文档文本内容
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（高效培优综合训练）
（全国通用）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知命题p：“
，
”，则命题p 的真假及命题p 的否定分别为（ ）
A．真命题，
，
B．真命题，
，
C．假命题，
，
D．假命题，
，
2．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．“
”是“函数
的图象关于
对称”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果
克糖水中含有
克糖
，再添
加
克糖
（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g 的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在
天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g 的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天
平平衡，则两次称得重物的总重量（ ）
A．等于20g
B．小于20g
C．大于20g
D．与左右臂的长度有关
6．已知关于
的不等式
的解集为
，其中
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．4
C．
D．2
7．已知等比数列
的公比为
，关于
的不等式
，下列说法正确的是（ ）
A．当
时，不等式的解集为
B．当
时，不等式的解集为
C．当
时，存在公比
，使得不等式的解集为
D．存在公比
，使得不等式的解集为
8．已知
对所有正实数
都成立，则实数
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．12
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．关于命题
“
”，下列说法正确的是（ ）
A．该命题是全称量词命题，且为真命题B．该命题是存在量词命题，且为假命题
C．
D．
10．已知正实数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．非空数集
，同时满足如下两个性质：（1）若
，则
；（2）若
，则
．称
A 为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ）
A．若A 为一个“封闭集”，则
B．若A 为一个“封闭集”，且
，则
C．若
都是“封闭集”，则
是“封闭集”的充要条件是
或
D．若
都是“封闭集”，则
是“封闭集”的充要条件是
或
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知集合
，若
，则
．
13．已知
，则
的最小值为 ．
14．若
，且满足
，则
的最小值为 ；
的最小值为 ．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知集合
，集合
.
(1)若
，求
；
(2)若
，且
是
的必要不充分条件，求m 的取值范围.
16．定义关于
的新运算：
，其中
，
为非零常数.
(1)当
，
时，求
的值；
(2)当
时，求不等式组
的解集.
17．2025 年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项
目为主.2025 年世界运动会将于2025 年8 月7 日至8 月17 日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办
世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025 年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300 万元费用.假
设购进该款产品全部售出，若以80 元的单价出售，可售出15 万件，且每降价1 元，销量增加五千件.若购
进该产品数量不超过30 万件，则经销商按照每件30 元成本收费；若购进30 万件以上，则直接与玩具公司
合作，以全新方式进行销售，此时利润
（万元）与销量
（万件）的关系为
.
(1)当购进产品数量为10 万件时，利润是多少？（利润
销售收入
成本）
(2)写出利润
（万元）关于购进产品数量
（万件）的函数解析式；
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
18．高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集
，
定义
，将
称为“
与
的笛卡尔积”．
(1)若
，
，求
和
．
(2)若集合
是有限集，将集合
的元素个数记为
．已知
，且存在实数
满足
对任意
恒成立，求
的取值范围，并指明当
取到最值时
和
满足的关
系式及
应满足的条件．
19．对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若
，那么称点
是点
的
“上位点”，同时点
是点
的“下位点”．
(1)试写出点
的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点
是点
的“上位点”，判断点
是否是点
的“下位点”，并证明你的
结论；
(3)设正整数
满足以下条件：对集合
内的任意元素
，总存在正整数
，使得点
既是点
的“下位点”，又是点
的“上位点”，求满足要求的一个正整数
的值，并说明
理由．
