文档文本内容
专题01 集合与常用逻辑用语
（七大考点，88 题）
考点
十年考情（2015-2024）
命题趋势
考点 1：集合
间的基本关系
2023
新课标 Ⅱ 卷：集合包含关系的判断与求
・
解；2020
山东卷：充分条件与集合包含关系的
・
结合考查
1. 集合间包含关系的判断及参
数求解是高频考点，常以具体
集合或不等式集合为载体。2.
与充分必要条件结合考查的命
题形式较为常见，注重逻辑推
理能力的考查。
考点 2：交集
2025
全国二卷、北京卷：具体集合的交集运
・
算；2024・新课标Ⅰ 卷、全国甲卷、天津卷：不
同形式集合的交集求解；2023
北京、全国乙
・
卷、新课标 Ⅰ 卷：不等式集合的交集运算；
2022
天津、上海、新高考 Ⅱ 卷、全国乙卷、
・
甲卷、新高考 Ⅰ 卷：各类集合的交集运算；
2017
全国卷：简单集合的交集运算
・
1. 交集运算为历年必考内容，
涉及具体数集、不等式解集、
函数定义域等多种形式。2. 注
重基础运算能力，常与其他集
合运算（如补集、并集）结合
考查。
考点 3：并集
2024
北京卷：简单集合的并集运算；
・
2023
全
・
国乙卷、甲卷：集合的并集与补集运算结合；
2022
浙江、北京卷：并集的基本运算；
・
2021・
北京、山东卷：不等式集合的并集运算；2020・
山东卷：区间集合的并集运算；2019
北京卷：
・
并集与无穷区间的结合；2017
天津、浙江、全
・
国 Ⅱ 卷、山东、全国 Ⅱ 卷：各类集合的并集
运算
1. 并集运算考查频率高，常与
补集、交集形成综合题型。2.
涉及区间表示、不等式求解等
知识点，侧重运算的准确性和
对集合概念的理解。
考点 4：补集
2025
全国一卷、上海卷：补集的基本运算及元
・
素个数判断；2022
全国乙卷、北京卷：补集与
・
其他集合的运算结合；2021
新高考 Ⅱ 卷、山
・
东卷：补集的求解；2020
山东卷：全集中补集
・
的运算；2018
浙江、全国 Ⅰ 卷、北京卷：补
・
集的简单运算；2016
全国 Ⅲ 卷：补集的基本
・
应用
1. 补集运算常与交集、并集结
合考查，形成 “交并补” 综
合题型。2. 注重对全集概念的
理解，以及补集与原集合关系
的推导。
考点 5：集合
的交并补
2025
天津卷：并集与补集的综合运算；
・
2023・
全国甲卷、天津卷：交并补的混合运算；2022・
全国甲卷、天津卷：全集中的交并补运算；
2021
上海、天津、全国乙卷：集合的综合运
・
算；2020
天津、全国 Ⅱ 卷：交并补的综合应
・
用；2018
天津卷：交并补的混合运算；
・
2016・
山东、浙江卷：集合的综合运算
1. 交并补综合运算为高频考
点，常以具体集合或不等式集
合为背景，考查综合运算能
力。2. 题型多结合韦恩图或数
轴直观分析，注重数形结合思
想的应用。
考点 6：充分
2025
天津、北京卷：充分必要条件的判断与函
・
1. 充分必要条件常与函数、数
1
条件与必要条
件
数、向量结合；2024
上海、北京、全国甲卷、
・
天津卷：与向量、不等式、函数结合的条件判
断；2023
北京、全国甲卷、天津卷、新课标 Ⅰ
・
卷：与数列、不等式、函数结合的条件推理；
2022
天津、浙江、北京卷：与三角函数、数
・
列、函数单调性结合的条件判断；2021
天津、
・
北京、浙江、全国甲卷：与函数最值、向量、等
比数列结合的条件考查；2020
上海、天津、北
・
京、浙江、全国卷：与函数性质、空间直线、三
角方程结合的条件判断；2019
北京、天津、浙
・
江卷：与函数奇偶性、向量夹角、不等式结合的
条件判断；2018
北京卷：向量模长与垂直的条
・
件关系；2017
全国、天津卷：与四边形、不等
・
式结合的条件判断
列、向量、不等式等知识交叉
考查，注重逻辑推理和知识综
合应用。2. 命题趋势倾向于结
合具体数学情境，考查条件的
推导与等价转化能力。
考点 7：集合
新定义问题
2025
上海、北京卷：函数定义域与集合新定义
・
结合；序列定义下的集合性质判断与证明
1. 新定义问题近年考查频率上
升，常以函数、序列、向量等
为背景，定义新的集合运算或
性质。2. 侧重考查创新思维和
对新情境的理解能力，题目难
度较大，区分度高。
考点01：集合间的基本关系
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分
和
两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为
，则有：
若
，解得
，此时
，
，不符合题意；
若
，解得
，此时
，
，符合题意；
综上所述：
.
