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专题 01 集合与常用逻辑用语
4大考点概览
考点01集合中元素的性质及结合间的关系
考点02集合的运算
考点03集合新定义
考点04命题的否定、充分必要条件
考点1 集合中元素的性质及集合间的关系系
1．（2026·安徽淮北·一模）已知集合 ，则 的元素个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】利用并集的运算求解.
【详解】 ， ， ， 的
元素个数为 .
故选：C.
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知集合 是绝对值小于 的整数 ， ，则
的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 是绝对值小于 的整数，即满足 （ 为整数），可得 ，
已知 ，根据并集定义，得： 因此， 共 个元素.
3．（2026·山西朔州·一模）已知 ，则 中所有元
素的和为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
【答案】A
【详解】 ，所以 ，故 中所有元素的和为5.
4．（2026·广东·一模）已知集合 ，若 ，则 （ ）
A．－2 B．0 C．2 D．4
【答案】B
【详解】由于集合 ， ，则 ，故
5．（2026·山东泰安·一模）已知集合 ，则 的子集个数为
（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】由集合的交集运算和子集计算公式即可求解.
【详解】由 ，可得 ，所以 ，
所以 的子集个数为 ，故选：B
6．（2026·湖南怀化·一模）全集 ，且 ，则满足条件的集合 的个数为
（ ）
A．8 B．7 C．4 D．2
【答案】A
【详解】因为全集 ，且 ，
所以 可能为 ，共 个即集合 的个数为 .
7．（2026·广东广州·一模）集合 的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【详解】解不等式 得 ，则集合 ，有3个元素，则集合 的子集个数
为 .8．（2026·山东菏泽·一模）已知集合 ， ，若 ，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【详解】因为 ， ， ，所以 ，可得 ，解得 .
9．（2026·广东梅州·一模）已知全集 ， ，则下列结论不一
定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ， ，所以 ，故A正确；
对于任意 ，则 ，又 ，所以 ，所以 ，故B正确；
若 ，则 ，又 ，则 ，则 ，
与 矛盾，所以 ，同理 ， ，故 ，故C正确；
若 时，可得 不成立，故D错误.
10．（2026·江苏·一模）设集合 ， ，若 含有4个元素，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据集合元素的互异性及并集的概念求解即可.
【详解】根据集合元素的互异性可知， ， .
因为 含有4个元素，所以 仅含有1个元素，
若 ，则 或 ，所以 或 .
若 ，则 .
结合集合元素的互异性可知 或 .当 时， ， ， ，符合题意.
当 时， ， ， ，不符合题意.
综上， .
11．（2026·山东德州·一模）设集合 ，若 ，则 __________.
【答案】
【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解.
【详解】 ， ， 且 且 且 ， 或 ，
当 时， 且 ， ， .
当 时，解得 ， 且 ， 不成立.
综上可得， .
考点2 集合的运算
1．（2026·辽宁抚顺·一模）设集合 ，若 ，则 的取值集合为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若 ，则 ，此时 ，不符合题意；若 ，解
得 ，则 ， ，此时 ，符合题意.综上， 的取值集合为 .
2．（2026·山东青岛·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】由 可得 ，即 ，又 ，故 .
3．（2026·湖北黄石·一模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解三角方程得到集合 ，再根据集合交集运算法则求解．
【详解】 ， ，解得 ，即 ，
．
4．（2026·河北保定·一模）已知集合 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解集合 得： 或 ，由 ，则 .
5．（2026·江西南昌·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ， ，所以 .
6．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】解出不等式，求出集合 ，进而求交集即可.
【详解】由 ，得 ，解得 ，即 .
由 ，可得 ，解得 ，即 ，所以 .
7．（2026·辽宁辽阳·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ， ，
所以
8．（2026·山东烟台·一模）已知集合 ， ， ，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用子集的定义可得答案.
【详解】由 ，得： ，即 ，故 ，由 ，得： ，又
因为 ，所以 .
9．（2026·广东汕头·一模）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解二次不等式得 的补集区间，再与给定集合 取交集即得结果.【详解】解不等式 ，得 或 ，即集合 ，
则 ，则 .
10．（2026·山东青岛·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因 ，解得 ，即 ，又 ，则
.
11．（2026·福建龙岩·一模）若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ， ，
.
