第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第5 节 一元二次函数、方程和不等式
第二课时 一元二次方程、不等式
【高考预测】近三年高考数学一元二次方程与一元二次不等式属于年年必考、
贯穿全卷的基础核心考点，小题常结合集合运算、常用逻辑用语、函数定义域
值域直接考查解集求解、根的分布、判别式应用，大题则在函数导数、数列、
解析几何、立体几何中作为运算工具高频渗透，重点考查因式分解、求根公式、
解集区间表示、含参分类讨论及恒成立问题；预测 2027 年依旧保持高频稳定
考查，小题侧重一元二次不等式常规求解、含参解集辨析、根与系数关系应用，
强化与集合、逻辑用语、函数的交汇命题，大题持续作为解题基础工具隐性考
查，着重考查数形结合、分类讨论思想以及一元二次方程不等式的快速运算与
综合迁移应用能力。
【双基自测●明考向】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1) x−a
x−b≥0 等价于(x-a)(x-b)≥0.( )
(2)若不等式ax2+bx+c<0 的解集为(x1,x2),则必有a>0.( )
(3)不等式x2≤a 的解集为[-❑√a,❑√a].( )
(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.(
)
2.(人教A 必修一P53 练习T1 改编)不等式-2x2+x≤-3 的解集为
.
3.(北师大必修一P41T1 改编)若不等式x2+ax+b>0 的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),则
a+b= .
4.(苏教必修一P69T11(2)改编)若一元二次不等式2kx2+kx-3
8<0 对一切实数x 都成
立,则实数k 的取值范围是 .
【核心梳理●明考点】
1.一元二次不等式
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式,称为一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实
根x1,x2
(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=- b
2a
没有实
数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
{x| x> x2,
或x< x1}
{x| x≠−b
2a}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x1<
x<x2}
⌀
⌀
3.分式不等式与整式不等式
(1) f ( x)
g( x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2) f ( x)
g( x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
4.简单的绝对值不等式
绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);|x|<a(a>0)的解集为(-a,a).
1.当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种
情况讨论.
2.当Δ<0 时,注意区分不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R 还是⌀.
3.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2+bx+c>0 对任意实数x 恒成立⇔{
a=b=0,
c>0
或{
a>0,
Δ=b
2−4 ac<0.
(2)不等式ax2+bx+c<0 对任意实数x 恒成立⇔{
a=b=0,
c<0
或{
a<0,
Δ=b
2−4 ac<0.
【考点突破●明方向】
考点一 不等式的解法
例1 (1)(多选)下列说法正确的是( )
A.不等式x2+x-2>0 的解集为{x|x<-2 或x>1}
B.不等式2 x +1
x−2 ≤1 的解集为{x|-3≤x<2}
C.不等式|x-2|≥1 的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“ x + 4
x−5<0”的充分不必要条件
(2)已知函数f(x)=ax2+3x+2.若a>0,解关于x 的不等式f(x)>-ax-1.
训练1 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)不等式x−4
x−1≥2 的解集是( )
A.{x|-2≤x≤1}
B.{x|x≤-2}
C.{x|-2≤x<1}
D.{x|x>1}
(2)解关于x 的不等式x2-ax+1<0,a∈R.
考点二 三个二次之间的关系
例2 (多选)(2026·泉州月考)已知关于x 的一元二次不等式ax2+bx+c≥0 的解集为
{x|x≤-2 或x≥1},则( )
A.b>0 且c<0
B.4a+2b+c=0
C.不等式bx+c>0 的解集为{x|x>2}
D.不等式cx2-bx+a<0 的解集为{x|−1< x< 1
2}
训练2 (多选)已知关于x 的不等式a(x+1)·(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1<x2),
则下列结论正确的是( )
A.x1+x2=2
B.x1x2<-3
C.-1<x1<x2<3
D.x2-x1>4
考点三 一元二次不等式恒成立问题
角度1 在实数集R 上恒成立
例3 (2026·山东部分学校联考)已知不等式x2-mx+4<0 的解集为空集,则m 的取值
范围为( )
A.(-4,4)
B.(-∞,-4)∪(4,+∞)
C.(-∞,-4]∪[4,+∞)
D.[-4,4]
角度2 在给定区间上恒成立
例4 (2025·铁岭协作校调研)已知∀x∈[1,2],∀y∈[2,3],y2-xy-mx2≤0,则实数m 的
取值范围是( )
A.[4,+∞)
B.[0,+∞)
C.[6,+∞)
D.[8,+∞)
角度3 给定参数范围的恒成立
例5 若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4 时恒成立,则x 的取值范围是 .
训练3 已知关于x 的不等式2x-1>m(x2-1).
(1)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R 恒成立,并说明理由;
(2)若不等式对于x∈(1,+∞)恒成立,求m 的取值范围;
(3)若不等式对于m∈[-2,2]恒成立,求实数x 的取值范围.
