文档文本内容
第二章 函数与基本初等函数（高效培优综合训练）（全国通
用）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．下列各组函数中，
，
是同一函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】函数是同一函数的条件为：定义域相同，对应关系一致，由此逐项判断，即可得出结果.
【详解】解：对于A 选项，
的定义域为
，
的定义域为
，故不满足；
对于B 选项，
的定义域为
，
的定义域为
，故不满足；
对于C 选项，
的定义域为
，
的定义域为
，故不满足；
对于D 选项，
，
的定义域均为
，对应关系均为
，故是同一函数.
故选：D
2．设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
，结合指数函数单调性得到
，又
，得到结论.
【详解】
，
，
，
，故
，所以
，
，所以
.
故选：D
3．已知函数
是奇函数，则实数a 的值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义及对数运算即可求解．
【详解】函数的定义域为
，
因为
是奇函数，
所以
恒成立，
所以
，
故选：A．
4．设函数
在区间
上单调递减，则
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】利用复合函数和对数函数的性质转化为二次函数单调性的问题，建立不等式组求解取值范围，再
求最值即可.
【详解】令
，
，
则
可视为由
和
构成的复合函数，
由对数函数性质得
在区间
上单调递增，
因为
在区间
上单调递减，
所以由复合函数性质得
在区间
上单调递减，
由二次函数性质得
的对称轴为直线
，
显然
开口向上，故
，解得
，
则
的最大值为4，故C 正确.
故选：C
5．函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性，排除C，再由当
时，
排除A，B，即可求解.
【详解】由题意，函数
的定义域为
，关于原点对称，
且
所以函数
是奇函数，其图象关于原点中心
对称，排除C；
又由当
时，
排除A，B;
故选：D．
6．在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等
是在地球上看到的星体亮度等
级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M 是假设把恒星放在距离地球10 秒差距（10 秒差距≈32.6 光年）时
的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等
和绝对星等M 满足
，其中
是与地
球的距离，单位为秒差距.若恒星A 距离地球约32.6 光年，恒星B 距离地球约326 光年，恒星A，B 的视星
等满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意得到
，
，相减即可求解；
【详解】由题意
，
，
两式相减可得：
，
又
，
所以
，
所以
，
故选：C
7．已知函数
，若
在
上有2 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数零点的定义先确定当
时，
有1 个零点
，进而得到当
时，
只有一个零点，进而转化问题为方程
在
时有一个解，再结合指数函数的性质求
解即可.
【详解】当
时，
有1 个零点
，
则当
时，
只有一个零点，
即方程
在
时有一个解，
即方程
在
时有一个解，
因为函数
为增函数，
且当
时，
，
则
，即
.
故选：B.
8．已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
．若
的图象与曲
线
，且
恰有10 个交点，则实数
（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【分析】由已知可得
，可得函数是以2 为周期的周期函数，由题意可得
时的解析
式，进而作出两函数的图象，数形结合可得答案.
【详解】因为
，所以
，
从而可得
，所以函数是以2 为周期的周期函数，
当
时，
，可得
；
当
时，
，由
，可得
，
所以
，从而可得
，
所以，在
上有：
，
又
，且
的定义域为
，
当
时，作出两函数的图象，如图，
由图可知，两函数的图象只有1 个交点，不符合题意.
当
时，作出两函数的图象，如图，
结合函数
的周期性可知，两函数的图象在
上没有交点；在
，
，
，
上均有2 个
交点；在
上有1 个交点，
要使
的图象与曲线
，且
恰有10 个交点，由图可知，只需
，解得
.
故选：C.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知定义在
上的函数
满足
，且
为偶函数，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数
的周期为2
B．函数
的图象关于
对称
C．函数
的图象关于
对称
D．函数
为奇函数
【答案】BC
【分析】根据题意，综合利用周期性、对称性、奇偶性，逐一对选项进行分析判断.
【详解】选项A，
，即函数
的周
期为4，所以选项A 错误；
选项B，因为
是偶函数，则有
，即函数
的图象关于
对称，所以选
项B 正确；
选项C，因为
，则
，所以函数
的图象关于
对称，
所以选项C 正确；
选项D，因为
，则
，所以函数
为偶函数，所以选项D 错误.
故选：BC.
10．已知函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
【答案】ACD
【分析】A 选项，利用函数奇偶性的定义判断，B 选项，特值代入说明不成立，C 和D 选项，利用复合函数
的单调性判断.
【详解】要使得函数
有意义，则
，解得
且
，所以
的定义域关于原点对称，
且
，从而
是奇函数，A 正确；
，B 错误；
当
时，
，
在
上单调递减，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，C 正确；
当
时，
，
在
上单调递增，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，D 正确.
故选：ACD
11．已知定义域为
的函数
满足
，都有
，且
时，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
的解集为
D．
【答案】ACD
【分析】赋值可确定A，令
可得
知函数
关于
对称，不是偶函数，通过
变换
，可证明函数单调性，再利用函数的单调性解不等式，由
可求D.
【详解】对A，令
，
，故A 正确；
对B，令
，
，故函数
关于
对称，不是
偶函数，故B 错误；
对C，
，所以
，
即
，
，
，
，
时，
，故
，
所以
，即
在
上单调递增，
，所以
，解得
，故C 正确；
对D，
，
，故D 正确；
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．函数
的定义域为 .