12．（2026·河北张家口·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，所以 ，所以 .
13．（2026·河北衡水·一模）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】求出集合 、 ，利用交集的定义可求得集合 .
【详解】因为 ，当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 ，又因为 ，故 .
14．（2026·广东·一模）集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解出集合 ， 中的元素，再由集合的并运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，即 ，所以 ，所以 .
15．（2026·山东滨州·一模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简集合A，再根据并集的定义可得.
【详解】由不等式 ，可得 ；又因为 ，因此 .又因为 ，
所以 .
16．（2026·江西抚州·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因 ，解得 ，则 ，由 ，解得 ，则 ， ．
17．（2026·山东威海·一模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用对数函数的单调性求解不等式得集合 ，再由并集定义计算即得.
【详解】由 可得 ，解得 ，即 ，
因 ，则 .故选：D.
18．（2026·山东淄博·一模）已知集合 ， ，那么集合
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出集合 、 后，利用并集定义计算即可得.
【详解】由 ，可得 ，则 ，由 ，可得 ，即
，即 ，故 .
19．（2026·北京延庆·一模）已知集合 ， ，则
（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出集合A,B，利用并集的定义可求得 .
【详解】由题意可得：根据对数函数真数大于零可得，集合 ，集合 或，根据并集的定义可得 或 ，即 .
20．（2026·山东聊城·一模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由集合 ，则满足 ，解得 ，所以 ，可得
，因为 ，所以 .
21．（2026·山西大同·一模）设集合 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，
所以 ， ，结合选项可知：A选项正确.
22．（2026·江西·一模）已知集合 ， 或 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，解得 ，所以 ，又 或 ，所以
，故 ．23．（2026·河北唐山·一模）已知全集U及其两个非空真子集M，N，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图： .
24．（2026·宁夏银川·一模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ， ， ， ，
， .
25．（2026·甘肃兰州·一模）集合 ，则图中阴影部分所表示的集
合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设全集为 ，由图可知阴影部分可表示为 ，可知 ，则
26．（2026·山东济宁·一模）集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分别解指数不等式、绝对值不等式得到集合 、 ，再计算 的补集，最后求交集得到
结果.
【详解】因为指数函数 是 上的增函数，所以由 ，可得 ，即 ；
而 ，等价于 或 ，解得 或 ，即 或
所以 ，故 .
27．（2026·天津河东·一模）已知全集 ，集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，
所以 或 .
28．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】利用一元二次不等式和分式不等式的解法，求出集合 ，再利用集合的运算，即可求解.
【详解】由 ，得到 ，所以 ，
由 ，即 ，解得 ，所以 ，故 .
29．（2026·安徽安庆·一模）若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以
30．（2026·安徽合肥·一模）已知集合 ， ，同时满足
， ，则 ___________．
【答案】 或
【分析】易知 ，则 ，即集合 中的元素互为倒数，由题意可求出集合 ，进而确定
集合 ，根据并集的运算即可求出答案．
【详解】设 ，若 ，又 ，故 ，此时 ，与已知
矛盾，故 ，所以 ，得 ，所以 ，
即集合 中的元素互为倒数，因为 ，所以存在 ，使得 且 ，
解得 ，又因为 ，所以 或 ，若 ，则 ，则 ；若 ，则 ，则 .综上所述，
或 ．
考点3 集合新定义
1．（多选）（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合 ，定义集合 的
模为该集合中所有元素的和，记作 ，即 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．若集合 ，则
B．若集合 ，则
C．若集合 ，则
D．记集合 ，且 中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于
8，若 的最大值为 的最大值为 ，则
【答案】AC
【分析】选项A，用裂项相消法求和；选项B，通过试根分解多项式，判断实根个数后计算集合模
长；选项C，构造函数求导分析单调性与最值，确定方程根的个数，再通过函数关系推导两根之和
的范围；选项D，找到周期内最大和规律后计算不同 值下的模长差值.
【详解】选项A，
，A正确；
选项B，解方程得： ，二次方程 判别式 ，无实根，故集合 ，模 ，B错误；
C选项，设 ，求导得 ，
时， 递增； 时， 递减；
最大值 ，且 ，因此一个零点 ；
又 ，因此另一个零点 ，
则 ，C正确；
选项D，集合元素差为 或 ，均小于 ，因此可将 按每 个数分为一组，组间不产生符合
条件的差，只需每组取最大和即可，
时， 中，要使元素和最大，选 ，满足条件，最大和 ；
每组（第 组， ）的和为 ，因此 时总和：
，
，D错误.
