文档文本内容
专题 01 集合与常用逻辑用语
目录
01 析·考情精解.....................................................................................................2
02 构·知能框架.....................................................................................................2
03 破·题型攻坚.....................................................................................................3
考点一 集合......................................................................................................3
真题动向
知识1有限集的子集个数确定
知识2根据两集合的关系求参数的方法
必备知识
知识3集合的运算性质
题型1元素与集合的关系 题型2根据集合的包含关系求参数
命题预测
题型3集合的交、并、补运算及求参问题 题型4集合中的新定义问题
考点二 常用逻辑用语.....................................................................................17
真题动向
知识1集合判断法判断充分条件、必要条件
知识2根据充分、必要条件求解参数
必备知识
知识3根据量词命题的真假求参数
命题预测 题型1充分条件与必要条件 题型2全称量词与存在量词从近三年高考试题来看，集合与常用逻辑用语均属基础考点，多以5分选择题形式
命题 呈现。集合部分重点考查交、并、补等基本运算，常与一元一次、二次不等式或指
数、对数不等式解法交汇，需通过集合表示方法的转化与化简求解，数轴法和特殊
轨迹
值法是常用技巧。常用逻辑用语核心考点为充分条件与必要条件的判断，常与其他
透视
知识结合，兼具基础性与综合性。此外，全称量词与存在量词命题的真假判断偶有
考查。整体侧重考查考生的逻辑思维能力与转化能力，注重逻辑推理素养的体现。
考点 2025年 2024年 2023年
甲卷（文）T1，5分
甲卷（理）T1，5分
I卷T1，5分
一卷T2，5分 乙卷（文）T2，5分
考点
集合 甲卷（文）T2，5分
频次 二卷T3，5分 乙卷（理）T2，5分
甲卷（理）T1，5分
总结 I卷T1，5分
II卷T2，5分
甲卷（理）T9，5分 甲卷（理）T7，5分
常用逻辑用语
II卷T2，5分 I卷T7，5分
预计在2026年高考中，集合仍为必考基础考点，大概率以 5分单选题形式出现，侧
2026
重交、并、补运算，多与一元一次、二次不等式交汇，需用数轴法辅助求解，偶涉
命题
含参问题或空集特例。
预测 常用逻辑用语以渗透式考查为主，核心仍是充分、必要条件判断，常结合函数、立
体几何等知识，全称与存在量词命题真假判断或成潜在考点，整体难度较不高。考点一 集合
1．（2025·全国二卷·高考真题，3，5分）已知集合 则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 ，故 ，
故选：D.
2．（2025·全国一卷·高考真题，2，5分）已知集合 ， ，则 中元素
个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
【答案】C【详解】因为 ，所以 ， 中的元素个数为 ，
故选：C．
3．（2024·全国甲卷·高考真题，1，5分）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
故选：D
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题，1，5分）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，且注意到 ，
从而 .
故选：A.
5．（2023·全国乙卷·高考真题，2，5分）设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得 ，则 .
故选：A.
6．（2023·全国甲卷·高考真题，1，5分）设全集 ,集合， （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为整数集 ， ，所以，
．
故选：A．
7．（2023·全国乙卷·高考真题，2，5分）设集合 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得 ，则 ，选项A正确；
，则 ，选项B错误；
，则 或 ，选项C错误；
或 ，则 或 ，选项D错误；
故选：A.
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题，2，5分）设集合 ， ，若 ，则
（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B【详解】因为 ，则有：
若 ，解得 ，此时 ， ，不符合题意；
若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意；
综上所述： .
故选：B.
知识1有限集的子集个数确定
若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真子集有
个．
知识2根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考
虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的
关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
知识3集合的运算性质
（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
（3） ， ， ；
（4） ；
【易错提醒】
①一定要清楚符号“{ 的属性}”表示的是具有某种属性的 的全体，而不是部分；
②一定要从代表元素入手，弄清代表元素是什么
③根据 或 求参数取值范围,忽略 的情况题型1元素与集合的关系
1．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合 ，则 与集合 的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】集合 ，所以 ，故A项错误、B项正确；
对于选项C和D， 是元素， 是集合，所以不能用集合间的符号表示关系，错误.
故选：B
2．已知集合 ， 为自然对数的底数，若 ，则 可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】由题知， ，
所以 ，则 .
故选：D.
3．（2025·河南开封·二模）（多选）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】 ，
对A，若 ，则 ，则根据 有 ，显然矛盾，故A错误；
对B，假设 ，则 ，根据 有 ，显然矛盾，则 ，故B正确；对C，由A知， ，则 ，故C正确；
对D，显然 ，必有 ，故D错误；
故选：BC.
4．（2025·江苏·模拟预测）已知集合 满足 ，若 ，则必有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以必有 ，且 ，
又 ，则 和4均仅是集合A中元素或仅是集合B中元素.
若 ，则必有 .
