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专题01 集合与常用逻辑用语（核心考点精
讲精练）
1. 5 年真题考点分布
集合5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2019 年全国I，第1 题,5
分
集合的交集
一元二次不等式的解法
2019 年全国II，第1 题,5
分
集合的交集
一元二次不等式的解法
2019 年全国III，第1
题,5 分
集合的交集
一元二次不等式的解法
2020 年全国I，第2 题,5
分
集合的交集
一元二次不等式的解法、含参不等
式
2020 年全国II，第1 题,5
分
集合的并集、补集
无
2020 年全国III，第1
题,5 分
集合的交集、点集
无
2021 年全国甲，第1 题,5
分
集合的交集
无
2021 年全国乙，第2 题,5
分
集合的交集、子集
无
2022 年全国甲，第1 题,5
分
集合的并集、补集
解一元二次方程
2022 年全国乙，第3 题,5
分
集合的补集
无
2023 年全国甲，第1 题,5
分
集合的并集、补集
整数、余数
2023 年全国乙，第2 题,5
分
集合的交集、并集、补集
无
常用的逻辑用语5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
1
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2021 年全国甲，第7 题,5
分
充分性、必要性
数列的增减性
2021 年全国乙，第3 题,5
分
“或”、“且”、“非”
命题的真假
三角函数、指数函数
2023 年全国甲，第7 题,5
分
充分性、必要性
三角函数的平方关系
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容集合是全国卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5 分；常
用的逻辑用语偶尔考查。
【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系
2.能正确处理含参的讨论问题，掌握集合的交、并、补运算和性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn 图、数轴等工具解决集合的计算问
题
4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的含绝对
值的不等式
5.掌握充分条件、必要条件的判断；命题的真假判断；“或”、“且”、
“非”的应用
【命题预测】本节内容是全国卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一
个集合，然后通过集合的运算得出答案。
2
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知识讲解
一、集合与元素
1.集合中元素的三个特征:
确定性
、
互异性
、无序性.
元素的互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题.
2.集合与元素的关系是属于或
不属于
的关系,用符号“
∈
”或“∉”表示.
3.集合的表示法:
列举法
、
描述法
、 图示法 .
4.常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
¿(N +)
Z
Q
R
3
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正整数集与自然数集的区别：N
¿(N +)比N 少一个元素0
二、集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基
本
关
系
子集
集合A 中的
任意一个
元素
都是集合B 中的
元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B
或
B ⊇ A
真子集
集合A 是集合B 的子集,
且集合B 中
至少
有
一个元素不属于集合A
A⊆B,且∃x∈B,x∉A
A⊂
¿ B
或
A⊃
¿ B
相等
集合A,B 的元素完全
相
同
A⊆B,且B⊆A
A=B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅⊂
¿ A(A≠∅)
在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如A⊆B，则
要考虑A=∅和A≠∅两种可能.
若A 为有限集合，含有n 个元素的集合有2n个子集,有2n-1 个非空子集,有2n-1 个真子
集,有2n-2 个非空真子集.
三、集合的基本运算
表示
运算
文字
语言
符号
语言
图形语言
记法
交集
属于集合A
且属于集合
B 的元素组
成的集合
{x|x∈A,
且
x∈B}
A ∩ B
并集
属于集合
A
或
属于集合
B 的元素
组成的集合
{x|x∈A
或x∈B}
A ∪
B
4
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补集
全集U 中
不
属
于集合A
的元素组
成的集合
{x|x∈
U,且x
∉
A}
CU A
三种集合运算的性质
(1)并集的性质：A∪∅=A ；A∪A=A ；A∪B=B∪A ；A∪B=A⇔B⊆A .
(2)交集的性质：A∩∅=∅；A∩A=A ；A∩B=B∩A ；A∩B=A⇔A ⊆B .
(3)补集的性质：A∪(CU A)=U ；A∩(CU A)=∅；CU (CU A)=A ；
CU ( A∩B)=(CU A)∪(CU B)；CU ( A∪B)=(CU A)∩(CU B).
【思考】 集合{x|y=x2+1}，{y|y=x2+1}，{(x，y)|y=x2+1}相等吗?
提示 不相等.{x|y=x2+1}=R ，{y|y=x2+1}=[1，+∞)，{(x，y)|y=x2+1}是抛
物线y=x2+1上的点组成的集合.
四、常用的逻辑用语
1、命题
用语言、符号或式子表达的,可以
判断真假
的陈述句叫作命题,其中
判断为真
的
语句叫作真命题,
判断为假
的语句叫作假命题.
