2026 年高考数学核心知识清单
一、集合与常用逻辑用语
（一）基础知识
1.
集合核心概念
￮
元素特性：确定性、互异性、无序性
￮
常用数集：自然数集ℕ、正整数集ℕ
∗/ℕ+、整数集ℤ、有理数集ℚ、实数集ℝ
￮
表示方法：列举法（有限集）、描述法（x∣x 具有的性质）、韦恩图
￮
基本关系：子集（A ⊆B）、真子集（A ⫋B）、相等（A = B），空集∅是任何集合的子集
2.
集合运算
￮
交集：A ∩B ={x∣x∈A 且x∈B}
￮
并集：A ∪B ={x∣x∈A 或x∈B}
￮
补集：∁U A ={x∣x∈U 且x∉A }
3.
常用逻辑用语
￮
命题：可判断真假的陈述句，分为题设和结论
￮
充分/必要条件：若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；p⇔q则为充要条件
￮
全称量词/存在量词命题：全称量词命题∀x∈M , p(x)，否定为∃x∈M ,¬ p(x)；存在量词
命题∃x∈M , p(x)，否定为∀x∈M ,¬ p(x)
（二）二级结论与易错点
1.
集合性质速记
￮
A ∩B = A ⇔A ⊆B；A ∪B = A ⇔B⊆A
￮
德摩根定律：∁U ( A ∩B)=(∁U A)∪(∁U B)；∁U ( A ∪B)=(∁U A)∩(∁U B)
￮
若A ⊆B，需分A =∅和A ≠∅讨论（如A ={x∣ax =1⊆{1,2}}，则a=0,1, 1
2）
2.
条件判定技巧
￮
集合法：设条件p对应集合A，结论q对应集合B，A ⊆B则p是q充分条件，B⊆A则p是q必要
条件
￮
小范围⇒大范围（如“x>2”是“x
2−3 x +2>0”的充分不必要条件）
3.
命题否定陷阱
￮
只否定结论，不否定条件（如“∀x∈ℝ, x
2≥0”否定为“∃x∈ℝ, x
2<0”，非“
∃x∉ℝ, x
2<0”）
￮
“至少一个”否定为“一个都没有”，“至多一个”否定为“至少两个”
二、函数与导数
（一）基础知识
1.
函数三要素
￮
定义域：分式分母不为0、偶次根式被开方数非负、对数真数大于0、零次幂底数不为0
￮
值域：一次函数y =kx +b值域为ℝ；二次函数y =a x
2+bx +c（a>0）值域为[
4 ac−b
2
4 a
,+∞)；
反比例函数y = k
x 值域为y ∣y ≠0
￮
对应关系：分段函数需注意各段定义域不重叠，值域为各段值域并集
2.
函数性质
￮
单调性：增函数（x1< x2⇒f (x1)<f (x2)）、减函数（x1< x2⇒f (x1)>f (x2)），导数判定：
f
' (x)>0增，f
' (x)<0减
￮
奇偶性：奇函数f (−x)=−f (x)（定义域关于原点对称，过原点）；偶函数f (−x)= f (x)（图象关
于y轴对称）
￮
周期性：若f (x +T )= f (x)（T ≠0），则T为周期，常见：f (x +a)=−f (x)则周期2a；
f (x +a)=
1
f (x)则周期2a
3.
导数基础
￮
基本公式：(x
n)
' =n x
n−1；(sin x)
' =cos x；(cos x)
' =−sin x；(e
x)
' =e
x；(ln x)
' = 1
x
￮
运算法则：(f ± g)
' = f
'± g
'；(fg)
' = f
' g+ f g
'；(
f
g)
'
= f
' g−f g
'
g
2
（g≠0）
￮
几何意义：f
'(x0)是曲线y = f (x)在(x0,f (x0))处切线斜率，切线方程：y −f (x0)= f
'(x0)(x −x0)
（二）二级结论与易错点
1.
函数值域速算
￮
对勾函数y = x + k
x （k >0）：值域(−∞,−2❑√k)∪[2❑√k ,+∞)，单调区间(−∞,−❑√k)增、
[−❑√k ,0)减、(0,❑√k)减、[❑√k ,+∞)增
￮
分式函数y = ax +b
cx +d （ad ≠bc）：值域y ∣y ≠a
c ，反函数y = dx−b
−cx +a
2.
导数应用结论
￮
极值点：f
'(x0)=0且x0两侧f
' (x)变号（如f (x)= x
3，x =0不是极值点）
￮
最值：闭区间[a,b)上连续函数，最值在极值点或端点处取；开区间需结合单调性判断是否存在
最值
￮
不等式证明：若f (x)≥g(x)，可构造h(x)= f (x)−g(x)，证h(x)min≥0
3.