2．（2026·安徽合肥·一模）设集合 ，满足下列性质的集合称为“TB集
合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则 的子集中有
___________个“TB集合”.
【答案】
【分析】化简集合 ，根据“ 集合”的定义分2个元素，3个元素，4个元素讨论求解.
【详解】解方程 ，解得 ，结合 ，
因此： ，集合 共9个元素.
（1）2个元素的“ 集合”：设为 ，
当 时， 可取5，6，7，8，9，共5个；
当 时， 可取6，7，8，9，共4个；
当 时， 可取7，8，9，共3个；
当 时， 可取8，9，共2个；当 时， 可取9，共1个；当 时，无满足条件的 .
则2个元素的“ 集合”总数： .
（2）3个元素的“ 集合”：要选出3个元素，需满足任意两个元素至少相差4.
最小的3个满足条件的元素为1，5，9，则3个元素的“TB集合”仅1个：1，5，9.
（3）若尝试选出4个元素，最小的4个满足条件的数为1，5，9，13，而13超出集合A的范围，
因此不存在4个及以上元素的“TB集合”.
综上，“ 集合”总数 个元素的数量 个元素的数量： .
3．（2026·北京延庆·一模）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记 ．
①已知 ， ，且 ，则 ；
②已知 ， ，则存在实数a，使得 ；
③已知 ，若 ，则对任意 ，都有 ；
④已知 是等比数列 的前n项和， ，则存在等比数列 ，使得
．
其中所有不正确的命题是______．
【答案】①②③
【分析】直接计算即可判断①；分类讨论判断②；举反例判断③；举例证明④.
【详解】①：因 ，则 ； ，则 ，解得： 或 ，
①错误；②：当区间关于 对称，即 时， ，此时 ， .
当 时， 会增大，因此 的最小值为1，不存在 使得 ，命题②错误
③，由题意知 ， ，但 是满足 的点集，它可以是 的子集，不一定是
整个区间。例如 时， ，对于 满足题设，此时 时不满足 ，③错误；④，取等比数列 ， ，则 ，
， ，即 ，④正确。
4．（2026·北京密云·一模）已知集合 .对于
，定义 与 的差为 ， ；
定义 与 之间的距离为 .
(1)若 ，写出所有的 ，使得 ；
(2)已知 ，若 ，并且 ，求 的最大值；
(3)证明： 三个数中至少有一个是偶数.
【答案】(1)
(2)
(3)证明过程见解析
【分析】（1）根据距离的定义，找出满足 的 即可；
（2）先根据 ，分析 元素所满足的条件，再求 的最大值；
（3）首先讨论三个差 的和的奇偶性，再利用反证法，结论得证.
【详解】（1） ，说明 与 只有 个位置元素不同， 全为 ，因此 恰有1个位置为
0，其余为 ，则所有满足条件的 为： ；
（2）已知 ， ，
， ，
即 和 中恰好各有 个分量为 （其余为 ）
设 的 的位置集合为 ， 的0的位置集合为 ,则 ，
则 ，而 的最小值为 ，
因此 的最大值为
（3）证明：对任意位置 ，讨论三个差 的和的奇偶性：
若 全相同：三个差都为 ，和为偶数；
若两个相同一个不同：不妨设 ，则三个差为 ，和为 ，仍是偶数；
所有位置求和得： 是偶数；
若三个数全为奇数，总和为奇数，与上述结论矛盾，因此三个数中至少有一个是偶数，得证.
5．（2026·湖北襄阳·一模）集合 ，
，对T中的两个不同元素 和
，若存在一个函数f： 满足：
① ，
② ，
③ ，则称：X与Y是T中的一对“友好元素”．
(1)当 时，若 ，写出X对应的一个“友好元素”；
(2)若 和 是T中的一对“友好元素”，且满足
，规定：随机变量 服从分布 ，当 时，试写
出 的分布列及其对应的一对“友好元素”X与Y；
(3)当 时，若 且满足 ，证明：若存在B使得A
与B是T中的一对“友好元素”，则A中有且仅有 个0．
【答案】(1)
(2)分布列见解析， ，
(3)证明见解析
【分析】（1）当 时，由题意，写出 满足的条件，写出函数值，即可得答
案.
