文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
考点培优练01 集合与常用逻辑用语7 大考点
考点01 集合的含义与表示.................................................................................2
考点02 集合间的基本关系.................................................................................4
考点03 集合间的基本运算.................................................................................6
考点04 集合中的求参问题.................................................................................7
考点05 充分条件与必要条件...........................................................................11
考点06 充分条件与必要条件中的求参问题...................................................13
考点07 全称量词与存在量词...........................................................................15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
考点01 集合的含义与表示
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在
这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为
“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
1．已知集合
，则
的非空真子集个数为（ ）
A．6
B．7
C．14
D．15
【答案】C
【分析】先化简分式解一元二次不等式，再得出集合A，最后应用非空真子集个数公式计算求解.
【详解】由
可得
，即
，
即¿解得
.
于是
，共4 个元素，故其非空真子集个数为
个.
故选：C.
2．定义集合运算：
.若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
C．
D．
【答案】D
【分析】求出
后可求得
，故可得正确的选项
【详解】由题设可得
，
，
因为
，
，
，
，
故
，
故选：D.
3．已知集合
关于
的方程
有唯一解，用列举法表示
．
【答案】
【分析】由题意有方程
只有一个解或方程
化为一元一次方程，分类讨论即可.
【详解】由
有
，
当方程
只有一个解时，
，
当方程
化为一元一次方程，由
，所以
或
，
所以
.
故答案为：
.
4．设A 是实数集的非空子集， 称集合
且
为集合A 的生成集. 当A={1,3,5}时，
写出集合A 的生成集B 为 ；记集合M 中元素个数为 card(M)，若A 是由5 个正实数构成的集
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
合，则card(B)的最小值为 .
【答案】
7
【分析】（1）根据
写出集合即可.
（2）设
,
,则
，为了使元
素个数最小，希望部分
会重复，那么举出指数相关的例子即可.
【详解】（1）当A={1,3,5}时，列举出
且
时
的结果，
可得
，
（2）设
，设
,
则
,
所以集合B 中元素个数大于或等于7，
例如当
时，
,
即集合B 中元素个数的最小值为7，
故答案为：
7.
考点02 集合间的基本关系
1．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
记法
集合
间的
基本
关系
子集
集合A 中任意一个元素都是集合B 中的
元素
A ⊆
B 或B ⊇
A
真子集
集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少
有一个元素不属于A
A B 或B A
相等
集合A 的每一个元素都是集合B 的元
素，集合B 的每一个元素也都是集合A
的元素
A ⊆
B 且
B ⊆
A ⇔A＝B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅B 且B≠∅
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2．判断集合间关系的常用方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集
合之间的关系
结构法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进
行判断
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集
合之间的关系
5．已知集合
，则集合
的子集个数是（ ）
A．3
B．4
C．8
D．无数个
【答案】C
【分析】解不等式得到集合A，由集合中元素个数判断子集个数.
【详解】解不等式
，得
，所以
，
则集合
的子集个数是
.
故选：C.
6．若全集为
，集合
，
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合集合间的包含关系，以及补集的运算，即可求解.
【详解】由集合集为
，且集合
，
，
则
，所以A、B 不正确；
又由
，所以
为
的真子集，所以C 正确，D 错误.
故选：C.
7．已知
，
，若集合
，则
（ ）
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．0
B．1
C．
D．1 或-1
【答案】C
【分析】由两集合相等及分式的分母不为
可求出
，再利用集合相等和互异性求
，代入计算
即可.
【详解】因为
，
，所以
，故
，
此时集合为
，根据集合相等，必有
，解得
或
．
当
时，不满足集合元素的互异性，
当
时，集合为
，符合条件.
所以
．
故选：C.
8．所有满足
的集合
的个数是 .
【答案】6
【分析】由集合的包含关系列举求解.
【详解】由题意得
，
故集合
有
共6 个，
故答案为：6.
考点03 集合间的基本运算
1．集合的三种基本运算
符号表示
图形表示
符号语言
集合的并集
A∪B
A∪B＝{ x | x ∈
A ，或
x ∈
B }
集合的交集
A∩B
A∩B＝{ x | x ∈
A ，且
x ∈
B }
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
集合的补集
若全集为U，则集合
A 的补集为∁UA
∁UA＝{ x | x ∈
U ，且
x ∉ A }
2.集合的三种基本运算的常见性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∪A＝A，A∪∅＝A.
(2)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
9．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出集合
，然后结合集合的并集运算即可求解．
【详解】集合
，
，
则
．
故选：B．
10．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出集合
，再根据交集的定义求解即可.
【详解】对于集合
，由
，得
，
则
，即
，则
，
对于集合
，由
，得
，则
，
所以
.
故选：A.