易错点提醒
￮
分段函数奇偶性：需验证每段f (−x)与−f (x)/ f (x)的关系，且定义域对称
￮
导数极值：勿忽略“f
'(x0)=0是极值点的必要不充分条件”
￮
定义域优先：研究函数性质、求导数前先确定定义域（如f (x)= ln x定义域(0,+∞)，导数只在
有意义）
三、三角函数与解三角形
（一）基础知识
1.
三角函数定义与公式
￮
任意角三角函数：设角α终边过点(x , y)，r =
❑√x
2+ y
2，则sin α = y
r ，cosα = x
r ，tan α = y
x （
x≠0）
￮
同角关系：sin
2α +cos
2α =1，tan α = sin α
cosα
￮
诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”（如sin(
π
2 +α)=cosα，cos(π +α )=−cosα）
￮
两角和差：sin ( A ± B)=sin A cos B±cos A sin B；cos( A ± B)=cos A cos B∓sin A sin B；
tan ( A ± B)= tan A ± tan B
1∓tan A tan B
￮
二倍角：sin 2α =2sin α cosα；cos2α =cos
2α −sin
2α =2cos
2α −1=1−2sin
2α；
tan 2α = 2tan α
1−tan
2α
2.
三角函数图象与性质
￮
y =sin x：周期2π，值域[−1,1)，增区间[−π
2 +2kπ , π
2 +2kπ)，减区间[
π
2 +2kπ , 3 π
2 +2kπ)
（k ∈ℤ）
￮
y =cos x：周期2π，值域[−1,1)，增区间[−π +2kπ ,2kπ )，减区间[2kπ ,π +2kπ )（k ∈ℤ）
￮
y = tan x：周期π，定义域x∣x≠π
2 +kπ，值域ℝ，增区间(−π
2 +kπ , π
2 +kπ)（k ∈ℤ）
3.
解三角形
￮
正弦定理：
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2 R（R为外接圆半径），适用：已知两角一边、已知两边及
一边对角
￮
余弦定理：a
2=b
2+c
2−2bc cos A；cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
，适用：已知三边、已知两边及夹角
￮
面积公式：S = 1
2 bc sin A = 1
2 ac sin B = 1
2 absinC；S = ❑√p( p−a)( p−b)( p−c)（p= a+b+c
2
，
海伦公式）
（二）二级结论与易错点
1.
三角函数化简与求值结论
￮
辅助角公式：asin x +bcos x =
❑√a
2+b
2sin( x +φ)（tan φ = b
a），如
￮
齐次式求值：若已知tan α =k，则sin α +2cosα
3sin α −cosα = tan α +2
3 tan α −1 = k +2
3k −1
2.
解三角形结论
￮
三角形内角和：A + B+C = π，故sin ( A + B)=sinC，cos( A + B)=−cosC
￮
大边对大角：a>b⇔A >B⇔sin A >sin B
￮
射影定理：a=bcosC +c cos B；b=acosC +c cos A；c =acos B+bcos A
3.
易错点提醒
￮
三角函数定义域：tan x定义域不含π
2 +kπ，cot x不含kπ（k ∈ℤ）
￮
解三角形多解：已知a,b, A（A为锐角），当bsin A <a<b时，有两解；当a≥b或a=bsin A时，
一解；当a<bsin A时，无解
￮
角度单位：弧度与角度换算（π =180
∘），导数公式中角度需用弧度
（三）公式补充
1、配凑角公式（角的变换核心，高频）
￮
核心思路：将未知角转化为已知角（特殊角、题中给定角）的和、差、倍、分，是三角函数
化简求值的基础技巧，优先掌握以下常用配凑方式，无需死记，灵活变形。
￮
基础配凑（必记）
α =(α + β)−βα = β −(β −α )α = 1
2 [(α + β)+(α −β)]β = 1
2 [(α + β)−(α −β)]
￮
特殊角配凑（常用）
α + π
4 =(α + β)−(β −π
4)
π
2 −α = π
3 +(
π
6 −α)2α =(α + β)+(α −β)
￮
极简真题示例：已知cos(α + β)= 1
3，cos β = 1
2，α , β均为锐角，求cosα的值（提示：α =(α + β)−β
）。
简解：cosα =cos[(α + β)−β]=cos(α + β)cos β +sin (α + β)sin β = 1
3 × 1
2 + 2❑√2
3
×
❑√3
2 = 1+2❑√6
6
。
