24-25 高一下·甘肃白银·期末）在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若
2
2
cos
bc
A
a
=
且
3
bc =
，则
ABC
V
的面积的最大值为（ ）
A．3
2
B．3 3
4
C．3
4
D．
3
4
【答案】B
【详解】在
ABC
V
中，
2
2
2
2
cos
b
c
bc
A
a
+
-
=
又∵
2
2
cos
bc
A
a
=
，∴
2
2
2
2
b
c
a
+
=
故
2
2
2
cos
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
=
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
4
4
2
b
c
b
c
b
c
bc
bc
bc
bc
+
+
-
+
=
³
=
，
∵
0,π
AÎ
,∴
2
3
sin
1 cos
2
A
A
=
-
£
,
所以
1
1
3
3 3
sin
3
2
2
2
4
ABC
S
bc
A
=
£
´ ´
=
V
，当且仅当
3
b
c
a
=
=
=
时取等号，
所以
ABC
V
的面积的最大值为3 3
4
．
故选：B.
5．（24-25 高一下·江苏·阶段练习）在
ABC
V
中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin
3sin
A
C
=
，
60
B =
° ，
2
b =
，则
ABC
V
的面积是 .
【答案】3 3
7
【详解】已知sin
3sin
A
C
=
，由正弦定理可得
3
a
c
=
.
对于
ABC
V
，
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
，已知
60
B
°
=
，
2
b =
，
3
a
c
=
，代入可得：
2
2
2
2
(3 )
2 3
cos60
c
c
c c
°
=
+
- ´
´ ´
，解得
2
7
c =
.
因为
3
a
c
=
，所以
2
6
3
7
7
a = ´
=
.
三角形面积公式为
1
sin
2
ABC
S
ac
B
=
△
，代入可得：
1
6
2
1
12
3
3 3
sin 60
2
2
7
2
7
7
7
ABC
S
°
=
´
´
´
=
´
´
=
V
.
故答案为：3 3
7
.
6．（25-26 高二上·广西贵港·开学考试）若
ABC
V
的两条中线长均为2，则
ABC
V
面积的最大值为
．
【答案】8
3
【详解】不妨设
ABC
V
边
,
AB AC 边上的中线长分别为
,
CE BD，即
2
BD
CE
=
=
，
,
BD CE 相交于点O ，O 为
ABC
V
的重心，设
BOE
COD
a
Ð
= Ð
=
，
其中
4
3
CO
BO
=
=
，
2
3
DO
EO
=
=
，则
1
4
sin
sin
2
9
COD
BOE
S
S
OD CO
a
a
=
=
×
=
V
V
，
故
8
2
sin
9
BOC
BOE
S
S
a
=
=
V
V
，故
4 sin
3
BCD
S
a
=
V
，
8
2
sin
3
ABC
BCD
S
S
a
=
=
V
V
，
显然当
π
2
a =
时，
8 sin
3
ABC
S
a
=
V
取得最大值，最大值为8
3 .
故答案为：8
3
7．（2025·湖南长沙·模拟预测）在
ABC
V
中，记角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
sin
sin
sin
a
c
A
B
a
b
C
-
-
=
+
，且
4
a
c
+
=
，则
ABC
V
面积的最大值为
．
【答案】
3
【详解】由已知及正弦定理，得a
c
a
b
a
b
c
-
-
=
+
，即
2
2
a
c c
a
b
-
=
-
，即
2
2
2
a
c
b
ac
+
-
=
．
由余弦定理，得
2
2
2
1
cos
2
2
a
c
b
B
ac
+
-
=
=
．因为
0,π
BÎ
，则
60
B =
o ．因为
4
a
c
+
=
，则
2
1
3
3
sin
3
2
4
4
2
ABC
a
c
S
ac
B
ac
+
æ
ö
=
=
£
=
ç
÷
è
ø
V
，当
2
a
c
=
=
时取等号，所以
ABC
SV
的最大值为
3 ．
故答案为：
3
8．（25-26 高三上·陕西西安·开学考试）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，
2
a =
，且
2
sin
sin
sin
b
A
B
c
b
C
+
-
=
-
，则
ABC
V
面积的最大值为
．
【答案】
3
【详解】因为
2
a =
，且
2
sin
sin
sin
b
A
B
c
b
C
+
-
=
-
，
即
sin
sin
sin
a
b
A
B
c
b
C
+
-
=
-
，
由正弦定理得
a
b
a
b
c
b c
+
-
=
-
，即
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
，
又由余弦定理，可得
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
=
，
因为
(0,π)
AÎ
，所以
π
3
A =
，
又因为
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
且
2
a =
，可得
2
2
4
b
c
bc
+
-
=
，
所以
2
2
4
2
b
c
bc
bc
bc
bc
=
+
-
³
-
=
，当且仅当
2
b
c
=
=
时，等号成立，即
4
bc £
所以
ABC
V
面积
1
1
3
sin
4
3
2
2
2
S
bc
A
=
£
´ ´
=
，
所以
ABC
V
面积的最大值为
3 .
故答案为：
3 .
9．（25-26 高二上·河北邢台·开学考试）已知
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且
3
3
4
sinC
sin
sin
a
b
c
b
A
B
-
-
=
+
．
(1)求sinA ；
(2)若
13
2
b
c
+
=
，
6
a =
，求
ABC
V
的面积S ．
【答案】(1)
5
3
(2) 5 5
16
【详解】（1）由正弦定理得
3
3
4
a
b
c
b
c
a
b
-
-
=
+
，即
2
2
2
4
3
b
c
a
bc
+
-
=
，
由余弦定理得
2
2
2
4
2
3
cos
2
2
3
bc
b
c
a
A
bc
bc
+
-
=
=
=
，
又
0,π
AÎ
，所以
2
4
5
sin
1
cos
1
9
3
A
A
=
-
=
-
=
；
（2）由
2
2
2
4
3
b
c
a
bc
+
-
=
，有
2
10
36
3
b
c
bc
+
-
=
，
可得169
10
36
4
3 bc
-
=
，得10
25
3
4
bc =
，即
15
8
bc =
．
ABC
V
的面积为
1
1
15
5
5 5
sin
2
2
8
3
16
S
bc
A
=
=
´
´
=
．
10．（25-26 高三上·广西桂林·开学考试）在
ABC
V
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
2
2
2
b
ac
a
c
+
=
+
，
sin
2sin
A
C
=
.
(1)求角B 的大小；
(2)若
2 3
b =
，求
ABC
V
的面积.
【答案】(1)
π
3
B =
；
(2)2 3 .
【详解】（1）在
ABC
V
中，由
2
2
2
b
ac
a
c
+
=
+
及余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
a
c
b
B
ac
+
-
=
=
，而0
π
B
<
<
，
所以
π
3
B =
.
（2）由sin
2sin
A
C
=
，得
2
a
c
=
，而
2
2
2
b
ac
a
c
+
=
+
，且
2 3
b =
，
则
2
2
2
2
(2 3)
2
(2 )
c
c
c
+
=
+
，解得
2
4
c =
，
所以
ABC
V
的面积
2
1
π
sin
sin
2 3
2
3
ABC
S
ac
B
c
=
=
=
V
.
11．（25-26 高三上·云南保山·开学考试）已知锐角
ABC
V
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．且
sin
sin
(2sin
sin
)
a
A
c
C
b
A
B
+
=
+
．
(1)证明：sin
tan
C
B
=
；
(2)若
2
a =
，求
ABC
V
的面积S 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
5
2,2
-
【详解】（1）证明：由sin
sin
(2sin
sin
)
a
A
c
C
b
A
B
+
=
+
和正弦定理，可得
2
2
2
2
a
c
ab
b
+
=
+
，即
2
2
2
2
a
c
b
ab
+
-
=
，
所以由余弦定理得
2
2
2
2
cos
2
2
a
c
b
ab
b
B
ac
ac
c
+
-
=
=
=
，
又由正弦定理得
sin
sin
b
B
c
C
=
，则有
sin
cos
sin
B
B
C
=
，故得
sin
sin
tan
cos
B
C
B
B
=
=
.
