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易错易混01 集合与常用逻辑用语
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01
错点扫描・易错建模夯基石..............................................................................................................1
02 易错归纳・查漏补缺避陷阱..........................................................................................................3
易错归纳01 集合中的数集与点集、元素的特征（★★★★）...................................................................3
易错归纳02 忽略元素的互异性（★★★）...................................................................................................4
易错归纳03 集合间的关系中忽略空集（★★★★★）...............................................................................7
易错归纳04 集合中忽略端点值的取舍（★★★★★）...............................................................................9
易错归纳05 集合的新定义问题（★★★★）.............................................................................................12
易错归纳06 充分、必要条件的判断混淆（★★★★★）.........................................................................19
易错归纳07 根据命题的真假求参数的取值范围（★★★）.....................................................................22
03 实战检测・易错通关验成效........................................................................................................25
错点扫描・易错建模夯基石
1、集合中元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不
在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为
“互异性”．
（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
2、集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10 的所有的自然数组成的集合．N+
（2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举
法．
（3）描述法：一般地，设A 表示一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P(x)的元素x 所组成的集合表示
为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
注：用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素．
（4）图示法（Venn 图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。
3、根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围
对于两个集合
和
，
或
中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法：
（1）分类讨论：若
，在未指明
非空时，应分为
和
两种情况来讨论．
（2）数形结合：对
这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出
来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解．
4、利用交、并、补求参数范围的解题思路
（1）根据并集求参数范围：
若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则
；
（2）根据交集求参数范围：
若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；
若B 有参数，则
5、条件关系判定的常用结论
与
的关系
结论
，但
是
的充分不必要条件
，但
是
的必要不充分条件
且
，即
是
的充要条件
且
是
的既不充分也不必要条件
6、命题的否定：
（1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否
定．命题p 的否定可用“
”来表示，读作“非p”或p 的否定．
（2）命题的否定与原命题的真假关系：p 的否定与p“一真一假”
命题p
真
假
假
真
7、含量词的命题的否定
命题类型
全称量词命题
存在量词命题
形式
否定形式
结论
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题
8、判断全称/存在量词命题真假
（1）判断全称量词命题真假：若为真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素
，验证
成立；
若为假命题，只要能举出集合M 中的一个
，使
不成立即可．
（2）判断存在量词命题真假：只要在限定集合M 中，至少能找到一个
，使
成立，则这个命
题为真，否则为假．
易错归纳・查漏补缺避陷阱
易错归纳01 集合中的数集与点集、元素的特征
【易错陷阱·避错攻略】
1、学会先观察研究对象，确定研究对象是点集还是数集，对其本质进行剖析，明确集合中的代表元素类
型及代表元素的含义.
2、研究集合问题，一定要理解集合的意义——抓住集合的代表元素．如：
——函数的定义
域；
——函数的值域；
——函数图象上的点集．
1．下面关于集合的表示正确的是（ ）
A．
B．
.
C．
D．
.
【答案】C
【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定
义判断；对于D，根据集合相等的定义判断.
【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知
，故错误；
对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误；
对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确；
对于D，
不是空集，0 是一个元素，故错误；
故选C.
2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合
，则
中元素的个数为
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】分析可知
，结合
，
，分析求解即可.
【详解】因为
，则
，且
，
，可得
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
即
，所以
中元素的个数为6.
3．（2026·湖北·二模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意联立方程组
，解得：
，即
.
4．已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】确定集合A 的元素范围，求解集合B 的元素范围，计算两集合的交集得到结果.
【详解】集合A 中，
，则
，故
.
集合B 中，
，解得
，故
，
则
.
故选：D
5．已知集合
， 集合
， 则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求得集合
，可求
.
【详解】由
，集合
，
由
，集合
，
所以
.
故选：B.
易错归纳02 忽略元素的互异性
【易错陷阱·避错攻略】
集合元素具有确定性、无序性和互异性．在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
或1
C．1
D．5
【答案】C
【分析】分
和
两种情况进行求解，要检验是否与互异性矛盾，得到答案.
【详解】当
，解得
或1，
当
时，
，与元素互异性矛盾，舍去；
当
时，
，满足要求，
当
时，解得
，显然与元素互异性矛盾，舍去，
综上，
.
故选：C
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．0 或1
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系，分类讨论，即可求解a 的值．
【详解】因为集合
，
，
，
所以
，所以
或
，
若
，则
，此时
，满足题意；
若
，则
，此时集合
不满足集合元素的互异性，舍去．
综上，
．
故选：C．
3．已知集合
，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．6
【答案】A
【分析】由已知结合集合相等的条件及集合元素的互异性即可求解.
【详解】因为集合
，
若
，则
或
，
解得
或
，
当
时，
，与集合元素的互异性矛盾，舍去，
故
，
，符合题意，此时
.
故选：A.
4．已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据补集的定义及集合的特性计算即可.
【详解】因为集合
，
，又
，
所以
,解得
或
.
当
时，
集合A 互异性不成立舍去；
当
时，
符合题意；
所以
.
故选：C.
5．（2024·安徽·三模）已知集合
，若
的所有元素之和为12，则实
数
__________.
【答案】
【分析】分类讨论
是否为
，进而可得集合B，结合题意分析求解.
【详解】由题意可知：
且
，
当
，则
；当
，则
；当
，则
；
若
，则
，此时
的所有元素之和为6，不符合题意，舍去；
若
，则
，此时
的所有元素之和为4，不符合题意，舍去；
若
且
，则
，故
，解得
或
（舍去）；
综上所述：
.
