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考点培优练02 一元二次不等式及基本不等式7 大考点
考点01 一元二次不等式及其解法.....................................................................1
考点02 一元二次不等式恒成立问题.................................................................1
考点03 一元二次不等式及其应用.....................................................................1
考点04 利用基本不等式求最值.........................................................................1
考点05 二次与二次（一次）的商求最值.........................................................1
考点06 基本不等式“1”的妙用.........................................................................2
考点07 条件等式求最值.....................................................................................2
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考点01 一元二次不等式及其解法
二次函数图象、方程及不等式的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0 的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等
式y＞0
或y＜0
的步骤
求方程y＝0 的解
有两个不相等的实数根
x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根
x1＝x2＝－
没有
实数根
画函数y＝ax2＋bx＋c(a
＞0)的图象
得等的集
不式解
y＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}
{x|x1＜x＜x2}
R
y＜0
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
1．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出集合
，然后结合集合的并集运算即可求解．
【详解】集合
，
，
则
．
故选：B．
2．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据绝对值分类讨论列式结合一元二次不等式计算求解即可.
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【详解】
等价于
或
，
所以
或
，
解得
或
．
故选：A．
3．不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】根据二次不等式的解法直接求解即可．
【详解】
，
即
，
所以
.
故答案为：
．
4．已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则不等式
的解集为
．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根和二次项系数的正负,利用韦达定理将
用
表示,
再化简所求的不等式并求解.
【详解】已知不等式
的解集为
,所以
，且方程
的两根为
，
根据韦达定理
，
，所以
，
.
不等式
可化为
，两边同时除以
，
得
，即
，解得
，
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所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
5．已知方程
有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m 的取值
范围是 .
【答案】
【分析】结合题意根据二次方程的性质，利用韦达定理列不等式求解.
【详解】因为方程
，存在2 个根，
所以
，
解得
或
设方程
的两个根为
，
，
因为两根一正一负，所以
，解得
；
因为正根绝对值大于负根绝对值，所以
，解得
，
综上可得，
.
故答案为：
.
6．已知函数
．
(1)若
的定义域为R，求m 的取值范围；
(2)若
的值域为R，求m 的取值范围．
【答案】(1)
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(2)
【分析】（1）
在R 上恒成立，分
，
两种情况，根据根的判别式得到不等式，求
出答案；
（2）
的值域必须包含
，分
，
两种情况，根据根的判别得到不等式，求出
答案.
【详解】（1）函数
的定义域为R，则
在R 上恒成立．
当
时，
在R 上不恒成立，不符合题意；
当
时，有
，解得
．
综上，m 的取值范围为
．
（2）函数
的值域为R，
则
的值域必须包含
．
当
时，则
的值域包含
，符合题意；
当
时，有
，解得
．
综上，m 的取值范围为
．
考点02 一元二次不等式恒成立问题
1．不等式ax2＋bx＋c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0 时，b＝0，c>0；当a≠0 时，
2．不等式ax2＋bx＋c<0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0 时，b＝0，c<0；当a≠0 时，
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7．已知关于
的不等式
对任意
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】根据题意，分
和
两种情况讨论，即可求出
的取值范围．
【详解】当
时，不等式
化为
恒成立，
当
时，不等式
不能恒成立，
当
时，要使不等式
恒成立，需
，
解得
，
综上所述，不等式
对任意
恒成立，
的取值范围是
，
故选：A.
8．已知不等式
的解集
若对
，不等式
成立，
则实数m 的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．8
【答案】C
【分析】根据题意结合三个二次之间的关系列式求参数
，恒成立问题结合二次函数的性质列式求
的
取值范围，即可得结果.
【详解】不等式
的解集为
，则方程
的两根为
，，且
，
所以
，解得
，
不等式
，即为
，
故不等式
对
恒成立，
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∵二次函数
的对称轴为
，则有：
①
，解得
；或②
，无解；
综上所述：
，所以实数
的最大值为．
故选：
9．对于任意
，
都有意义，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用一元二次不等式的解法，分类讨论计算即可.
【详解】易知
恒成立，
显然当
时，符合题意；
当
时，要满足题意需
，即
，
综上
.
故选：C
10．
.
(1)若对任意的
都有
成立，求
的范围；
(2)解关于
的不等式
.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）就
、
分类讨论，后者再结合判别式可求
的范围；
（2）就
、
、
、
及
分类讨论后可得不等式的解集.