（2）由正弦定理，sin
sin
a
c
A
C
=
，可得
sin
2sin
sin
sin
a
C
C
c
A
A
=
=
，
则
ABC
V
的面积为
1
2sin
sin
2sin
sin
sin
sin
2
sin
sin
C
B
C
B
S
ac
B
c
B
A
B
C
=
=
=
=
+
，
因
ABC
V
是锐角三角形，则
π
0
,
2
B C
<
<
，则0
sin
tan
1
C
B
<
=
< ，则有
π
0
4
B
<
<
.
又
π
π
π
sin
sin
cos
tan
cos
2
2
2
B
C
C
B
C
B
B
B
B
æ
ö
+
>
Þ
>
-
Þ
>
-
=
Þ
>
ç
÷
è
ø
，
所以
2
2
2
4
2
2
2
2
cos
1
tan
cos
tan
tan
1
0
sin
cos
tan
1
B
B
B
B
B
B
B
B
>
=
=
Þ
+
- >
+
+
，
又解方程
4
2
tan
tan
1
0
B
B
+
- =
得
2
5
1
tan
2
B
-
=
（负值舍去）
所以
2
5
1
5
1
tan
1
tan
1
2
2
B
B
-
-
<
< Þ
<
< ，
设tan B
t
= ，则
5
1,1
2
t
æ
ö
-
ç
÷
Îç
÷
è
ø
，
2
2
2
1
sin
,cos
,sin
,cos
1
1
1
t
B
B
C
t
C
t
t
t
=
=
=
=
-
+
+
，
则
2
2
2
2
2
1
( 1
1)
sin(
)
sin
cos
cos
sin
1
1
1
1
t
t
t
B
C
B
C
B
C
t
t
t
t
t
-
+
+
=
+
=
´
-
+
´ =
+
+
+
，
于是
2
2
2
2
2
2
2sin
sin
2
1
2
1
sin
1
1
1
1
1
t
t
C
B
t
t
S
S
t
t S
B
C
t
t
t
t
×
+
=
=
=
Þ
=
-
-
+
-
+
-
+
+
，
两边平方整理得
2
2
4
4
1
S
t
S
t
-
=
-
，再两边平方整理得
2
4
4
S
t
S
=
+
，
则
2
5
1
4
1
2
2
4
S
S
S
-
<
< Þ
¹
+
且
2
4 5
8
S -
<
，
解得
2
4 5
8
8
4 5
S
-
<
<
+
且
2
S ¹
，
2
5
2
2
5
2
S
Þ
-
<
<
+
且
2
S ¹
，
又当
π
sin
0,
0,1
2
t
q q
æ
ö
æ
ö
=
Î
Î
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
时，
有
2
1
cos
t
q
-
=
，
2
2
4sin
cos
2
2sin
2
2
2tan
cos
1
2
1
1
2cos
1 1
2
t
t
q
q
q
q
q
q
=
=
=
+
-
+
- +
，
因为
π
(0,
)
2
4
q Î
，所以tan
(0,1)
2
q Î
，所以
2
2
0,2
1
1
t
t
Î
-
+
故S 的取值范围为
2
5
2,2
-
.
12．（24-25 高一下·吉林长春·阶段练习）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，
ABC
V
的面积为S ，已知
2
2
2
4
3
S
a
b
c
=
+
-
.
(1)求C ；
(2)若
4
c =
，求
ABC
V
的面积的最大值.
【答案】(1)
π
3
C =
(2) 4 3
【详解】（1）由余弦定理可得
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab
+
-
=
，所以
2
2
2
2
cos
a
b
c
ab
C
+
-
=
.
由三角形面积公式可知
in
1
2
s
S
ab
C
=
及
2
2
2
4
3
S
a
b
c
=
+
-
，可得2
sin
2 3
cos
ab
C
ab
C
=
，即sin
3 cos
C
C
=
.
因为cos
0
C ¹
，所以
sin
tan
3
cos
C
C
C
=
=
.又
0, π
C Î
，所以
π
3
C =
.
（2）由（1）知
π
3
C =
.
因为
4
c =
，所以由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
cos
16
c
a
b
ab
C
a
b
ab
=
+
-
=
+
-
=
.
由不等式可得
2
2
2
a
b
ab
+
³
，所以
2
2
16
2
a
b
ab
ab
ab
ab
=
+
-
³
-
=
，即
16
ab £
，
当且仅当a
b
=
时等号成立，ab 有最大值为16.
所以
1
3
3
sin
16
4 3
2
4
4
S
ab
C
ab
=
=
£
´
=
，
所以
ABC
V
的面积的最大值为4 3 .
13．（25-26 高二上·河南·开学考试）已知
ABC
V
的三个内角A，B，C 所对的边分别是, ,
a b c ，B 是钝角，且
3
2 sin
a
b
A
=
．
(1)求B 的大小；
(2)若
ABC
V
的面积为15 3
4
，且
7
b =
，求a
c
+ 的值；
(3)若
6
b =
，求
ABC
V
面积的最大值．
【答案】(1)
2 π
3
B =
(2)
8
a
c
+
=
(3)3 3 .
【详解】（1）
3
2 sin
a
b
A
=
Q
，
3sin
2sin
sin
A
B
A
\
=
，
0,π ,sin
0
A
A
Î
>
Q
3
sin
2
B
\
=
，
B
Q
是钝角，
2 π
3
B
\
=
.
（2）
1
15 3
sin
,
15
2
4
ac
B
ac
=
\
=
Q
，
2
2
2
2
2
2
2
cos ,
49
b
a
c
ac
B
a
c
ac
a
c
ac
=
+
-
\
=
+
+
=
+
-
Q
.
8
a
c
\ +
=
.
（3）
2
2
2
2
2
2
cos ,36
2
,
12
b
a
c
ac
B
a
c
ac
ac
ac
ac
=
+
-
=
+
+
³
+
\
£
Q
，
1
3
sin
3 3
2
4
S
ac
B
ac
\
=
=
£
，当且仅当
2 3
a
c
=
=
时面积取最大值3 3 .
14．（25-26 高二上·甘肃天水·开学考试）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, , ,
a b c
A
Ð 为钝角，
3
7,sin2
cos
7
a
B
b
B
=
=
．
(1)求
A
Ð
；
(2)已知
13
cos
14
B =
，求
ABC
V
的面积．
【答案】(1)
2π
3
A =
(2)15 3
4
【详解】（1）由题意得
3
2sin cos
cos
7
B
B
b
B
=
，
因为A 为钝角，则cos
0
B ¹
．则
3
2sin
7
B
b
=
，
则
2
7
sin
sin
sin
3
7
b
a
B
A
A
=
=
=
，解得
3
sin
2
A =
，
因为A 为钝角，则
2π
3
A =
.