故答案为：
.
6．设a，
，若集合
，则
______．
【答案】0
【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出
、
的值后代入所求式子计算.
【详解】因为右侧集合中有
，分母不能为0，故
，
两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合
，得：
，即
，因此
，
此时左侧集合为
，右侧集合为
，集合元素对应相等，可得
，
，
此时
，符合条件.
所以
.
易错归纳03 集合间的关系中忽略空集
【易错陷阱·避错攻略】
1、遇到
时，你是否注意到“极端”情况：
或
；同样当
时，你是否忘记
的情形？要注意到
是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
2、若集合为不等式的解集，往往借助于数轴进行分析；
1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）设集合
，则
的子集的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】
，
，所以
，所以
的子集的个数为4.
2．已知集合
，
，则
的真子集个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【详解】
或
，则方程组解为
或
，
即
，有2 个元素，
从而
的真子集个数为
个.
3．（2026·湖南怀化·二模）已知集合
，
．若
，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先通过解一元二次不等式得集合
，再根据并集的定义可得.
【详解】由
，解得
，所以
.
因为
，所以
，如图：
所以
．
4．已知
，
，若
是
的必要条件，则实数
的范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到
，分
，
和
，三种情况讨论，列出不等式，即可求解.
【详解】由集合
，
，
因为
是
的必要条件，则
，
当
时，此时集合
为空集，满足
；
当
时，由不等式
，可得
，即
，
要使得
，则满足
，即
，解得
；
当
时，由不等式
，可得
，即
，
要使得
，则满足
，即
，解得
，
综上可得，实数
的取值范围为
.
5．已知集合
，集合
，若“
”是“
”的充分不必要条
件，求实数
的取值范围．
【答案】
【分析】根据充分不必要条件列出不等式组，求解即得
的取值范围.
【详解】若“
”是“
”的充分不必要条件，则
⫋
，
当
时，即
，则
，
当
时，
，得
，
综上，
的取值范围为
．
6．已知集合
，集合
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出集合
，再根据集合并集求解即可.
（2）根据
得到
，再根据集合之间的包含关系求解即可.
【详解】（1）由题意得
，
所以
，
当
时，
，
，
（2）
，
，
①若
，则
，解得
；
②若
，要使
，则
应满足．
，即
，解得
，
综上所述，所求实数a 的取值范围是
．
易错归纳04 集合中忽略端点值的取舍
【易错陷阱·避错攻略】
对于与不等式有关
集合问题，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定
数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心圆圈表示．利
用集合之间的关系求解参数的取值范围的时候，要注意端点值的取舍问题.
1．（25-26 高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合
或
}，
，且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意得
，然后根据集合的包含关系即可求解.
【详解】由题意
，得
，
由于集合
或
}，
，
所以
或
，解得
或
，
故实数
的取值范围为
，故D 正确.
2．已知
，
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过
，确定
满足的不等式，求解即可.
【详解】
，
可得
，解得
，
即实数
的取值范围是
.
3．已知集合
，若
，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解不等式求得集合
，分
和
两种情况求解即可.
【详解】由
，可得
，
所以
，解得
或
，所以
或
，
若
，则
，解得
，此时
，符合题意；
若
，由
，可得
，解得
；
所以
的范围是
.
故选：C
4．（25-26 高三下·湖北随州·阶段检测）已知集合
，
．若
，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先化简集合
，再分析
，利用
的性质，得
或
，要使
，需保证
补上
未覆盖的部分且无遗
漏，因此关键是让唯一的“漏洞点”
落在
内，即
，解得
．
【详解】
，
①当
时，
，
此时
，满足条件．
②当
时，
对所有
成立，所以
，
要使
，需要
（否则
会是一个不在
中的点），即
．
综上，
的取值范围是
．
5．已知集合
．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由并集性质得
，分类讨论
为空集和非空集两种情况列不等式求解；
（2）由交集为空集的条件，分类讨论
为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解.
【详解】（1）由并集的性质可知
等价于
，
① 当
时，满足
，即
，解得
；
② 当
时，需同时满足：
，
解得：
，即
.
综上，
的取值范围是
或
，
即
的取值范围是
.
（2）由题意， ① 当
时，满足
，此时
，解得
；
② 当
时，需满足
的所有元素都不在
的范围内，且
（即
），
即：
或
，解
得
，
结合
得
，
解
得
，结合
得
.
综上，合并两类情况的解，
的取值范围是
或
，
即
.
易错归纳05 集合的新定义问题
【易错陷阱·避错攻略】
集合新定义问题处理步骤
①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”
哦；然后找出要素分别是什么
②看：看所求是什么？
③代：将已知条件代入新定义的要素
④解：结合数学知识进行解答
1．在机器学习中，常用
来衡量两个集合
，
之间的相似度，其中
表示集
合
的元素的个数．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由条件求
和
，再结合定义求结论.
【详解】因为
，
，
所以
，
，
所以
，
，
所以
.
2．（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集
满足：如果
，那么
且当
时，
时，我们称
就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0 是任何数域的元素；②若数域
有非零元
素，则
；③集合
是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是
（ ）.
A．①②④
B．②③④
C．①④
D．①②
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可..
【详解】当
，且
时，
，因此0 是任何数域的元素，①正确；
当
，且
时，由数域的定义知
，
因此
，②正确；
当
时，
，③错误；
如果
，那么
，且当
时，
，因此有理数集是一个数域，④正确.