（2）取 ， ，写出函数值，完成分别列，求出期望即可.
（3）根据所给定义，不妨令 ，讨论A中有 个0、 个0和小于等于 个0三种情
况，求出B，分析讨论，综合即可得证.
【详解】（1）当 时，由 ，需构造 满足
① ，
②
③ ，
设 ， ， ， ， ，则 满足①②③，此时 ；故 满足题意．
（2）取 ， 满足 且满足
， ， ， ， ， ，
的分布列为
0 2 4 6
p 0
，所以 ，
（其他合理答案，同样给分，如： ， 等）．
（3）当 时，若 且满足 ，不妨令
①由于 ，所以 ， ，…， 不可能都是0．
②若A中有 个0，不妨设 ， ，则 ，此时 ，
根据题意 ，则 ， ，
但是当 时与 矛盾，所以不成立；
当 时， ，
与 矛盾．
所以A中不可能有 个0．
③若A中有 个0，不妨设 ， ，则 ，其中 ，
则存在函数f使得：
， ， ， ， ， ，即存在 使得A与B是T中的友好元素．
④若A中0的个数小于等于 个，不妨设 ，
其中 ， ， ， ， ，…， ，则 ．
假设存在B，则有两种可能：
第一种： ，其中若 ， ，
则 ；若 ， ，则 ，此时，
，
不符合题意；
第二种： ，则
．
即这两种情况都有 ，矛盾．
综上可知，当 时，若存在序列B使得A与B为一对“友好元素”，则A中有 个0．
考点4 命题的否定、充分必要条件
1．（2026·山东德州·一模）命题“ ”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】易知命题“ ”的否定为 .
2．（2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（ ）
A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形
C．存在菱形不是矩形 D．存在是菱形的矩形【答案】B
【分析】由全称命题的否定，即否定条件，否定结论即可求解.
【详解】原命题可以写作：全部的菱形，都不是矩形，是全称命题，所以该命题的否定是存在量词
命题，即：存在一个菱形，它是矩形.
3．（2026·陕西铜川·一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（ ）
A．
B．
C．任何实数都有算术平方根
D．任意两个无理数之和仍为无理数
【答案】A
【分析】对于A，含有全称量词，再根据指数函数的值域即可判断；对于B，不含有全称量词，故
可判断；对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断；对于D，含有全称量词，举例说
明即可判断.
【详解】对于A，含有全称量词，而 ，所以 ，故A正确；
对于B，不含有全称量词，故B错误；
对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断，故C错误；
对于D，含有全称量词， 是无理数，而 ，而 是有理数，故D错误.
故选：A
4．（2026·安徽淮南·一模）已知直线 ， ，则“ ”
是" ”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】两直线垂直的充要条件结合充分必要条件定义即可得解.
【详解】若“ ”，则 ，所以“ ”是“ ”的充分必要条
件.
故选：A.5．（2026·江苏南通·一模）“ ”是“ 成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用推出关系来判断即可.
【详解】当 时，如 ，此时 不能成等比数列，故充分性不成立，
当 成等比数列，可以推出 ，故必要性成立，所以“ ”是“ 成等比数列”
的必要不充分条件，
故选：B.
6．（2026·江西南昌·一模）已知圆 ， ：点 在圆 外， ：直线 与
圆 有两个公共点，则 是 的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】利用点与圆，直线与圆的位置关系的判断方法，结合充要条件的定义判断即得.
【详解】由点 在圆 ： 外，可得 ，此时，圆心 到直线
的距离为 ，即直线 与圆 相交，故充分性成立；由直线
与圆 有两个公共点，可得圆心 到直线 的距离为
，
则有 ，即点 在圆 ： 外，故必要性成立.故 是 的充分必要条件.