（2）因为B 为三角形内角，则
2
13
3 3
sin
1
14
14
B
æ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
，
则代入
3
2sin
7
B
b
=
得
3 3
3
2
14
7 b
´
=
，解得
3
b =
，
2π
sin
sin(
)
sin
3
C
A
B
B
æ
ö
=
+
=
+
ç
÷
è
ø
2π
2π
sin
cos
cos
sin
3
3
B
B
=
+
3
13
1
3 3
5 3
2
14
2
14
14
æ
ö
=
´
+ -
´
=
ç
÷
è
ø
，
则
1
1
sin
7
3
2
2
ABC
S
ab
C
=
=
´ ´ ´
V
5 3
15 3
14
4
=
．
15．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
ABC
V
的周长为
3 sin
sin
sin
sin
b
C
B
C
A
+
-
(1)求角A ；
(2)若
3
a =
，求
ABC
V
面积的最大值．
【答案】(1) π
3
(2) 3 3
4
【详解】（1）由正弦定理可得
3 sin
3
sin
sin
sin
b
C
bc
B
C
A
b
c
a
=
+
-
+ -
，
因为
ABC
V
的周长为
3 sin
sin
sin
sin
b
C
B
C
A
+
-
，
所以
3bc
a
b
c
b
c
a
+
+
=
+ -
，即
3
a
b
c
b
c
a
bc
+
+
+ -
=
，化简可得
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
，
故由余弦定理可得
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
+
-
=
=
，
因为
0,π
AÎ
，所以
π
3
A =
；
（2）因为
3
a =
，
π
3
A =
，所以由余弦定理
2
2
2
2
cos
bc
A
b
c
a
=
+
-
可得
2
2
3
2
3
bc
b
c
bc
=
+
-
³
- ，解得
3
bc £ ，当且仅当b
c
=
时取等号，
所以
ABC
V
面积
1
1
3
3 3
sin
3
2
2
2
4
ABC
S
bc
A
=
£
´ ´
=
V
，
即当b
c
=
时，
ABC
V
面积取最大值3 3
4
.
16．（25-26 高二上·上海杨浦·开学考试）设
2
2
1
cos
sin
2
f x
x
x
=
-
+
，
0,π
xÎ
，设
ABC
V
为锐角三角形，角A 所
对的边
19
a =
(1)求函数
y
f x
=
的单调增区间；
(2)若
0
f
A =
，求：
ABC
C
sinA+sinB+sinC
V
的值；
(3)在（2）的条件下，若角B 所对的边
5
b =
，求
ABC
V
的面积．
【答案】(1) π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø ；
(2) 2 57
3
(3)15 3
4
【详解】（1）
2
2
1
1
=cos
sin
cos2
2
2
f x
x
x
x
-
+
=
+
由π
2 π
2
2 π,
Z
k
x
k k
- +
£
£
Î
，得
π
π
π,
Z
2
k
x
k k
-
+
£
£
Î
，
所以
f x 的单调增区间为
π
π, π ,
Z
2
k
k
k
é
ù
-
+
Î
ê
ú
ë
û
且
0,π
xÎ
，
所以函数
y
f x
=
的单调增区间为π ,π
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
（2）由（1）知，
1
cos2
2
f x
x
=
+
，
因为
0
f
A =
，
所以
1
cos2
0
2
f
A
A
=
+
=
,即
1
cos2
2
A = -
，
因为
π
0
2
A
<
<
，
所以0
2
π
A
<
<
,
所以
2π
2
3
A =
，即
π
3
A =
，又因为
19
a =
，
所以
C
19
2 57
sin
sin
sin
sin
3
3
2
ABC
a
A
B
C
A
=
=
=
+
+
V
.
（3）由余弦定理可知，
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
，
将
19,
5
a
b
=
=
代入并整理得
2
5
6
0
c
c
-
+
=
，解得
2
c =
或
3
c = .
又因为
ABC
V
为锐角三角形，
所以
2
2
2
cos
0,
0
2
a
c
b
B
c
ac
+
-
=
>
>
，即
2
19
25
0
c
+
-
>
，解得
6
c >
,
所以
3
c = .
所以
ABC
V
的面积为
1
1
3
15 3
sin
5 3
2
2
2
4
ABC
S
bc
A
=
=
´ ´ ´
=
△
.
1．（24-25 高二上·云南曲靖·期末）在
ABC
V
中，三个内角A,B,C 所对边分别为a,b,c，
ACB
Ð
的角平分线为CM
交AB 于M 且
2
a =
,
3
b =
,
1
c = ，则线段CM = （ ）
A．3 2
6
+
B．3 2
6
-
C．2
D．2 3
3
【答案】B
【详解】由余弦定理可得：
2
2
2
4
3 1
3
cos
2
2
2
3
2
a
b
c
ACB
ab
+
-
+ -
Ð
=
=
=
´
´
，
因为
0,π
ACB
Ð
Î
，所以
π
6
ACB
Ð
=
，
因为CM 为
ACB
Ð
的角平分线，所以
π
12
ACM
BCM
Ð
= Ð
=
，
且
π
π
π
π
π
π
π
6
2
sin
sin
sin
cos
cos
sin
12
4
6
4
6
4
6
4
-
æ
ö
=
-
=
-
=
ç
÷
è
ø
，
ACB
ACM
BCM
S
S
S
=
+
V
V
V
，
则1
1
1
6
2
1
6
2
3
2
3
2
2
2
2
4
2
4
CM
CM
-
-
´
´ ´
=
´
×
×
+
´ ×
×
，
可得：
3 2
6
CM =
-
.
故选：B.
2．（25-26 高三上·湖南·开学考试）记
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin
3 cos
b
C
c
B
=
，
1
a
c
-
= ，且边b 上的高为1，则b = （ ）
A．
3
3
B．1
C．2 3
3
D．
3
【答案】D
【详解】由sin
3 cos
b
C
c
B
=
及正弦定理得sin sin
3sin cos
B
C
C
B
=
，
又sin
0
C ¹
，所以sin
3cos
B
B
=
，则tan
3
B =
，
由
0,π
BÎ
得
π
3
B =
，由
1
1
sin
1
2
2
ABC
S
ac
B
b
=
=
´
V
得
3
2
b
ac
=
，则
2 3
3
ac
b
=
，
根据余弦定理得
2
2
2
2
b
a
c
ac
a
c
ac
=
+
-
=
-
+
，则
2
2 3
1
3
b
b
= +
，
整理得
2
3
2 3
3 0
b
b
-
- =
，解得
3
b =
（负值舍去）.
考点四
解多三角形问题
故选：D.
3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在
ABC
V
中，
4
AB =
，
6
AC =
，
1
cos
8
B =
.若
ABC
V
的角平分线AD 交边BC 于
点D ，则AD =（ ）
A．12
5
B．8 3
5
C．9
5
D．3 2
【答案】D
【详解】在
ABC
V
中，根据余弦定理
2
2
2
2
cos
AC
AB
BC
AB BC
B
=
+
-
×
×
，
已知
4
AB =
，
6
AC =
，
1
cos
8
B =
，设BC
x
=
，则有：
2
2
2
1
6
4
2 4
8
x
x
=
+
- ´ ´ ´
解得
5
x =
或
4
x = - （边长不能为负舍去），所以
5
BC =
.
因为AD 是角平分线，根据角平分线定理：可得
4
2
6
3
BD
AB
DC
AC
=
=
=
.
又因为
5
BD
DC
BC
+
=
=
，所以
2
5
2
2
3
BD =
´
=
+
.
在
ABD
△
中，再根据余弦定理
2
2
2
2
cos
AD
AB
BD
AB BD
B
=
+
-
×
×
，
将
4
AB =
，
2
BD = ，
1
cos
8
B =
代入可得：
2
2
2
1
4
2
2 4 2
16
4
2
18
8
AD =
+
- ´ ´ ´
=
+
-
=
所以
18
3 2
AD =
=
. AD 的长度为3 2
故选：D.
