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专题 01 集合，常用逻辑用语与不等式
5大考点概览
考点01集合间的基本关系
考点02集合的基本运算
考点03常用逻辑用语
考点04一元二次不等式
考点05基本不等式
考点1 集合间的基本关系
1．（2026·湖南永州·一模）设集合 ，且 ，则实数
的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用列举法表示集合 ，根据 ，求得实数 的取值集合.
【详解】由题意得 ．
当 时， ；
当 时， ，由 ，可得 或 ．
综上所述，实数 的取值集合为 ．
故选：D.
2．（2026·湖南永州·一模）设集合 ， ，且 ，则实
数 的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的包含关系求参数.【详解】由题意得 .
当 时， ， ；
当 时， ，由 ，可得 或 .
综上所述，实数 的取值集合为 .
故选：D
3．（2026·湖南怀化·一模）全集 ，且 ，则满足条件的集合 的个数为
（ ）
A．8 B．7 C．4 D．2
【答案】A
【详解】因为全集 ，且 ，
所以 可能为 ，共 个
即集合 的个数为 .
考点2 集合的基本运算
1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数单调性解对数不等式可得集合B，进而可求并集.
【详解】令 ，则 ，解得 ，即集合 ，
且集合 ，所以 ．2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用集合补集的定义与运算，即可求解.
【详解】由全集 ，集合 ，
根据集合补集的定义与运算，可得 .
3．（2026·湖南·模拟预测）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ．
4．（2026·湖北·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A表示函数 定义域，B表示函数 值域，据此可化简集合A，B，然后由交集
定义可得答案.
【详解】A表示函数 定义域，则 ；
B表示函数 值域，则 .从而 .
故选：D
5．（2026·湖南岳阳·一模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】化简集合B，根据交集的概念求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，即 ，
故选：B.
考点3 常用逻辑用语
1．（2026·湖南·模拟预测）“ ”是“ 为第二象限角”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由正弦函数在各个象限的符号结合充分条件、必要条件的概念即可判断.
【详解】若 ，则 为第一象限、第二象限角或终边在 轴正半轴上；
若 为第二象限角，则 ，
所以“ ”是“ 为第二象限角”的必要不充分条件．
2．（2026·湖南常德·一模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】借助对数函数与指数函数的图象与性质以及不等式性质，然后根据充分条件、必要条件判
断即可.
【详解】令 ，因为 ，
所以 ，且 ，
充分性：当 时，画出函数 的图象，如图所示：由图可知： ，此时 ，
所以 ，故充分性成立；
必要性：若 ，由 可得： ，
此时 不满足题意，
若 ，由函数 在 上单调递增，
则 ，由 ，
则 ，又函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
当 时， 由 ，如图所示：
由图可知 ，此时 ，
则 ，不满足题意，
当 时，由图可知 ，
此时 ，满足题意，所以必要性成立，所以当 时， “ ”是“ ”的充要条件，
故选：A.
3．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，则“ 是奇
函数”是“ 是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性的定义，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】当 是奇函数时，
因为 ，
所以 是偶函数.
当 是偶函数时，
，而 ，
所以 ，
当 是偶函数时，显然 成立，
所以 是偶函数成立，不一定能推出 是奇函数，
所以“ 是奇函数”是“ 是偶函数”的充分不必要条件，
故选：A
4．（2026·湖南永州·一模）已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，且，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据线线、线面和面面的基本关系即可下结论.
【详解】如图， ，
若 ，则 与 相交或异面，不一定垂直；
若 ，则 不一定成立.
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D
5．（2026·湖南邵阳·一模）设甲：数列 满足 ，乙：数列 是等差数
列，则甲是乙的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义分析判断即可.
【详解】若 成立，则 ，符合等差数列的定义，
所以能够推出数列 是等差数列，故充分性成立.
若数列 是等差数列,设其公差为 ，则 , .
.所以 ,
所以 .即必要性成立.
所以甲是乙的充分必要条件.
故选：A.
考点4 一元二次不等式
1．（2026·湖南邵阳·一模）已知集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合 ，根据对数函数定义域求出集合 ，再根据并集的
概念求解即可.
【详解】 ， ，
所以 ，即 .
2．（2026·湖南常德·一模）已知实数 ，若对任意的 ， 恒成立，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件得出 关系，然后再利用导数即可求解.
【详解】由题意可知 整理得 ，
又因为 ，所以 要想最大，则有 ，并且 ，即 ，所以 ，设函数 ，令 ，解得 或 （舍去）.
当 时， ， 当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 的最大值为 .
故选：B
3．（2026·湖南永州·一模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合 ，再根据交集运算求解.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：C.
4．（2026·湖南常德·一模）已知集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合 中不等式的解集，然后根据交集、并集的定义计算即可.
【详解】因为集合 .所以 .
故选：C.
5．（2026·湖南邵阳·一模）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先解不等式求得集合 ，再由交集的定义即可求得答案.
【详解】由 可得 ，即得 ，
又 ，则 .
故选：D.
6．（2026·湖南湘潭·一模）设不等式 的解集为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合一元二次不等式的解法、元素与集合的关系求解即可.
【详解】由 ，
得 ， ， ， ．
故选：A.
考点5 基本不等式
1．（2026·湖南邵阳·一模）已知 是 内的一点，且 ， .若 ，
和 的面积分别为1， ， ，则 的最小值是（ ）
A． B．9 C．15 D．20【答案】C
【分析】根据向量数量积的定义，三角形的面积公式求得 的面积，依题意求出 的值，
利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】因 ，则 ，
则 ，于是 ，
， 和 的面积分别为1， ， ，
， ， ，
，
当且仅当 时，即 ，等号成立，
的最小值是 .
2．（2026·湖南·模拟预测）若 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．12 B．16 C． D．
【答案】C
【分析】由基本不等式结合一元二次不等式求解即可解题.
【详解】因为 ， ，所以 ，
令 ，所以 ，解得 （舍去）或 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ．3．（2026·湖南永州·一模）若实数 ，且满足 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】构造函数 利用其单调性结合条件等式得出 结合基本不等式计算即
可.
【详解】由题意实数 ，满足 ，
，
而函数 在R上单调递增，
所以 ，
当且仅当 时等号成立．
故选：B
4．（2026·湖南邵阳·一模）已知随机变量 ，正实数 满足
，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】先利用正态分布的对称性求 的关系，进而利用基本不等式求最小值.
【详解】由 ，得正态曲线关于 对称.
因为 ，
所以 ，得 .又 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故 的最小值为6.
故选：D
5．（2026·湖南湘潭·一模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ，
且 ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ．因为 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
则 的面积 ，
则 面积的最大值为 ．
故选：A.
6．（2026·湖南永州·一模）若实数 ， ，且满足 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．1【答案】B
【分析】根据条件，构造函数 ，利用单调性可得 ，即可利用基本不等式求
最值.
【详解】由题意，实数 ， ，满足 ，
，
而函数 在 上单调递增，且 ，
， ，
当且仅当 时，即 时等号成立.
故选：B