￮
易错提醒：配凑后注意三角函数符号（结合角的范围判断）；优先配凑题中出现频率高的角，避免多
余变换增加计算量。
2、降幂公式（降次升角，化简核心）
￮
核心用途：将二次三角函数（sin
2α、cos
2α）转化为一次三角函数，适配分式化简、不等式
证明、图像变换题型，由二倍角余弦公式推导，精准记忆。
￮
核心公式（必记，精准无偏差）
sin
2α = 1−cos2α
2
cos
2α = 1+cos2α
2
tan
2α = 1−cos2α
1+cos2α （由tan α = sin α
cosα 推导，可间接记忆）
￮
极简真题示例：化简sin
2 π
8 −cos
2 π
8 （提示：先降幂，再化简）。
简解：原式=
1−cos π
4
2
−
1+cos π
4
2
=−cos π
4 =−
❑√2
2
。
￮
关键说明：降幂的同时，角变为原来的2 倍（降次升角）；常与辅助角公式结合使用，先降幂再化为
“A sin(ωx +φ)”形式。
￮
易错提醒：公式分子符号易错，记准“sin
2α对应1−cos2α，cos
2α对应1+cos2α”，切勿混淆；
分母均为2，不可遗漏。
3、辅助角公式（合一变形，必考）
￮
核心用途：将“asin α +bcosα”形式化为“A sin(α +φ)”或“A cos(α −φ)”，适配最
值、周期、单调性求解，是高考三角函数大题核心工具。
￮
核心公式（必记，精准带推导关键）
asin α +bcosα =
❑√a
2+b
2sin(α +φ) 其中：tan φ = b
a（φ的终边过点(a,b)，角的范围由a、b
的符号确定）
补充形式：asin α +bcosα =
❑√a
2+b
2cos(α −φ)，其中tan φ= a
b
￮
极简真题示例：将函数f (x)=sin x + ❑√3cos x化为A sin( x +φ)的形式，并求其最大值（高考
高频题型）。
简解：f (x)=2sin(x + π
3)（其中A =
❑√1
2+(❑√3)
2=2，tan φ = ❑√3，φ = π
3 ），最大值为2。
￮
关键说明：A =
❑√a
2+b
2（A >0，不可省略根号）；φ的取值的关键是“终边过(a,b)”，避免仅记
tan φ = b
a而忽略角的象限。
￮
易错提醒：切勿漏写❑√a
2+b
2；tan φ的分子分母不可颠倒（a对应sin α，b对应cosα）；φ的范围需
结合a、b符号，避免求错角。
4、半角公式（升次降角，灵活选用）
￮
核心用途：将α
2 的三角函数转化为α的三角函数，适配角度减半后的求值、化简，分“带根
号”和“不带根号”两种形式，按需选用。
￮
核心公式（必记，分形式呈现）
带根号形式（需判断符号，由α
2 的象限确定）
sin α
2 =± ❑√
1−cosα
2
cos α
2 =± ❑√
1+cosα
2
tan α
2 =± ❑√
1−cosα
1+cosα
不带根号形式（无需判断符号，优先选用）
tan α
2 =
sin α
1+cosα = 1−cosα
sin α
￮
极简真题示例：已知cosα = 1
2，α ∈(0,π )，求tan α
2 的值（提示：用不带根号形式，避免符
号判断）。
简解：α ∈(0,π )，sin α =
❑√3
2 ，tan α
2 =
sin α
1+cosα =
❑√3
2
1+ 1
2
=
❑√3
3 。
￮
关键说明：半角公式由降幂公式推导（令α →α
2 ）；带根号时，符号由α
2 所在象限判断（sin看纵轴，
cos看横轴）。
￮
易错提醒：带根号形式切勿遗漏正负号；tan α
2 的两个不带根号公式，可用于分式化简（优先用，避
免符号错误）。
5、万能公式（全角化切，统一变量）
￮
核心用途：将sin α、cosα、tan α全部转化为tan α
2 的表达式，适配分式化简、齐次式求值，
变量统一，简化计算。
￮
核心公式（必记，精准无偏差）
令t = tan α
2 （t ∈ℝ，α ≠π +2kπ，k ∈ℤ），则：
sin α = 2t
1+t
2cosα = 1−t
2
1+t
2 tan α = 2t
1−t
2
￮
极简真题示例：已知tan α
2 =1，求sin α +cosα的值（万能公式直接应用）。
简解：令t =1，sin α = 2×1
1+1
2 =1，cosα = 1−1
2
1+1
2 =0，故sin α +cosα =1。
￮
关键说明：万能公式可将所有三角函数转化为关于t的代数式，适用于“三角函数分式、齐次式”的
化简求值；注意定义域限制（α ≠π +2kπ）。
￮
易错提醒：分母不可为0（1+t
2≠0恒成立，1−t
2≠0即t ≠±1，对应α ≠π
2 + kπ）；记准分子分母，
切勿颠倒。
6、积化和差公式（积变和差，化简辅助）
￮
核心用途：将两个三角函数的积（sin α cos β、cosα sin β等）转化为两个三角函数的和或