3．定义集合运算⊕，A，
，
，
表示集合A 中元素的个
数，则以下说法不正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，则
的值可能为4
C．
D．
【答案】D
【分析】根据集合B 只有一个元素，分析集合A 只有2 个元素，设
，可得
，根据条件，分
析计算，可求得集合A，即可判断A 的正误；设
，根据条件，计算可得
的最
大值为8，当有部分元素重合时，举例分析，可得
，即可判断B 的正误；根据所给定义，分
析可得
，
，即可判断C 的正误；举例
时，计算可得
，
，即可判断D 的正误.
【详解】选项A：因为
，只有一个元素，则集合A 中只有2 个元素，
所以设
，则
，
因为
，
不妨设
，则
，所以
，
所以
，解得
，
同理，若
，则
，所以
，解得
，
综上
，故A 正确；
选项B：由题意，设
，
所以
中最多有4 个元素，（c，d，e，f 均不相同时），
此时
当
与
没有共同元素时，
，
当
与
有部分重复元素时，
，
例如
时，
，
，
此时
，则
，
所以
的值可能为4，故B 正确；
选项C：
，当A 与B 没有交集时取等号，
因为a 有
种取法，b 有
种取法，
所以
，
因为
，
所以
，故C 正确；
选项D：当
时，
，
，
所以
，则
，
，
所以
，
此时
，故D 错误.
故选：D
4．（25-26 高三上·上海闵行·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”;若两
个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合
和集合
，若集合
，
构成“偏食”，则实数的取值范围为____.
【答案】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合
，再化简集合
，依题意
则
，即可得到
，再确定
的范围.
【详解】由
，即
，解得
，
所以
，
又
，
因为集合
，
构成“偏食”，则
，所以
，所以
，
因为集合
，
有公共元素但不互为对方的子集，
所以
或
可得
，即实数的取值范围为
.
故答案为：
5．（25-26 高三上·安徽阜阳·期末）设
是正整数，
是
的非空子集(至少有两个元素)，如果对于
中
的任意两个元素
，
，都有
，则称集合
具有性质
.
(1)试判断集合
和
是否具有性质
，并说明理由.
(2)若
，证明：A 不可能具有性质
.
(3)若
，且
具有性质
和
，求
中元素个数的最大值.
【答案】(1)B 不具有，C 具有，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)110 个
【分析】(1)利用举反例和列举全部来判断即可；
(2)利用抽屉原理，把相差的数两两一组，然后再去选数，由于只分了
个抽屉，但要选
个元素，则必
有一个是选到相差为的
个数，从而找到矛盾，可得问题得证；
(3)利用抽屉原理，按连续
个自然数为一个抽屉，只需要研究一个抽屉最多可以选几个元素满足题意，最
后可确定元素个数的最大值，并举例说明.
【详解】（1）当
时，因为存在
，满足
，与对于A 中的任意两个元素
x，y，都有
，相矛盾，所以集合B 不具有性质
；
当
时，对于集合中任意两元素之差的绝对值共有以下
种情形：
因为这
种情形都满足
，所以集合C 具有性质
；
（2）将集合
中的元素分为如下11 个集合:
，
要从集合
中选取12 个元素，由于前9 个集合中，每个集合中的2 个元素之差的绝对值等于3，
不满足题意，所以前9 个集合中，每个集合最多选1 个元素，而最后2 个集合中各只有1 个元素，就算必
选，也才只有11 个元素，而题意中要选12 个元素，所以必有2 个元素取自前9 个集合中的同一集合，这
样就存在两个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以A 不可能具有性质
；
（3）先说明连续11 项中集合A 中最多选取5 项，以
为例.
按相差7 来构造抽屉
，按相差
来分类研究：
5
①，6，7 同时选，因为具有性质
和
，所以选5 则不选1，9，选6 则不选2，10，选7 则不选
3，11，则只剩4，8 可选，由于
，所以只能选其中1 个数，此时只能选5，6，7，4 或5，6，7，8
共4 个元素，故
中属于集合A 的元素不超过5 个.
5
②，6，7 中选2 个，若只选5，6，则1，2，9，10，7 不可选，又
中只能选1 个元素，3，8 可以选
(4 与8 不能同时选)，若选
，最多
全选，也才是5 个元素，故
中属于集合A 的元素不超过5
个.
若选5，7，则只能从2，4，8，10 中选，但4，8 不能同时选，故
中属于集合A 的元素不超过5
个.
若选6，7，则2，3，10，11，5 不可选，又
中只能选1 个元素，4，9 可以选，故
中属于集
合A 的元素不超过5 个.
5
③，6，7 中选0 个或只选1 个，又四个集合
每个集合至多选1 个元素，故
中属于集合A 的元素不超过5 个.
由上述①②③可知，连续11 项自然数中属于集合A 的元素至多只有5 个，如取
，
因为
，则把每11 个连续自然数分组，前21 组每组至多选取5 项.
从232 开始，最后10 个数至多选取5 项，故集合A 的元素最多有
个.
给出如下选取方法:从
中选取
，然后在这5 个数的基础上每次累加11，构造21 次.此时
集合A 中的元素为
，共有110 个元素，经
检验可得该集合符合要求.故集合A 中的元素最多有110 个.
6．已知实数集
，定义
.
(1)若
，求
；
(2)若
均为正数，
，求
的元素个数
的取值范围；
(3)若
，求集合
.
