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第一章集合、常用逻辑用语、不等式
§1.1 集 合
【考情分析·探规律】
考点
三年考情（2020-2024）
命题趋势
考点1 集合间
的基本关系
2023·全国新Ⅱ卷、2020 全国新Ⅰ卷
一般给两个集合，要求通
过解不等式求出集合，然
后通过集合的运算得出答
案。
考点2 交集
2024·全国新Ⅰ卷、2024 年全国甲卷、2023·北京卷、
2023 全国新Ⅰ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022 年全国乙
卷、2022 年全国甲卷、2022 全国新Ⅰ卷、2021 年全
国乙卷、2021 年全国甲卷、2021 年全国甲卷、2021
全国新Ⅰ卷
考点3 并集
2024·北京卷、2022·浙江卷、2021·北京卷、2020·山东
卷
考点4 补集
2024 年全国甲卷、2023 年全国乙卷、2023 年全国乙
卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2021 全国新Ⅱ
卷、2020 全国新Ⅰ卷
【知识梳理】
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N * 或
N ＋
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B
的子集.记作A ⊆B(或B ⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A 是集合B 的真子集，记作AB(或BA).
(3)相等：若A⊆B，且B ⊆
A ，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A
的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{ x | x ∈ A ，且
x ∈ B }
{x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A (
∪∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
【名师点拨】
1.若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1 个，非空子集有2n－1 个，非空真子集有2n－
2 个.
2.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
3.∁U(A∩B)＝(∁UA) (
∪∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
【随堂训练】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )
(3)若1 {
∈x2，x}，则x＝－1 或1.( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√
【解析】(1)错误.空集只有一个子集.
(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝【1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线
y＝x2＋1 上的点集.
(3)错误.当x＝1 时，不满足集合中元素的互异性.
2.(2025·榆林模拟)设集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|(x+1)(x-3)≥0}，则A∩(∁RB)等于( )
A.{-2，-1，0}
B.{-1，-2}
C.{0，1，2}
D.{1，2}
【答案】C
【解析】因为∁RB={x|(x+1)(x-3)<0}={x|-1<x<3}，
所以A∩(∁RB)={0，1，2}.
3.已知集合A={-1，0，1}，B={x|-1≤x≤1}，则( )
A.A=B
B.A∩B=∅
C.B⊆A
D.A
B
【答案】D
【解析】因为集合A={-1，0，1}，B={x|-1≤x≤1}，所以A 中元素都属于B，且A≠B，所以A 是B 的真子集.
4.已知集合M={x|-1<x<3}，N={x|x≥a，a∈R}，若M∩N=M，则实数a 的取值范围是 .
【答案】(-∞，-1]
【解析】因为M∩N=M，所以M⊆N，所以a≤-1.
【名师点拨】
1.掌握有限集子集个数的结论
若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有(2n-1)个，非空子集有(2n-1)个，非空真子集有(2n-2)个.
2.灵活应用两个常用性质
(1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
(2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
3.牢记两个注意点
(1)在应用条件A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B 时要树立分类讨论的思想，将集合A 是空集的情况优先进行讨论.
(2)在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.
【必练核心题型】
题型一 集合的含义与表示
例1.(多选)下列各组中M，P 表示不同集合的是( )
A.M={3，-1}，P={(3，-1)}
B.M={(3，1)}，P={(1，3)}
C.M={y|y=x2+1，x∈R}，P={x|x=t2+1，t∈R}
D.M={y|y=x2-1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2-1，x∈R}
【答案】ABD
【解析】选项A 中，M={3，-1}是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故M≠P；
选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C 中，M={y|y=x2+1，x∈R}=[1，+∞)，P={x|x=t2+1，t∈R}=[1，+∞)，故M=P；
选项D 中，M 是二次函数y=x2-1，x∈R 的所有y 组成的集合，而集合P 是二次函数y=x2-1，x∈R 图象上所有点
组成的集合，故M≠P.
例2.已知集合M={1，a+3，a2+2}，且6∈M，则a 的值为 .
【答案】2 或3
【解析】由M={1，a+3，a2+2}，且6∈M，
得a+3=6 或a2+2=6，
解得a=3 或a=±2，
当a=3 时，M={1，6，11}，符合题意；
当a=2 时，M={1，5，6}，符合题意；
当a=-2 时，M={1，1，6}，不符合元素的互异性，舍去.
所以a 的值为2 或3.
【解题技巧】解决集合含义问题的关键点
(1)确定集合中的代表元素.
(2)确定元素的限制条件.
(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相
矛盾.
【变式训练】
变式1.(2025·遵义模拟)已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，若集合C={xy|x∈A，y∈B}，则C 的元素之
和为( )
A.9
B.12
C.16
D.18
【答案】C
【解析】因为0×1=0×2=0×3=0，1×1=1，1×2=2×1=2，1×3=3，2×2=4，2×3=6，
所以集合C={0，1，2，3，4，6}，集合C 的元素之和为0+1+2+3+4+6=16.
变式2.已知m∈R，n∈R，若集合{m，n
m ，1}={m2，m+n，0}，则m2 025+n2 025的值为( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【答案】B
【解析】因为{m，n
m ，1}={m2，m+n，0}，m≠0，
所以{
n
m =0，
m=m+n，
m
2=1，
解得{
n=0，
m=1 或{
n=0，
m=−1，
当m=1 时，不满足集合元素的互异性，
故m=-1，n=0，m2 025+n2 025=(-1)2 025+02 025=-1.