11．
，
，则
（ ）
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出对数型复合函数的定义域，化简集合B，再利用补集、交集的定义求解.
【详解】由
有意义，得
，解得
或
，
则
或
，
，而
，
所以
.
故选：A
考点04 集合中的求参问题
注意空集的检验
12．已知集合
，
且
.
(1)若“
”是“
”的必要条件，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由不等式的解法，求得
，根据题意，得到
，列出不等式组，即可求解；
（2）由
，得到
或
，结合
，即可求得实数
的取值范围.
【详解】（1）解：由不等式
，解得
，即
，
因为
是
的必要条件，所以
，
又因为
且
，所以
，解得
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
所以实数
的取值范围为
.
（2）解：由（1）知：集合
，
且
，
因为
，则
或
，解得
或
，
又因为
，所以实数
的取值范围为
.
13．已知不等式
的解集为
，集合
，
，
(1)求集合
；
(2)解关于
的不等式
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过解分式不等式可得结果；
（2）由题意求出集合B，结合不等式的解集可得
，从而代入解一元二次不等式即可.
【详解】（1）由
，得
，
则
或
，
解得
或
所以
.
（2）因为
，
，所以
，
又因为
，所以
，
所以不等式
的解集为
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
从而
是方程
的两根，且
，
由
，得
，
又
，所以
，即
，
解得
.
所以不等式
的解集为
.
14．已知集合
，
，其中
．
(1)若
，求
；
(2)若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
或
，
(2)
【分析】（1）利用绝对值不等式、一元二次不等式的解法和交集、补集的定义求解；
（2）根据必要不充分条件的定义可得
真包含于
，从而根据集合的关系可求解.
【详解】（1）由
，解得
，即
，故
，
因为
，所以
，
由
，解得
，故
，则
或
，
或
.
（2）由
可得
，
因为
，所以
，
所以不等式
的解为
，即
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
因为
是
的必要不充分条件，所以
是
的真子集，
所以
或
，解得
，
又因为
，所以
，
故实数
的取值范围为
.
15．已知集合
，集合
.
(1)若
，求
及
；
(2)若“
”是“
”的充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
,
，
(2)
【分析】（1）解分式不等式可求得集合
，将
代入解绝对值不等式可得集合
，由交集运算可求出
；
（2）根据充分条件定义可得出
，解不等式即可求出
的取值范围.
【详解】（1）由
可得
，也即
，
所以
，解得
，
即
；
将
代入可得
，解得
，
因此
（2）由
可得
，
若“
”是“
”的充分条件，可得
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
因此
，解得
.
因此实数
的取值范围为
.
16．已知集合
，
．
(1)若
，求
；
(2)若存在正实数m，使得“
”是“
”成立的充分不必要条件，求正实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）解不等式化简集合
，再利用补集、交集的定义求解.
（2）求出集合
，再利用充分不必要条件定义列式求解.
【详解】（1）当
时，
，则
或
，
而
，
所以
.
（2）当
时，
，
由（1）知
，由“
”是“
”成立的充分不必要条件，
得集合
是集合
的真子集，则
或
，解得
或
，
所以正实数m 的取值范围中
.
考点05 充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p,则q”是真命题
"若p,则q"是假命题
推出关系及
由p 通过推理可得出
由条件p 不能推出结论
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
符号表示
q，记作：p⇒q
q，记作：
条件关系
p 是q 的充分条件
q 是p 的必要条件
p 不是q 的充分条件
q 不是p 的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此
时p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p⇔q，那么p 与q 互为充要条件．
17．已知
成立，
函数
是减函数， 则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据给定条件，化简命题
，再利用充分条件、必要条件定义判断即得.
【详解】由
成立，得
，解得
或
，
则命题
；由函数
是减函数，
得
，解得
，则命题
，
显然
真包含于
，所以
是
的必要不充分条件.
故选：B
18．“
”是“函数
在
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】利用导数求出
在
上单调递增的
值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即
得.
【详解】函数
，求导得
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
若函数
在
上单调递增，则
对
恒成立，
而当
时，
，则
，因此
，
所以“
”是“函数
在
上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
19．设等比数列
的各项均为正数，其
前项和为
，则“
”是“数列
是递增数列”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】把
转化为
，得
，即
是增数列，反之推导即可求解.
【详解】由
得
，所以
，
又
，所以
是递增数列，
反之，等比数列
的各项均为正数，且数列
是递增数列，所以
，即有
，
所以
，即
，
所以“
”是“数列
是递增数列”的充要条件.
故选：C
20．“
”是“点
在圆
外部”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由点在圆外结合二次方程表示圆的条件可将“点
在圆
外部”
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
化为
，据此可得答案.
【详解】因点
在圆
外部，
则
，即
，
解得：
.