故选：B.
2．（2020·山东·高考真题）已知
，若集合
，
，则“
”是“
”的
2
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】当
时，集合
，
，可得
，满足充分性，
若
，则
或
，不满足必要性，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，
故选：A.
考点02：交集
3．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合
后结合交集的定义可求
.
【详解】
，故
，
故选：D.
4．（2025·北京·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出集合
，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为
，所以
，
故选：D.
5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
3
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化简集合
，由交集的概念即可得解.
【详解】因为
，且注意到
，
从而
.
故选：A.
6．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据集合
的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合
中的元素
，满足
，
则
可能的取值为
，即
，
于是
.
故选：C
7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由集合
的定义求出
，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为
，所以
，
则
，
故选：D
8．（2024·天津·高考真题）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4
【答案】B
【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.
【详解】因为集合
，
，
所以
，
故选：B
9．（2023·北京·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先化简集合
，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意，
，
，
根据交集的运算可知，
.
故选：A
10．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为
即可.
【详解】由题意可得
，则
，选项A 正确；
，则
，选项B 错误；
5
，则
或
，选项C 错误；
或
，则
或
，选项D 错误；
故选：A.
11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合
，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合
中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为
，而
，
所以
．
故选：C．
方法二：因为
，将
代入不等式
，只有
使不等式成立，所以
．
故选：C．
12．（2022·天津·高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出
，再根据交集的定义可求
.
【详解】
，故
，
故选：A.
6
13．（2022·上海·高考真题）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由于
是整数集，结合交集的概念即可求出结果.
【详解】因为
，所以
，
故选：B.
14．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合
后可求
.
【详解】[方法一]：直接法
因为
，故
，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合
，可得
，不满足，排除A、D；
代入集合
，可得
，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
15．（2022·全国乙卷·高考真题）集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为
，
，所以
．
故选：A.
7
16．（2022·全国甲卷·高考真题）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为
，
，所以
．
故选：A.
17．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合
后可求
.
【详解】
，故
，
故选：D
18．（2017·全国·高考真题）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】由
，
，
则
.
故选：A.
8
考点03：并集
19．（2024·北京·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得
.
故选：C.
20．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
的值，然后计算
即可.
【详解】由题意可得
，则
.
故选：A.
21．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集
，集合
，所以
，
又
，所以
，
故选：A.
9
22．（2022·浙江·高考真题）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】
，
故选：D.
23．（2021·北京·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得：
.
故选：B.
24．（2020·山东·高考真题）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ）
A．{x|2<x≤3}
B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4}
D．{x|1<x<4}
【答案】C
【分析】根据集合并集概念求解.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
25．（2019·北京·高考真题）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=
A．（–1，1）
B．（1，2）
C．（–1，+∞）
D．（1，+∞）
【答案】C
【分析】根据并集的求法直接求出结果.
10
【详解】∵
，
∴
，
故选C.
【点睛】考查并集的求法，属于基础题.