2、充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p 是q 的充分条件,q 是p 的
必要
条件
p⇒q 且q⇒/ p
p 是q 的
充分不必要
条件
p⇒/ q 且q⇒p
p 是q 的
必要不充分
条件
p⇔q
p 是q 的
充要
条件
p⇒/ q 且q⇒/ p
p 是q 的
既不充分也不必要
条件
3、全称量词和存在量词
（1）全称量词:短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫作全称量词,用符号“
∀
”表示.
（2）存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫作存在量词,用符号“
∃
”表示.
4、全称量词命题、存在量词命题的否定
命题
名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称量词命题
对M 中任意一个x,有p(x)成立
∀
x ∈ M
, p ( x )
∃x∈M,
¬ p ( x )
存在量词命题
存在M 中的一个x,使p(x)成立
∃x∈M,p(x)
∀x∈M,¬p(x)
5、四种命题
5
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（1）四种命题的真假性：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
（2）四种命题的真假性之间的关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有 相同的
真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
6、联结词“且”、“或”、“非”
（1）用联结词“且”把命题(0,θ)(θ∈R)和命题ρ<0联结起来，得到一个新命题，记作−ρ>0．
当(−ρ,θ)、(ρ,θ)都是真命题时，(−ρ,θ)是 真命题 ；
当(ρ,π+θ)、ρ>0,0≤θ≤2π两个命题中有一个命题是假命题时，( ρ,θ)是假命题．
（2）用联结词“或”把命题(ρ,θ)和命题
ρ
2
=x
2
+y
2
, x=ρcosθ,
y=ρsinθ, tanθ=
y
x
(x≠0)联结起来，得到一个新命题，记作r
．
当ρ=r、C(a,0)两个命题中有一个命题是真命题时，(a>0)是真命题；
当a 、ρ=2acosθ两个命题 都是假命题 时，C (a , π
2 )是假命题．
（3）对一个命题(a>0)全盘否定，得到一个新命题，记作a ．
若ρ=2asinθ是真命题，则θ=α(ρ≥0)必是 假命题 ；
若θ=α(ρ∈R)是 假命题 ，则A(a,0)(a>0)必是真命题．
考点一、集合与元素
1．（2023 年全国高考甲卷数学（文）第1 题）设全集
，集合
，则N∪(CU M)= （ ）
A．
B．
C．
D．
【命题意图】
本题考察有限集合中，求补集，求并集，难度：容易
【答案】A
【详解】因为全集
，集合
，所以CU M={2,3,5}，
又
，所以N∪(CU M)={2,3,5}
2．（2020 年全国统一高考新课标Ⅲ数学（理）第1 题）已知集合
，
，则
中元素的个数为（ ）
6
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A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【分析】采用列举法列举出
中元素的即可.
【详解】由题意，
中的元素满足
，且
，由
，得
，
所以满足
的有
，
故
中元素的个数为4.
3．（2020 年全国统一高考新课标Ⅰ数学（理）第2 题）设集合A={x|
}，B={x|
}，且
，则a= （ ）
A．–4
B．–2
C．2
D．4
【答案】B
【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即
可确定实数a 的值.
【详解】求解二次不等式
可得：
，求解一次不等式
可
得：
.
由于
，故：
，解得：
.
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计
算求解能力.
1．已知集合A={x|2x−3>0}，下列表示正确的是（ ）
A．0∈A ,2∈A
B．0∉A ,2∈A
C．0∈A ,2∉A
D．0∉A ,2∉A
【答案】B
【分析】先写出集合A ,然后逐项验证即可
【详解】由题知
A={x|x> 3
2},对比选项知，B 正确,ACD 错误
2．已知集合
,则
中所含元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】列举法得出集合
，共
7
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含
个元素．
3．已知集合
，若
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】根据交集结果得到
，
或
，检验后得到答案.
【详解】因为
，所以
，
或
，
当
时，
，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当
时，
，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当
时，
，满足集合元素互异性，满足要求.
考点二、集合间的基本关系
1．（2021 年全国高考乙卷数学（理） 第2 题）已知集合
，
，则S∩T= （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分析可得
，由此可得出结论.
【详解】任取
，则
，其中
，所以，
，故
，因此，
.
2．（2013 年全国统一考试新课标1 卷数学（理）改编）已知集合A＝{x|x2－2x＜0}，B＝
{x|－
＜x＜
}，则（ ）
A．A∩B＝
B．A∪B＝R
C．B
A
D．A
B
【答案】D
【详解】依题意A＝{x|0＜x＜2}，又因为B＝{x|－
＜x＜
}，所以A
B.