【答案】(1)
(2)
(3)
或者
【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可；
（2）根据集合中的元素具有互异性，分类讨论
互不相等且不成比例和
中存在比例关系，
求
的元素个数
的取值范围.
（3）根据
可得
，然后分
中
个非零元素，符号为一负三正或者一正三负进行讨论即可；
【详解】（1）根据题意可得
.
（2）若
均为正数，
，集合中的元素具有互异性，
不妨设
，则
，故
中至少有5 个元素，
而
中共有
对不同的元素，因此
最多有6 个不同的乘积.
取
,此时
，此时
的元素个数
，
取
，则
，此时
的元素个数
，
故
的元素个数
的取值范围为
，
（3）若
，可得
，
其次
中有
个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.
记
，不妨设
或者
①当
时，
则
，
，
相乘可知
，从而
，
从而
，所以
；
②当
时，与上面类似的方法可以得到
，
进而
，从而
.
所以
或者
.
7．（25-26 高三上·北京·开学考试）已知正整数
，若正整数集的子集
同时满足
条件①：对任意
，存在唯一
，使得
；
条件②：对任意整数
，及任意
，均存在
，使得
，则称
为 “
可表集合组”．
(1)若
，则
是否为“7 可表集合组”？说明理由，
(2)若
为 “
可表集合组”，求
的最小值；
(3)若
为“15 可表集合组”，求
的最大值．
【答案】(1)
不是“7 可表集合组”，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据“7 可表集合组”的定义可得
，即可判断结果；
（2）先给出
的例子，再根据“
可表集合组”的定义结合反证法证明
不符合题意即可；
（3）先给出
的例子，再根据“
可表集合组”的定义结合反证法证明
不符合题意即可.
【详解】（1）
不是“7 可表集合组”.
因为
，其元素中仅有一个奇数，
则
，若
为偶数，则必为
中两个偶数元素之和，至少为
，
可得
，所以
不是“7 可表集合组”．
（2）
的最小值为7．首先给出
的例子：
令
，
可知则
为“7 可表集合组”．
下面假设某个
满足题设要求，则对任意
，存在
，使得
．
注意到6 表示为两个不同正整数的和只能是
，
不妨设
，
因为对任意
，存在
，使得
，
注意到7 表示为两个不同正整数的和只能是
，
所以
，
注意到8 表示为两个不同正整数的和只能是
，
所以对任意
，均有
，
与
是“
可表集合组”矛盾．
所以假设不成立，综上所述：
的最小值为7．
（3）
的最大值为3．
首先给出
的例子：
令
，
，
，
则
为“15 可表集合组”．
下面假设某个
满足题设要求，
显然
也满足题设要求，故可不妨设
，
令
，
显然对任一下标
这10 个数中任一数均可写成
的两个元素之和，
从而
中元素至少有五个，
注意
的元素个数之和为23，从而必存在某个
，使得
的元素个数不大于5，
设
，
可知
中两个不同元素之和所表示的
这10 个数恰可被
中两个不同元素之和所表示，
则这些数的和为
，
与
均为正整数矛盾，所以假设不成立．
综上所述：
的最大值为3．
易错归纳06 充分、必要条件的判断混淆
【易错陷阱·避错攻略】
1、条件关系判定的常用结论
与
的关系
结论
，但
是
的充分不必要条件
，但
是
的必要不充分条件
且
，即
是
的充要条件
且
是
的既不充分也不必要条件
2、判断充分条件与必要条件的基本思路
（1）分清楚条件是什么，结论是什么；
（2）尝试用条件推结论，或用结论推条件(举反例说明不成立是常用的推理方法)；
（3）指出条件是结论的什么条件．
3、判断充分条件、必要条件、充要条件的几种方法
（1）定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假，并注意和图示相结合，例如若p⇒q，则p 是q
的充分条件．
（2）等价转化法：将原命题转化为与之等价的命题再进行判断．
（3）集合法：利用集合间的关系进行判断，如果条件p 和结论q 都是集合，那么若p⊆q，则p 是q 的充分
条件；若q⊆p，则p 是q 的必要条件；若p=q，则p 与q 互为充要条件．
4、小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个
集合范围一样，就是充要条件的关系；
1．（2026·安徽马鞍山·二模）已知直线
，
与平面
，
，
，则
的一个充分条件是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
，
【答案】C
【详解】对于选项A：当
，
时，
，所以本选项不符合题意；
对于选项B：当
，
时，平面
，
可以平行，所以本选项不符合题意；
对于选项C：当
，
时，由面面垂直的判定定理可得
，所以本选项符合题意；
对于选项D：当
，
，
时，根据线面垂直的判定定理，由
不一定能推出
，
所以本选项不符合题意.
2．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球
从
，
，
三个口中的一个口滚动进入
后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球
从
口滚动进入”是“小球
从
口滚动出
来”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据迷宫图形分析小球从各入口进入后的出口路径，进而判断命题之间的推出关系
【详解】由迷宫图形可知， 若小球Ω 从
口滚动进入，
根据通道走向，小球最终只能从
口滚动出来，
所以“小球Ω 从
口滚动进入”能推出“小球Ω 从
口滚动出来”，充分性成立；
若小球Ω 从
口滚动出来，小球可能是从
口滚动进入，也可能是从
口滚动进入（由图可知从
口进入
最终也会从
口出来），
所以“小球Ω 从
口滚动出来”不能推出“小球Ω 从
口滚动进入”，必要性不成立．
综上所述，“小球Ω 从
口滚动进入”是“小球Ω 从
口滚动出来”的充分不必要条件．
3．（2026·安徽合肥·三模）设
，
，则
是
的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断.