26．（2017·天津·高考真题）设集合
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可得：
.
本题选择B 选项.
【考点】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
27．（2017·浙江·高考真题）已知集合
，那么
A．（-1,2）
B．（0，1）
C．（-1,0）
D．（1,2）
【答案】A
【详解】利用数轴，取
所有元素，得
．
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．
28．（2017·全国II 卷·高考真题）设集合
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意
，故选A.
点睛:集合的基本运算的关注点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问
题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于
解决．
11
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．
29．（2016·山东·高考真题）设集合
则
=
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．
B＝{x|x2－1<0}＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝{x|x>0} {
∪x|－1<x<1}＝{x|x>－1}，故选C．
30．（2016·全国II 卷·高考真题）已知集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】试题分析：集合
，而
，所以
，故选C.
【考点】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
考点04：补集
31．（2025·全国一卷·高考真题）设全集
，集合
，则
中元素个数
为（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
【答案】C
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为
，所以
，
中的元素个数为，
故选：C．
32．（2025·上海·高考真题）已知全集
，集合
，则
．
【答案】
/
12
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】根据补集的含义知
.
故答案为：
.
33．（2024·上海·高考真题）设全集
，集合
，则
．
【答案】
【分析】根据补集的定义可求
.
【详解】由题设有
，
故答案为：
34．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据交集、补集的定义可求
.
【详解】由题设可得
，故
，
故选：B.
35．（2020·山东·高考真题）已知全集
，集合
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用补集概念求解即可.
【详解】
.
故选：C
36．（2018·浙江·高考真题）已知全集
，
，则
（ ）
13
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据补集的定义可得结果.
【详解】因为全集
，
，所以根据补集的定义得
，故选C.
【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．
37．（2018·全国I 卷·高考真题）已知集合
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出
的解集，从而求得集合A，之后根据集
合补集中元素的特征，求得结果.
详解：解不等式
得
，
所以
，
所以可以求得
，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确
一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
38．（2017·北京·高考真题）已知全集
，集合
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
或
，所以
，故选：C．
【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合
就用描述法表示，并注意代表元素是什么．集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借
助数轴或Venn 图进行处理．
14
39．（2016·全国III 卷·高考真题）设集合
，则
=
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】试题分析：由补集的概念，得
，故选C．
【考点】集合的补集运算
【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解
题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关
系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．
40．（2022·全国乙卷·高考真题）设全集
，集合M 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先写出集合
,然后逐项验证即可
【详解】由题知
,对比选项知，
正确,
错误
故选:
41．（2022·北京·高考真题）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知：
或
，即
，
故选：D．
考点05：集合的交并补
42．（2025·天津·高考真题）已知集合
，则
（ ）
15
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【详解】由
，则
，
集合
，
故
故选：D.
43．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集
,集合
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集
，
，所以，
．
故选：A．
44．（2023·天津·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对集合B 求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由
，而
，
16
所以
.
故选：A
45．（2022·全国甲卷·高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，
，所以
,
所以
.
故选：D.
46．（2021·上海·高考真题）已知集合A＝{x|x2﹣x
2≥0}
﹣
，B＝{x|x
1}
﹣
，则（ ）
A．A⊆B
B．
C．A∩B＝
D．A∪B＝R
【答案】D
【分析】先求解集合
中不等式，计算
，依次判断即可
【详解】由题意，
或
由
和
不存在包含关系，
故选：D
47．（2021·天津·高考真题）设集合
，则
（ ）
17
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据交集并集的定义即可求出.
【详解】
，
，
.
故选：C.
48．（2021·全国乙卷·高考真题）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.
【详解】由题意可得：
，则
.
故选：A.
49．（2020·天津·高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
【详解】由题意结合补集的定义可知：
，则
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.
50．（2020·全国II 卷·高考真题）已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则
（ ）
A．{−2，3}
B．{−2，2，3}
C．{−2，−1，0，3}
D．{−2，−1，0，2，3}
18
【答案】A
【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.
