文档文本内容
第一章集合、常用逻辑用语、不等式
§1.5 一元二次方程、不等式
【考情分析·探规律】
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
一元二次方程、不等式
2023·新课标卷
2023·全国乙卷
2022·全国新Ⅱ卷
根据函数的单调性可得实数的二
次不等式，求解二次不等式后可确定
实数的取值范围。
【知识梳理】
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－
4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋
bx＋c (a＞0)的图
象
一元二次方程ax2
＋bx＋c＝0 (a＞0)
的根
有两相异实根x1，x2
(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝
－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a
＞0)的解集
R
ax2＋bx＋c＜0 (a
＞0)的解集
{ x | x 1＜
x ＜
x 2}
∅
∅
3.(x－a)(x－b)>0 或(x－a)(x－b)<0 型不等式的解集
不等式
解集
a<b
a＝b
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|x<a，或x>b}
{ x | x ≠ a }
{ x | x < b ，或
x > a }
(x－a)·(x－b)<0
{x|a<x<b}
∅
{ x | b < x < a }
4.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
【名师点拨】
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a) (
∪a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为
(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0 时的情形.
3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0 对任意实数x 恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0 对任意实数x 恒成立⇔或
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)≥0 等价于(x－a)(x－b)≥0.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0 的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )
(3)不等式x2≤a 的解集为[－，].( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)×
【解析】(1)错误.≥0 等价于(x－a)(x－b)≥0 且x≠b.
(3)错误.当a＝0 时，其解集为{0}，当a<0 时，其解集为∅.
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为∅.
2.已知不等式x2－3x＋2≤0 的解集为A，不等式x−2
x−1<0 的解集为B，则“x∈A”是“x∈B”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}，
由(x－2)(x－1)<0，解得1<x<2，所以B＝{x|1<x<2}，
所以集合B 是集合A 的真子集，
所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.
3.若关于x 的不等式x2＋(2m－1)x＋m2－m>0 的解集为{x|x<3 或x>4}，则m 的值为 .
【答案】－3
【解析】根据题意，方程x2＋(2m－1)x＋m2－m＝0 的两根为3 和4，
故有{
3＋4＝1−2m,
3×4＝m
2−m, 解得m＝－3.
4.若关于x 的不等式x2－2ax＋18>0 恒成立，则实数a 的取值范围为 .
【答案】(－3❑√2，3❑√2)
【解析】由题意有4a2－4×18<0，可得－3❑√2<a<3❑√2.
【易错提醒】
谨防三个易误点
(1)含参不等式的求解，注意分类讨论思想的运用，对参数分类时要做到不重不漏.
(2)当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论.
(3)当Δ<0 时，注意区分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R 还是∅.
【必练核心题型】
题型一 求解一元二次不等式
命题点1 不含参的不等式
例1.(多选)下列选项中，正确的是( )
A.不等式－x2－x＋2>0 的解集为{x|x<－2 或x>1}
B.不等式2 x＋1
x−2 ≤1 的解集为{x|－3≤x<2}
C.不等式|x－2|≥1 的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“ x＋4
x−5 <0”的充分不必要条件
【答案】BD
【解析】由题知方程－x2－x＋2＝0 的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2>0 的解集为{x|－2<x<1}，故
A 错误；
因为 2 x＋1
x−2 －1≤0，即x＋3
x−2 ≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－
3≤x<2}，故B 正确；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1 或x－2≥1，
解得x≤1 或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1 或x≥3}，故C 错误；
由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由x＋4
x−5 <0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“ x＋4
x−5 <0”的充
分不必要条件，故D 正确.
命题点2 含参的不等式
例2.已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2.若a>0，解关于x 的不等式f(x)>－ax－1.
解析 不等式f(x)>－ax－1 可化为ax2＋(a＋3)x＋3>0，即(ax＋3)(x＋1)>0.
因为a>0，
所以当－3
a<－1，即0<a<3 时，原不等式的解集为{x|x>−1
x
或<−3
a}；
当－3
a＝－1，即a＝3 时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当－3
a>－1，即a>3 时，原不等式的解集为{x|x<−1
x
或>−3
a}.
【解题技巧】
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ 与0 的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
【变式训练】
变式1.解关于x 的不等式：
(1) 2 x
1−x ≤3；
(2)ax2－(2a－1)x－2≥0.
解析 (1)由题意2 x
1−x －3＝5 x−3
1−x ≤0，
可得{
(5 x−3)( x−1)≥0,
x−1≠0,
解得x≤3
5或x>1，
所以不等式的解集为(−∞，3
5]∪(1，＋∞).