差，适配复杂分式化简、求值，高考低频但需熟记，避免混淆。
￮
核心公式（必记，分组记忆）
sin α ⋅cos β = 1
2 [sin (α + β)+sin (α −β)]
cosα ⋅sin β = 1
2 [sin (α + β)−sin (α −β)]
cosα ⋅cos β = 1
2 [cos(α + β)+cos(α −β)]
sin α ⋅sin β =−1
2 [cos(α + β)−cos(α −β)]
￮
极简真题示例：化简sin π
12 cos π
12（积化和差，快速求值）。
简解：原式= 1
2[sin(
π
12 + π
12)+sin(
π
12 −π
12)]= 1
2 sin π
6 = 1
4 。
￮
关键说明：公式均含1
2，切勿遗漏；sin α ⋅sin β前面有负号，是易错点；可由两角和差公式相加/相
减推导，辅助记忆。
￮
易错提醒：sin α ⋅sin β的负号不可遗漏；积化和差的结果是“和或差”，分母均为2，避免
与和差化积混淆。
7、和差化积公式（和差变积，化简辅助）
￮
核心用途：将两个三角函数的和或差（sin α +sin β、cosα −cos β等）转化为两个三角函数
的积，与积化和差互为逆运算，适配复杂表达式化简。
￮
核心公式（必记，分组记忆）
sin α +sin β =2sin α + β
2
cos α −β
2
sin α −sin β =2cos α + β
2
sin α −β
2
cosα +cos β =2cos α + β
2
cos α −β
2
cosα −cos β =−2sin α + β
2
sin α −β
2
￮
极简真题示例：化简sin75
∘+sin15
∘（和差化积，快速求值）。
简解：原式=2sin 75
∘+15
∘
2
cos 75
∘−15
∘
2
=2sin 45
∘cos30
∘=2×
❑√2
2 ×
❑√3
2 =
❑√6
2 。
￮
关键说明：公式均含系数2，切勿遗漏；cosα −cos β前面有负号，易错；角均为α + β
2
和α −β
2
，统
一记忆。
￮
易错提醒：cosα −cos β的负号不可遗漏；系数2 不可漏写；与积化和差区分开（和差化积
结果是“积”，含系数2；积化和差结果是“和差”，含1
2）。
8、三倍角公式（高频低频结合，考前熟记）
￮
核心用途：将3α的三角函数转化为α的三角函数，适配角度三倍后的求值、化简，高考低频
但偶尔出现，精准记忆，避免推导失误。
￮
核心公式（必记，重点记正弦、余弦）
sin3α =3sin α −4 sin
3α（记忆口诀：3 倍正弦减4 倍正弦立方）
cos3α = 4 cos
3α −3cosα（记忆口诀：4 倍余弦立方减3 倍余弦）
tan3α = 3 tan α −tan
3α
1−3 tan
2α
（由tan3α = tan (2α +α )推导，可间接记忆）
￮
极简真题示例：求sin 90
∘的值（用三倍角公式验证，适配考前公式应用）。
简解：sin 90
∘=sin(3×30
∘)=3sin30
∘−4 sin
330
∘=3× 1
2 −4×(
1
2)
3
=1，与特殊角值一致。
￮
关键说明：三倍角公式可由二倍角公式+配凑角公式推导（3α =2α +α）；正弦、余弦公式可结合口
诀记忆，避免混淆系数。
￮
易错提醒：正弦、余弦公式的系数和符号（sin3α是“3sin α −4 sin
3α”，cos3α是“
4 cos
3α −3cosα”）；tan3α的分母不可为0（1−3 tan
2α ≠0）。
四、平面向量
（一）基础知识
1.
向量基本概念
￮
定义：既有大小又有方向的量，模|⃗a|，零向量⃗0（模0，方向任意），单位向量|⃗e|=1
￮
关系：平行（共线）⃗a∥⃗b⇔∃λ∈ℝ，⃗a= λ⃗b（⃗b≠⃗0）；相等⃗a=⃗b⇔模相等且方向相同
2.
向量运算
￮
线性运算：加法（三角形法则、平行四边形法则）⃗a+⃗b；减法⃗a−⃗b=⃗a+(−⃗b)；数乘λ⃗a（λ>0方
向同⃗a，λ<0方向反⃗a，| λ⃗a|=| λ||⃗a|）
￮
数量积：⃗a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|cosθ（θ为⃗a与⃗b夹角，0≤θ≤π），坐标运算：若⃗a=(x1, y1)，⃗
b=(x2, y2)，则⃗a⋅⃗b= x1 x2+ y1 y2
3.
向量性质
￮
模：|⃗a|=
❑√x1
2+ y1
2，|⃗a+⃗b|
2=(⃗a+⃗b)
2=|⃗a|
2+2⃗a⋅⃗b+|⃗b|
2
￮
垂直：⃗a⟂⃗b⇔⃗a⋅⃗b=0⇔x1 x2+ y1 y2=0
￮
夹角：cosθ =⃗
a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
（θ∈[0,π )）
（二）二级结论与易错点
1.