4．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
π ,
4
3
C
c
=
=
，点D 为AB 的中点，则中线CD 的取值范围是（ ）
A．(2,2 3]
B．4 3
(
,2 3]
3
C．2 21
(
,2 3]
3
D．4 3 2 21
(
,
]
3
3
【答案】C
【详解】由CD 是
ABC
V
边AB 上的中线，得
1 (
)
2
CD
CA
CB
=
+
uuur
uur
uuur
，
则
2
2
2
2
2
2
2
1
1
π
1
(
2
)
(
2
cos
)
(
)
4
4
3
4
CD
CA
CB
CA CB
b
a
ba
a
b
ab
=
+
+
×
=
+
+
=
+
+
u
uuu
uuur
uuur
uu
ur
r
u r
u
，
由正弦定理得
4
8 3
sin
sin
sin
sin 60
3
a
b
c
A
B
C
=
=
=
=
°
，得
8 3 sin
3
a
A
=
，
8 3 sin
3
b
B
=
，
则
2
2
2
2
2
1 64
64
64
16
(
sin
sin
sin
sin
)
(sin
sin
sin
sin
)
4
3
3
3
3
CD
A
B
A
B
A
B
A
B
=
+
+
=
+
+
uuur
，
而
2
2
2
2
2
3
1
3
3
1
sin
sin (
)
(
cos
sin
)
cos
sin
cos
sin
2
2
4
2
4
B
A
C
A
A
A
A
A
A
=
+
=
+
=
+
+
，
2
3
1
3
1
sin
sin
sin
sin(
)
sin
(
cos
sin
)
sin
cos
sin
2
2
2
2
A
B
A
A
C
A
A
A
A
A
A
=
+
=
+
=
+
，
于是
2
2
2
2
2
16
3
3
1
3
1
(sin
cos
sin
cos
sin
sin
cos
sin
)
3
4
2
4
2
2
CD
A
A
A
A
A
A
A
A
=
+
+
+
+
+
uuur
2
16
3
8
8 3
16
π
20
(sin
3sin
cos
)
1 cos2
sin 2
4
sin(2
)
3
4
3
3
3
6
3
A
A
A
A
A
A
=
+
+
=
-
+
+
=
-
+
，
由
ABC
V
为锐角三角形，
π
3
C =
，得
2π
π
0
3
2
π
0
2
A
A
ì <
-
<
ïïí
ï <
<
ïî
，即π
π
6
2
A
<
<
，
则π
π
5π
2
6
6
6
A
<
-
<
，1
π
sin(2
)
1
2
6
A
<
-
£ ，因此
2
28
12
3
CD
<
£
uuur
，即2 21
|
| 2 3
3
CD
<
£
uuur
，
所以CD 的取值范围为2 21
(
,2 3]
3
.
故选：C
5．（25-26 高二上·陕西西安·开学考试）在
ABC
V
中，
2
BC =
，BC 边上的中线
2
AD =
，则下列说法错误的有
（ ）
A．AB AC
×
uuur uuur
为定值
B．
2
2
10
AC
AB
+
=
C．4
cos
1
5
BAC
<
Ð
<
D．
BAD
Ð
的最大值为30°
【答案】C
【详解】由题意BD
DC
=
uuur
uuur
，
对于A,
2
2
2
2
(
) (
)
(
) (
)
2
1
3
AB AC
AD
DB
AD
DC
AD
DB
AD
DB
AD
DB
×
=
+
×
+
=
+
×
-
=
-
=
-
=
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，A 正确；
对于B，
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
AB
AC
AD
DB
AD
DC
AD
DB
AD
DB
AD
DB
+
=
+
+
+
=
+
+
-
=
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2
2
2
2
2 1
10
=
´
+
´
=
，B 正确；
对于C，
若AD
BC
^
，则
5
AB
AC
=
=
，
2
cos
cos
5
BAD
CAD
Ð
=
Ð
=
，
2
2
2
3
cos
2cos
1
2
(
)
1
5
5
BAC
BAD
Ð
=
Ð
- =
´
- =
，C 错；
对于D，
显然
BAD
Ð
是锐角，
又sin
sin
BD
AD
BAD
B
=
Ð
，即
1
2
sin
sin
BAD
B
=
Ð
,
1
1
sin
sin
2
2
BAD
B
Ð
=
£
,
90
B =
°时，sin
BAD
Ð
取得最大值
1
2 ，
又
BAD
Ð
是锐角，所以
BAD
Ð
的最大值为30°，D 正确．
故选：C．
6．（24-25 高一下·江苏宿迁·期中·多选）中国古代杰出数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜
幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以
上文字写成公式，即
2
2
2
2
2
2
1
(
)
2
2
c
a
b
S
c a
+
-
=
-
（S 为三角形的面积，, ,
a b c 为三角形的三边）．现有
ABC
V
满足
sin
:sin
:sin
3:5:7
A
B
C =
，且
ABC
V
的面积15 3 ，则（ ）
A．
ABC
V
的最长边长为14
B．
ABC
V
的三个内角满足
1
2
A
B
C
+
=
C．
ABC
V
的三条高的和为8 3
D．
ABC
V
的中线CD 的长为19
【答案】ABD
【详解】在
ABC
V
中，由sin
:sin
:sin
3:5:7
A
B
C =
及正弦定理，得
: :
3:5:7
a b c =
，
设
3 ,
5 ,
7
a
m b
m c
m
=
=
=
，由
ABC
V
的面积15 3 ，得
2
2
2
2
2
2
1
49
9
25
49
9
(
)
15 3
2
2
m
m
m
m
m
+
=
×
-
-
，
化简整理得
4
2
675
(15 3)
16
m =
，解得
2
m =
，则
6,
10,
14
a
b
c
=
=
=
，
对于A，
ABC
V
的最长边长为14，A 正确；
对于B，由余弦定理得
2
2
2
36 100 196
1
cos
2
2 6 10
2
a
b
c
C
ab
+
-
+
-
=
=
= -
´ ´
，
而
(0,π)
C Î
，则
2π
3
C =
，
π
1
3
2
A
B
C
+
=
=
，B 正确；
对于C，
ABC
V
的三条高的和为30 3
30 3
30 3
15 3
5 3
3 3
8 3
6
10
14
7
+
+
=
+
+
¹
，C 错误；
对于D，由CD 为
ABC
V
的中线，得
1 (
)
2
CD
CA
CB
=
+
uuur
uur
uuur
，
2
2
1
|
|
2
4
CD
CA
CB CA
CB
=
+
×
+
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
2
2
1
1
10
2 6 10(
)
6
19
2
2
=
+ ´ ´
-
+
=
，D 正确.
故选：ABD
7．（24-25 高一下·河南南阳·期中·多选）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，两条中线AE ，
CF 相交于点P （如图），已知
5
a =
，
2
b =
，sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
A
B
C
B
A
B
C
A
-
+
=
+
-
，则下列结论正确的是（ ）
A．
39
2
CF =
uuur
B．
15 3
8
ACEF
S
=
四边形
C．
3
AE CF
×
=
uuur uuur
D．
2 91
cos
91
EPF
Ð
=
【答案】ABC
【详解】由sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
A
B
C
B
A
B
C
A
-
+
=
+
-
得a
b
c
b
a
b
c
a
-
+
=
+ -
，
化简
2
2
2
a
b
c
ab
+
-
=
，所以
2
2
2
1
cos
2
2
a
b
c
C
ab
+
-
=
=
又因为0
π
C
<
<
，所以
π
3
C =
，
∵CF 为AB 边中线，
1
2
CF
CA
CB
\
=
+
uuur
uuur
uuur
，
两边平方可得
2
2
2
1
1
39
2
4
2
4
CF
a
b
ab
æ
ö
=
+
+
´
=
ç
÷
è
ø
uuur
，
39
2
CF =
uuur
，故A 正确，
又
/ /
EF
AC ，则
BEF
△
∽
BCA
V
，故
1
4
BEF
ABC
S
S
=
V
V
，则
3
3
1
3
5 2
4
4
2
15 3
8
2
ABC
ACEF
S
S
=
=
´
´ ´ ´
=
V
四边形
，B 正确，
对于CD:
解法一：
2
2
1
1
1
1
·
·
·
2
2
4
4
2
CA
CB
AE CF
CB
CA
CB CA
CB
CA
æ
ö
+
æ
ö
=
-
= -
+
-
ç
÷
ç
÷
è
øè
ø
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
1
1
1
1
5 2
25
4
3
4
2
4
2
= -
´ ´ ´
+
´
-
´
=
.