(2)不等式ax2－(2a－1)x－2≥0 可化为(ax＋1)(x－2)≥0，
当a＝0 时，x－2≥0，不等式的解集为[2，＋∞)；
当a>0 时，不等式化为(x＋1
a)(x－2)≥0，其解集为(−∞，−1
a]∪[2，＋∞)；
当a<0 时，不等式化为(x＋1
a)(x－2)≤0，
①当－1
a<2，即a<－1
2时，不等式的解集为[−1
a ，2]；
②当－1
a＝2，即a＝－1
2时，不等式的解集为{2}；
③当－1
a>2，即－1
2<a<0 时，不等式的解集为[2，−1
a].
题型二 三个二次之间的关系
例1.(多选)(2025·蚌埠模拟)已知关于x 的不等式ax2＋bx＋c<0 的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则下列结论正
确的是( )
A.a>0
B.a＋b＋c>0
C.bx＋c>0 的解集是{x|x> 5
6}
D.cx2－bx＋a<0 的解集是{x|x>−1
5 或x<−1}
【答案】CD
【解析】由题意可得1 和5 是方程ax2＋bx＋c＝0 的两根，且a<0，
由根与系数的关系可得1＋5＝－b
a，1×5＝c
a，得b＝－6a，c＝5a，
对于A，因为a<0，故A 错误；
对于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B 错误；
对于C，不等式bx＋c>0，即－6ax＋5a>0，即6x－5>0，得x>5
6，
所以不等式bx＋c>0 的解集是{x|x> 5
6}，故C 正确；
对于D，由不等式cx2－bx＋a<0，得a(5x2＋6x＋1)<0，即5x2＋6x＋1>0，
则(5x＋1)(x＋1)>0，得x>－1
5或x<－1，
即解集为{x|x>−1
5
x
或<−1}，故D 正确.
例2.若关于x 的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0 有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，则a 的取值范围是(
)
A.－2
7 <a<2
5
B.a>2
5
C.a<－2
7
D.－2
11<a<0
【答案】D
【解析】方法一 显然a≠0；
令f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋9a，
当a>0 时，f(1)<0，当a<0 时，f(1)>0，
故af(1)<0，即a(11a＋2)<0，
解得－2
11<a<0.
方法二 因为方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0 有两个不相等的实数根x1，x2，
所以{
x1＋x2＝−a＋2
a
,
x1 x2＝9,
因为x1<1<x2，
所以(x1－1)(x2－1)<0，
即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，
则9＋a＋2
a
＋1<0，解得－2
11<a<0.
【解题技巧】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以
求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负.
【变式训练】
变式1.若不等式ax2＋2x＋c<0 的解集是(−∞，−1
3)∪(
1
2 ，＋∞)，则不等式cx2－2x＋a≤0 的解集是( )
A.[−1
2 ，1
3]
B.[−1
3 ，1
2]
C.[－2，3]
D.[－3，2]
【答案】C
【解析】因为不等式ax2＋2x＋c<0 的解集是(−∞，−1
3)∪(
1
2 ，＋∞)，
所以－1
3和1
2是方程ax2＋2x＋c＝0 的两个实数根，
由{
−1
3 ＋1
2 ＝−2
a ,
−1
3 × 1
2 ＝c
a ,
解得{
a＝−12,
c＝2,
故不等式cx2－2x＋a≤0，即2x2－2x－12≤0，
解不等式x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
所求不等式的解集是[－2，3].
变式2.(多选)已知关于x 的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)，则下列结论正确的是( )
A.x1＋x2＝2
B.x1x2<－3
C.－1<x1<x2<3
D.x2－x1>4
【答案】ABD
【解析】由题意得，a<0，且x1，x2是一元二次方程a(x＋1)(x－3)＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a＝0 的两根，
所以x1＋x2＝－−2a
a
＝2，故A 正确；
x1x2＝1−3a
a
＝1
a－3<－3，故B 正确；
x2－x1＝❑√( x1＋x2)
2−4 x1 x2＝❑√4−4× 1−3a
a
＝2❑√4−1
a
>4，故D 正确；
由x2－x1>4，可得－1<x1<x2<3 是错误的，故C 错误.
题型三 一元二次不等式恒成立问题
例1.已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1.
(1)若不等式f(x)<1 的解集为R，求m 的取值范围；
(2)若不等式f(x)≥0 对一切x∈[−1
2 ，1
2]恒成立，求m 的取值范围；
(3)若不等式f(x)>2 对一切m∈(0，2)恒成立，求x 的取值范围.