1．设集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据集合的描述确定
、
的元素，进而判断它们的包含关系即可.
【详解】由
且
，即
，而
，
8
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所以
为
的子集，则
.
2．已知集合
是平行四边形，
是矩形，
是正方形，
是菱形，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊆A，矩形与正方形是平行四边形的特
殊情形，所以B⊆A，C⊆A，正方形是矩形，所以C⊆B．
考点三、集合的基本运算
1．（2023 年全国甲卷数学（理） 第1 题）设集合
，U 为整数集，CU ( A∪B)= （
）
A．
B．
C．
D．
【命题意图】
本题考察对整数形式的无限集合的理解，求并集，求补集，难度：容易
【答案】A
【详解】因为整数集
，
，所以，CU ( A∪B)=
．
2．（河北省石家庄市2023 届高三三模数学试题）如图，集合A ，B 均为U 的子集，
(CU A)∩B 表示的区域为（ ）
A．I
B．II
C．III
D．IV
【答案】D
【分析】由补集和交集的概念求解即可.
【详解】由补集的概念，CU A 表示的区域如下图所示阴影区域，
9
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∴(CU A)∩B 表示的区域为下图所示阴影区域，
即为图中的区域 Ⅳ.
3．（河北省2023 届高三模拟（三）数学试题）已知集合
，
，若
，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出集合
，然后根据
的关系，结合
进行分析即可.
【详解】因为
或
，所以
或
，
由
，所以当
时，
不成立，所以集合
为空集，
满足题意，
当
时，
，由
，所以
，所以有
，
综上所述实数
的取值范围是
，
1．已知集合
，
，则
（ ）
10
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解不等式可求得集合
，由交集定义可得结果.
【详解】由
得：
，解得：
，即
，
又
，
.
2．已知集合
，
，则下图中阴影部分表示的集合为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，用列举法表示集合A，再结合韦恩图列式求解作答.
【详解】依题意，A={−1,0,1,2,3}，而阴影部分表示的集合是A∩¿ ¿（C R B ），
又B={x∈R|x<1}，则 CR B={x∈R|x≥1}，所以A∩¿ ¿（C R B ）={1,2,3}.
3．已知集合A={x|2≤3 x−1≤8}，B={x|x≤a
x
或≥a+1}，若（C R B ）⊆A ，则实数
a 的取值范围是（ ）
A．(1,2)
B．(1,2]
C．[1,2]
D．[1,2)
【答案】C
【分析】先求出集合A ，然后根据（C R B ）⊆A 的关系，进行分析即可.
【详解】依题意，
A={x|1≤x≤3}，由（C R B ）={x|a<x<a+1}⊆A ，得
{
a≥1
a+1≤3 ⇒1≤a≤2
考点
四
、
常用的逻辑用语
1．（2023 年全国甲卷数学（理） 第7 题）“
”是“
”
的（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
11
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【命题意图】
本题考察同角三角函数的平方关系，以及充分条件、必要条件的概念，难度：较易
【答案】B
【详解】当
时，例如
但
，
即
推不出
；当
时，
，即
能推出
.
综上可知，
是
成立的必要不充分条件.
2．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）已知命题
﹔命题
﹐
，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由正弦函数的有界性确定命题
的真假性，由指数函数的知识确定命题
的真假
性，由此确定正确选项.
【详解】由于
，所以命题
为真命题；
由于
在
上为增函数，
，所以
，所以命题
为真命题；
所以
为真命题，
、
、
为假命题.
1．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为
可得：当
时，
，充分性成立；
当
时，
，必要性不成立；所以当
，
是
的充分不必要
条件.
2．命题
：
，
，命题
：
，
，则（ ）
A．
真
真
B．
假
假
C．
假
真
D．
真
假
【答案】D
【分析】对于命题
：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题
：根据存在命题
结合二次函数的
判别式分析判断.
【详解】对于命题
：令
，则
开口向上，对称轴为
12
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，
且
，则
，所以
，
，即命题
为真命题；
对于命题
：因为
，所以方程
无解，即命题
为
假命题；
3．已知命题
恒成立；命题
在
上单调
递增，若
为真命题，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先求出命题
、
为真时参数的取值范围，依题意
为真命题且
为真命题，求
出其公共部分，即可得解.
【详解】因为命题
恒成立，
若命题
为真命题，则
，解得
，
命题
在
上单调递增，
若命题
为真命题，则对称轴
，解得
，
因为
为真命题，所以
为真命题且
为真命题，
所以
，解得
，即实数m 的取值范围是
.