【详解】充分性：若
，由不等式的性质可知
成立，
必要性：若
成立，但
不一定成立，
例如：
，
成立，但不满足
，
所以
是
的充分不必要条件.
4．（25-26 高三下·贵州遵义·开学考试）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，利用正弦函数和正切函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由
，可得
，此时
，所以充分性成立；
反之：由
，可得
，此时
，所以必要性成立，
所以“
”是“
”的充要条件.
5．（2026·甘肃白银·三模）“
”是“函数
在
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用给定单调性求出
的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】函数
，函数
的单调递增区间是
，
由函数
在
上单调递增，得
，则
，因此
，
所以“
”是“函数
在
上单调递增”的充分不必要条件.
6．（2026·山东济南·模拟预测）记无穷等比数列
的前
项和为
，若
，则“存在正数
，使得
对任意正整数
，都有
”是“公比
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】（充分性）若取
，首项
，则数列为
······
此时前
项和
满足：
为奇数时，
；
为偶数时，
；
显然可取
，则对所有
，都有
，所以充分性不成立；
（必要性）当
时，前
项和为
，
由于
恒成立，则
恒成立，取
，
则对所有
，都有
，必要性得证.
所以“存在正数
，使得对任意正整数
，都有
”是“公比
”的必要不充分条件.
7．（2026·北京丰台·二模）已知定义域为
的函数
满足
，
.若
在区间
上单调递增，则“
在
上单调递增”是“
是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】举反例说明充分性不成立，根据奇函数的定义和性质判断必要性成立.
【详解】若
在
上单调递增，例如
，
满足
，
在区间
上单调递增，但
，
所以函数
不是奇函数，所以充分性不成立；
若函数
是奇函数，则
，
且
在区间
上单调递增，则
在区间
上单调递增，
所以
在
上单调递增，所以必要性成立；
综上所述：“
在
上单调递增”是“
是奇函数”的必要不充分条件.
易错归纳07 根据命题的真假求参数的取值范围
【易错陷阱·避错攻略】
常见的换元方法
（1）根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形
式；
（2）整体代换：将所求表达式整体换元；
（3）三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化
的过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一
元二次方程的问题。
1．（2026·重庆江北·模拟预测）已知命题
，则命题p 的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】由全称命题的否定知，命题p 的否定为：
，
.
2．（25-26 高三上·江苏盐城·阶段检测）已知命题
，
，则（ ）
A．
，
，且
是真命题
B．
，
，且
是真命题
C．
，
，且
是假命题
D．
，
，且
是假命题
【答案】D
【分析】先判断命题
的真假，再由全称量词命题的否定是存在量词命题求解．
【详解】设
，
则
，
得函数
在
上单调递增，
则
，
得
，则命题
是真命题，得
是假命题，
且
，
，
故选：D
3．若命题“
，
”为假命题，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】条件可转化为“
，
”为真命题，结合二次函数性质列不等式可得结论.
【详解】因为命题“
，
”为假命题，
所以命题“
，
”为真命题，
则
，解得
，
即
的取值范围是
．
4．（25-26 高三上·辽宁·期末）已知命题
，
为假命题，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据命题的否定及不等式恒成立问题即可求解.
【详解】由题意可转换为
，
，
当
时，
，符合题意；
当
时，由恒成立知
，得
，
综上：
的取值范围是
.
故选：C.
5．已知命题
；命题
，若p 为假命题，q 为真命题，则实数a
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
，
因为p 为假命题，所以
或
，
，则
在
上恒成立，
又当
，当且仅当
时取得等号，
因为q 为真命题，所以
，
所以实数a 的取值范围为
.
6．（25-26 高三上·山东青岛·期末）下列命题正确的是（ ）
A．所有可以被5 整除的整数，末尾数字都是0
B．任意一个偶数都不是素数
C．至少有一个整数n，使得
是奇数
D．任意一个整数n，
都不是4 的倍数
【答案】D
【分析】根据反例可判断AB 的正误，根据连续两个整数必有一个偶数可得判断C 的正误，就
的奇偶性
讨论后可判断D 的正误.
【详解】对于A，
可以被5 整除的整数，但末尾数字是，故A 错误；
对于B，
为偶数且为素数，故B 错误；
对于C，因为
必有一个偶数，故
必为偶数，故C 错误；
对于D，若
，则
，故
不是4 的倍数，
若
，则
，因
为4 的倍数，
故
不是4 的倍数，
故任意一个整数n，
都不是4 的倍数，故D 正确.
故选：D.
7．已知命题
．若命题
为假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意得
为真命题，令函数
，讨论函数的对称轴，即可求
得函数的最小值，建立不等式即可求得实数
的取值范围.
【详解】由题意得命题
的否定
为真命题，
令函数
，则函数对称轴
，
当
，即
，函数最小值为
，
由题意得
，即
.∴
当
，即
，函数最小值为
，
由题意得
，即
或
，∴
.
∴
，
故选：A.
实战检测・易错通关验成效
1．（2026·湖南长沙·三模）命题“
，
”的否定为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】全称量词命题的否定为将量词更改，命题否定，
因此命题“
，
”的否定为命题“
，
”.
2．（2026·湖南长沙·三模）集合
的子集个数为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【详解】由题意得
，元素个数为，子集个数为
.
3．（2026·福建宁德·二模）设甲：
；乙：
，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】对于甲：因为
，所以
，
对于乙：
，则
，
因为
是
的真子集，
所以甲是乙的必要不充分条件.
