文档文本内容
第一章集合、常用逻辑用语、不等式
§1.2 常用逻辑用语
【考情分析·探规律】
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
考点1 充分
条件与必要
条件
2024·全国甲卷、2024·天津卷、2024·北京
卷、2023·北京卷、2023·全国甲卷、2023·
天津卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·浙江
卷、2022·北京卷、2021·全国甲卷
常以关联的知识点作为命题背
景，考查充分条件与必要条
件，难度随载体而定。
考点1 全称
量词与存在
量词
2024·全国新Ⅱ卷、2020·全国新Ⅰ卷、
2016·浙江卷、2015·浙江卷、2015·全国
卷、2015·湖北卷
全称量词命题和存在量词命题
的否定及参数求解是高考复习
和考查的重点。
【知识梳理】
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 是q 的充分不必要条件
p⇒q 且q⇒/ p
p 是q 的必要不充分条件
p⇒/ q 且q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇔q
p 是q 的既不充分也不必要条件
p⇒/ q 且q⇒/ p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号
“∀”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号
“∃”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M 中的任意一个x，有p(x)成立
存在M 中的元素x，p(x)成立
简记
∀
x ∈
M
，
p ( x )
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，¬p(x)
∀
x ∈
M
，
¬p ( x )
【名师点拨】
1.会区别A 是B 的充分不必要条件(A⇒B 且B⇒/ A)，与A 的充分不必要条件是B(B⇒A 且
A⇒/ B)两者的不同.
2.p 是q 的充分不必要条件，等价于¬q 是¬p 的充分不必要条件.
3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
4.命题p 和¬p 的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题否定的真假.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)至少有一个三角形的内角和为π 是全称量词命题.( )
(2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.( )
(3)当p 是q 的充分条件时，q 是p 的必要条件.( )
(4)若已知p：x＞1 和q：x≥1，则p 是q 的充分不必要条件.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)√
【解析】(1)错误，至少有一个三角形的内角和为π 是存在量词命题.
2.(2025·南通模拟)命题“∀x∈R，2x2-3x+4>0”的否定为( )
A.∀x∈R，2x2-3x+4≤0
B.∃x∈R，2x2-3x+4>0
C.∃x∉R，2x2-3x+4≤0
D.∃x∈R，2x2-3x+4≤0
【答案】D
【解析】命题“∀x∈R，2x2-3x+4>0”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求否定是“∃x∈R，2x2-3x+4≤0”.
3.设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
4.设p：1≤x≤4，q：x<m，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是 .
【答案】(4，+ ∞)
【解析】由p 是q 的充分条件，且p：1≤x≤4，q：x<m，
可得{x|1≤x≤4}是{x|x<m}的子集，
所以m>4.
【名师点拨】
1.谨记两个常用结论
(1)p 是q 的充分不必要条件，等价于¬q 是¬p 的充分不必要条件.
(2)命题p 和¬p 的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的
真假.
2.理清一个关系
“A 的充分不必要条件是B”是指B 能推出A，且A 不能推出B；而“A 是B 的充分不必要条
件”则是指A 能推出B，而B 不能推出A，要注意区别上述两种说法的不同.
【必练核心题型】
题型一 充分、必要条件的判定
例1.(2025·福州模拟)设直线l1：(a+1)x+a2y-3=0，l2：2x+ay-2a-1=0，则“a=0”是“l1∥l2”
的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为l1∥l2，则a(a+1)=2a2，解得a=0 或a=1.
若a=0，则l1：x-3=0，l2：2x-1=0，两直线平行，符合题意；
若a=1，则l1：2x+y-3=0，l2：2x+y-3=0，两直线重合，不符合题意.
综上所述，l1∥l2等价于a=0.
所以“a=0”是“l1∥l2”的充要条件.
例2.(2024·北京)设a，b 是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b 或a=b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由(a+b)·(a-b)=0，
得a2-b2=0，
即|a|2-|b|2=0，所以|a|=|b|，
当a=(1，1)，b=(-1，1)时，
|a|=|b|，但a≠b 且a≠-b，
故充分性不成立；
当a=-b 或a=b 时，
(a+b)·(a-b)=0，
故必要性成立.
所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b 或a=b”的必要不充分条件.
【解题技巧】
充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p 是否成立进行判断.
(2)集合法：根据p，q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必
要条件是否成立为止.
【变式训练】
变式1.(2024·海口市海南中学模拟)“θ=π
4 +2kπ(k ∈Z)”是“cos θ=
❑√2
2 ”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若θ=π
4 +2kπ(k ∈Z)，则cos θ=cos(
π
4 +2k π)=cos π
4 =
❑√2
2 ，k∈Z，充分性成立；
若cos θ=
❑√2
2 ，则θ=π
4 +2kπ 或θ=-π
4 +2kπ，k∈Z，必要性不成立，所以“θ=π
4 +2kπ(k ∈Z)”
是“cos θ=
❑√2
2 ”的充分不必要条件.
变式2.(2024·山东联考)已知等差数列{an}的公差为d，前n 项和为Sn.设甲：d>0；乙：
{Sn}是递增数列，则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若公差d>0，如数列-10，-9，-8，-7，…，0，1，2，…，则数列的前n 项和Sn先
减后增；
若{Sn}是递增数列，如Sn=n，则an=1，{an}为常数列也为等差数列，且d=0；
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
题型二 充分、必要条件的应用
例1.已知p：x≤1，q：x≤a，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是
；若p 是q 的必要条件，则实数a 的取值范围是 .