题型二 集合间的基本关系
例1.(2025·青岛模拟)已知全集U=R，集合A，B 满足A⊆(A∩B)，则下列关系一定正确的是( )
A.A=B
B.B⊆A
C.A∩(∁UB)=∅
D.(∁UA)∩B=∅
【答案】C
【解析】因为集合A，B 满足A⊆(A∩B)，故可得A⊆B，
对A，当A 为B 的真子集时，不成立；
对B，当A 为B 的真子集时，也不成立；
对C，A∩(∁UB)=∅，恒成立；
对D，当A 为B 的真子集时，不成立.
例2.(2025·扬州模拟)已知集合A={x|x
2−3 x ≤10}，B={x|m+1≤x ≤2m−1}.若A∪B=A，则实数m 的取值范
围为( )
A.[3，+∞)
B.[2，3]
C.(-∞，3]
D.[2，+∞)
【答案】C
【解析】由题意，集合A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}，
∵A∪B=A，
∴B⊆A.
①若B=∅，则m+1>2m-1，即m<2；
②若B≠∅，则{
m+1≤2m−1，
−2≤m+1，
2m−1≤5，
解得2≤m≤3.
综上所述，m≤3.
【解题技巧】
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的
关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.
【变式训练】
变式1.(多选)已知I 为全集，若A∪B=A，则( )
A.A⊆B
B.B⊆A
C.∁IA⊆∁IB
D.∁IB⊆∁IA
【答案】BC
【解析】因为A∪B=A，所以B⊆A，所以∁IA⊆∁IB.
变式2.(2025·洛阳模拟)已知全集为R，集合A={x|2<x<6}，B={x|a-4≤x≤a+4}，且A⊆∁RB，则实数a 的取值范
围是 .
【答案】{a|a≤-2 或a≥10}
【解析】由题可知B≠∅，
∁RB={x|x<a-4 或x>a+4}，
因为A⊆∁RB，所以6≤a-4 或2≥a+4，
解得a≥10 或a≤-2，
所以实数a 的取值范围是{a|a≤-2 或a≥10}.
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例1.(2024·新课标全国Ⅰ)已知集合A={x|-5<x3<5}，B={-3，-1，0，2，3}，则A∩B 等于( )
A.{-1，0}
B.{2，3}
C.{-3，-1，0}
D.{-1，0，2}
【答案】A
【解析】因为A={x|-3√5<x<3√5}，
B={-3，-1，0，2，3}，
且1<3√5<2，-2<-3√5<-1，
所以A∩B={-1，0}.
例2.(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于(
)
A.{x|x=3k，k∈Z}
B.{x|x=3k-1，k∈Z}
C.{x|x=3k-2，k∈Z}
D.∅
【答案】A
【解析】方法一 M={…，-2，1，4，7，10，…}，N={…，-1，2，5，8，11，…}，
所以M∪N={…，-2，-1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，
所以∁U(M∪N)={…，-3，0，3，6，9，…}，其元素都是3 的倍数，
即∁U(M∪N)={x|x=3k，k∈Z}.
方法二 集合M∪N 表示被3 除余1 或2 的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3 整除的整数集.
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例1.(2024·佛山模拟)已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|x>m}，若(∁R A)∪B=R，则m 的取值范围是( )
A.(-∞，3)
B.(3，+∞)
C.(-∞，7)
D.(7，+∞)
【答案】A
【解析】方法一 由集合A={x|3≤x<7}，B={x|x>m}，可得∁RA={x|x<3 或x≥7}，
因为(∁R A)∪B=R，则满足m<3.
方法二 因为A={x|3≤x<7}，B={x|x>m}，
(∁RA)∪B=R，
所以A⊆B，所以m<3.
【解题技巧】
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的元素是连续的，可
用数轴表示，此时要注意端点的情况.
【变式训练】
变式1.(多选)已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|1<x≤3}，则下列判断正确的是( )
A.A∪B=B
B.(∁RB)∪A=R
C.A∩B={x|1<x≤2}
D.(∁RB)∪(∁RA)={x|x≤1 或x>2}
【答案】CD
【解析】由x2-3x+2≤0，即(x-2)(x-1)≤0，
解得1≤x≤2，
所以A={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，
由B={x|1<x≤3}，
所以A∪B={x|1≤x≤3}，故A 错误；
A∩B={x|1<x≤2}，故C 正确；
又∁RB=(-∞，1]∪(3，+∞)，所以(∁RB)∪A=(-∞，2]∪(3，+∞)，故B 错误；
∁RA=(-∞，1)∪(2，+∞)，所以(∁RB)∪(∁RA)=(-∞，1]∪(2，+∞)，故D 正确.
变式2.设集合A={x|x<2 或x≥4}，B={x|a≤x≤a+1}，若(∁RA)∩B=∅，则a 的取值范围是( )
A.a≤1 或a>4
B.a<1 或a≥4
C.a<1
D.a>4
【答案】B
【解析】由集合A={x|x<2 或x≥4}，得∁RA={x|2≤x<4}，又集合B={x|a≤x≤a+1}且(∁RA)∩B=∅，则a+1<2 或a≥4，
即a<1 或a≥4.
