第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第1 节 集合
【高考预测】预测2027 年高考集合考向仍以集合的概念与表示、元素与集合
关系、集合间的包含与相等、交集并集补集运算为基础主干，常结合一元二次
不等式、分式不等式、绝对值不等式、函数定义域值域、简易逻辑综合命题，
题型固定以选择题开篇为主，注重以不等式解集、离散数集、点集为载体考查
集合运算与数形结合，强化与常用逻辑用语、函数不等式的交汇渗透，稳中求
新、侧重基础运算与逻辑辨析，突出小考点综合性、易错点辨析及数学抽象与
运算求解能力的考查。
【双基自测●明考向】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( )
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( )
(3)若1∈{x2,x},则x=-1 或1.( )
(4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )
2. (人教B 必修一P9 练习BT4 改编)已知集合A={x-2,x+5,12},且-3∈A,则x=
.
3. (人教A 必修一P13T1 改编)已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则
A∩(∁UB)= .
4.(苏教必修一P23T14 改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,则实数a
的取值范围是 .
【核心梳理●明考点】
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称
自然
数集
正整数集
整数集
有理
数集
实数集
记法
N
N * 或
N +
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的
元素,就称集合A 为集合B 的子集.记作A ⊆B(或B ⊇A).
(2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A 是集合B 的真子集,
记作A⫋B(或B⫌A).
(3)相等:若A⊆B,且B ⊆ A ,则A=B.
(4)空集的性质:⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A 的
补集为∁UA
图形
表示
集合表示
{x|x∈A,或
x∈B}
{ x | x ∈
A , 且
x ∈
B }
{x|x∈U,
且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A.
(2)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A.
(3)A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U,
∁U(∁UA)=A.
1.若有限集A 中有n 个元素,则A 的子集有2n个,真子集有2n-1 个,非空子集有
2n-1 个,非空真子集有2n-2 个.
2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB.
3.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),
∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
【考点突破●明方向】
考点一 集合的基本概念
例1 (1)(多选)下列各组中M,P 表示不同集合的是( )
A.M={3,-1},P={(3,-1)}
B.M={(3,1)},P={(1,3)}
C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R}
D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}
(2)若含有3 个实数的集合既可表示成{a, b
a ,1},又可表示成{a2,a+b,0},则a2 027+b2
027= .
训练1 (1)(2026·江西重点高中联考)已知集合A={x|x2-3x-10<0},则( )
A.-4∈A
B.-2∈A
C.3∈A
D.5∈A
(2)设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},则C 中元素的个数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
考点二 集合间的基本关系
例2 (1)设M={x|x=4k-3,k∈Z},N={x|x=2k-1,k∈Z},则( )
A.M⊆N
B.N⊆M
C.M=N
D.M∩N=⌀
(2)已知M={x|-2≤x≤2},A={x|1-a≤x≤1+a},且A∩M=A,则实数a 的取值范围为
.
训练2 (1)(2026·广州模拟)满足{x|x2+2x-3=0}⊆A⫋{-3,-1,0,1,3}的集合A 的个数为
( )
A.3
B.7
C.8
D.15
(2)(2026·河南部分校联考)已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|(x-2)2=a},若A⊆B,则
a=( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
考点三 集合的运算
例3 (1)(2025·新高考Ⅱ卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=( )
A.{0,1,2}
B.{1,2,8}
C.{2,8}
D.{0,1}
(2)(2025·天津卷)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},则∁U(A∪B)=(
)
A.{1,2,3,4}
B.{2,3,4}
C.{2,4}
D.{4}
(3)(2026·石家庄调研)已知集合A,B 满足A={x|x>1},B={x|x<a-1},若A∩B=⌀,则实
数a 的取值范围为( )
A.(-∞,1]
B.(-∞,2]
C.[1,+∞)
D.[2,+∞)
训练3 (1)(2026·泰州模拟)已知集合M={x| x−1
x−5 ≤ 0},N={x|x2-x<2},则M∩N=(
)
A.{x|-1<x<2}
B.{x|-1<x<5}
C.{x|1≤x<2}
D.{x|1≤x<5}
(2)(2026·青岛质检)设集合A={x∈N|3≤x<6},B={2,3,4,8},则图中阴影部分表示的
集合为( )
A.{2,8}
B.{3,4}
C.{2,5,8}
D.{3,4,5}
(3)(2025·衡水模拟)已知集合A={x|y=ln(1-x2)},B={x|x≤a},若(∁RA)∪B=R,则实数
a 的取值范围为( )
A.(1,+∞)
B.[1,+∞)
C.(-∞,1)
D.(-∞,1]
考点四 集合的新定义问题
例4 (多选)(2026·吉林部分学校联考)对于集合A,若∀x∈A,2-x∈A,则称A 为对偶
互存集,则下列为对偶互存集的是( )
A.{-1,0,1,2,3}
B.{x|=2k-1,k∈Z}
C.{y | y =
1
x−1}
D.{y|y=1+sin x}
训练4 (多选)(2025·西安调研)设M,N,P 为非空实数集,定义MN={z|
z=xy,x∈M,y∈N},则( )
A.M{1}=M
B.M{0}={1}
C.MN=NM
D.(MN)P=M(NP)
容斥原理
1.教材母题 (人教A 必修一P35T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28 名同学
参加比赛,有15 人参加游泳比赛,有8 人参加田径比赛,有14 人参加球类比赛,同
时参加游泳比赛和田径比赛的有3 人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3 人,没
有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项
比赛的有多少人?