7．（2026·北京延庆·一模）设等差数列 的公差为 ，其前n项和为 ，则“ ”是
“ 存在最小值”的（ ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】化简得到 ，分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】 为等差数列，则 ，对应的二次函数为
，故当 时，函数有最小值，对应的数列 有最小值，当数列 有
最小值时，则二次函数开口向上，所以 ，故是充分必要条件．
8．（2026·辽宁抚顺·一模）已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，若 ，
则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若 ， ，则 ，又n⊥ ，所以 ；反之，若 ， ，则 ，
又 ，所以 ，则“ ”是“ ”的充要条件.
9．（2025·四川成都·一模）已知 为非零向量，则“存在实数 ，使 ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可.
【详解】若存在实数 ，使 ，则 共线；若 ，则 同向；
所以“存在实数 ，使 ”是“ ”的必要不充分条件.10．（2026·湖北黄石·一模）已知平面 ，两条不重合的直线 ，则“存在直线 ，使
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】如果 ，此时也能找到 且 ，但 并不平行于 ，而是在 内，所以充分性
不成立；根据线面平行的性质定理：如果直线 平行于平面 ，那么过 作一个平面与 相交，交
线 就满足 ，且 ，所以必要性成立.即“存在直线 ，使 ”是“ ”的必
要不充分条件.
11．（2026·河北邯郸·一模）“曲线 在 处的切线的倾斜角为 ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由 ，得 ．由曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，
可得 ，解得 或 ．故“曲线 在 处的切线的倾斜角为 ”是“
”的必要不充分条件．
12．（2026·贵州贵阳·一模）设a， ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过指数幂比大小和充分条件、必要条件求解.
【详解】若 ，则有 ，当 时，则 ；当 时，则 ，故 ，因此由 可推出 ，若 ，不一定推出 ，如 ， ，所以 是
的充分不必要条件.
13．（2026·浙江·一模）对实数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】应用不等式性质结合充分必要条件的定义求解即可.
【详解】对实数 ，当 时， ，则 ，当 时， ，则
，
则“ ”是“ ”的充要条件.故选：C.
14．（2026·广东佛山·一模）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设甲：
为等腰三角形，乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【详解】因为 ， ，所以 ，所以 为等腰三角形，所以 为等
腰三角形是 的必要条件；由 为等腰三角形，可得 或 或 ，
所以 为等腰三角形是 的不充分条件；所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.
15．（2026·安徽合肥·一模）已知空间中三条直线 与平面 分别交于不同的三点 ，则
“ 三点共线”是“直线 共面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分
也不必要条件
【答案】B【分析】举反例可说明充分性不成立，利用两平面有公共点，则公共点在两平面的交线上可说明必
要性成立.
【详解】如图所示，空间中三条直线 与平面 分别交于不同的三点 ，且 三点共
线，但直线 不共面，所以“ 三点共线”是“直线 共面”的不充分条件；
若直线 共面，设其为 ，则 均在平面 内，也在平面 内，则 在平面 与 的
交线上，所以 三点共线，所以“ 三点共线”是“直线 共面”的必要条件；所以
“ 三点共线”是“直线 共面”的必要不充分条件.
故选：B.
16．（2026·内蒙古包头·一模）若 ， 为非零向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．充要条件
【答案】A
【分析】由向量共线用 表示出 ，应用向量数量积的运算律得 ，结合充分、
必要性的定义判断推出关系，即可得.
【详解】由 ， 为非零向量且 知，存在实数 ，使 ，则 ，
，当 时， ，故充分性不成立，由 ，
则 ，故 ，所以 ，
即 ，故 ，所以 同向共线，必要性成立，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
17．（2026·北京平谷·一模）若 ，则“ ”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】对 移项通分： ，
若 ，则 ，因此 ，即 一定成立，充分性成立；
若 ，不一定能推出 ，举例：取 ，满足 ，但不满足
，因此必要性不成立；
综上，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
18．（2026·江苏·一模）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质化简不等式，即可根据真子集的关系判断.
【详解】由 可得 ，解得 或 ，
由于 是 或 的真子集，故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
19．（2026·山东菏泽·一模）已知 ， ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】取 ， ，则 ，但 ， ，此时 ， ，
，
所以 不是 的充分条件，取 ， ，则 ， ，
故 ，但 ，所以 不是 的必要条件，所以 是 的既不充分也不必要条件
20．（2026·山西运城·一模）已知直线 ，圆 ，则“
”是“直线 与圆 相交”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由 ，得 ，
因为方程表示圆，所以 ，解得 .