【详解】由题意可得：
，则
.
故选：A.
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.
51．（2018·天津·高考真题）设全集为R，集合
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】分析：由题意首先求得
，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：
，
结合交集的定义可得：
.
本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
52．（2018·天津·高考真题）设集合
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由并集的定义可得：
，
结合交集的定义可知：
.
本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.
53．（2017·天津·高考真题）设集合
，则
19
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
,选B.
【考点】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图
进行处理.
54．（2016·山东·高考真题）设集合
，则
=
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】试题分析：因为
，所以
，选A.
【考点】集合的运算
【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算是必
考考点，也是考生必定得分的题目之一.
55．（2016·浙江·高考真题）已知集合
则
A．[2,3]
B．（ -2,3 ]
C．[1,2）
D．
【答案】B
【详解】有由题意可得：
，
则
( -2,3 ] .
本题选择B 选项.
56．（2016·浙江·高考真题）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则
=
A．{1}
B．{3，5}
C．{1，2，4，6}
D．{1，2，3，4，5}
【答案】C
20
【详解】试题分析：根据补集的运算得
．故选C.
【考点】补集的运算.
【易错点睛】解本题时要看清楚是求“
”还是求“
”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素
的互异性，防止出现错误．
考点06：充分条件与必要条件
57．（2025·天津·高考真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.
【详解】由
，则“
”是“
”的充分条件；
又当
时，
，可知
，
故“
”不是“
”的必要条件，
综上可知，“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
58．（2025·北京·高考真题）已知函数
的定义域为D，则“
的值域为
”是“对任意
，存
在
，使得
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数
的值域为
，则对任意
，一定存在
，使得
，
取
，则
，充分性成立；
取
，
，则对任意
，一定存在
，使得
，
21
取
，则
，但此时函数
的值域为
，必要性不成立；
所以“
的值域为
”是“对任意
，存在
，使得
”的充分不必要条件.
故选：A.
59．（2024·上海·高考真题）定义一个集合
，集合中的元素是空间内的点集，任取
，存在不
全为0 的实数
，使得
．已知
，则
的充分条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先分析出三个向量共面，显然当
时，三个向量构成空间的一个基底，
则即可分析出正确答案.
【详解】由题意知这三个向量
共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知
三个向量共面，则当
无法推出
，故A 错误；
对B，由空间直角坐标系易知
三个向量共面，则当
无法推出
，故B 错误；
对C， 由空间直角坐标系易知
三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由
能推出
，
对D，由空间直角坐标系易知
三个向量共面，
则当
无法推出
，故D 错误.
22
故选：C．
60．（2024·北京·高考真题）设
，
是向量，则“
”是“
或
”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知
等价于
，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为
，可得
，即
，
可知
等价于
，
若
或
，可得
，即
，可知必要性成立；
若
，即
，无法得出
或
，
例如
，满足
，但
且
，可知充分性不成立；
综上所述，“
”是“
或
”的必要不充分条件.
故选：B.
61．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
23
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
62．（2024·天津·高考真题）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，
和
都当且仅当
，所以二者互为充要条件.
故选：C.
63．（2023·北京·高考真题）若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由
化简得到
即可判断；解法二：证明充分性可由
得到
，
代入
化简即可，证明必要性可由
去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可
由
通分后用配凑法得到完全平方公式，再把
代入即可，证明必要性可由
通分后用配凑
法得到完全平方公式，再把
代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法二：
24
充分性：因为
，且
，所以
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法三：
充分性：因为
，且
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
故选：C
64．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
25
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当
时，例如
但
，
即
推不出
；
当
时，
，
即
能推出
.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
65．（2023·天津·高考真题）已知
，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由
，则
，当
时
不成立，充分性不成立；
由
，则
，即
，显然
成立，必要性成立；
所以
是
的必要不充分条件.