2.上述问题的解决方法被称为容斥原理,在人教A 必修一P15《阅读与思考》中
有详细阐释,总结如下:
(1)二元容斥原理:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);
(2)三元容斥原理:card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-
card(C∩A)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
典例 某学校教师中,会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,
会打篮球的教师人数为20,若至少会其中一个体育项目的教师人数为80,且三个
体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为
.
【限时训练】
（30 分钟）
一、单选题
1.(2025·新高考Ⅰ卷)已知集合U={x|x 是小于9 的正整数},集合A={1,3,5},则∁UA
中元素的个数为( )
A.0
B.3
C.5
D.8
2.(2025·北京卷)集合M={x|2x-1>5},N={1,2,3},则M∩N=( )
A.{1,2,3}
B.{2,3}
C.{3}
D.⌀
3.已知集合A={-1,a2-2a+1,a-4},若4∈A,则a 的值可能为( )
A.-1,3
B.-1
C.-1,3,8
D.-1,8
4.已知集合M={-1,1,2,3,4,5},N={1,2,4},P=M∩N,则P 的真子集共有( )
A.3 个
B.6 个
C.7 个
D.8 个
5.(2026·泉州模拟)已知集合A={-9,-4,-2,1,2,3,4},B={x∈A|❑√|x|∈A},则∁A(A∩B)=(
)
A.{-2,1,2,3}
B.{-2,2,3}
C.{-2,1,3,4}
D.{-9,-2,1,3}
6.(2026·盐城段测)已知集合A={0,1},A∪B={0,1,2,3},则下列关系一定正确的是(
)
A.1∉B
B.{0,1}⊆B
C.{2,3}⊆B
D.{1,2,3}⊆B
7.(2026·鄂州模拟)已知全集U={x|x∈N,x≤9},A={1,2,6},B={6,7,8},则{1,2}可以表
示为( )
A.(∁UA)∩B
B.(∁UB)∩A
C.∁U(A∩B)
D.∁U(A∪B)
8.(2025·重庆南开中学质检)设集合A={x|x=4k+1,k∈Z},B={x|x=4k+3,k∈Z},则
A∪B=( )
A.{x|x=4k,k∈Z}
B.{x|x=2k-1,k∈Z}
C.{x|x=4k-1,k∈Z}
D.{x|x=8k+4,k∈Z}
二、多选题
9.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|1<x<3},则( )
A.(∁RA)∪B={x|0≤x<3}
B.(∁RA)∩B={x|1<x<2}
C.A∩B={x|2<x<3}
D.A∩B 是{x|2<x<5}的真子集
10.已知A,B 是全集U 的两个非空真子集,下列说法中一定正确的是( )
A.A∩B=⌀
B.A⊆(A∪B)
C.(∁UA)∪A=U
D.(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)
11.非空集合A 具有如下性质:①若x,y∈A,则x
y ∈A;②若x,y∈A,则x+y∈A,下列判
断中正确的有( )
A.-1∉A
B.2 025
2 026∈A
C.若x,y∈A,则xy∈A
D.若x,y∈A,则x-y∈A
三、填空题
12.已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B 中元素的个数为
.
13.已知非空集合A={x|a-1<x<2a+3},B={x|-2≤x≤4},A∩(∁RB)=A,则实数a 的取
值范围为 .
14.(2026·烟台调研)设集合A={1,a},B={0,1-a,2a-1},若A⊆B,则a= .
