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考点培优练01 集合与常用逻辑用语7 大考点
考点01 集合的含义与表示.................................................................................2
考点02 集合间的基本关系.................................................................................3
考点03 集合间的基本运算.................................................................................4
考点04 集合中的求参问题.................................................................................4
考点05 充分条件与必要条件.............................................................................5
考点06 充分条件与必要条件中的求参问题.....................................................6
考点07 全称量词与存在量词.............................................................................6
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考点01 集合的含义与表示
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在
这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为
“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
1．已知集合
，则
的非空真子集个数为（ ）
A．6
B．7
C．14
D．15
2．定义集合运算：
.若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知集合
关于
的方程
有唯一解，用列举法表示
．
4．设A 是实数集的非空子集， 称集合
且
为集合A 的生成集. 当A={1,3,5}时，
写出集合A 的生成集B 为 ；记集合M 中元素个数为 card(M)，若A 是由5 个正实数构成的集
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合，则card(B)的最小值为 .
考点02 集合间的基本关系
1．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
记法
集合
间的
基本
关系
子集
集合A 中任意一个元素都是集合B 中的
元素
A ⊆
B 或B ⊇
A
真子集
集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少
有一个元素不属于A
A B 或B A
相等
集合A 的每一个元素都是集合B 的元
素，集合B 的每一个元素也都是集合A
的元素
A ⊆
B 且
B ⊆
A ⇔A＝B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅B 且B≠∅
2．判断集合间关系的常用方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集
合之间的关系
结构法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进
行判断
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集
合之间的关系
5．已知集合
，则集合
的子集个数是（ ）
A．3
B．4
C．8
D．无数个
6．若全集为
，集合
，
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，
，若集合
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．1 或-1
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8．所有满足
的集合
的个数是 .
考点03 集合间的基本运算
1．集合的三种基本运算
符号表示
图形表示
符号语言
集合的并集
A∪B
A∪B＝{ x | x ∈
A ，或
x ∈
B }
集合的交集
A∩B
A∩B＝{ x | x ∈
A ，且
x ∈
B }
集合的补集
若全集为U，则集合
A 的补集为∁UA
∁UA＝{ x | x ∈
U ，且
x ∉ A }
2.集合的三种基本运算的常见性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∪A＝A，A∪∅＝A.
(2)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
9．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点04 集合中的求参问题
注意空集的检验
12．已知集合
，
且
.
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(1)若“
”是“
”的必要条件，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围.
13．已知不等式
的解集为
，集合
，
，
(1)求集合
；
(2)解关于
的不等式
14．已知集合
，
，其中
．
(1)若
，求
；
(2)若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
15．已知集合
，集合
.
(1)若
，求
及
；
(2)若“
”是“
”的充分条件，求实数
的取值范围.
16．已知集合
，
．
(1)若
，求
；
(2)若存在正实数m，使得“
”是“
”成立的充分不必要条件，求正实数m 的取值范围．
考点05 充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p,则q”是真命题
"若p,则q"是假命题
推出关系及
符号表示
由p 通过推理可得出
q，记作：p⇒q
由条件p 不能推出结论
q，记作：
条件关系
p 是q 的充分条件
q 是p 的必要条件
p 不是q 的充分条件
q 不是p 的必要条件
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一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此
时p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p⇔q，那么p 与q 互为充要条件．
17．已知
成立，
函数
是减函数， 则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
18．“
”是“函数
在
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
19．设等比数列
的各项均为正数，其
前项和为
，则“
”是“数列
是递增数列”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
20．“
”是“点
在圆
外部”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点06 充分条件与必要条件中的求参问题
设与命题p 对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q 对应的集合为B={x|q(x)}，
若A
B，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；
若A=B，则p 是q 的充要条件.
21．已知
，
，若
是
的充分条件，则实数
的取值范围是（ ）
A．
；
B．
C．
D．
22．已知集合
，
，则
的必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
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23．命题“存在
，使得
”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
24．设
，且
是
成立的充分不必要条件，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
25．当
时，关于x 的不等式
有解的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点07 全称量词与存在量词
1．全称量词与全称量词命题
全称量词
所有的、任意一个、 一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词
命题
含有全称量词的命题
形式
“对M 中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记
为“∀ x ∈ M
，
p ( x ) ”
2.存在量词与存在量词命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词
命题
含有存在
量词
的命题
形式
“存在M 中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为
“∃ x ∈ M
，
p ( x ) ”
26．命题
，
的否定是（ ）
A．
，
B．
，
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C．
，
D．
，
27．已知命题：
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（多选）以下四个命题中，是真命题的是（ ）
A．
B．“
”是“
”的必要不充分条件
C．若命题
：
，
，则
的否定为：
，
D．若
，则
29．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．命题：
，
的否定是：
，
.
B．一元二次不等式
对一切实数
都成立，则实数
的取值范围是
C．
是
的必要而不充分条件.
D．
是关于x 的方程
有一正一负根的充要条件.
