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1
换元法解可化为一元二次方程的分式方程 题集
【B】
1.
【解析】
【标注】
已知方程
，如果设
，那么原方程化为关于的方程
是 ．
【答案】
设
，则
，
则原方程可化为
.
【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程
A.
B.
C.
D.
2.
【解析】
【标注】
用换元法解分式方程
，如果设
，那么原方程化为关于的整
式方程是（ ）．
【答案】A
由题意可得：
．
故方程两边同乘得：
．
故选
．
【知识点】解分式方程的一般步骤
3.
【解析】
用换元法解方程
时，如果设
，那么原方程可化成关于的整式
方程，这个整式方程是 ．
【答案】
设
，则
2
【标注】
所以原方程可变形为：
方程的两边都乘以
，得
即
故答案为：
．
【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程
4.
【解析】
【标注】
用换元法解分式方程
时．如果设
，将原方程化为关于的整式方
程，那么这个整式方程是 ．
【答案】
由题意，设
，则
，
∴原方程化为：
，
∴整理得：
．
【知识点】换元法解分式方程
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
解下列方程及不等式．
解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
，画图见解析．
，
．
，由①得，
，
由②得，
，故不等式组的解集为：
．
在数轴上表示为：
原方程可化为
，
①
②
3
【标注】
令
，则原方程可化为
，即
，解得
或
，
当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
，
综上所述，
，
．
【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程
6.
【解析】
【标注】
解方程：
．
【答案】
，
，
，
．
设
．代入原方程，并整理得：
．
解得
，
．
由
解得
，
．
由
解得
，
．
经检验，原方程的解是
，
，
，
．
【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7.
（1 ）
【解析】
解下列分式方程：
．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
或．
原方程可化为：
，
则有：
，
则：
，
4
（2 ）
（3 ）
【标注】
解得：
，经检验，
时分式方程的最简公分母不为，
故原方程的解为：
．
原方程可化为：
，
则有：
，
则：
，
解得：
，经检验，
时分式方程最简公分母不为，
故原方程的解为：
．
令
，
，
则原方程可化为：
，
则有：
，
即
，
∴
或
，
则：
或
，
解得：
或，
经检验，
或时分式方程最简公分母不为，
故原方程的解为：
或．
【知识点】解可化为一元一次方程的分式方程
（1 ）
（2 ）
8.
（1 ）
（2 ）
【解析】
解下列方程：
；
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
，
，
，
．
去分母得，
整理得
∴
∴
或
经检验，
是原方程的增根，舍掉，
是原方程的解
∴原方程的解为
．
设
，则原方程可变形为
5
【标注】
∴
∴
∴
∴
或
∴
或
∴
或
∴
或
∴
或
或
或
经检验，
，
，
，
都是原方程的解
∴原方程的解为
，
，
，
．
【知识点】解可化为一元一次方程的分式方程；解可化为一元二次方程的分式方程
9.
【解析】
【标注】
方程
的所有的解的和为
【答案】
令
，原方程化为：
，故
，
．代回可得关于
的方程：
或者
；前一个方程的解为
，
，后一
个方程无解，故所有的解的和为
．
【知识点】换元法解分式方程
（1 ）
（2 ）
（3 ）
10.
（1 ）
【解析】
解方程：
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
，
，
，
．
，
，
．
原方程变形为
．
两边同乘以
，并整理得
．
6
（2 ）
（3 ）
【标注】
解得
，
．
经检验，
是增根．
∴原方程的解为
．
设
．代入原方程，并整理得：
．
解得
，
．
由
解得
，
．
由
解得
，
．
经检验，原方程的解是
，
，
，
．
原方程可变形为
．
设
进行换元可得
，
去分母后化为
，
可解
，
，
．
【知识点】换元法解分式方程
11.
【解析】
【标注】
解方程：
；
【答案】
和
原方程为：
设
，则
即
解得
或
当
时，有
，解得
；
当
时，有
，解得
经检验，
和
是原方程的解
【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程
12. 解方程：
（只需求出有理数解）
【答案】
，
．
7
【解析】
【标注】
令
，
，
观察知
，解得
或
①
时，有
，去分母得
，无有理数解；
②
时，有
，去分母得
，解得
，
．
经检验，原方程的有理数解为
，
．
【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程
A.
B.
，
C.
D.
13.
【解析】
【标注】
方程
的解为（ ）．
【答案】B
令
，则原方程变为
，去分母得
，
∴
，
∴
，
．
当
时，由
得
，此方程无实数解．
当
时，由
得
，
∴
，
．
经检验，
，
都是原方程的解．
故选．
【知识点】换元法解分式方程
14.
方法一：
【解析】
解方程：
．
【答案】
．
令
，
∴
，
∴
，
8
方法二：
【标注】
∴
，
∴
，
，
解得，
，
∴
，
∴
，
∴
．
令
，则原方程可化为
，解得
．
所以
．即
，解得
，
．
经检验
，
都是原方程的解，
∴原方程的解为
，
．
【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
15.
【解析】
【标注】
解方程
（ ）．
【答案】C
令
，则原方程可化为
，解得
．
所以
．即
，解得
．
经检验
，
都是原方程的解． 原方程的解为
，
．
【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程
（1 ）
（2 ）
16.
（1 ）
【解析】
解方程．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
或
．
9
（2 ）
【标注】
原方程可化为
，
易知
方程成立；
当
时，有
设
，则原方程可化为
解得
.
即
，解得
．
【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程
17.
方法一：
方法二：
方法三：
【解析】
【标注】
解方程：
．
【答案】
或
．
设
，则原方程可化为
，
去分母，得
，
整理，得
，
解得
，
将
代入
，得
，
解得
或
，
经检验，
或
是原方程的根．
设
，则原方程可化为：
，解得，
，
故
，
或
．
下面提供一种更好的换元的解法，设
，则原方程可化为：
，
，
，解得，
，
∴
，
，
故
或
．
【知识点】解可化为一元二次方程的分式方程