2
2
2
1
1
25
21
·
5
4
2
4
4
2
AE
CB
CA
CB
CB CA
CA
æ
ö
=
-
=
-
+
=
- +
=
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
，
前面已得
39
2
CF =
uuur
，
所以
·
3
4 91
cos
cos
,
91
39
21
2
2
AE CF
EPF
AE CF
AE CF
Ð
=
=
=
=
´
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
.
故C 正确，D 错误.
解法二：因为
2
2
2
5,
2
a
b
c
ab
a
b
+
-
=
=
=
，
，所以
19
c =
，
4 19
25
1
1
cos
2 2 19
2 19
2 19
A
+
-
-
=
=
= -
´
，
又
1
1
2
2
AE CF
AB
AC
AB
AC
æ
ö
×
=
+
×
-
ç
÷
è
ø
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
Q
2
2
1
1
1
1
4
2
4
2
AB AC
AC
AB
AB AC
=
×
-
+
-
×
uuur uuur
uuur
uuur
uuur uuur
2
1
1
1
1
2
19
2
19
3
4
2
4
2 19
-
= -
´ ´
´
-
´
+
´
=
，C 正确，
由A 选项知：
39
|
|
2
CF =
uuur
，同理：
21
|
|
2
AE =
uuur
，
3
4 91
cos
91
39
21
2
2
EPF
\
Ð
=
=
´
， 所以D 错误，
故选:ABC．
8．（24-25 高一下·浙江宁波·期中·多选）在
ABC
V
中，
2 5,tan
2
AC
A
=
=
，向量AC
uuur
在向量AB
uuur 上的投影向量为
1
3 AB
uuur
，则（ ）
A．边BC 上的高为3 2
B．
3 10
sin
10
C =
C．边AB 上的中线为17
D．
8
AC BC
×
= -
uuur uuur
【答案】ABC
【详解】由题设
1
3
|
|
|
|
AC AB
AB
AB
AB
AB
×
×
=
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，则
2
1
3
|
|
AC AB
AB
×
=
uuur uuur
uuur
，即|
|
1
cos
3
|
|
AC
A
AB
=
uuur
uuur
，
又tan
2
A =
且0
π
A
<
<
，则
1
cos
5
A =
，故|
|
5
3
|
|
AC
AB
=
uuur
uuur
，
又
2 5
AC =
，则
6
AB =
，故
2
2
2
cos
4 2
BC
AB
AC
AB AC
A
=
+
-
×
=
，
2
2
2
20
32
36
10
cos
2
10
2 2 5
4 2
AC
BC
AB
C
AC BC
+
-
+
-
=
=
=
×
´
´
，0
π
C
<
<
，则
3 10
sin
10
C =
，B 对，
边BC 上的高为
3 10
sin
2 5
3 2
10
AC
C =
´
=
，A 对，
|
||
| cos
2
8
10
4 2
10
5
AC BC
CA CB
CA CB
C
×
=
×
=
=
´
=
´
uuur uuur
uuur
uu
uuur uuur
ur
，D 错，
边AB 上的中线为
2
2
2
1
1
20 16
32
(
)
2
17
2
2
2
CA
CB
CA
CA CB
CB
+
+
+
=
+
×
+
=
=
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
，C 对.
故选：ABC
9．（24-25 高一下·河北邯郸·期中）在
ABC
V
中，AD 为边BC 上的中线，且
2 3
BC
AD
=
，则角A 的最小值
为
．
【答案】2π
3
【详解】设
0
AD
x x
=
>
，则
2 3
a
BC
x
=
=
，
3
DB
x
=
，
所以
AB AC
AD
DB
AD
DC
×
=
+
×
+
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
AD
DB
AD
DB
=
+
×
-
uuur
uuur
uuur
uuur
2
2
2
2
2
2
3
AD
DB
AD
DB
x
x
=
-
=
-
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
2
2
2
2
2
2
cos
12
2
b
c
a
bc
BAC
bc
b
c
x
bc
+
-
=
Ð
=
×
=
+
-
，
所以
2
2
2
8
b
c
x
+
=
，则
2
2
2
2
3
b
c
a
+
=
，
由余弦定理
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
1
2
cos
2
2
4
4
2
b
c
b
c
b
c
a
b
c
bc
BAC
bc
bc
bc
bc
+
-
+
+
-
+
Ð
=
=
= -
£ -
= -
，
当且仅当b
c
=
时取等号，
又0
π
BAC
< Ð
<
，所以2π
π
3
BAC
£ Ð
<
，即
BAC
Ð
的最小值为2π
3 .
故答案为：2π
3
10．（2025·湖北孝感·三模）在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线AD= 7
2 ，那么BC=
．
【答案】9
【详解】由
1
2
AD =
uuur
( AB
AC
+
uuur
uuur )，得
2
2
2
2
1
1
2
4
4
AD
AB
AC
AB
AC
AB AC
=
+
=
+
+
×
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
，
所以
2
2
2
1
2
cos
4
AD
AB
AC
AB AC
BAC
=
+
+
Ð
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
，
即
2
2
49
1 4
7
2 4 7 cos
4
4
BAC
=
+
+ ´ ´ ´
Ð
，
即
2
cos
7
BAC
Ð
= -
．
由余弦定理，得
2
2
2
2
2
2
2
cos
4
7
2 4 7
81
7
BC
AB
AC
AB AC
BAC
æ
ö
=
+
-
×
Ð
=
+
- ´ ´ ´ -
=
ç
÷
è
ø
，
所以
9
BC =
．
故答案为：9.
11．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知
ABC
V
面积为1，边
,
AC AB 上的中线为
,
BD CE ，且
4
3
BD
CE
=
，则边AC 的
最小值为
．
【答案】10
3
【详解】设BD
CE
G
=
I
，
易知G 为
ABC
V
的重心，
又
4
3
BD
CE
=
，由重心为中线三等分点可得：
4
3
BG
CG
=
，
同时
2
1
1
3
3
3
BGC
BCD
ABC
S
S
S
=
=
=
V
V
V
，
设
3
CG
x
=
，
CGD
q
Ð
=
，
则
4 ,
2
BG
x GD
x
=
=
，
则
2
1
1
3
4
sin π
6
sin
2
3
BGC
S
x
x
x
q
q
=
-
=
=
V
，
所以
2
1
18sin
x
q
=
，
由余弦定理可得：
2
2
2
13 12cos
2
2 4
9
12
cos
2
18sin
AC
CD
x
x
x
q
q
q
-
=
=
+
-
=
，
令
13 12cos
sin
z
q
q
-
=
，求其最小值即可，
上式化简可得：
2
2
2
2
2
2
13
12cos
sin
12
cos
sin
12
z
z
z
q
q
q
q
=
+
£
+
+
=
+
，
也即
2
2
2
13
12
25
z ³
-
=
当且仅当5sin
12cos
13
q
q
+
=
时取得等号，
所以
13 12cos
5
10
2
2
18sin
18
3
AC
q
q
-
=
³
=
，
故答案为：10
3
12．（25-26 高二上·安徽蚌埠·开学考试）如图，在四边形ABCD 中，已知
ABC
V
的面积为
2
2
2
1
3 (
)
4
S
AC
BC
AB
=
-
-
，记ACD
V
的面积为
2S .