注意到
是
的真子集，
则由“
”不能得到“点
在圆
外部”，
由“点
在圆
外部”可得到“
”，
即“
”是“点
在圆
外部”的必要不充分条件.
故选：B
考点06 充分条件与必要条件中的求参问题
设与命题p 对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q 对应的集合为B={x|q(x)}，
若A
B，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；
若A=B，则p 是q 的充要条件.
21．已知
，
，若
是
的充分条件，则实数
的取值范围是（ ）
A．
；
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，可求解不等式，即可将充分条件转化为集合的包含关系进
行求解.
【详解】由于
均为
内的单调递增函数，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故函数
为
内的单调递增函数，由于当
时，
，
故不等式
的解为
，
由于
是
的充分条件，所以
，故
，
故选：D
22．已知集合
，
，则
的必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分集合
和
讨论求解，先确定
的充要条件，再确定其必要不充分条件.
【详解】因为
或
.
若
，则
，此时
；
若
，由
，此时
.
所以
的充要条件为：
.
所以
的必要不充分条件为：
.（因为
，但
，所以
是
的
必要不充分条件）
故选：A
23．命题“存在
，使得
”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，转化为
，利用二次函数的性质，求得
，结合充分不必要条件和选项，
即可得到答案.
【详解】由存在
，使得
，即
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
当
，即
时，
的最小值为
，所以
，
所以命题“存在
，使得
”为真命题的一个充分不必要条件为：集合
的真子
集，
结合选项可得，选项C 符合题意.
故选：C.
24．设
，且
是
成立的充分不必要条件，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设满足条件p，q 的集合分别为集合
，
，由p 是q 成立的充分不必要条件，则集合
是集合
的真子集，根据集合的包含关系可得答案.
【详解】由
得
或
，设
.
设满足
的集合为
，则
，
由p 是q 成立的充分不必要条件，则集合
是集合
的真子集，
所以
，所以
的取值范围是
.
故选：B
25．当
时，关于x 的不等式
有解的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出当
时，关于x 的不等式
有解的充要条件，再根据充分不必要条
件与充要条件的关系得出答案.
【详解】当
时，关于x 的不等式
有解，
即
在
上有解.令
，
，
所以
，则
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
代入
得
，
当且仅当
时取等号，此时
，
的最小值为6.
故当
时，关于x 的不等式
有解的充要条件是
，
所以满足题意的充分不必要条件是
的真子集，选项中只有C 符合
故选：C
考点07 全称量词与存在量词
1．全称量词与全称量词命题
全称量词
所有的、任意一个、 一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词
命题
含有全称量词的命题
形式
“对M 中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记
为“∀ x ∈ M
，
p ( x ) ”
2.存在量词与存在量词命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词
命题
含有存在
量词
的命题
形式
“存在M 中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为
“∃ x ∈ M
，
p ( x ) ”
26．命题
，
的否定是（ ）
A．
，
B．
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可.
【详解】因为全称存在命题的否定是存在量词命题，并否定结论，
所以命题
，
的否定是
，
．
故选：A
27．已知命题：
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用存在量词命题的否定直接判断即可.
【详解】命题“
：
”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以
：
.
故选：D.
28．（多选）以下四个命题中，是真命题的是（ ）
A．
B．“
”是“
”的必要不充分条件
C．若命题
：
，
，则
的否定为：
，
D．若
，则
【答案】ABC
【分析】利用全称量词命题的真假来判断A，由真子集关系来判断充要关系可推断B，利用命题的否定可
判断C，利用不等式的性质可判断D．
【详解】对于选项A：
，故A 选项为真命题；
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
对于选项B：因为
是
的真子集，
所以“
”是“
”的必要不充分条件，故B 选项为真命题；
对于C：由特称命题的否定可知：
的否定为：
，
，故C 选项为真命题；
对于选项D：若
，则
，
，故D 选项为假命题.
故选：ABC
29．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．命题：
，
的否定是：
，
.
B．一元二次不等式
对一切实数
都成立，则实数
的取值范围是
C．
是
的必要而不充分条件.
D．
是关于x 的方程
有一正一负根的充要条件.
【答案】AD
【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可判断A；根据一元二次不等式恒成立，数形结合可
求
的取值范围，判断B；通过举反例可判断C；根据一元二次方程根的分布可判断D.
【详解】对于A，命题“
”的否定是“
，
”，故A 正确；
对于B，因为
是一元二次不等式，故
，
因为一元二次不等式
对一切实数
都成立，
所以
.故B 错误；
对于C，由
不能推出
，例如
，但
；
也不能推出
，例如
，而
；
所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件，故C 错误；
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
对于D，关于x 的方程
有一正一负根
，
所以“
”是“关于
的方程
有一正一负根”的充要条件，故D 正确．
故选：AD
