文档文本内容
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练）（全国通用）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
,故
，
故选：B.
2．设集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，
，
故选：C
3．设
， 则“
”是
的（ ）条件.
A．充分而不必要B．必要而不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【详解】由题意
或
，
而若
，则有
，所以肯定有
或
，
取
，即
满足
或
，但是
不满足
，
所以“
”是
的充分而不必要条件.
故选：A.
4．若命题
，则（ ）
A．
是真命题，且
B．
是真命题，且
C．
是假命题，且
D．
是假命题，且
【答案】C
【详解】当
时，
，所以
是假命题，且
.
故选：C.
5．已知二次不等式
的解集为
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
，所以
，
所以
，即
，解得：
或
．
因为
有两个不等根
，所以
，
解得：
或
，则
的取值范围是
．
故选：B
6．第19 届亚运会于2023 年9 月23 日至10 月8 日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，
都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低
售价为15 元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45 枚，每枚售价每提高1 元，日销售量将减少3 枚，
为了使这批纪念章每天获得600 元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意，得
，
即
，∴
，
解得
.又每枚的最低售价为15 元，∴
.
故选：B.
7．若
，
，则下列能成为“
的最小值为16”的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
，
又
的最小值为16，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，即取到最小值16．
所以
，即
．
若
，显然
的最小值为16．
故选：A．
8．正交数组的概念在现代广泛应用.设集合
.任取
，若
，则称
与
正交.若
，且
中任意两个元素均正交，则
中元素个数最多是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【详解】不妨设
，
由
，则
中最多包含
6 个元素，
又
，
，
三组元素不正交，
所以
6 个元素中最多只有3 个元素在集
合
中，如
，
若
，且
中任意两个元素均正交，则
中元素个数最多是
.
故选：C.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】
如图，
A 选项：
①+②，则
②，故A 正确；
B 选项：
①+④，则
④， 故B 错误；
C 选项：
③，
①+②+④，则
②，故C 正确；
D 选项：
①，故D 错误.
故选：AC.
10．下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BCD
【详解】对于A，若
，则
，故A 错误；
对于B，若
，由不等式的性质可得
，故B 正确；
对于C，若
，由不等式的性质可得
，
若
，则
，故C 正确；
对于D，若
，由指数函数的单调递增性质可得
，故D 正确；
故选：BCD
11．已知
（a，b，
），且
，则（ ）
A．
B．存在a，c 使得
C．不存在a，c 使得
D．
【答案】ACD
【详解】对于A，由
，
，得
，则
，A 正确；
对于B，由
，
，得
，则
，
，
若存在
，使得
，则
，
与已知相矛盾，B 错误；
对于C，由
，得
，
，C 正确；
对于D，
，
，D 正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若命题“
，
”为真命题，则实数k 的最大值为
【答案】
【详解】命题“
，
”为真命题，
所以
，又
在
上单调递增，
所以
，所以
，
所以实数k 的最大值为
.
故答案为：
.
13．已知集合
，
，若
，实数
的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为
所以
由题意，集合
为
的解集，
当
时，得
不满足
，
当
时，因为
，
在
恒成立，即
因为
，当且仅当
时，取等号，显然不成立，
当
时，由题意可得：
在
恒成立，即
恒成立，
因为
，当且仅当
时，取等号，所以
，
故答案为：
14．有限集合中元素的个数记做
，设
，
都为有限集合，给出下列命题：
①
的充要条件是
②
的必要不充分条件是
③
⫋
的充分不必要条件是
④
的充要条件是
其中，真命题有 .（填序号）
【答案】①②
【详解】①若
，则集合
与
无重复元素，则
，
即
是
的充分条件，
若
，则集合
与
无重复元素，
，
即
是
的必要条件，
综上所述
的充要条件是
，①正确；
②若
，即集合
中所有元素均属于集合
，此时
，
即
，所以
是
的充分条件，
即
是
的必要条件，
若
，无法判断集合
中元素与集合
的关系，
即
不是
的充分条件，
综上所述，
的必要不充分条件是
，②正确；
③若
，无法判断集合
中元素与集合
的关系，
即
不是
⫋
的充分条件，③错误；
④若
，无法判断集合
中元素与集合
的关系，不能说明
，④错误；
故答案为：①②.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）已知集合
，集合
.