4．（24-25 高三上·四川成都·期中）已知集合
，若对
都有
，则
为
（ ）
A．1
B．
C．2
D．1 或2
【答案】C
【分析】得到
，分
和
两种情况，求出
，舍去不合要求的解，得到答案.
【详解】由题意得
，
当
时，解得
或
，
当
时，
满足要求，
当
时，
，
，
，
中元素均与互异性矛盾，舍去，
当
时，
，此时
，
中元素与互异性矛盾，舍去，
综上，
.
故选：C
5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合
，则
中元素的个数为
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】分析可知
，结合
，
，分析求解即可.
【详解】因为
，则
，且
，
，可得
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
即
，所以
中元素的个数为6.
6．（2024·陕西安康·模拟预测）集合
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先确定集合
，再逐项判断选项.
【详解】由条件可得
，
所以
.
故选：A.
7．（24-25 高三上·河北承德·期中）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别求出集合
，再根据交集定义求解.
【详解】因为集合
，所以
.
故选：C.
8．设集合
，
，若
，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【分析】首先由
知两集合元素完全相同，而
，故必属于
，从而
、
、
中必有一个等于，
结合互异性排除
后，分
与
两类讨论，每一类下将
表达为具体元素，并与
逐项
对照，利用元素相等关系及互异性消去变量、检验合理性，最终得出符合所有条件的实数对.
【详解】由题意，根据集合元素的互异性可知，
，因为
，所以
，
又因为
，所以
或
，
若
，则
，此时
，
，
因为
，所以
，解得
，此时
，
，满足题意；
若
，则
，此时
，
，
因为
，所以
，即
，又因为
且
，所以此种情况无解；
综上所述，
，
所以
.
故选：B
9．已知命题
命题
若
和
都是真命题，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】D
【详解】命题
为真：
，
，则
，即
.
命题
为真：方程
有实根
，
化简得得
，解得
或
.
均为真，取交集得
或
.
10．（2026·福建·模拟预测）已知数列
为等差数列，设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】设
，则
，
，
当
时，
成立，但
不成立；
当
时，
，
，所以
．
因此甲是乙的必要不充分条件．
11．已知集合
，
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由并集的定义可知
得到
，讨论集合
是否为空集，得到对应的参数
的范围，再
求并集得到结果.
【详解】因为
，所以
.
若
，则
，即
；
若
，则
解得
.
综上所述，
的取值范围是
.
故选：B
12．（25-26 高三上·海南海口·阶段检测）若“
，
（
）成立”是假命题，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，得
，
为真命题，代入
，初步得出
的范围，再验证即可.
【详解】由题意，
，
为真命题，
则
时，
成立，得
；
当
时，
的对称轴
，则
在
单调递增，
成立；
综上实数
的取值范围是
，
故选：D.
13．（2025·四川广安·模拟预测）设集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
和
两种情况判断得出.
【详解】分两种情况：
当
时，
；当
时，
故
或
故选：B
14．已知命题
，命题
，不等式
恒成立，若p 和q 有且仅有
一个正确，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于命题
，
在
上有解，而
为减函数，
所以当
时，
，解得
.
对于命题
，
不等式
恒成立，可化为
在
上恒成立.
又
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时
，当
时，
，所以
，所以
.
和
有且仅有一个正确，只有两种情况：
①
真
假，此时
，解得
；
②
假
真，此时
，则
.
综上，
.
15．（25-26 高三·全国·二轮复习）给出下列三个命题：
①
；
②
；
③
；
其中真命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】B
【分析】根据存在量词命题及全称量词命题的性质，结合对数、指数函数的性质及运算规则，利用导数等
方法分析命题是否成立，从而判断命题真假．
【详解】对于
，
，
，
根据对数函数的性质，对数函数
在
上单调递增，
，故命题①为真命题.；
若
，则
，
和
都是无理数，
不存在有理数
使得
，故命题②为假命题；
令
，
，对
求导，可得
，
令
，即
，解得
，
当
时，
，
，
，
单调递增；
当
时，
，
，
，故
单调递减．
则
在
处取得极大值，也是最大值，
，
，即
，故命题③为真命题．
综上，真命题有①③，共
个．
故选：B．
16．已知集合
，集合
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将集合A 化简，根据条件可得
，然后分
，
，
讨论，化简集合
，列出不等
式求解，即可得到结果.
【详解】令
，即
，
解得
或
，可得
或
，
因为
，所以
，且集合
，
当
时，
，满足要求.
当
时，则
，可得
，解得
；
当
时，则
，可得
，解得
；
综上所述：
的取值范围是
.
故选：B.
17．（2026·北京大兴·三模）设函数
，则“
”是“
的图象关于
轴对称”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】函数图象关于
轴对称，等价于该函数是偶函数．先根据
求出参数
应满足的条件，
再判断两个命题之间的推出关系；
【详解】函数
的图象关于
轴对称，当且仅当对任意
，都有
即
展开得
即
上式对任意
恒成立，则得
，则有
．
反过来，当该式成立时，
，上述等式也恒成立，因此这是图象关于
轴对称的充要条件．
若
的图象关于
轴对称，则
．
所以“
”是“
的图象关于
轴对称”的必要条件．
反之，若取
，有
，此时
，显然其图象不关于
轴对称，故充分性不成立.