【基础过关】
1．（2021 年北京市高考数学试题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得：
.
2．（2021 年浙江省高考数学试题）设集合
，
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
13
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【答案】D
【分析】由题意结合交集的定义可得结果.
【详解】由交集的定义结合题意可得：
.
3．（2020 年天津市高考数学试卷）设全集
，集合
，则A∩¿ ¿（CU B ）=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
【详解】由题意结合补集的定义可知：CU B={−2,−1,1} ，则A∩¿ ¿（CU B ）=={-1,1}.
4．（贵州省遵义市2023 届高三第三次统一考试数学（理）试题）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出集合
，再根据并集的运算即可求出．
【详解】因为
，而
，所以
．
5．（2023 届四川省名校联考高考仿真测试（五）理科数学试题）已知集合
．集合
，则(C R B)∩A= （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出集合
、
，利用补集和交集的定义可求得集合(C R B)∩A .
【详解】因为
，
，
故CR B={x|1
2<x≤2}，因此，(C R B)∩A=(
1
2 ,1).
6．（黑龙江省哈尔滨市第四中学校2023 届高三下学期最后一模考试数学试题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．R
【答案】A
【分析】根据直线位置关系判断即可.
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【详解】因为直线
与
平行，所以
.
7．（江西省100 所名校最新模拟示范卷2023 届高三全国统一考试数学试题（四））已知
集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．6
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用交集运算的结果求解作答.
【详解】因为集合
，
，且
，则有
，所以
.
8．（2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国新课标）已知集合
,
,则
（ ）
A．（0,2）
B．[0,2]
C．（0,2]
D．{0,1,2}
【答案】D
【详解】试题分析：
=
,
=
，所以
{0,1,2}.
9．（真题改编）设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−2,0}，B={x|x2−4 x+3=0}，
则CU ( A∪B)= （ ）
A．{1,3} B．{−1,3} C．{1,2}
D．{−1,2}
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，
，所以A∪B={−2,0,1,3},
所以CU ( A∪B)={−1,2}.
10．（重庆市2023 届高三临门一卷（三）数学试题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数函数单调性求集合A，再根据交集运算求解.
【详解】因为
在定义域内单调递增，则
，
15
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所以
.
11．（2021 年天津高考数学试题）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】由题意，若
，则
，故充分性成立；若
，则
或
，推不
出
，
故必要性不成立；所以“
”是“
”的充分不必要条件.
12．（2021 年北京市高考数学试题）已知
是定义在上
的函数，那么“函数
在
上单调递增”是“函数
在
上的最大值为
”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数
在
上单调递增，则
在
上的最大值为
，
若
在
上的最大值为
，比如
，
但
在
为减函数，在
为增函数，
故
在
上的最大值为
推不出
在
上单调递增，
故“函数
在
上单调递增”是“
在
上的最大值为
”的充分不必要条
件，
【能力提升】
1．（四川省2023 届名校联考高考仿真测试（一）理科数学试题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据列举法求解集合和求解一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
，若要
，则需
，所以解得
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所以
，
所以
.
2．（江西省上饶一中、上饶中学2023 届高三高考仿真模拟数学（理）试题）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解出对数不等式，化简集合A 和集合B 即可.
【详解】由题可得
=
，
，所以
，
3．（广东省深圳市龙岗区德琳学校2023 届高三二模数学试题）已知
，
，则C A B= （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，将集合
，分别化简，然后结合交集的运算即可得到结果.
【详解】因为
，
，
则C A B=
.
4．（江西省景德镇一中2019-2020 学年高一上学期期中考试数学试题）若集合
则A∩B= （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】集合A={x|−1<x<2}，
B={x|x<−1
2
x
或>3}，∴
A∩B={x|−1<x<−1
2}.
5．（改编）已知集合A={x|−2<x<4}，B={x|x−m<0}，若A∩B=A ，则m 的取
值范围是（ ）
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A．(4，+∞) B．[4，+∞) C．[−2，+∞)
D．(−2，+∞)
【答案】B
【分析】考察交集的性质：A∩B=A ⇒A ⊆B ，根据关系即可得解.
【详解】B={x|x<m}，A∩B=A ⇒A ⊆B ，∴m≥4 ，∴m∈[4，+∞).