故选：C
5． （2025·陕西咸阳·模拟预测）已知 ，则
可能的取值的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【详解】当 时，由 ，可得 ，所以 为 或 ；当
时，由 ，可得 ，
所以 为 或 或 ；
当 时，由 知， ，
所以 为 或 ；
当 ，则 ，所以 为 综上，共有8种取值．
故选：D．
6．（2025·宁夏银川·一模）已知集合 ，则集合 中元素的个数是
（ ）A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【详解】由题，可得 ，
所以集合 含有6个元素.
故选：C.
题型2根据集合的包含关系求参数
7．（2025·吉林长春·模拟预测）已知集合 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．0 C．0或2 D．1或2
【答案】C
【详解】当 ，则 ，此时 ，满足；
当 ，则 ，此时 ，满足；
所以 或 .
故选：C
8．（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 解得 ，
即a的取值范围是 .
故选：D.
9．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题干知 ， ， ， ， ，则 ，即 ，所以实数 的取值范围是 .
故选：B．
10．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知集合 ，若 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 是增函数，且 ，所以 ，即 的取值范围为 .
故选：D.
11．（2025·江西赣州·一模）已知集合 ， ，若 ，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解集合 ，
解集合 ，
因为 ，所以 ，
故选：B.
12．（2025·江西上饶·一模）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 ，解得 ，所以 ，
，由 ，所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 .
故选：D.
13．（2025·河南·模拟预测）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，得 ，
解得 且 ，
故实数 的取值范围是 ．
故选：C．
题型3集合的交、并、补运算及求参问题
14．（2025·广东佛山·模拟预测）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，
故 .
故选：C
15．（2025·湖北孝感·模拟预测）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或 .
【答案】B
【详解】因为 是增函数，由 可得： ，
所以 ；
由 可得： 或 ，
所以 ；
.
故选：B
16．已知全集 ，集合 ， ，则集合 可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ， ，故 ，
又 ，则 ， ，故 或 .
故选：C.
17．（2025·广东·模拟预测）已知全集 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意得， ，
则 ．
故选：B
18． （2025·福建泉州·模拟预测）设集合 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，得 ，而 ，所以 .
故选：A
19．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合 若 ，则
a的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题得 ，因为 ，所以 .
当 时， ，满足 ；
当 时， ，因为 ，所以 或 ，解得 1或 ，
综上 的取值构成的集合为 .
故选：D.
20．（2025·新疆喀什·二模）已知集合 ， ， 且
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 或 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以实数 的取值范围为 .
故选： .
题型4集合中的新定义问题
21．（2025·陕西·模拟预测）定义集合运算： .若集合
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题设可得 ， ，
因为 ， ， ， ，
故 ，
故选：D.
22．（2022·江西九江·模拟预测）设集合 ，集合 ，定义
，则 中元素个数是（ ）
A．7 B．10 C． D．
【答案】B
【详解】 集合 ，集合
，，
共有10个元素.
故选：B．
23．（2025·福建福州·模拟预测）若非空集合 ， 满足条件：
① ；②若 ， ，则 .
则称 为集合 的划分.
下列命题正确的是（ ）（多选）
A．若 为集合 的划分，则
B．若 为集合 的划分，则
C．若 ， ，则 为 的划分
D．若 存在 划分， ，则
【答案】AD
【详解】对于选项AB：
在集合划分定义中并未要求 ，但若存在 ，
则 矛盾，故 必然成立.
对于选项C：
集合 为 ，而集合 为 ，此时 ，
不符合集合划分的定义，所以选项C错误.
对于选项D：
若 ，则 ，无法划分；
若 ，则 ，无法划分；
所以D正确.
故选：AD.
24．（2024·湖南怀化·二模）给定整数 ，有 个实数元素的集合 ，定义其相伴数集
，如果 ，则称集合 为一个 元规范数集．（注： 表示数集中的最小数）．对于集合 ，则（ ）
A． 是规范数集， 不是规范数集 B． 是规范数集， 是规范数集
C． 不是规范数集， 是规范数集 D． 不是规范数集， 不是规范数集
【答案】C
【详解】集合 中， ，则 ，
即 的相伴数集中的最小数不是1，因此 不是规范数集；
集合 ， ，
，
即 的相伴数集中的最小数是1，因此 是规范数集.
故选：C
25．大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量
的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合
和 ，用 中元素为第一元素， 中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作
与 的笛卡尔积，又称直积，记为 ．即 且 ．关于任意非空集合 ，
下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，若 ，则 ，A错
误；
对于B，若 ，则 ，
而 ，B错误；
对于C，若 ，则 ，， ， ，C错误；
对于D，任取元素 ，则 且 ，则 且 ，
于是 且 ，即 ，
反之若任取元素 ，则 且 ，
因此 且 ，即 且 ，
所以 ，即 ，D正确.