(1)若
，求
和
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
令
，解得
，...............................................................................................................3 分
所以
，故
或
............................................................................................5 分
（2）由
得到
，.......................................................................................................................7 分
（i）当
时，
，
因为
，所以
，解得
......................................................................................................9 分
（ii）当
时，
因为
，所以
，解得
..........................................................................................................11 分
（iii）当
时，
因为
，所以
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围为
................................................................................................13 分
16．（15 分）某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行1 小时，但不超过20 小时．假设该设备
每天运行
小时，且每小时的平均耗电量
千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系：
(1)当
时，若该设备每小时的平均耗电量不超过2 千瓦，求
的取值范围；
(2)求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间．
【详解】（1）当
时，
，
由题意得，
，...................................................................................................3 分
即
，解得
，
又
，所以
的取值范围为
．.....................................................................................................6 分
（2）由题意得，设设备一天的耗电总量为
，.........................................................................................9 分
①当
时，
，
当且仅当
，即
时，等号成立；................................................................................11 分
②当
时，
，
当
时取得最小值15；.............................................................................................................13 分
因为
，所以最小值为
．
答：设备一天的耗电总量最小值为8 千瓦，设备当天运行6 小时．........................................................15 分
17．（15 分）已知正数
，
满足
.
(1)求
的最小值；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围.
【详解】（1）∵
，
∴
，
，
，.......................................................................................................3 分
∴
，
当且仅当
，即
，
时取“=”，
所以
的最小值为25........................................................................................................................6 分
（2）∵
，∴
，
∴
，.........................................................8 分
∵
且
，∴
，
∴
，当且仅当
，即
时取“=”，
∴
，.....................................................................................................................................11 分
∴
恒成立，即
，解得
，
所以实数
的取值范围为
....................................................................................................................15 分
18．（17 分）设函数
.
(1)若
，求
的解集；
(2)若不等式
对一切实数
恒成立，求a 的取值范围；
(3)解关于
的不等式：
.
【详解】（1）由函数
，
若
，可得
，
又由
，即不等式
，即
，...............................................................2 分
因为
，且函数对应的抛物线开口向上，
所以不等式
的解集为
，即
的解集为
..............................................................5 分
（2）由
对一切实数
恒成立，
即
对
恒成立，
，
，..........................................................................................................................................7 分
，
，
当且仅当
时，即
时等号成立，
所以
的取值范围是
..............................................................................................................10 分
（3）依题意，
等价于
，
当
时，不等式可化为
，所以不等式的解集为
..............................................................12 分
当
时，不等式可化为
，此时
，
所以不等式的解集为
.................................................................................................................14 分
当
时，不等式化为
，
①当
时，
，不等式的解集为
；
②当
时，
，不等式的解集为
或
；
③当
时，
，不等式的解集为
或
；
综上，当
时，原不等式的解集为
或
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
或
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
...............................................................................................17 分
19．（17 分）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：
把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，
的元素和是
；交替和是
；而
的元素和与交替和都是5.
(1)写出集合
的所有非空子集的交替和的总和.
(2)已知集合
，根据提示解决问题.
①求集合M 所有非空子集的元素和的总和；
提示：
，先求出x 在集合M 的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M 的所有非空子集的元
素和的总是；
②求集合M 所有非空子集的交替和的总数.
【详解】（1）集合
的非空子集为
，
，
，
，
，
，
，................2 分
集合
，
，
的交替和分别为1，2，3，
集合
的交替和为
，
集合
的交替和为
，
集合
的交替和为
，
集合
的交替和为
，
所以集合
的所有非空子集的交替和的总和为
...........................................6 分
（2）①集合
所有非空子集中，
，
，
，
，
，
，
，数字1、2、3 各出
现
次，.......................................................................................................................................................8 分
集合
所有非空子集为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，其中数字1、2、3、4 各出现
次，..................10 分
在集合
所有非空子集中，含1 的子集的个数为
，
因此数字1 在16 个子集中出现，即数字1 在所有的非空子集中出现了16 次，同理数字2、3、4、5 各出现
次，
同理在集合
所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6 各出现
次，
所以集合
所有非空子集的元素和的总和为
...............................................13 分
②
的子集一共有
个，按照子集是否含有
可分为两类，
每一个含
和去掉
的两个配对子集交替和之和为
，因为不含
的子集共有
个，
所以
的所有非空子集的交替和总和为
（
的交替和为0，所有子集的交替和与所有非
空子集的交替和相等），................................................................................................................................15 分
所以集合
所有非空子集的交替和的总和
.......................................................................17 分