向量共线与垂直结论
￮
三点共线：A ,B ,C共线⇔∃λ∈ℝ，⃗AB = λ⃗AC；或⃗OC = x⃗OA + y⃗OB且x + y =1
￮
中线向量：在∆ABC中，D为BC中点，则⃗AD = 1
2 (⃗AB+⃗AC)
￮
向量投影：⃗a在⃗b方向上的投影为⃗a⋅⃗b
|⃗b|
，投影向量为⃗a⋅⃗b
|⃗b|
2⃗b
2.
数量积运算结论
￮
极化恒等式：⃗a⋅⃗b= 1
4 [|⃗a+⃗b|
2−|⃗a−⃗b|
2]（适用于求数量积或模的关系）
￮
三角形不等式：||⃗a|−|⃗b||≤|⃗a±⃗b|≤|⃗a|+|⃗b|（等号成立当且仅当⃗a∥⃗b）
3.
易错点提醒
￮
向量平行与直线平行：向量共线包括同向和反向，直线平行不包括重合
￮
数量积与模：⃗a⋅⃗b=0不能推出⃗a=⃗0或⃗b=⃗0（可能垂直）；|⃗a⋅⃗b|≤|⃗a||⃗b|（等号成立当且仅
当⃗a∥⃗b）
￮
坐标运算：向量坐标是终点坐标减起点坐标（如⃗AB =(xB−x A , yB−y A)）
五、数列
（一）基础知识
1.
等差数列
￮
定义：an+1−an=d（d为公差，常数）
￮
通项：an=a1+(n−1)d，推广an=am+(n−m)d
￮
前n项和：Sn= n(a1+an)
2
=na1+ n(n−1)
2
d（二次函数形式，无常数项）
￮
性质：m+n= p+q⇒am+an=ap+aq；Sn,S2n−Sn,S3n−S2n成等差数列（公差n
2d）
2.
等比数列
￮
定义：
an+1
an
=q（q为公比，q≠0）
￮
通项：an=a1q
n−1，推广an=amq
n−m
￮
前n项和：Sn={
na1
(q =1)
a1(1−q
n)
1−q
(q≠1)
（注意q =1与q≠1分类）
￮
性质：m+n= p+q⇒aman=apaq；Sn,S2n−Sn,S3n−S2n成等比数列（公比q
n，Sn≠0）
3.
数列求和方法
￮
公式法：等差/等比数列直接用求和公式
￮
错位相减法：适用于anbn（an等差，bn等比），如Sn=1⋅2+2⋅2
2+3⋅2
3+⋯+n⋅2
n
￮
裂项相消法：适用于
1
n(n+ k ) = 1
k(
1
n −
1
n+k)，如
1
n(n+1) = 1
n −
1
n+1，求和时正负项抵消
￮
分组求和法：适用于an+bn（an等差，bn等比），分别求和再相加
（二）二级结论与易错点
1.
数列通项与求和结论
￮
通项求法：已知Sn求an，an={
S1
(n=1)
Sn−Sn−1
(n≥2)（需验证n=1是否满足n≥2的表达式）
￮
等差数列最值：若a1>0,d <0，则Sn在an≥0且an+1≤0时最大；若a1<0,d >0，则Sn在an≤0且
an+1≥0时最小
￮
等比数列求和陷阱：q =1时Sn=na1，勿直接用q≠1公式；无穷等比数列各项和（|q|<1）
S = a1
1−q
2.
常见数列求和公式
￮
1+2+3+⋯+n= n(n+1)
2
￮
1
2+2
2+3
2+⋯+n
2= n(n+1)(2n+1)
6
￮
1
3+2
3+3
3+⋯+n
3=(
n(n+1)
2 )
2
3.
易错点提醒
￮
等差数列公差：d =an+1−an，不是an−an+1；等比数列公比q≠0，且an≠0
￮
数列项数：如“从第2 项到第n 项”共n−1项，求和时注意项数计算（如Sn−S1是前n 项和减第
1 项，共n−1项）
￮
错位相减：最后一步需整理系数，确保结果最简（如Sn=(n−1)2
n+1+2，勿漏常数项）
六、不等式
（一）基础知识
1.
不等式性质
￮
对称性：a>b⇔b<a
￮
传递性：a>b,b>c⇒a>c
￮
可加性：a>b⇒a+c>b+c；a>b,c>d ⇒a+c>b+d
￮
可乘性：a>b,c>0⇒ac>bc；a>b,c<0⇒ac<bc；a>b>0,c>d >0⇒ac>bd
￮
可乘方：a>b>0⇒a
n>b
n（n∈ℕ
∗,n≥2）
￮
可开方：a>b>0⇒
n√a>
n√b（n∈ℕ
∗,n≥2）
2.
一元二次不等式
￮
形式：a x
2+bx +c>0（a≠0），先化a>0
￮
解法：求方程a x
2+bx +c =0根x1, x2（x1< x2），则a x
2+bx +c>0解集为(−∞, x1)∪(x2,+∞)，
a x
2+bx +c<0解集为(x1, x2)（Δ>0）；Δ=0时，a x
2+bx +c>0解集为{x∣x≠−b
2a }；Δ<0时，
a x
2+bx +c>0解集为ℝ
3.