(1)求
ABC
Ð
的大小；
(2)若
ABC
V
外接圆半径为
3 ，求
ABC
V
的周长最大值.
(3)设
2π
π
,
3
6
BCD
CAD
Ð
Ð
=
=
，若
3
CD
BC
=
，且满足
1
2
S
S
l
=
成立，求常数l 的值.
【答案】(1) 2π
3
(2)2 3
3
+
(3) 3
3
3
-
【详解】（1）在
ABC
V
中，由余弦定理知，
2
2
2
2
cos
AC
AB
BC
AB BC
ABC
=
+
-
×
×
Ð
，
所以
2
2
2
2
cos
AC
AB
BC
AB BC
ABC
-
-
= -
×
×
Ð
因此
2
2
2
1
3
3
1
(
)
cos
sin
4
2
2
S
AC
BC
AB
AB BC
ABC
AB BC
ABC
=
-
-
= -
×
×
Ð
=
×
×
Ð
，
所以
3 cos
sin
ABC
ABC
-
=
Ð
Ð
，即tan
3
B = -
，
又因为
0,π
ABC
Ð
Î
，所以
2π
3
ABC
Ð
=
.
（2）由正弦定理得，2
sin
sin
sin
AC
AB
BC
R
ABC
BCA
BAC
=
=
=
Ð
Ð
Ð
，又
3
R =
，
所以
3,
2 3sin
,
2 3sin
AC
AB
ACB BC
BAC
Ð
Ð
=
=
=
，
由（1）可知
2π
3
ABC
Ð
=
，所以
π
3
BAC
ACB
Ð
+ Ð
=
，
所以
ABC
V
的周长
2 3sin
2 3sin
3
l
AB
BC
CA
ACB
BAC
Ð
Ð
=
+
+
=
+
+
π
2 3sin
2 3sin
3
3
BAC
BAC
æ
ö
=
- Ð
+
Ð
+
ç
÷
è
ø
，通过差角公式得
π
3sin
3cos
3
2 3sin
3
3
l
BAC
BAC
BAC
æ
ö
=
Ð
+
Ð
+
=
Ð
+
+
ç
÷
è
ø
，
因为
π
0, 3
BAC
æ
ö
Ð
Îç
÷
è
ø ，所以
π
π 2π
,
3
3
3
BAC
æ
ö
Ð
+
Îç
÷
è
ø ，
所以
π
3
sin
,1
3
2
BAC
æ
ù
æ
ö
Ð
+
Îç
ú
ç
÷
ç
è
ø
è
û
，所以
ABC
V
的周长的取值范围是(6,2 3
3]
+
，
所以
ABC
V
的周长的最大值为2 3
3
+ .
（3）设
ACB
a
Ð
=
，则
2π
π
π
,
,
3
6
3
ACD
CDA
CAB
a
a
a
Ð
=
-
Ð
=
+
Ð
=
-
.
在ACD
V
中，由正弦定理得sin
sin
CD
AC
CAD
ADC
Ð
Ð
=
，即
π
1
sin 6
2
CD
AC
a
æ
ö
+
×
=
×
ç
÷
è
ø
.
在
ABC
V
中，由正弦定理sin
sin
BC
AC
CAB
ABC
=
Ð
Ð
，即
3
π
sin
2
3
BC
AC
a
æ
ö
×
=
-
×
ç
÷
è
ø
.
因为
3
CD
BC
=
，
两式作商得，
π
π
1
sin
sin
6
3
4
a
a
æ
ö
æ
ö
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，化简得
1
sin
2
3
2
p
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
因为
π
0, 3
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以π
π
2
,π
3
3
a
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，因此π
5π
2
3
6
a
+
=
，故
π
4
a =
.
所以
1
1
2
sin ACB=
2
4
S
AC BC
AC BC
=
×
×
Ð
×
×
.
2
1
1
5π
sin
sin
2
2
12
S
AC CD
ACD
AC CD
=
×
×
×
Ð
=
×
×
×
.
所以
1
2
6
1
3
3
π
π
6
3
sin 4
6
S
S
l
-
=
=
×
=
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
.
13．（25-26 高三上·江苏苏州·开学考试）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边为a ，b ，c ，sin
cos
2 2 sin
A
A
B
+
=
，且
2
2
2
3
a
c
b
ac
+
-
=
.
(1)求A ；
(2)若
ABC
V
的周长为3
3
2
+
+
，求AB 边上的高.
【答案】(1) π
4 ；
(2)1.
【详解】（1）因为
2
2
2
3
a
c
b
ac
+
-
=
，所以
2
2
2
3
3
cos
2
2
2
a
c
b
ac
B
ac
ac
+
-
=
=
=
，
又因为
0,π
BÎ
， 所以
π
6
B =
，
所以sin
cos
2 2 sin
2
A
A
B
+
=
=
，
得
π
sin
cos
2 sin
2
4
A
A
A
æ
ö
+
=
+
=
ç
÷
è
ø
，
得
π
sin
1
4
A
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，又因为
0,π
AÎ
，所以
π
4
A =
．
（2）在
ABC
V
中，过点C 作CD
AB
^
，
所以
π
π
,
4
3
ACD
A
BCD
Ð
= Ð
=
Ð
=
，
设AD
x
=
，则在ACD
V
中，
,
2
CD
x AC
x
=
=
，
则在
BCD
△
中，
3 ,
2
BD
x BC
x
=
=
，
所以
ABC
V
的周长为
3
3
2
3
3
2
x
+
+
=
+
+
所以
1
x = ，
记AB 边上的高为h ，
所以
1
h
CD
=
= ．
14．（25-26 高三上·山东聊城·开学考试）在
ABC
V
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
3
0
a
b
c
b
a
c
ac
+
-
-
+
-
=
.
(1)求B；
(2)若
ABC
Ð
的角平分线交AC 于点D，且
2 7
2
3
AD
DC
=
=
，求BD．
【答案】(1) 2π
3 ；
(2) 2
3 .
【详解】（1）因为
3
0
a
b
c
b
a
c
ac
+
-
-
+
-
=
，所以
2
2
3
0
b
a
c
ac
-
-
-
=
，
所以
2
2
2
ac
a
c
b
-
=
+
-
，所以
2
2
2
-
1
cos
2
2
a
c b
B
ac
+
=
= -
，因为
0,π
BÎ
，所以
2π
3
B =
；
（2）因为
2 7
2
3
AD
DC
=
=
，所以
7
b =
，
因为BD 平分
ABC
Ð
，所以
2
c
AB
AD
a
BC
DC
=
=
=
，即
2
c
a
=
，
由（1）知，
2
2
2
ac
a
c
b
-
=
+
-
，解得
1
a = ，
2
c =
，
因为
ABC
ABD
DBC
S
S
S
=
+
△
△
△
，所以1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
B
B
ac
B
a BD
c BD
=
×
+
×
，
整理得
ac
BD
a
c
=
=
+
2
3 .