综上，“
”是“
的图象关于
轴对称”的必要不充分条件．
18．（2026·河南·一模）已知数列
，设
，
.若
为等差数列，设p：“
为
等差数列”，q：“
为常数列”，则p 是q 的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由已知结合等差数列的性质检验充分必要性即可判断．
【详解】已知
，
，且
为等差数列，设其公差为
.
若
为常数列，则
（常数），即
.
此时：
，
为常数，故
是公差为
的等差数列，即
.
若
为等差数列，则
为常数，设为
.
，
又
，则
，
因此：
，
由于
是等差数列，设其公差为
，则
，代入上式：(bn+d)+bn=k ⇒2bn+d =k，
对任意
成立，说明
为常数（
），故
，即
为常数列.因此
.
综上，
是
的充分必要条件.
19．（25-26 高三上·山东临沂·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组
，有
序数组
，定义“间距置换”：
，
，
.已知有序数组
，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组
，且中所有数之和为2026，则
（ ）
A．1004
B．1007
C．1010
D．1013
【答案】C
【分析】本题通过分析数组元素的大小关系，结合绝对值的运算求解参数.
【详解】由“间距置换”定义，得
，
，
.
由
，得
.
因
且
，故
或
.
若
，则
，
，
，
于是
，
得
，即
，故
.
若
，同理可得
.
综上所述，
的值为
.
故选：C.
20．非空集合
，且满足如下性质：
性质一：若
、
，则
；性质二：若
，则
则称集合
为一个“群”．
以下叙述正确的个数为（ ）
①若
为一个“群”，则
必为无限集；
②若
为一个“群”，且
、
，则
；
③若
、
都是“群”，则
必定是“群”；
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可.
【详解】对于①，设集合
，显然
，符合性质一，
同时也符合性质二，因此集合
是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确；
对于②，根据群的性质，由
可得：
，因此可得
，故本叙述正确；
对于③，设
，
若
，一定有
，
，
因为
、
都是“群”， 所以
，
，
因此
，若
，所以
，
，
，故本叙述正确.
故选：C.
【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键.
21．已知集合
，集合
(1)若
，求实数m 的取值范围.
(2)若
，
，p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】(1)讨论
两种情况，结合交集运算的结果得出实数
的取值范围；
(2)由
是
成立的充分不必要条件，得出
是
的真子集，再由包含关系得出实数
的取值范围.
【详解】（1）①若
，此时
，即
，此时
，满足题意；
②若
，此时
，即
，若
，则满足
或
，
又因为
，得
.
综上，实数m 的取值范围为
.
（2）
p 是q 的充分不必要条件，
是
的真子集，
则
，且等号不能同时成立，解得
.
22．已知命题P：
且
，命题Q：集合
与集合
满足
.
(1)求出命题P 为真命题时的实数a 的取值范围；
(2)求出命题Q 为真命题时的实数a 的取值范围；
(3)若命题P、Q 均为真命题时的a 的取值范围设为集合S，
，若
，求实数
的范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）解不等式化简集合
，求出
的范围；
（2）分
，
讨论，当
时，利用二次函数的图象和性质来列不等式解答；
（3）求出集合，再化简集合
，求出集合
，进而根据集合间的包含关系列不等式求解.
【详解】（1）由
，即
，等价于
，
解得
，即
，
所以命题
为真时，实数
的取值范围为
.
（2）由题意，
，即方程
无正根，
当
时，
，解得
，
当
时，有
，即
，
解得
，
综上，实数
的取值范围为
.
（3）当
均为真命题时，
，即
，
，
由
，解得
或
，
，则
，
因为
，所以
，解得
，
故实数
的取值范围为
.
23．（2025·山东临沂·二模）对集合
，定义集合
，记
为有限集合
的元素个数．
(1)若
，求
；
(2)给定集合
的子集
，求集合
的元素个数；
(3)设
为有限集合，证明：
．
【答案】(1)
(2)4
(3)
对任意元素
，因为
恰属于集合
之一，不妨设
且
．
若
，则
；若
，则
．
故
，从而
．
因此
，结论成立．
【分析】（1）根据定义直接写出结果即可；
（2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数；
（3）对任意元素
，可证
或
，故可证题设中的不等式.
【详解】（1）因为
中的元素是要么只属于
，要么只属于
，
所以
；
（2）设
，则
，因为
，
故符合条件的
的个数为
.
（3）略
24．（25-26 高三上·山东·阶段检测）由正整数构成的集合
，
中至少有两个元素，且
，
满足：
①对于任意
，
，若
，都有
；
②对于任意
，
，若
，则
.
(1)若集合
，求集合
；
(2)若集合
，其中
，证明：
；
(3)若集合
中有四个元素，求集合
中元素的个数.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)7 个
【分析】（1） 根据集合新定义计算求解；
（2） 根据已知结合新定义分
或
两种情况证明；
（3）先设
且
，再列等式得出元素关系，最后应用并集定义计算求解.
【详解】（1）因为1，2，
，则2，4，
；
假设存在不等于2，4，8 的正整数
，
若
，则
，矛盾；
若
，则
，矛盾；
故集合
.
（2）由题意可知，
，
，
，
，
，
，
又因为
，所以
，所以
或
当
时，
，所以
，
，且
，
所以
成立；
当
时，又因为
，所以
；
又因为
，所以
，所以
，所以
成立；
综上，
.
（3）不妨设
，且
，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
，
，
，
其中
，
所以
，解得
，
所以
，
，符合题意，
共7 个元素，
综上：
中共7 个元素.