故选：B
66．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等
差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判
26
断作答.，
【详解】方法1，甲：
为等差数列，设其首项为
，公差为
，
则
，
因此
为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
为常数，设为，
即
，则
，有
，
两式相减得：
，即
，对
也成立，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：
为等差数列，设数列
的首项
，公差为
，即
，
则
，因此
为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
，
即
，
，
当
时，上两式相减得：
，当
时，上式成立，
于是
，又
为常数，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
67．（2022·天津·高考真题） “
为整数”是“
为整数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
27
【分析】由当
为整数时，
必为整数；当
为整数时，
不一定为整数；即可选出答案.
【详解】当
为整数时，
必为整数；
当
为整数时，
不一定为整数，
例如当
时，
.
所以“
为整数”是“
为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
68．（2022·浙江·高考真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为
可得：
当
时，
，充分性成立；
当
时，
，必要性不成立；
所以当
，
是
的充分不必要条件.
故选：A.
69．（2022·北京·高考真题）设
是公差不为0 的无穷等差数列，则“
为递增数列”是“存在正整
数
，当
时，
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列
的公差为
，则
，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义
判断可得出结论.
【详解】设等差数列
的公差为
，则
，记
为不超过
的最大整数.
若
为单调递增数列，则
，
若
，则当
时，
；若
，则
，
28
由
可得
，取
，则当
时，
，
所以，“
是递增数列”
“存在正整数
，当
时，
”；
若存在正整数
，当
时，
，取
且
，
，
假设
，令
可得
，且
，
当
时，
，与题设矛盾，假设不成立，则
，即数列
是递增数列.
所以，“
是递增数列”
“存在正整数
，当
时，
”.
所以，“
是递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的充分必要条件.
故选：C.
70．（2017·全国·高考真题）设甲：四边形ABCD 为矩形；乙：四边形ABCD 为平行四边形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件
C．甲是乙的充分必要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件的定义求解即可.
【详解】若四边形ABCD 为矩形，则它一定是平行四边形，
反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则它不一定是矩形.
故甲是乙的充分非必要条件．
故选：A.
71．（2017·天津·高考真题）设x∈R，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合集合的包含关系可解．
【详解】设p：若
，则
，
29
q：若
，则
；
则q 表示的集合是p 表示的集合真子集，
即
是
必要不充分条件，
故选：B．
72．（2018·北京·高考真题）设
，
均为单位向量，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用定义法，分充分性和必要性分别讨论.
【详解】充分性：因为
，所以
，即
，展开得：
.
因为
，
均为单位向量，所以
，所以
，即
.
所以充分性满足.
必要性：因为
，且
，
均为单位向量，
所以
.
同理可求：
，所以
.
故必要性满足.
故选：C
73．（2021·天津·高考真题）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】由题意，若
，则
，故充分性成立；
若
，则
或
，推不出
，故必要性不成立；
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
74．（2021·北京·高考真题）已知
是定义在上
的函数，那么“函数
在
上单调递增”是
30
“函数
在
上的最大值为
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数
在
上单调递增，则
在
上的最大值为
，
若
在
上的最大值为
，
比如
，
但
在
为减函数，在
为增函数，
故
在
上的最大值为
推不出
在
上单调递增，
故“函数
在
上单调递增”是“
在
上的最大值为
”的充分不必要条件，
故选：A.
75．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示，
,当
时，
与
垂直，
，所以
成立，此时
，
∴
不是
的充分条件，
当
时，
，∴
,∴
成立，
31
∴
是
的必要条件，
综上，“
”是“
”的必要不充分条件
故选：B.
76．（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列
的公比为q，前n 项和为
，设甲：
，乙：
是递
增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当
时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当
是递增数列时，必有
成立即可说
明
成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为
时，满足
，
但是
不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若
是递增数列，则必有
成立，若
不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过
程．
77．（2021·上海·高考真题）已知函数
的定义域为
，下列是
无最大值的充分条件是（ ）
32
A．
为偶函数且关于直线
对称
B．
为偶函数且关于点
对称
C．
为奇函数且关于直线
对称
D．
为奇函数且关于点
对称
【答案】D
【分析】根据对称性可判断函数的周期，故可判断ABC 的正误，根据对称性可得
，据
此可判断D 的正误.