解析 (1)不等式f(x)<1，
即mx2－(m－1)x＋m－2<0，
当m＝0 时，x－2<0，解得x<2，不符合题意；
当m≠0 时，有{
m<0,
Δ＝[−(m−1)]
2−4 m(m−2)<0,
解得m<3−2❑√3
3
，
综上所述，m 的取值范围为(−∞，3−2❑√3
3
).
(2)不等式f(x)≥0 对一切x∈[−1
2 ，1
2]恒成立，
即m(x2－x＋1)≥1－x 对一切x∈[−1
2 ，1
2]恒成立，
因为x2－x＋1＝(x−1
2)
2
＋3
4 >0，
则不等式等价于m≥
1−x
x
2−x＋1对一切x∈[−1
2 ，1
2]恒成立，
由x∈[−1
2 ，1
2]，
得
1−x
x
2−x＋1
＝
1
x
2−x＋1
1−x
＝
1
−x＋
1
1−x
＝
1
1−x＋
1
1−x −1≤
1
2❑√(1−x)·
1
1−x −1＝1，
当且仅当1－x＝
1
1−x ，即x＝0 时等号成立，
所以(
1−x
x
2−x＋1)max
＝1，
所以m≥1，即m 的取值范围是[1，＋∞).
(3)不等式f(x)>2 对一切m∈(0，2)恒成立，
即(x2－x＋1)m＋x－3>0 对一切m∈(0，2)恒成立，
令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3，
因为x2－x＋1＝(x−1
2)
2
＋3
4 >0，
所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3 在(0，2)上单调递增，
则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3，
所以x 的取值范围为[3，＋∞).
【解题技巧】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一
般分离参数求最值或分类讨论.
【变式训练】
变式1.已知函数f(x)＝x2－3x＋a.
(1)若f(x)>0 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)若f(x)<0 在(－1，2)上恒成立，求实数a 的取值范围.
解 (1)f(x)＝x2－3x＋a＝(x−3
2)
2
＋a－9
4 ，
则f(x)min＝f(
3
2)＝a－9
4 ，
f(x)>0 在R 上恒成立，
即f(x)min＝a－9
4 >0，故a>9
4 .
故实数a 的取值范围是(
9
4 ，＋∞).
(2)f(x)＝x2－3x＋a＝(x−3
2)
2
＋a－9
4 ，
f(x)在[－1，2]上的最大值为f(x)max＝f(－1)＝(−1−3
2)
2
＋a－9
4 ＝4＋a，
故f(x)在(－1，2)上满足f(x)<4＋a，
故4＋a≤0，解得a≤－4.
故实数a 的取值范围是(－∞，－4].
变式2.已知不等式ax2－3x＋2>0 的解集为{x|x<1 或x>b}.
(1)求a，b 的值；(6 分)
(2)解不等式ax2－(am＋b)x＋bm<0.(7 分)
解析 (1)因为不等式ax2－3x＋2>0 的解集为{x|x<1 或x>b}，
所以x1＝1，x2＝b 是方程ax2－3x＋2＝0 的两个根，
所以{
1＋b＝3
a ,
1×b＝2
a ,
解得{
a＝1,
b＝2.
(2)由(1)知原不等式为x2－(m＋2)x＋2m<0，
即(x－m)(x－2)<0，
当m>2 时，不等式解集为{x|2<x<m}；
当m＝2 时，不等式解集为
；
∅
当m<2 时，不等式解集为{x|m<x<2}.
变式3.设函数f(x)＝ax2＋bx＋3，关于x 的一元二次不等式f(x)>0 的解集为(－3，1).
(1)求不等式x2＋ax＋b>0 的解集；(6 分)
(2)若∀x∈[－1，3]，f(x)≥mx2，求实数m 的取值范围.(8 分)
解析 (1)因为一元二次不等式f(x)>0 的解集为(－3，1)，
所以－3 和1 是方程ax2＋bx＋3＝0 的两个实根，则{
−3＋1＝−b
a ,
−3×1＝3
a ,
解得{
a＝−1,
b＝−2.
因此所求不等式即为x2－x－2>0，解集为{x|x<－1 或x>2}.
(2)f(x)≥mx2可化为(m＋1)x2≤－2x＋3，当x＝0 时显然成立；
当x≠0 时，不等式可化为m＋1≤－2
x ＋3(
1
x)
2
对∀x∈[－1，0)∪(0，3]恒成立，
令t＝1
x ∈(－∞，－1]∪[
1
3 ，＋∞)，则m＋1≤－2t＋3t2，
当t＝1
3，即x＝3 时，(−2t ＋3t
2)min＝－1
3，
所以m＋1≤－1
3，即m≤－4
3 .