一元二次方程根的分布
解决由一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取值范围问题,主要从以下
三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解.
(1)判别式Δ 的符号.
(2)对称轴x=- b
2a与所给区间的位置关系.
(3)区间端点处函数值的符号.
【典例】已知关于x 的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,
求实数m 的取值范围;
(2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内,求实数m 的取值范围.
【变式训练】已知方程x2+(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上只有一个解,求实数m 的取
值范围.
【限时训练】
（30 分钟）
一、单选题
1.设集合A={x||x-1|≥1},B={x|x2-x-2<0},则A∩B 等于( )
A.(-2,0)
B.(-1,0)
C.(-2,0]
D.(-1,0]
2.(2026·北京海淀区段考)不等式|
x−2
x |> x−2
x
的解集是( )
A.(0,2)
B.(-∞,0)
C.(2,+∞)
D.(-∞,0)∪(0,+∞)
3.若关于x 的不等式mx2-mx-1<0 的解集是R,则实数m 的取值范围是( )
A.{m|-4≤m≤0}
B.{m|-4<m≤0}
C.{m|0≤m<4}
D.{m|-4<m<0}
4.已知集合A={x|x2-(2a+1)x+a2+a<0},若2∈A,则a 的取值范围为( )
A.(1,2)
B.(1,3)
C.[1,2]
D.[2,3]
5.若命题“∃a∈[-1,3],ax2-(2a-1)x+3-a<0”为假命题,则实数x 的取值范围为(
)
A.{x|-1≤x≤4}
B.{x|0≤x≤5
3}
C.{x|−1≤x≤0 或5
3 ≤x≤4}
D.{x|−1≤x<0 或5
3 < x≤4}
6.(2026·驻马店调研)已知关于x 的不等式组{
x
2−2 x−8>0,
2 x
2+(2k +7)x +7 k <0仅有一个整数
解,则k 的取值范围为( )
A.[-5,3)
B.[2,3)
C.[2,3)∪[4,5)
D.[-5,3)∪(4,5]
7.下面给出了问题:“已知关于x 的不等式ax2+bx+c>0 的解集为{x|-2<x<1},解关
于x 的不等式ax2-bx+c>0.”的一种解法:
因为不等式ax2+bx+c>0 的解集为{x|-2<x<1},又不等式ax2-bx+c>0 可化为a(-
x)2+b(-x)+c>0,所以-2<-x<1,即-1<x<2.所以不等式ax2-bx+c>0 的解集为
{x|-1<x<2}.
参考上述解法,解答问题:
若关于x 的不等式
n
x +m+ x +b
x +c <0 的解集为{x|-2<x<-1,或1<x<3}.则关于x 的不等
式
nx
mx −1+bx−1
cx −1<0 的解集为( )
A.(−1,−1
3)∪(
1
2 ,1)
B.(-1,1)∪(1,3)
C.(-3,-1)∪(1,2)
D.(−1,−1
2)∪(
1
3 ,1)
二、多选题
8.(2026·兰州诊断)下列说法正确的是( )
A.不等式4x2-5x+1>0 的解集是{x|1
4 < x<1}
B.不等式2x2-x-6≤0 的解集是{x| x≤−3
2 或x≥2}
C.若不等式ax2+8ax+21<0 恒成立,则a 的取值范围是⌀
D.若关于x 的不等式2x2+px-3<0 的解集是(q,1),则p+q 的值为-1
2
9.下列命题正确的是( )
A.若关于x 的方程x2+(a2-1)x+a-2=0 的一个根比1 大且另一个根比1 小,则a 的取
值范围是(-2,1)
B.若关于x 的不等式x2-kx+k-1<0 在(1,2)上恒成立,则实数k 的取值范围是(-∞,3)
C.若关于x 的不等式ax-b>0 的解集是(1,+∞),则关于x 的不等式ax +b
x−2 >0 的解集
是{x|x>2 或x<-1}
D.若函数f(x)=x2+ax+b 的图象与x 轴只有一个交点,且不等式x2+ax+b<c 的解集为
(x1,x2),|x1-x2|=4,则c=4
三、填空题
10.甲、乙两人解关于x 的不等式x2+bx+c<0,甲写错了常数b,得到的解集为(-3,2),
乙写错了常数c,得到的解集为(-3,4).那么原不等式的解集为 .
11.(2026·太原调研)若{x|0≤x≤1}∩{x|x2-2x+m>0}=⌀,则实数m 的取值范围为
.
12.(2026·青岛质检)若关于x 的不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集为
{x|-1≤x≤3},则3a+b+2c 的取值范围是 .
四、解答题
13.解关于x 的不等式:2a2x2-3ax-2>0,a∈R.
14.已知函数f(x)=x2-2mx+2-m.
(1)若不等式f(x)≥-mx 在R 上恒成立,求实数m 的取值范围;
(2)若f(x)≥0 在[0,1]上恒成立,求实数m 的取值范围.