6．（改编）已知集合A={−2}，B={x|ax +1=0}，若A∪B=A ，由a 的取值组成的
集合是（ ）
A．{0} B．{
1
2} C．{0，−1
2}
D．
{0, 1
2}
【答案】D
【分析】考察并集的性质：A∪B=A ⇒B⊆A ，讨论集合B 是否为空集，根据关系即
可得解.
【详解】当B=∅时，a=0
当B≠∅
时，B={−1
a}，A∪B=A ⇒B⊆A ，∴−1
a=−2⇒a=1
2
，
∴a∈{0, 1
2}.
【名师点睛】当集合中出现参数表示取值或者表示范围时，重点考虑集合是否为空集
7．（改编）已知集合A={x|x2+3 x−10≤0}，B={x|a−1≤x≤2a+1}，若A∩B=∅，
则a 的取值范围是（ ）
A．
[−2，−3
2 )∪(6,+∞)
B．(−2，−3
2)∪(6,+∞)
C．(−∞，−3
2)∪(6,+∞)
D．
(−∞，−3
2 ]∪(6,+∞)
【答案】C
【分析】解不等式求出集合A，讨论集合B 是否为空集，根据关系即可得解.
【详解】由题意，A={x|x2+3 x−10≤0}⇒A={x|−2≤x≤5}，
当B=∅时，2a+1<a−1⇒a<−2
当B≠∅
时，由A∩B=∅
得{
a≥−2
2a+1<−2 或{
a≥−2
a−1>5 ，⇒−2≤a<−3
2
a
或>6
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综上所述
a∈(−∞，−3
2)∪(6,+∞).
【名师点睛】当集合中出现参数表示取值或者表示范围时，重点考虑集合是否为空集
8．（四川省广安市邻水实验学校2017-2018 学年高二上学期第一次月考数学试题）已知集
合
，
，则
中元素的个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】B
【详解】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以
为圆心，为
半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线
上所有的点组成的集合，又圆
与直线
相交于两点
，
，则
中有2 个元素.故选
B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和
化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解
题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否
满足互异性.
9．“
”是“方程
表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】利用方程为表示双曲线的条件，求得
的取值范围，再根据充分条件和必要条件
的定义判断条件和结论的关系.
【详解】因为方程
表示双曲线，所以
，解得
或
，
因为由
可推出
或
，，但是由
或
，不能推出
，
所以“
”是“方程
表示双曲线”的充分不必要条件，
10．设
，
是非零向量，“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答
案.
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【详解】由
表示单位向量相等，则
同向，但不能确定它们模是否相等，即不能
推出
，
由
表示
同向且模相等，则
，所以“
”是“
”的必要而不充分
条件.
【真题感知】
1．（2022 年全国高考乙卷数学（理）第3 题）设全集U={1,2,3,4,5}，集合M 满足
CU A={1,3}，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先写出集合
,然后逐项验证即可
【详解】由题知
,对比选项知，
正确,
错误
2．（2019 年全国统一高考新课标Ⅲ数学（理）第1 题）已知集合
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出集合B 再求出交集.
【详解】
，∴
，则
，
【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
3．（2020 年全国统一高考新课标Ⅱ数学（理）第1 题）已知集合U={−2，−1，0，1，2，
3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则CU ( A∪B)= （ ）
A．{−2，3}
B．{−2，2，3}
C．{−2，−1，0，3}
D．{−2，−1，0，2，
3}
【答案】A
【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.
【详解】由题意可得：
，则CU ( A∪B)={2,3}.
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4．（2021 年全国高考甲卷数学（理）第1 题）设集合
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据交集定义运算即可
【详解】因为
，所以
,
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本
概念即可求解.
5．（2022 年全国高考甲卷数学（理）第1 题）设全集
，集合
，则CU ( A∪B)= （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，
，所以
,所以
CU ( A∪B)={−2,0}.
6．（2017 年全国统一考试新课标2 卷数学（理）第1 题）设集合
，
．若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】∵ 集合
，
，
∴
是方程
的解，即
∴
∴
，故选C
7．（2018 年全国统一考试全国卷II 数学（理）第1 题）已知集合
，则
中元素的个数为（ ）
A．9
B．8
C．5
D．4
【答案】A
【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
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【详解】
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；所以共有9 个，
【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.
8．（2021 年全国甲卷数学（理）第7 题）等比数列
的公比为q，前n 项和为
，设甲：
，乙：
是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当
时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当
是递增数列时，必有
成立即可说明
成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为
时，满足
，但是
不是递增数列，所以甲不
是乙的充分条件．
若
是递增数列，则必有
成立，若
不成立，则会出现一正一负的情况，是矛
盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须
要给予其证明过程．
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