基本不等式
￮
形式：若a>0,b>0，则a+b
2
≥❑√ab（当且仅当a=b时取等号），即算术平均数≥几何平均数
￮
推广：a
2+b
2≥2ab（a,b∈ℝ，当且仅当a=b时取等号）；a
b + b
a ≥2（ab>0，当且仅当a=b
时取等号）
4.
绝对值不等式
￮
| x|<a（a>0）解集：(−a,a)；| x|>a（a>0）解集：(−∞,−a)∪(a,+∞)
￮
三角不等式：||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|（等号成立当且仅当ab≥0（+号）或ab≤0
（−号））
（二）二级结论与易错点
1.
不等式求解结论
￮
分式不等式：f (x)
g(x) >0⇔f (x)g(x)>0（g(x)≠0）；
f (x)
g(x) ≥0⇔{
f (x)g(x)≥0
g(x)≠0
￮
高次不等式：穿针引线法（从右往左，从上往下，奇穿偶不穿），如(x +1)(x−2)(x−3)
2>0，
解集为(−1,2)∪(3,+∞)
2.
基本不等式应用结论
￮
最值条件：“一正二定三相等”，即变量为正、和或积为定值、等号能取到（如y = x +
1
x−1（
x>1），变形为y =(x−1)+
1
x−1 +1≥3，当且仅当x =2时取等号）
￮
多元最值：若a+b+c =1（a,b,c>0），则1
a + 1
b + 1
c =(a+b+c)(
1
a + 1
b + 1
c)≥9（乘1 法）
3.
易错点提醒
￮
一元二次不等式：勿忽略a=0情况（此时为一次不等式，如bx +c>0）
￮
基本不等式：等号条件不满足时，需用导数求最值（如y = x + 1
x （x ≥2），最小值为5
2，非2）
￮
绝对值不等式：|ax +b|>c（c<0）解集为ℝ，|ax +b|<c（c<0）解集为∅
七、立体几何与空间向量
（一）基础知识
1.
空间几何体
￮
棱柱：底面平行且全等，侧棱平行且相等，表面积S =2S底+ S侧，体积V = S底h
￮
棱锥：底面是多边形，侧棱交于一点，体积V = 1
3 S底h
￮
球：表面积S = 4 π R
2，体积V = 4
3 π R
3，截面性质：d
2+r
2= R
2（d为球心到截面距离，r为截面
半径）
2.
空间点线面关系
￮
线面平行：判定（线线平行⇒线面平行，即a∥b,a⊄α ,b⊂α ⇒a∥α）；性质（线面平行⇒
线线平行，即a∥α ,a⊂β ,α ∩β =b⇒a∥b）
￮
线面垂直：判定（线线垂直⇒线面垂直，即a⟂b,a⟂c ,b∩c =O ,b,c⊂α ⇒a⟂α）；性质
（线面垂直⇒线线垂直，即a⟂α ,b⊂α ⇒a⟂b）
￮
面面平行：判定（线面平行⇒面面平行，即a∥α ,b∥α ,a∩b=O ,a,b⊂β ⇒α ∥β）；性质
（面面平行⇒线线平行，即α ∥β ,α ∩γ =a, β ∩γ =b⇒a∥b）
￮
面面垂直：判定（线面垂直⇒面面垂直，即a⟂α ,a⊂β ⇒α ⟂β）；性质（面面垂直⇒线面垂
直，即α ⟂β ,α ∩β =l ,a⊂α ,a⟂l⇒a⟂β）
3.
空间向量
￮
坐标运算：设⃗a=(x1, y1, z1)，⃗b=(x2, y2, z2)，则⃗a+⃗b=(x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2)，⃗
a⋅⃗b= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2，|⃗a|=
❑√x1
2+ y1
2+ z1
2
￮
平行与垂直：⃗a∥⃗b⇔x1= λ x2, y1= λ y2, z1= λ z2；⃗a⟂⃗b⇔x1 x2+ y1 y2+ z1 z2=0
￮
空间角：异面直线所成角θ（θ∈(0, π
2)），cosθ =|⃗a⋅⃗b|
|⃗a||⃗b|
；线面角θ（θ∈[0, π
2)），
sinθ =|⃗a⋅⃗n|
|⃗a||⃗n| （⃗n为平面法向量）；二面角θ（θ∈[0,π )），cosθ =±|⃗n1⋅⃗n2|
|⃗n1||⃗n2| （符号由二面角
类型确定）
（二）二级结论与易错点
1.
空间几何体结论
￮
正四面体：棱长为a，则高h=
❑√6
3 a，体积V =
❑√2
12 a
3，外接球半径R =
❑√6
4 a，内切球半径
r =
❑√6
12 a
￮
长方体外接球：直径=长方体体对角线，即2 R =
❑√a
2+b
2+c
2（a,b,c为长宽高）
2.