【详解】（1）
即为
，
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若
，则
恒成立；若
，则
，即
，
故
（2）
即为
即
，
①当
时，
，即解集为
，
②当
时，令
得，
(i)当
时，
，开口向上，此时不等式的解集为
；
(ii)当
时，
，开口向下，此时不等式的解集为
；
(iii)当
时，
，开口向下， 此时不等式的解集为
或
；
(iiii)当
时，
，开口向下，此时不等式的解集为
或
.
综上所述，当
时，解集为
；
当
时，解集为
；
当
时，解集为
或
;
当
时，解集为
;
当
时，
或
.
考点03 一元二次不等式及其应用
利用题目给出的已知条件列出不等式和不等关系，进而求解
11．常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩
著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300 只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40 元，则均可被
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卖出；若每只“叫花鸡”在定价40 元的基础上提高
（
）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少
只.
要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495 元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（ ）
A．48 元
B．49 元
C．51 元
D．50 元
【答案】D
【分析】根据题意列出不等式求解即可.
【详解】根据题意可得
，整理得
，
解得
，又
，所以
，该店铺的“叫花鸡”每只定价应为
.
故选：D.
12．某商家为了提高一等品M 的销售额，对一等品M 进行分类销售．据统计，该商家有200 件一等品M，
产品单价为
元．现计划将这200 件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x 件（
，
），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为
元（
），因
市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M 的单价，且精
品的总销售额不低于优品的总销售额，则n 的值可能为 .
【答案】6 或7
【分析】根据题意列出不等式组求解即可.
【详解】依题意
，则
，
由
知：
，且
，
由
知：
在
上恒成立，
因为
在
上递增，
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所以
，即
，
综上，
，
.
故答案为： 6 或7.
13．美国国家海洋和大气管理局
最近发布的一则预测引发全球关注：预计在
年
月，拉尼娜
现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防
暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：
万元；
②生产所需材料成本：
万元，
(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量
为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产
万套产品，每万套售价为：
万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制
定计划，才能确保该套装每月的利润不低于
万元．
【答案】(1)
万套时，每万套的最低成本为12 万元；
(2)该企业至少要生产30 万套，才能确保该套装每月的利润不低于
万元.
【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本
，应用基本不等式求最小值；
（2）由题设得到
，解一元二次不等式求解，即可得结论.
【详解】（1）由题设，平均每万套的成本
，
当且仅当
万套时取等号，平均每万套的成本最低为12 万元/万套；
（2）由题设，该套装每月的利润为
，
所以
，可得
，
所以
，即该企业至少要生产30 万套，才能确保该套装每月的利润不低于
万元.
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考点04 利用基本不等式求最值
已知x>0, y>0 ，则：
(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x= y 时，x+ y 有最小值是2√p (简记：积定和最小)．
(2)如果x+ y 是定值q ，那么当且仅当x= y 时，xy 有最大值是
q2
4 (简记：和定积最大)．
注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
14．（多选）设正实数
满足
，则（ ）
A．
有最大值为
B．
有最小值为
C．
有最小值为5
D．
有最大值为
【答案】BC
【分析】利用基本不等式即可判断AB，由
，利用基本不等式即可判断C，利用
(当且仅当
时，等号成立)，即可判断D.
【详解】对于A：由
，当且仅当
时，等号成立，故A 错误；
对于B：由
，当且仅当
时，等号成立，故B 正确；
对于C：由
，又
，
当且仅当
时，等号成立，所以
，故C 正确；
对于D：由
，所以
，
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当且仅当
时，所以等号不成立，故D 错误.
故选：BC.
15．已知
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】B
【分析】将函数配凑整理为
，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
，
，
，
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为5.
故选：B.
16．已知抛物线
的焦点为
，过
作直线交抛物线于
两点，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的焦点坐标求出
，设出
，
坐标，联立直线和抛物线，利用设而不求思想结合基
本不等式进行转化求解即可．
【详解】
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如图，设抛物线
的焦点坐标为
，
焦点为
，
，得
，即抛物线方程为
，
当
轴时，易得
，
，则
，
则
；
当
不垂直
轴时，设斜率为
，
，
，
则直线
的方程为
，
，代入
可得
，即
，
则
，
，
过
分别作准线的垂线，垂足分别为
，
则
，
，
，
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则
，
于是，
，
当且仅当
，即
时取等号.
综上：因
,故
的最小值为
.
故选：C.
17．若
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】B
【分析】先应用对数运算化简，再应用基本不等式计算即可得解.
【详解】由
得
，
，且
．
因为
，
当且仅当
时取“
”，故
的最小值为
．
故选：B．
18．设正实数
、
、
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得出
，利用基本不等式可求得
的最大值.
【详解】因为正实数
、
、
满足
，则
，
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所以，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最大值为.
故选：D.