【详解】对于A，因为
为偶函数，故
，
而
的图像关于直线
对称，故
，故
，
故
为周期函数且周期为2，
而
在
必有最大值，故
必有最大值，故A 错误.
对于B，而
的图像关于点
对称，故
，
故
，故
，故
故
为周期函数且周期为4，
而
在
必有最大值，故
必有最大值，故B 错误.
对于C，因为
为奇函数，故
，
而
的图像关于直线
对称，故
，故
，
所以
故
为周期函数且周期为4，
而
在
必有最大值，故
必有最大值，故C 错误.
对于D，因为
为奇函数，故
，
而
的图像关于点
对称，故
，
故
，设
，
33
则
，故
无最大值，
故选：D
78．（2020·上海·高考真题）若存在
且
，对任意的
，均有
恒成立，
则称函数
具有性质P，已知：
单调递减，且
恒成立；
单调递增，存在
使得
，则是
具有性质P 的充分条件是（ ）
A．只有
B．只有
C．
和
D．
和
都不是
【答案】C
【分析】对于
，当
，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式性质，可得
成立；对于
，取
同理可得出结论．
【详解】
：当
，
，因为函数
单调递减，
所以
即
，存在
，
当满足命题
时，
具有性质P.
：当
时，
，
因为函数
单调递增，
所以
，
即
，
存在
，当满足命题
时，
具有性质P.
综上可知命题
、
都是具有性质P 的充分条件．
故选：C
【点睛】本题考查函数的新定义、函数的单调性以及不等式的性质，考查了理解辨析能力、运算求解能力
34
和逻辑推理能力，属于中档题．
79．（2020·天津·高考真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.
【详解】求解二次不等式
可得：
或
，
据此可知：
是
的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
80．（2020·北京·高考真题）已知
，则“存在
使得
”是“
”的
（ ）．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】(1)当存在
使得
时，
若
为偶数，则
；
若
为奇数，则
；
(2)当
时，
或
，
，即
或
，
亦即存在
使得
．
所以，“存在
使得
”是“
”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，
35
属于基础题.
81．（2020·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l 在同一平面”是
“m，n，l 两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】依题意
是空间不过同一点的三条直线，
当
在同一平面时，可能
，故不能得出
两两相交.
当
两两相交时，设
，根据公理
可知
确定一个平面
，而
，根据公理可知，直线
即
，所以
在同一平面.
综上所述，“
在同一平面”是“
两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理
的运用，属于中档题.
82．（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据定义域为R 的函数
为偶函数等价于
进行判断.
【详解】
时，
,
为偶函数；
为偶函数时，
对任意的
恒成立，
，得
对任意的
恒成立，从而
.从而“
”是“
为偶函
数”的充分必要条件，故选C.
【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
36
83．（2019·北京·高考真题）设点A，B，C 不共线，则“
与
的夹角为锐角”是“
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】∵A､B､C 三点不共线,∴
|
+
|>|
|
|
+
|>|
-
|
|
+
|2>|
-
|2
•
>0
与
的夹角为锐角.故“
与
的夹角为锐角”是“|
+
|>|
|”的充分必要条件,故选C.
【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.