15．（24-25 高一下·重庆·期末）
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，若cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
，
(1)求A 的大小；
(2)若AC 边的中线为
7
,
,
6
2
BE BE
c b
=
=
，求BC 边上的高的大小；
【答案】(1)
π
3
A =
(2) 3 21
7
【详解】（1）由正弦定理知：
2 sin
,
2 sin
,
2 sin
a
R
A b
R
B c
R
C
=
=
=
，
可得：sin
cos
3sin
sin
sin
sin
0
A
C
A
C
B
C
+
-
-
=
，
又
π
A
B
C
+
+
= ，则sin
sin(π
)
sin(
)
B
A
C
A
C
=
-
-
=
+
，
代入上式，可得sin cos
3sin sin
sin(
) sin
0
A
C
A
C
A C
C
+
-
+
-
= ，
所以3sin
sin
cos
sin
sin
0
A
C
A
C
C
-
-
=
，由于sin
0
C ¹
，
可得3sin
cos
1
A
A
-
= ，即
π
1
sin
6
2
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
由
(0,π)
AÎ
，所以
π
π
6
6
A-
=
，所以
π
3
A =
.
（2）在ABE
V
中，
2
2
2
2
cos
BE
AB
AE
AB AE
A
=
+
-
×
×
，
所以
2
2
7
9
3
4 c
c
c
=
+
-
，解得
2
c =
（舍负），
又
2
2
2
2
cos
28
a
b
c
bc
A
=
+
-
=
即
2 7
a =
，
由
1
1
sin
2
2
ABC
S
bc
A
ah
=
=
V
，
所以1
3
1
6 2
2 7
2
2
2
h
´ ´ ´
=
´
× ，可得BC 边上的高
3 21
7
h =
.
16．（24-25 高一下·湖南长沙·期末）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
sin
sin
sin
0
b
B
c
C
c
a
A
-
+
-
=
．
(1)求角B；
(2)如图，
ABC
Ð
的角平分线交AC 于点D，且
3
a =
，
4
c =
，
（i）求BD 的长度；
（ii）若AB 边上的中线CE 与BD 相交于点F，求
DFE
Ð
的余弦值．
【答案】(1)
π
3
B =
(2)（i）12 3
7
；（ii）
21
14
-
【详解】（1）在
ABC
V
中，由
sin
sin
sin
0
b
B
c
C
c
a
A
-
+
-
=
及正弦定理，得
2
2
0
b
c
c
a a
-
+
-
=
，
即
2
2
2
a
c
b
ac
+
-
=
，
由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
2
a
c
b
ac
B
ac
ac
+
-
=
=
=
，而0
π
B
<
<
，所以
π
3
B =
.
（2）（i）已知
ABC
Ð
的角平分线交AC 于点D，则
π
6
ABD
CBD
Ð
= Ð
=
，
又在
ABC
V
中，
ABC
ABD
CBD
S
S
S
D
D
D
=
+
，即1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
ac
B
c BD
ABD
a BD
CBD
=
×
×
Ð
+
×
×
Ð
，
即1
3
1
1
1
1
3 4
4
3
2
2
2
2
2
2
BD
BD
´ ´ ´
=
´ ´
´
+
´ ´
´
，解得
12 3
7
BD =
.
（ii）因为CE 为
ABC
V
的中线，
所以
1
1
1
2
2
2
2
CE
CA
CB
CB
BA
CB
BA
BC
=
+
=
+
+
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
又
2
2
2
2
1
1
2
4
6
9
7
4
4
CE
BA
BC
BA
BA BC
BC
=
-
=
-
×
+
=
-
+
=
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
，则
7
CE =
uuur
，
因为
π
4,
3,
3
AB
BC
ABC
=
=
Ð
=
，BD 为
ABC
Ð
的角平分线，
在
ABD
△
中，因为sin
sin
AD
AB
ABD
BDA
=
Ð
Ð
，得到
π
sin
sin 6
AD
AB
BDA
=
Ð
①，
在BDC
V
中，因为sin
sin
CD
BC
DBC
BDC
=
Ð
Ð
，得到
π
sin
sin 6
CD
BC
BDC
=
Ð
②，
又sin
sin
BDA
BDC
Ð
=
Ð
，由①¸ ②得到
4
3
AD
AB
DC
BC
=
=
，
所以
4
4
3
4
7
7
7
7
BD
BA
AD
BA
AC
BA
BC
BA
BA
BC
=
+
=
+
=
+
-
=
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
因为
3
4
1
2
7
7
2
BD CE
BA
BC
BA
BC
æ
ö
×
=
+
×
-
ç
÷
è
ø
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2
2
1 3
2
8
14
BA
BA BC
BC
=
-
×
-
uuur
uuur uuur
uuur
1
1
18
3 16
2 4 3
8 9
14
2
7
æ
ö
=
×
- × × ×
- ×
= -
ç
÷
è
ø
，
所以
18
21
7
cos
cos
,
14
12 3
7
7
BD CE
DFE
BD CE
BD
CE
-
×
Ð
=
=
=
= -
×
×
uuur uuur
uuur uuur
uuur
uuur
，
即
DFE
Ð
的余弦值为
21
14
-
.
17．（25-26 高三上·安徽蚌埠·阶段练习）凸四边形ABCD 的面积为S，
6,
8,
5 2
AB
BC
CD
DA
=
=
=
=
(1)求S 的最大值；
(2)在（1）的条件下，若凸四边形ABCD 外接圆的圆心为O 点，求
CAD
Ð
所对的圆弧
CD 的长．
【答案】(1)49
(2) 5π
2
【详解】（1）
1
1
sin
sin
24sin
25sin
2
2
ABC
ADC
S
S
S
AB BC
B
AD DC
D
B
D
=
+
=
×
×
+
×
×
=
+
△
△
，
在
ABC
V
中，由余弦定理知
2
100
96cos
AC
B
=
-
，
在
ADC
△
中，由余弦定理知
2
100 100cos
AC
D
=
-
，
所以0
24cos
25cos
B
D
=
-
，又因为
24sin
25sin
S
B
D
=
+
，
平方相加得
2
2
2
24
25
2 24 25 cos
cos
sin
sin
S
B
D
B
D
=
+
- ´
´
-
，
即
2
1201 1200cos
S
B
D
=
-
+
，当
π
B
D
+
=
时，
2
max
1201 1200
2401
S
=
+
=
，
所以
max
2401
49
S
=
=
．
（2）由（1）知cos
cos
B
D
= -
，又因为0
24cos
25cos
B
D
=
-
，
所以
90
B
D
Ð
= Ð
=
° ，
45
CAD
Ð
=
° ，
10
AC =
，也即四边形ABCD 的外接圆O 的直径为
10
AC =
，所以
CAD
Ð
所对的
圆弧
CD 的长为
π
5π
2
2
R×
=
．
18．（24-25 高一下·陕西西安·阶段练习）在
ABC
V
中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且
3sin
sin
3 cos
sin
A
C
C
B
+
=
，
3
b =
.
(1)求角B ；
(2)若
2
a
c
+
=
，求边AC 上的角平分线BD 长；
(3)若
ABC
V
为锐角三角形，求边AC 上的中线BE 的取值范围.
【答案】(1) π
3
(2)
3
6
(3)
7 3
,
2
2
æ
ù
ç
ú
çè
û
【详解】（1）由
3sin
sin
3 cos
sin
A
C
C
B
+
=
可得sin
sin
3sin
cos
3sin
B
C
B
C
A
+
=
，
因为sin
sin(
)
sin
cos
cos
sin
A
B
C
B
C
B
C
=
+
=
+
，
所以sin
sin
3 cos
sin
B
C
B
C
=
，
由sin
0
C ¹
，得tan
3
B =
，又0
π
B
<
<
，则
π
3
B =
.
（2）如图：
由余弦定理，
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
，因为
3
b =
，
π
3
B =
，
所以
2
(
)
3
3
a
c
ac
+
-
=
，又
2
a
c
+
=
，所以
1
3
ac =
.
由
ABC
ABD
BCD
S
S
S
=
+
△
△
△
，得1
π
1
π
1
π
sin
sin
sin
2
3
2
6
2
6
ac
a
BD
c
BD
=
´
´
+
´
´
，
整理得：
3
3
3
6
2
1
1
6
(
)
2
2
2
ac
BD
a
c
=
=
=
+
´
.