所以圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
若直线 与圆 相交可得 ，则可得 ，解得 .
所以“ ”是“直线 与圆 相交”的充分不必要条件.
21．（2026·甘肃·一模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若 ，则 ，则充分性成立；
若 ，则满足 ，但不满足 ，故必要性不成立，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
22．（2026·山东滨州·一模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B
【详解】若 ，则 ，又 ，所以 或 ，则 ，
所以当 时，“ ”推不出“ ”；
若 ， ，则 ，可得 ，则 ，
所以当 时，“ ”可以推出 .
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
23．（2026·河北张家口·一模）已知l是一条直线， ， 为两个不同平面，若 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因l是一条直线， ， 为两个不同平面， ，
当 时，可过直线 作平面 与平面 交于直线 ，根据线面平行的性质定理可得 ，
又 ，所以 ，又 ，所以 ，故充分性成立；
当 时，当 且 时符合，但推不出 ，故必要性不成立.
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
24．（2026·山东聊城·一模）“ ”是“圆 上恰有一点到坐标原点的距
离为2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分
也不必要条件
【答案】A【分析】依题意，圆 与圆 相切，求出 的值即可判断结论.
【详解】圆 ，圆心为 ，半径 ，
到坐标原点的距离为2的点的轨迹是圆 ，圆心 ，半径 ，
圆 上恰有一点到坐标原点的距离为2，则圆 与圆 相切，
有 ，或 ，
当 时，化简得 ，解得 或 ；
当 时，化简得 ，方程无解，
则圆 上恰有一点到坐标原点的距离为2，有 或 ，
所以“ ”是“圆 上恰有一点到坐标原点的距离为2”的充分不必要条
件.
25．（2026·北京密云·一模）已知函数 ，则“ ”是“ 在
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当 时， ，令 ，当 时，可得 ，
由正弦函数的性质，可得 在 为单调递增函数，所以当 时，函数 在区间
上单调递增，即充分性成立；反之：当 时，可得 ，又由正弦函数 的单调递增区间为 ，要使得函数 在区间 上
单调递增，则满足 ，即 ，且 ，解得 ，所以必要性
不成立，综上可得：“ ”是“ 在 上单调递增”的充分不必要条件.
26．（2026·天津河东·一模）已知函数 （ ），将函数 的图象向右
平移 个单位长度后得到函数 的图象，下列选项中，p是q的充分不必要条件的为（ ）
A．p：函数 的最小正周期为 ，q：
B．p： ， ，q：函数
C．p： ， ，q：函数 的值域为
D．p： ， ，q： 是函数 的一个对称中心
【答案】D
【分析】由题设结合充分与必要条件定义可得答案.
【详解】A，当 的最小正周期为 ，又 ，则 ，
从而 ；又 时，可得 的最小正周期为 ，则 .
从而 是 的充要条件，故A错误；
B，当 ， 时， ，
则由 不能得到 ，从而 不是 的充分条件，故B错误；C，当 ， 时， ， ，
因 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ， ，
从而此时 值域为 ，则由 不能得到 ，从而 不是 的充分条件，故C错误；
D，当 ， 时，由B分析可得 ，
令 ，得 ，从而 的对称中心为 ，
取 ，得 ，则 ；
由题 ，
若其对称中心为 ，则 ，取 ，易得 不是方程
的唯一解（例如 也是该方程的一组解），
则 不能得到 ，从而 是 的充分不必要条件，故D正确.
27．（2026·湖南常德·一模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】借助对数函数与指数函数的图象与性质以及不等式性质，然后根据充分条件、必要条件判
断即可.
【详解】令 ，因为 ，所以 ，且 ，
充分性：当 时，画出函数 的图象，如图所示：
由图可知： ，此时 ，所以 ，故充分性成立；
必要性：若 ，由 可得： ，此时 不满足题意，
若 ，由函数 在 上单调递增，则 ，由 ，则 ，又函
数 在 上单调递增，所以 ，即 ，
当 时， 由 ，如图所示：
由图可知 ，此时 ，则 ，不满足题意，
当 时，由图可知 ，此时 ，满足题意，所以必要性成立，
所以当 时， “ ”是“ ”的充要条件，
故选：A.
