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专题 01 集合，常用逻辑用语与不等式
3大考点概览
考点01集合及其运算
考点02常用逻辑用语
考点03一元二次不等式与基本不等式
考点1 集合及其运算
1．（2026·福建福州·三模）已知集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 ，
2．（2026·福建龙岩·三模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得 ，
再根据交集的概念得 .
3．（2026·福建南平·二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】方法一：集合，
又 ，所以 .
方法二：因为 ， ，
所以 ，
所以 .
4．（2026·福建漳州·三模）已知 是集合 的非空子集，若 ，则称 是集合
的“互斥子集组”，并规定 与 为不同的“互斥子集组”．集合 的不同“互
斥子集组”的个数是___________．（用数字作答）
【答案】50
【分析】解法一利用组合数的性质并分类讨论求解即可，解法二列举出具体集合，再分类讨论求解
即可.
【详解】解法一：若 中各含1个元素时，“互斥子集组”有 个，
若 中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有 个，
若 中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有 个，
若 中各含2个元素时，“互斥子集组”有 个，
综上，不同“互斥子集组”的个数是50个．
解法二：当集合 中有1个元素时，有 ，共4种情况，
集合 是由集合 中去除这个元素后，剩下的3个元素组成的非空子集，
可得这样的“互斥子集组”有 个，
当集合 中有2个元素时，有 ，共6种情况，而集合 是由集合 中去2个元素后，
剩下的2个元素组成的非空子集，此时“互斥子集组”有 个，
当集合 中有3个元素时，有 ，共4种情况，
而集合 是由集合 中去除3个元素后，剩下的1个元素组成的非空子集，
则此时“互斥子集组”有 个，
综上，不同“互斥子集组”的个数是50个．
5．（2026·福建三明·二模）已知集合 ， ，若 ，则实
数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解不等式求得集合 ，由 ，可得 ，求解即可.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
所以 ，又 ，
由 ，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
6．（2026·福建泉州·模拟预测）设集合 ， ，则 图中阴影部分表示
的集合是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，得 ，因为指数函数 单调递增，所以 ，即 .
已知 ，所以 .
分析Venn图：阴影部分表示集合 中去掉 的部分.
因此阴影部分表示集合 .
7．（2026·福建宁德·二模）已知集合 ，集合 ，则 中元素的
个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据交集的定义求出集合 即可.
【详解】因为集合 ，集合 ，
所以 ，所以 中元素的个数为3.
8．（2026·福建莆田·模拟预测）已知集合 ，则 的元素个数
为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】首先根据函数的定义域求出集合 ，然后根据交集的定义即可求解.
【详解】集合 是函数 的定义域，根据二次根式的要求，被开方数非负，得 ，即 ，故 ，共有2个元素.
9．（2026·福建厦门·模拟预测）（多选）已知 ， ，…， ，…均为有限实数集，记 中的最
大元素为 ， ， ，若 ，则（ ）
A．
B．
C． 中所有元素的平均数为191
D． 中所有元素的和为3008
【答案】ACD
【分析】抓住集合构造的递推规律：最大元素 ，直接得到 的等比通项；集合元素个
数 ，结合元素和的递推关系 ，推导出 的通项，再逐一验
证选项即可.
【详解】选项A，已知 ，最大元素 ，
根据定义 ，
则 ，A正确；
选项B，由 的构造， 的最大元素是 ，则 的最大元素是 ，
因此 ，即 是首项为 ，公比为2的等比数列： .
当 时， ，B错误；
设 为 所有元素之和，则 ，因为 ，
所以 .一般地， ，其中 是的元素个数.
由构造可知， (即每次新增元素与原集合无重复)，因为 ，故 .
结合 ，递推得： ，
等式两边同除以 得 .令 ，则 ，
累加法求 ，
则 .
选项C，当 时，均值为 ，C正确；
选项D，当 时， ，D正确.
考点2 常用逻辑用语
10．（2026·福建宁德·二模）设甲： ；乙： ，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】对于甲：因为 ，所以 ，
对于乙： ，则 ，
因为 是 的真子集，
所以甲是乙的必要不充分条件.
11．（2026·福建福州·三模）记 为等比数列 的前 项和，设甲： 为等差数列，乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【分析】根据等差性质、等比数列的性质，结合充分条件、必要条件的概念求解判断即可.
【详解】设等比数列 的公比为 ，首项为 .
甲： ， ， .
因为 为等差数列，所以 ，即 ，
整理得 ，即 ，所以 .
乙： ， ， .
因为 为等差数列，所以 ，即 ，
整理得 ，即 ，解得 或 .
所以若甲成立，乙一定成立，故甲是乙的充分条件；若乙成立，甲不一定成立，故甲不是乙的必要
条件；
综上，甲是乙的充分不必要条件.
12．（2026·福建泉州·模拟预测）“函数 在区间 内存在最小值”的充分不
必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】利用导数求出 的单调性和极值点，结合题意，分析可得a的范围，根据充分、必要条
件的定义，结合选项，分析即可得答案.
【详解】由题意 ，令 ，解得 或 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
所以 的极小值为 ，
因为 区间 内存在最小值，所以极小值点0在区间 内，
则 ，解得 ，
令 ，解得 ，或 ，
所以 ，解得 ，
综上，函数 在区间 内存在最小值时 ，
要满足“函数 在区间 内存在最小值”的充分不必要条件，
即所求为 的真子集，
分析选项可得，只有 符合题意.
考点3 一元二次不等式与基本不等式
13．（2026·福建南平·二模）若 ， ，且 ，则 的最小值为________.
【答案】5【分析】根据题意得 ，对 整理，再利用基本不等式求解.
【详解】由 得 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，当且仅当时 等号成立，
所以 的最小值为5.
14．（2026·福建莆田·二模）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对于AB，利用不等式的性质可判断，对于C，使用作差法即可判断，对于D，结合余弦函
数的单调性和奇偶性即可判断.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，即 ，故A错误；
对于B，当 时， ， ，此时 ，故B错误；
对于C， ，
因为 ，所以 ， ， ，所以 ，即 ，故C正确；
对于D，函数 在 上单调递减，所以 ，
又因为函数 为偶函数，所以 ，故D错误.
15．（2026·福建漳州·二模）（多选）已知正数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为
B． 的最小值为27
C． 的最大值为6
D．若 ，则 的最小值为6
【答案】ABD
【分析】利用“1”的代换，完全平方公式，函数导数，三角代换法逐项分析即可.
【详解】对于A，由 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，
所以
，令 ，则 ，
设 ，
所以
，
由 ，所以 ，令 ，解得： ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以当 即 时， 的最小值为27，故B正确；
对于C，因为 ，
所以 ，
令 ，
则 ，因为 ，所以 ，
当 时取等号，此时由 ，得出 ，
因为 ，所以条件不满足，故C错误；
对于D，因为 ，
所以
，
因为 ，所以
，
当且仅当 即 等号成立，故D正确.
16．（2026·福建泉州·二模）已知正数 满足 ，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设可得 ， ，进而得到 ，再根据基本不等式求解即可.
【详解】由题意， 为正数，且 ，则 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
则 的最大值为 .
故选：A