空间向量应用结论
￮
平面法向量求法：设平面α内两向量⃗a=(x1, y1, z1)，⃗b=(x2, y2, z2)，法向量⃗n=(x , y , z)，则
{⃗
n⋅⃗a=0⃗
n⋅⃗b=0，取特殊值求解（如令x =1）
￮
点到平面距离：d =|⃗PA ⋅⃗n|
|⃗n|
（P为平面外点，A为平面内点，⃗n为平面法向量）
3.
易错点提醒
￮
空间角范围：异面直线所成角最大为π
2 ，线面角最大为π
2 ，二面角可到π，计算时勿超范围
￮
面面垂直性质：需“线在面内且垂直于交线”，否则不能推出线面垂直（如α ⟂β ,a⊂α，a不一
定垂直β）
￮
法向量方向：二面角计算时，法向量方向不同会导致cosθ符号不同，需结合图形判断二面角是锐
角还是钝角
八、平面解析几何
（一）基础知识
1.
直线与圆
￮
直线方程：点斜式y −y0=k (x−x0)（斜率存在）；斜截式y =kx +b；两点式
y −y1
y2−y1
= x−x1
x2−x1
（
y1≠y2, x1≠x2）；一般式Ax + By +C =0（A ,B不同时为0）
￮
两直线位置关系：平行⇔k1=k2且b1≠b2（斜截式），或A1B2= A2B1且A1C2≠A2C1（一般
式）；垂直⇔k1k2=−1（斜率存在），或A1 A2+ B1B2=0（一般式）
￮
圆方程：标准式(x −a)
2+( y −b)
2=r
2（圆心(a,b)，半径r）；一般式x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0（
D
2+ E
2−4 F >0，圆心(−D
2 ,−E
2)，半径1
2
❑√D
2+ E
2−4 F）
￮
直线与圆位置关系：圆心到直线距离d，d <r相交，d =r相切，d >r相离；弦长公式l =2
❑√r
2−d
2
2.
圆锥曲线
￮
椭圆：定义| P F1|+| P F2|=2a（2a>2c =| F1 F2|），标准方程x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0，焦点
(±c ,0)），c
2=a
2−b
2，离心率e = c
a ∈(0,1)
￮
双曲线：定义|| P F1|−| P F2||=2a（2a<2c =| F1 F2|），标准方程x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（
a>0,b>0，焦点(±c ,0)），c
2=a
2+b
2，离心率e = c
a ∈(1,+∞)，渐近线x
2
a
2 −y
2
b
2 =0（即y =± b
a x
）
￮
抛物线：定义| PF |=d（d为P到准线距离），标准方程y
2=2 px（p>0，焦点(
p
2 ,0)，准线
x =−p
2 ），离心率e =1
（二）二级结论与易错点
1.
直线与圆结论
￮
过圆外一点P(x0, y0)作圆切线，切线长l = ❑√(x0−a)
2+( y0−b)
2−r
2（圆心(a,b)）
￮
圆系方程：过直线Ax + By +C =0与圆x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0交点的圆系：
x
2+ y
2+ Dx + Ey + F + λ( Ax + By +C)=0（λ∈ℝ）
2.
圆锥曲线结论
￮
椭圆焦点三角形：∆P F1 F2面积S =b
2tan θ
2（θ =∠F1 P F2），当P为短轴端点时，θ最大
￮
双曲线焦点三角形：∆P F1 F2面积S =
b
2
tan θ
2
（θ =∠F1 P F2）；双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1的共轭双曲线
为y
2
b
2 −x
2
a
2 =1，两者渐近线相同，焦点共圆
￮
抛物线焦点弦：过y
2=2 px焦点F的弦AB，若A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1 x2= p
2
4 ，y1 y2=−p
2，
弦长| AB|= x1+ x2+ p（焦点在x轴正半轴）
3.
易错点提醒
￮
直线斜率：斜率不存在时直线为x = x0，勿漏此情况（如过(2,3)且垂直x轴的直线是x =2）
￮
圆锥曲线定义：椭圆“和为定值”，双曲线“差的绝对值为定值”，抛物线“距离相等”，勿混
淆定义条件
￮
离心率范围：椭圆e∈(0,1)，双曲线e∈(1,+∞)，抛物线e =1，计算时勿错范围
九、概率与统计
（一）基础知识
1.
随机事件与概率
￮
事件关系：包含（A ⊆B）、并事件（A ∪B）、交事件（A ∩B）、互斥（A ∩B =∅）、对
立（A ∩B =∅且A ∪B = Ω）
￮
概率性质：0≤P( A)≤1；P(Ω)=1，P(∅)=0；互斥事件P( A ∪B)= P( A)+ P(B)；对立事件
P( A)=1−P( A)
￮
古典概型：P( A)=
A
事件
包含的基本事件数
基本事件总数
（有限等可能）
￮
几何概型：P( A)=
A
事件
对应区域度量
总区域度量
（长度、面积、体积）
2.