故选：D
考点二 常用逻辑用语
1．（2024·全国甲卷·高考真题，9，5分）设向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】C
【详解】对A，当 时，则 ，
所以 ，解得 或 ，即必要性不成立，故A错误；
对C，当 时， ，故 ，
所以 ，即充分性成立，故C正确；
对B，当 时，则 ，解得 ，即必要性不成立，故B错误；
对D，当 时，不满足 ，所以 不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，2，5分）已知命题p： ， ；命题q： ， ，则（ ）
A．p和q都是真命题 B． 和q都是真命题
C．p和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】B
【详解】对于 而言，取 ，则有 ，故 是假命题， 是真命题，
对于 而言，取 ，则有 ，故 是真命题， 是假命题，
综上， 和 都是真命题.
故选：B.
3．（2023·全国甲卷·高考真题，7，5分）设甲： ，乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【详解】当 时，例如 但 ，
即 推不出 ；
当 时， ，
即 能推出 .
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，7，5分）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C【详解】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C知识1集合判断法判断充分条件、必要条件
若 以集合 的形式出现， 以集合 的形式出现，即 ：c， ： ，则
（1）若 ，则 是 的充分条件；
（2）若 ，则 是 的必要条件；
（3）若 ，则 是 的充分不必要条件；
（4）若 ，则 是 的必要不充分条件；
（5）若 ，则 是 的充要条件；
（6）若 且 ，则 是 的既不充分也不必要条件.
知识2根据充分、必要条件求解参数
①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不
等式(或不等式组)求解；
②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取
等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
知识3根据量词命题的真假求参数
根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不
等式(组）求参数的取值范围.
具体如下：
①对于全称量词命题“ ”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化
为求函数 的最大值（或最小值)，即 .
②对于存在量词命题“ ”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值)，即
【易错提醒】
①对全称、特称命题的否定，不仅要否定结论 ，而且还要对量词“ ”进行否定，其余不需
要否定
②充分条件包含充分必要条件和充分不必要条件，必要条件包含充分必要条件和必要不充分条件
题型1充分条件与必要条件
1．（2025·广东·模拟预测）命题p：“ ”，命题q：“ ”，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当 时， ，则 ，
即 “ ”可推出命题 “ ”；
当 时， ，但是 不成立，
即由命题 “ ”推不出 “ ”；
故命题 “ ”是命题 “ ”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2025·山东·一模）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若 ，满足 ，但不能得到 ，故充分性不成立，
若 ，由于 ，故 ，故必要性成立，
故“ ”是“ ”的必要而不充分条件，故选：C
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知 “ ”是 ：“ ”成立的必
要不充分条件，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，即 ，
则 或 ，即 ，
又 是 的必要不充分条件，则 或 ，即 或 .
则 的取值范围为 .
故选：B
4．（2025·广东·模拟预测）已知 是无穷数列，设甲：存在常数 ，使得 且 ，乙：数列
为等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【详解】数列 为等比数列设其公比为 ，则 ，
若 ，即数列 不一定为等比数列，
所以甲是乙的必要条件但不是充分条件，
故选：B.
5．（2025·四川绵阳·模拟预测）“ 或 ”是“定点 在圆 的外
部”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】 定点 在圆 的外部，
，化简得 ，
k的取值范围： 或 ，
所以 或 ”是“定点 在圆 的外部”的必要不充分条件.
故选：B.
6．（2025·山西晋中·二模）已知 ， ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设集合 ，集合 ，若 是 的充分不必要条件，
所以 是 的真子集，可得 ，
故选：D.
7．（2023·北京延庆·二模）设 且 ，“ ”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． 且 C． D．
【答案】A
【详解】不等式 ，可整理得 ，
解得 且 .
故 是 的必要不充分条件；
而CD不满足必要性，B为充要条件.
故选：A.题型2全称量词与存在量词
8．（2025·四川绵阳·模拟预测）若命题 “ ，都有 ”，则命题 的否定为（ ）
A． ，都有 B． ，都有
C． ，使得 D． ，使得
【答案】C
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题 的否定为“ ，使得 ”.
故选：C.
9．（2025·陕西榆林·一模）已知命题 ；命题 ，则（ ）
A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题
C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】B
【详解】命题 ，当 时， ，故为假命题；
命题 ，当 或 时， ，故为真命题；
所以， 和 都是真命题， 和 是假命题.
故选：B
10．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“ ”是真命题，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得： ，
解得： ，所以实数 的取值范围为 ，
故选：A
11．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】已知命题“ ”为假命题，根据存在量词命题的否定为全称量词命题，
可知其否定“ ”为真命题.
由 ， ，移项可得 ，
因为 ，两边同时除以 ，得到 在 上恒成立.
在 中，因为 ，所以2x和 都是正实数，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
因为 在 上恒成立，所以 要小于等于 的最小值 ，
即 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A.
12．（2024·江苏南通·模拟预测）若命题“ ”是假命题，则 可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D【详解】因为 时， ，当且仅当 时取等，
则当命题“ ”为真命题时 ，
所以命题为假命题时 .
故选：D.
13．（2025·宁夏银川·二模）若命题：“ ，都有 ”为真命题，则 的大小关
系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为命题：“ ，都有 ”为真命题，
所以命题：“ ，都有 ”为真命题.
令 ， .
则 .
因为 ，
所以 ，
所以函数 为增函数.
又因为 ，
所以 .
故选：B.