（3）因为BE 是边AC 上的中线，则
1 (
)
2
BE
BA
BC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
两边取平方，
2
2
2
2
2
1
1
π
1
2
cos
4
4
3
4
BE
BA
BC
c
a
ac
a
c
ac
æ
ö
é
ù
=
+
=
+
+
=
+
-
ç
÷
ë
û
è
ø
uuur
uuur
uuur
，
由（2）已得
2
(
)
3
3
a
c
ac
+
=
+
，代入可得
2
3
2
4
ac
BE
+
=
uuur
，
由正弦定理，
3
2
sin
sin
sin
3
2
a
c
b
A
C
B
=
=
=
=
，
则
2π
2sin
,
2sin
2sin
3
a
A c
C
A
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
è
ø ，
所以
2π
3
1
4sin
sin
4sin
cos
sin
3
2
2
ac
A
A
A
A
A
æ
ö
æ
ö
=
-
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
π
3sin 2
1 cos2
2sin 2
1
6
A
A
A
æ
ö
=
+ -
=
-
+
ç
÷
è
ø
，
因为
ABC
V
为锐角三角形，则有
π
0
2
2π
π
0
3
2
A
A
ì <
<
ïïí
ï <
-
<
ïî
，解得π
π
6
2
A
<
<
，
则π
π
5π
2
6
6
6
A
<
-
<
，
由正弦函数的图象性质，可得1
π
sin 2
1
2
6
A
æ
ö
<
-
£
ç
÷
è
ø
，
故得2
3
ac
<
£
，从而
2
3
2
7 9
,
4
4 4
ac
BE
+
æ
ù
=
Îç
ú
è
û
uuur
，
故边AC 上的中线BE 的取值范围为
7 3
,
2
2
æ
ù
ç
ú
çè
û
.
19．（24-25 高一下·湖南衡阳·期末）如图，设
ABC
V
中角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，AD 为BC 边上的中
线，
4
b =
且
2
2
1
2
cos
4
ca
B
b
a
bc
+
-
=
，
21
cos
7
BAD
Ð
=
．
(1)求边c 的长度；
(2)求
BAC
Ð
；
(3)设E，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G，且
AEF
△
的面积为
ABC
V
面积的1
5 ，求AG EF
×
uuur uuur
的
取值范围．
【答案】(1)
1
c =
(2)
π
3
BAC
Ð
=
1
29
é
ù
2
2
1
2
cos
4
ca
B
b
a
bc
+
-
=
，
由余弦定理：
2
2
2
2
2
2
1
1
2
4
2
4
4
c
a
b
ca
a
b
bc
c
bc
b
c
ac
+
-
×
-
+
=
Þ
=
Þ
=
，
∵
4
b =
，∴
1
c = ．
（2）∵
21
cos
7
BAD
Ð
=
，0
π
BAD
< Ð
<
，可知
π
0
2
BAD
< Ð
<
，
∴
2
2
21
2
sin
1 cos
1
7
7
7
BAD
BAD
æ
ö
Ð
=
-
Ð
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
．
在
ABD
△
中，由正弦定理可得：
1
2
sin
sin
sin
7
7
BD
AB
BD
BAD
ADB
ADB
=
Þ
=
Ð
Ð
Ð
①
在
ADC
△
中，由正弦定理可得：sin
sin
AC
DAC
D
A C
C
D
=
Ð
Ð
，
∵DC
BD
=
，
4
sin
sin
sin
sin
BD
ADC
ADB
DAC
ADB
Ð
=
Ð
Þ
=
Ð
Ð
②，
将①②两式相除可得：
7
sin
14
DAC
Ð
=
．
若
DAC
Ð
为钝角，则
2
3
cos
1 sin
21
14
DAC
DAC
Ð
= -
-
Ð
= -
，
在三角形ADC 中，由余弦定理得：
2
2
2
3
4
2
4
21
14
DC
AD
AD
æ
ö
=
+
-
´ ´ -
ç
÷
è
ø ，
在三角形ABD 中，由余弦定理得：
2
2
2
21
1
2 1
7
BD
AD
AD
=
+
- ´ ´
，
又
2
2
DC
BD
=
，∴
2
2
12
2 21
16
21
1
7
7
AD
AD
AD
AD
+
+
=
+ -
，
15
2 21
0
AD
AD
Þ
= -
Þ
<
，显然与已知矛盾．
∴
DAC
Ð
为锐角，．∴
2
3
cos
1 sin
21
14
DAC
DAC
Ð
=
-
Ð
=
，
又
21
cos
7
BAD
Ð
=
，
2
sin
7
7
BAD
Ð
=
．
∴
21
3
7
2 7
1
cos
cos
21
7
14
14
7
2
BAC
BAD
DAC
Ð
=
Ð
+ Ð
=
´
-
´
=
，
∵
BAC
Ð
为三角形内角，∴
π
3
BAC
Ð
=
．
（3）设AG
k AD
=
uuur
uuur
，AE
AB
l
=
uuur
uuur
，AF
AC
m
=
uuur
uuur
（λ，
0,1
m Î
）
∴AE
l
=
uuur
，
4
AF
m
=
uuur
，
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
k
k
AD
AB
AC
AG
AE
AF
AG
AE
AF
k
l
m
l
m
=
+
Þ
=
+
Þ
=
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
∵E、G、F 三点共线，根据三点共线相关结论，得
2
1
2
2
k
k
k
lm
l
m
l
m
+
= Þ
=
+
，
2
2
2
2
k
k
k
k
AG EF
AB
AC
AF
AE
AB
AC
AC
AB
m
l
æ
ö
æ
ö
×
=
+
×
-
=
+
×
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2
2
2
2
2
2
k
k
k
k
AB AC
AB
AC
AB AC
m
l
m
l
=
+
×
-
-
×
uuur uuur
uuur
uuur
uuur uuur
2
2
π
π
1 4 cos
1
4
4 1 cos
2
3
2
2
2
3
k
k
k
k
m
l
m
l
-
+
=
´ ´ ´
´
´
´ ´
-
´
3
8
9
2
2
k
k
k
k
k
k
l
m
m
l
m
l
=
-
+
-
=
-
，
1
1
sin
1 4 sin
1
1
2
2
5
1
1
5
sin
4 sin
2
2
ABC
AEF
AB AC
BAC
BAC
S
S
AE AF
BAC
BAC
lm
lm
l
m
×
×
Ð
´ ´ ×
Ð
=
=
=
=
Þ
=
×
Ð
×
×
Ð
V
V
uuur uuur
uuur uuur
．
∴
9
3
6
3
9
3
2
2
2
3
5
2
5
2
9
1
1
2
5
5
5
2
5
5
AG EF
k
l
l
m
l
l
l
m
l
l
m
l
l
l
l
-
-
-
æ
ö
×
=
-
=
×
=
×
=
´
´
ç
÷
+
è
ø
+
+
uuur uuur
2
2
2
3 6
5
3
7
1
5 5
1
5
5
1
l
l
l
-
æ
ö
=
×
=
- +
ç
÷
+
+
è
ø
，
∵
0,1
l Î
，而
1
1
0,1
,1
5
5
m
l
l
é
ù
=
Î
Þ
Îê
ú
ë
û ，
∴
2
2
6
7
1 29
5
1
,6
1
,
5
5
1
6
6
l
l
é
ù
é
ù
+ Î
Þ - +
Î
ê
ú
ê
ú
+
ë
û
ë
û ，
∴
1
29
,
10 10
AG EF
é
ù
×
Îê
ú
ë
û
uuur uuur
．