19．不等式
对于
，
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意分离参数得
对于
，
恒成立，通过换元求最值即可求
出
的取值范围.
【详解】因为不等式
对于
，
恒成立，
所以不等式
对于
，
恒成立，
令
，
由对勾函数的性质，函数
在
上单调递减，
所以
，所以
，
.
故选：A
考点05 二次与二次（一次）的商求最值
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1、形如
x
ax 2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2√ac +b (a>0 , c>0)
，当且仅当
x=√
c
a 时等号成立；
2、形如
，可以通过换元
分离降幂，转化为对勾型
20．设
，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对
变形后，利用基本不等式求解.
【详解】
，则
，
，
当且仅当
时，等号成立，则
.
故选：D.
21．当
时，求函数
的最小值.
【答案】
【分析】将函数变形成
，再利用重要不等式即可求出结果.
【详解】因为
，所以
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以函数
的最小值为
.
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22．函数
在
上的最大值为 ．
【答案】
【分析】令
，则
，则
，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为
，
，令
，则
，
则
，
当且仅当
，
即
时，等号成立．
故
的最大值为
．
故答案为：
考点06 基本不等式“1”的妙用
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型.
形如
，可以通过同除ab，化为
构造“1”的代换求解.
2、形如
，求
型，则可以凑配
，再利用“1”的代换来求解.
其中可以任意调换a、b 系数，来进行变换凑配.
（1）3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求
型，则可以凑配（a+m）+（b+n）
=t+m+n，再利用“1”的代换来求解.
23．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到
，结合基本不
等式，求得
的最小值，进而求得
的最小值，得到答案.
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【详解】由题意知：实数
，且
，
又
因为
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
，即
的最小值为
.
故选：B
24．设
为正项等差数列
的前n 项和，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．9
D．5
【答案】B
【分析】由条件可得
，
，由
根据等差数列求和公式可得
，结合等差
数列性质可得
，再利用基本不等式求
的最小值即可.
【详解】因为数列
为正项等差数列，所以
，
，
，可得
，即
，
由等差数列性质可得
，
所以
，
因为
，
，故
，
，
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则
，当且仅当
时等号成立.
由
解得
，
，
即当
，
时，
取得最小值为
，
故选：B.
25．若直线
经过圆
的圆心，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由直线过圆心得到
，再结合乘“1”法即可求解.
【详解】由
，可得圆心坐标
，
因为直线
过圆心，
所以
，即
，
所以
（当且仅当
，即
）取等号，
所以
的最小值为
，
故选：B
26．（多选）若m，n 都为正实数，且
则（ ）
A．mn 的最大值为1
B．
的最小值为9
C．
的最小值为2
D．
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断.
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【详解】对于A，因为
，
，所以
，
当且仅当
时，取等号，所以
的最大值为1，故A 正确；
对于B，
，
当且仅当
，即
时，取等号，所以
的最小值为9，故B 正确；
对于C，由
，得
，当且仅当
时，取等号，
所以
的最小值为2，故C 正确；
对于D，因为
，
，
所以
，故D 错误.
故选：ABC.
考点07 条件等式求最值
可利用题目已知条件带入消元、因式分解、“1”代换求解
27．若实数a，b 满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
得到
，变形得到
，解得
，得到答案.
【详解】由
，得
，当且仅当
或
时，等号成立；
由
，得
，解得
，
当
时不满足
，所以
；
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又
，故
，解得
，
当且仅当
或
时，等号成立．
综上，
．
故选：D．
28．已知正实数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．4
C．5
D．
【答案】B
【分析】由题意得
，代入
得
，再由均值不等式即可求解.
【详解】由
有：
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故选：B.
29．若实数
、
、
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用
，可得
，又
，即可得出答案．
【详解】
，
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，
，
当且仅当
时，等号成立；
又
，
，不妨令
时，等号成立，
综上可得：
．
故选：A．
30．已知向量
满足
，且对任意的
，都有
，则
的最大值是 ．
【答案】12
【分析】首先由数形结合可得
进而得到
，再根据基本不等式即可求解.
【详解】因为对任意
，都有
，如图，由图可知，
，又
，所以
，
又
，
所以
，即
，所以
，所以
，当且仅当
时取等号，所以
的最大值是12．
故答案为：12
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31．已知
，满足
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知得
，可得
，展开后利用基本不等式求
得
的范围，即得答案.
【详解】由题意知
，满足
，则
，
故
，
因为
，故
，故
，
当且仅当
，结合
，即
或
时等号成立，
故
，即
，解得
，
当
时，
；当
时，
，
故
的取值范围是
，
故答案为：