25．（2026·北京石景山·一模）已知集合
，其中
，若对于任意
的
，总有
，则称集合
具有性质
．由
中的元素构成两个相应的集合：
其中
是有序数对．集合和
中的元素
个数分别为
和
．
(1)检验集合
与
是否具有性质
，并对其中具有性质
的集合，写出相应的集合和
；
(2)对任何具有性质
的集合
，证明：
；
(3)判断
和
的大小关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
不具有性质
，
具有性质
，
，
.
(2)证明：因为对于任意的
，总有
，所以
，从而
，
因为
，
，
，
所以当
时，
和
至多有一个成立，
所以集合
中的元素个数最多为
，即
.
(3)
，证明如下：
①设
，则
，
设
，则
，故
，
从而
，即对
，总存在，使得
，从而
；
②设
，则
，
设
，则
，故
，
从而
，即对
，总存在，使得
，从而
；
由①②可知
.
【分析】（1）利用“具有性质
的集合”的定义，验证计算作答，直接写出集合和
.
（2）探讨具有性质
的集合
的元素个数，即可推理作答.
（3）分
和
讨论，结合新定义求解判断.
【详解】（1）因为
，所以
不具有性质
；
因为
，
，
，所以
具有性质
；
，
.
（2）略
（3）
，证明略.
26．（25-26 高三上·北京·阶段检测）记集合
的元素个数为
．例如：若
，则
．定
义集合
的相关数
如下：
且
，使
(1)对集合
，分别判断5、6 是否相关数，并说明理由；
(2)若
为集合
的相关数，求证：
；
(3)求集合
（整数
）的相关数
的最小值（用
表示）．
【答案】(1)5 不是集合
的“相关数”，6 是集合
的“相关数”，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由相关数的定义，可通过对任意4 个元素之和的计算，分析说明即可；
（2）由相关数的定义可得当
时，通过构造集合
，使其中最小的4 个元素之和都大于
，可
得
一定不是集合
的“相关数”；
（3）结合（2）中的结论
，再将集合
中的元素通过两种划分，说明对任意
元子集
，必存
在集合
，可得
满足相关数的定义即可求解.
【详解】（1）当
时，
．
①对于
的含有5 个元素的子集
，
因为
，则任意4 元子集的4 个元素之和都大于
，
所以5 不是集合
的“相关数”．
②
的含有6 个元素的子集只有
，
因为
，所以6 是集合
的“相关数”．
（2）由题意，
，
若
，设
为集合
的“相关数”，则
.
假设
，则
必存在
元子集
，
且满足
，
由
，
可知
中任意4 个元素之和一定不小于
，
即不存在集合
，使
.
所以当
时，
一定不是集合
的“相关数”．
故假设错误，所以
.
若
为集合
的相关数，即
，则
；
（3）由（2）可知
．
先将集合
的元素可划分成如下
组：
，
每组中的两个元素之和均为
，记
，
则对
的任意一个含有
个元素的子集
，
划分组中必存在三组集合，每组中的元素都属于集合
，记为
．
再将集合
的元素除去
和
，分成如下
组：
，
每组中的元素之和都为
，记
．
对于
的任意一个含有
个元素的子集
，
划分组中必存在一组，该组元素都属于集合
，此组记为
．
则
这一组与上述三组
中至少一组无相同元素，
不妨设
与
无相同元素，
故必存在集合
，
此时集合中4 个元素之和为
．
故集合
的“相关数”
的最小值为
．
27．（25-26 高三上·广东肇庆·开学考试）已知数表
，记
为数表中第行第
列的数，且
.设
，
，如果集合
中元素的个数为
，则称数表
为“
阶倍数表”.
(1)写出3 个满足
的“2 阶倍数表”；
(2)若
为“
阶倍数表”，若整数
，且
，证明：
；
(3)是否存在“5 阶倍数表”？若存在请举出例子；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
，
，
；
(2)证明见解析
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）理解题意按要求构造即可；（2）注意到数表中所有元素之和与
和
之间的联系，集合
中元素的关系，即可证明；（3）反证法，对
的取值进行分类讨论
【详解】（1）
，其中
，即
，满足题意；
，其中
，即
，满足题意；
，其中
，即
，满足题意；
（2）
，
，且
，而区间
中只有
个整数，为了使
各不相同，除了
以外的整数都有一个
或
与之相同，则
，即
，故
.
（3）假设存在“5 阶倍数表”
.
设
，
.
由（2）可知，
，因此
为偶数，故
可能的取值为
，
，
.
从而
.若
，即第行的所有数均为
，
此时便不可能存在
使得
.因此，
要么都属于，要么都属于
.
由于对称性，不妨设
.
若
，则
.此时每一列都各有一个
和，
因此
，因此
，那么
，与
矛盾.
若
，则
.此时
依然成立，因此
，
那么
，而
，
因某两行之和为
和，此两行的数必分别均为
和.
因此每一列必有一个
和，为使某列之和为，则该列剩余的三个数必然是三个，
但考虑到有一行之和为
，那么该行最大的数为
，其余四个数均为
.两者矛盾，
故
.
同理
也会推出矛盾.
若
，则
.此时
依然成立，
因此
.不妨设此时数表为
，
故
，故
.
进而可知
，
，且
时，
.
不妨设
.
故数表如下
.
不妨设
，数表只能如下填写
，
此时中间三列的数字之和均为
，因此即使最后一行填上，
也无法使得该列数之和为
，这与
矛盾.
同理，
依然矛盾.
故不存在
，假设不成立.
所以不存在“5 阶倍数表”.