【答案】
【分析】根据题意列出不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意
，即
，解得
且
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
13．已知函数
有最小值，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】需要分别分析函数在不同区间上的情况，通过比较确定
的取值范围.
【详解】分析
时函数的最小值：
对于函数
，将其进行配方可得
.
因为
，所以当
时，
取得最小值
，此时
在
这个区间内取得最小值
.
分析
时函数存在最小值的条件：
当
时，
.
因为函数
有最小值，且
时
最小值为
，所以当
时，
的最小值要大于等
于
.
又因为对数函数
在
上单调递增，所以
.
要使
存在最小值，则
，即
，解得
.
故答案为：
.
14．设
，函数
的最小值为－1，则
.
【答案】e
【分析】结合函数新定义，分
，
，
三种情况讨论即可求解.
【详解】①当
时，
，当x 趋于正无穷时，
与
均趋于负无穷，
无最小值，
不符合题意；
②当
时，
，
而
，当
时，
，
所以
的最小值为0，不符合题意；
③当
时，
，
的大致图象如图，设
的最小值为
.
令
，可得
，消去
得
，解得
（舍去）或
.
故答案为：e.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知函数
（
且
），
，
.
(1)求a，b 的值；
(2)若函数
，求
的值.
【答案】(1)
，
(2)2
【分析】（1）由对数的运算即可求解；
（2）由（1）得到
，进而得到
，累加求和即可；
【详解】（1）由题意得，
，
，所以
，
（2）由（1）知，
，
则
所以
，则
所以
，
故
.
16．（15 分）
已知幂函数
为奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)求函数
（
）的值域．
(3)求函数
在区间
上的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质列式运算判断；
（2）换元令
，转化为二次函数求值域；
（3）利用二次函数对称轴与定义域关系讨论求解.
【详解】（1）∵函数
为幂函数，
∴
，解得
或5，
当
时，
，
为奇函数，
当
时，
，
为偶函数，
因为函数
为奇函数，∴
.
（2）由（1）可知，
，则
，
，
令
，则
，
，
则
，
，
函数
的图像开口向下，对称轴为
，
∴当
时，函数
，当
，函数
取得最大值为1，
∴
的值域为
，
故函数
的值域为
.
（3）函数
，
当
，即
时，
在区间
上单调递增，最小值为
；
当
，即
时，
在区间
上先减后增，最小值为
；
当
，即
时，
在区间
上单调递减，最小值为
．
综上，当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
17．（15 分）
舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自
不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的
关注程度.对于舆论事件出现起的前
天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于
，则认为本
次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3 天的舆论
场指数整理成如下表格：
天数
1
2
3
舆论场指数
12
48
156
为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①
；②
；
③
其中含
的项的系数均不为0.
(1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）；
(2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4 天时的舆论场指数；
(3)若本次舆情不是严重的，求的最小值.
【答案】(1)③
(2)
(3)
【分析】（1）根据表格中数据以及指数爆炸模型可得结论；
（2）利用待定系数法求得函数解析式，即可做出预测；
（3）将问题转化为不等式恒成立再利用二次函数性质可求得结果.
【详解】（1）③；
根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③；
（2）将表格数据代入
，得
，
，
解得
，
故函数为
，
则第4 天时的舆论场指数为
.
（3）若本次舆情不是严重的，则
恒成立，
原式等于
，故两边同时除以
，得到
，
不妨设
，故原式等于
，整理得
，
由于
在
上单调递减，故只需要当
时，
成立即可，
代入得
，解得
，
故的最小值为
.
18．（17 分）
已知函数
（
，且
）．
(1)讨论
的奇偶性；
(2)若
，不等式
恒成立，求t 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用函数奇偶性定义，分类讨论即可；
（2）确定函数的单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可.
【详解】（1）函数
（
，且
）的定义域为R，且
当
时，
，即
恒成立，
所以
，即
，此时
，定义域为R，
，
所以
是R 上的奇函数；
当
时，
，即
恒成立，所以
，即
，
此时
，定义域为R，
，
所以
是R 上的偶函数；
当
且
时，
，此时
既不是奇函数也不是偶函数；
综上，当
时，
是R 上的偶函数；当
时，
是R 上的奇函数；
当
且
时，
既不是奇函数也不是偶函数；
（2）函数
中，由
，得
，而
，
所以
，则
，由（1）知
是R 上的奇函数；
因为函数
都是R 上的增函数，则
是R 上的增函数，
不等式
，
因此
，则
，
解
，得
或
；
解
，即
，得
.于是
，
所以t 的取值范围是
.
19．（17 分）
如果函数
满足以下两个条件，我们就称函数
为
型函数.
①对任意的
，有
；
②对于任意的
，若
，则
.
(1)是否存在指数函数是
型函数？若存在，请求出该指数函数的解析式；若不存在，请说明理由；
(2)判断
型函数
在
上的单调性并说明理由；
(3)求证：对于
型函数
，恒有
（
为正整数）.
【答案】(1)存在，
(2)增函数，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由指数函数的性质结合题目中函数新定义求解即可；
（2）由函数的单调性判断即可；
（3）对不等式进行放缩后由等比数列的求和公式求解；
【详解】（1）存在指数函数
是U 型函数；
对任意的
，有
；
对于任意的
，若
，
则
，
即
.
故函数
是
型函数.
（2）设
，且
，则
.
因此
，
可知
在
上为增函数.
（3）因为
，
所以
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