统计
￮
抽样方法：简单随机抽样（抽签法、随机数法）、分层抽样（按比例从各层抽取）、系统抽样
（等距抽样）
￮
样本数字特征：众数（出现次数最多）、中位数（中间位置数或中间两数平均）、平均数
¯x = 1
n (x1+ x2+⋯+ xn)、方差s
2= 1
n [(x1−¯x)
2+⋯+(xn−¯x)
2]、标准差s
￮
频率分布直方图：频率=组距×频率/组距，众数为最高矩形底边中点横坐标，中位数为左右面积
各0.5 对应的横坐标
3.
计数原理
￮
分类加法计数原理：N =m1+m2+⋯+mn（各类方法独立）
￮
分步乘法计数原理：N =m1×m2×⋯×mn（各步缺一不可）
￮
排列：An
m=n(n−1)⋯(n−m+1)=
n!
(n−m)!；组合：Cn
m= An
m
m! =
n!
m!(n−m)!
，性质Cn
m=Cn
n−m，
Cn
m+Cn
m−1=Cn+1
m
￮
二项式定理：(a+b)
n=∑
k =0
n
❑Cn
k a
n−k b
k，通项T k +1=Cn
k a
n−k b
k，二项式系数和
Cn
0+Cn
1+⋯+Cn
n=2
n，奇数项系数和=偶数项系数和=2^{n-1}
（二）二级结论与易错点
1.
概率与统计结论
￮
相互独立事件：P( AB)= P( A) P(B)，若A ,B独立，则A与B、A与B、A与B均独立
￮
二项分布：X ∼B (n, p)（n次独立重复试验，成功概率p），则E (X )=np，D (X )=np(1−p)
￮
正态分布：X ∼N (μ,σ
2)，则P( μ−σ < X ≤μ+σ )≈0.6827，P( μ−2σ < X ≤μ+2σ )≈0.9545，
P( μ−3σ < X ≤μ+3σ )≈0.9973
2.
计数原理结论
￮
排列组合：相邻问题捆绑法（如3 人相邻，视为1 个整体），不相邻问题插空法（如3 人不相邻，
先排其他人，再插空）
￮
二项式系数最值：当n为偶数时，中间项（第n
2 +1项）二项式系数最大；当n为奇数时，中间两
项（第n+1
2
项、第n+3
2
项）二项式系数相等且最大
3.
易错点提醒
￮
古典概型：基本事件需“等可能”，勿忽略等可能性（如掷不均匀骰子，不能用古典概型）
￮
分层抽样：各层抽取比例=样本容量/总体容量，计算时勿错比例（如总体100，样本20，某层30
人，应抽6 人）
￮
二项式定理：通项是第k +1项，非第k项（如(a+b)
n中，含a
n−2b
2的项是第3 项，k =2）
十、复数
（一）基础知识
1.
复数概念
￮
定义：z =a+bi（a,b∈ℝ），a为实部，b为虚部，i
2=−1
￮
分类：实数（b=0）、虚数（b≠0）、纯虚数（a=0且b≠0）
￮
相等：a+bi=c +di⇔a=c且b=d（a,b,c ,d ∈ℝ）
￮
共轭复数：z =a−bi，性质z z =a
2+b
2=| z|
2
2.
复数运算
￮
加减：(a+bi)±(c +di)=(a±c)+(b±d)i
￮
乘法：(a+bi)(c +di)=(ac−bd)+(ad +bc)i
￮
除法：a+bi
c +di = (a+bi)(c−di)
(c +di)(c−di) = ac +bd
c
2+d
2 + bc−ad
c
2+d
2 i（c +di≠0）
3.
复数几何意义
￮
复平面：z =a+bi对应点Z (a,b)，对应向量⃗OZ =(a,b)
￮
模：| z|=|⃗OZ |=
❑√a
2+b
2，性质| z1 z2|=| z1|| z2|，| z1
z2
|=| z1|
| z2| （z2≠0）
（二）二级结论与易错点
1.
复数运算结论
￮
i的幂周期：i
1=i，i
2=−1，i
3=−i，i
4=1，周期4（i
4 k =1，i
4 k +1=i，i
4 k +2=−1，i
4 k +3=−i，
k ∈ℤ）
￮
实系数多项式因式分解：若z =a+bi是根，则z =a−bi也是根（虚根成对）
2.
易错点提醒
￮
纯虚数：需满足“a=0且b≠0”，勿漏b≠0（如z =bi，b=0时是实数0）
￮
复数除法：必须分母实数化（乘以共轭复数），勿直接约分（如1+i
2+i ≠1
2）
￮
模的运算：| z1+ z2|≤| z1|+| z2|（三角不等式），勿错用| z1+ z2|=| z1|+| z2|（仅当z1, z2
同向时成立）