【答案】(-∞，1) (-∞，1]
【解析】因为p：x≤1，q：x≤a，
若p 是q 的必要不充分条件，则(-∞，a]
(-∞，1]，因此a<1，
即实数a 的取值范围是(-∞，1).
若p 是q 的必要条件，则(-∞，a]⊆(-∞，1]，
因此a≤1，即实数a 的取值范围是(-∞，1].
例2.已知p：x>1 或x<-3，q：x>a(a 为实数).若¬q 的一个充分不必要条件是¬p，则实数a
的取值范围是 .
【答案】[1，+∞)
【解析】由已知得¬p：-3≤x≤1，¬q：x≤a.
设A={x|-3≤x≤1}，B={x|x≤a}，
若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q
¬p，
所以集合A={x|-3≤x≤1}是集合B={x|x≤a}的真子集.
所以a≥1.
【解题技巧】
求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列
出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
【变式训练】
变式1.已知p：1
x >1，q：x>m，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )
A.[0，+∞)
B.[1，+∞)
C.(-∞，0]
D.(-∞，1]
【答案】C
【解析】由1
x >1 可得x(x-1)<0，解得0<x<1，
记A={x|0<x<1}，B={x|x>m}，
若p 是q 的充分条件，
则A 是B 的子集，所以m≤0，
所以实数m 的取值范围是(-∞，0].
变式2.设p：0≤x≤2，q：m-1≤x≤m+2.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围
是 .
【答案】[0，1]
【解析】p：0≤x≤2，q：m-1≤x≤m+2.若p 是q 的充分不必要条件，则{
m−1≤0，
m+2≥2，
且两等号不能同时取到，解得0≤m≤1.
题型三 全称量词与存在量词
命题点1 含量词的命题的否定
例1.(多选)下列说法正确的是( )
A.“菱形是正方形”是全称量词命题
B.“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”
C.命题“有一个奇数不能被3 整除”的否定是“有一个奇数能被3 整除”
D.“A=B”是“sin A=sin B”的必要不充分条件
【答案】AB
【解析】对于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全称量词命题，故A
正确；
对于B，由全称量词命题的否定知其否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，故B 正确；
对于C，命题“有一个奇数不能被3 整除”的否定是“所有的奇数都能被3 整除”，故C
错误；
对于D，因为A=B 时，sin A=sin B 成立，而sin A=sin B 时，A=B 不一定成立，如A=π
3 ，B=
2π
3 ，故“A=B”是“sin A=sin B”的充分不必要条件，故D 错误.
命题点2 含量词的命题的真假判断
例2.(多选)下列命题中，为真命题的是( )
A.∀x∈R，2x-1>0
B.∃x∈R，x2+1<2x
C.∀xy>0，x+y≥2❑√xy
D.∃x，y∈R，sin(x+y)=sin x+sin y
【答案】AD
【解析】对于A 项，∀x∈R，2
x−1>0，A 项正确；
对于B 项，∵x2+1-2x=(x-1)2≥0，∴x2+1≥2x，B 项错误；
对于C 项，当x<0，y<0 时，x+y<0<2❑√xy，C 项错误；
对于D 项，取x=y=0，则sin(x+y)=sin 0=0=sin 0+sin 0=sin x+sin y，D 项正确.
命题点3 含量词的命题的应用
例3.(2025·台州模拟)若命题“∀x∈R，x2-x-m≠0”是假命题，则实数m 的取值范围是
.
【答案】[−1
4 ，+ ∞)
【解析】方法一 原命题的否定“∃x∈R，x2-x-m=0”为真命题，
∴Δ=1+4m≥0，解得m≥-1
4 ，
∴实数m 的取值范围是[−1
4 ，+∞).
方法二 若命题“∀x∈R，x2-x-m≠0”是真命题，
则Δ=1+4m<0，解得m<-1
4 ，
故当原命题为假命题时，m≥-1
4 ，
∴实数m 的取值范围是[−1
4 ，+∞).
【解题技巧】
含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到
一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题
求参数的范围.
【变式训练】
变式1.(2024·新课标全国Ⅱ)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则(
)
A.p 和q 都是真命题
B.¬p 和q 都是真命题
C.p 和¬q 都是真命题
D.¬p 和¬q 都是真命题
【答案】B
【解析】对于命题p，取x=-1，
则有|x+1|=0<1，
故p 是假命题，¬p 是真命题，
对于命题q，取x=1，
则有x3=13=1=x，
故q 是真命题，¬q 是假命题，
综上，¬p 和q 都是真命题.
变式2.已知命题“∃x∈[-1，2]，x2-3x+a>0”是假命题，则实数a 的取值范围是
.
【答案】(-∞，-4]
【解析】由题意得，“∀x∈[-1，2]，x2-3x+a≤0”是真命题，则a≤-x2+3x 对∀x∈[-1，2]恒成
立，在区间[-1，2]上，-x2+3x 的最小值为-(-1)2+3×(-1)=-4，所以a≤(-x2+3x)min=-4，即a 的取
值范围是(-∞，-4].