84．（2019·天津·高考真题）设
，则“
”是“
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出
的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】
等价于
，故
推不出
；
由
能推出
．
故“
”是“
”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p 进行判断；
(2)集合法：根据由p，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个
37
方法特别适合以否定形式给出的问题．
85．（2019·浙江·高考真题）若
，则“
”是 “
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取
的值，
推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当
时，
，则当
时，有
，解得
，充分性成立；
当
时，满足
，但此时
，必要性不成立，综上所述，“
”是“
”的
充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，
通过特取
的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
86．（2019·天津·高考真题）设
，则“
”是“
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】化简不等式，可知
推不出
；
由
能推出
，
故“
”是“
”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
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考点07：集合新定义问题
87．（2025·上海·高考真题）已知函数
的定义域为
．对于正实数a，定义集合
．
(1)若
，判断
是否是
中的元素，请说明理由；
(2)若
，求a 的取值范围；
(3)若
是偶函数，当
时，
，且对任意
，均有
．写出
，
解析式，并证明：对任意实数c，函数
在
上至多有9 个零点．
【答案】(1)不是；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）直接代入计算
和
即可；
（2）法一：转化为在实数
使得
，分析得
，再计算得
，
最后根据
的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线
与该函数有两个交点，将
用
表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出
时解析式，再分析出
，最后对的范围
进行分类讨论即可.
【详解】（1）（1）
，
，则
不是
中的元素.
（2）法一：因为
，则存在实数
使得
，且
，
39
当
时，
，其在
上严格单调递增，
当
时，
，其在
上也严格单调递增，
则
，则
，
令
，解得
，则
，
则
.
法二：作出该函数图象，则由题意知直线
与该函数有两个交点，
由图知
，假设交点分别为
，
，
联立方程组
得
（3）（3）对任意
，因为其是偶函数，
则
，而
，
所以
，
所以
，因为
，则
，
所以
，所以
，
所以当
时，
，
，则
，
，则
，
而
，
，
40
则
，则
，
所以当
时，
，而
为偶函数，画出函数图象如下：
其中
，但其对应的
值均未知.
首先说明
，
若
，则
，易知此时
，
则
，所以
，而
时，
，
所以
，与
矛盾，所以
，即
，
令
，则
，
当
时，即使让
，此时最多7 个零点，
当
时，若
，此时有5 个零点，
故此时最多5 个零点；
当
时，若
，此时有5 个零点，
故此时最多5 个零点；
41
当
时，若
，此时有3 个零点，
若
，则
，易知此时
，
则
，所以
，而
时，
，
所以
，与
矛盾，所以
，
则最多在
之间取得6 个零点，
以及在
处成为零点，故不超过9 个零点.
综上，零点不超过9 个.
88．（2025·北京·高考真题）已知集合
，从M 中选取n 个不
同的元素组成一个序列：
，其中
称为该序列的第i 项
，若该
序列的相邻项
满足：
或
，则称该序列为K 列．
(1)对于第1 项为
的K 列，写出它的第2 项．
(2)设
为K 列，且
中的项
满足：当i 为奇数时，
：当i 为偶数时，
.判断
，
能否同时为
中的项，并说明理由；
(3)证明：由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
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【答案】(1)
或
(2)不能，理由见解析
(3)证明过程见解析
【分析】（1）根据新定义即可得解；
（2）假设
与
能同时在
中，导出矛盾，从而得出
与
不能同时在
中的结论；
（3）假设全体元素构成一个K 列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.
【详解】（1）根据题目定义可知，
或
，
若第一项为
，显然
或
不符合题意（不在集合
中），所以下一项是
或
；
（2）假设二者同时出现在
中，由于K 列取反序后仍是K 列，故不妨设
在
之前.
显然，在K 列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从
到
必定要向下一项走
奇数次.
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从
到
必定要向下一项走偶数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在
中.
（3）法1：若
中的所有元素构成K 列，考虑K 列中形如
的项，
这样的项共有
个，由题知其下一项为
，共计16 个，
而
，因为只能6 由2 来，3 只能由7 来，
横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12 个点，
即对于16 个
，有12 个
与之相对应，矛盾．
综上，由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
法2：假设全体元素构成一个K 列，则
.
设
，
.
则
和
都包含
个元素，且
中元素的相邻项必定在
中.
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如果存在至少两对相邻的项属于
，那么属于
的项的数目一定多于属于
的项的数目，
所以至多存在一对相邻的项属于
.
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如
和
，
否则将导致属于
的项的个数比属于
的项的个数多2，此时
.
从而这个序列的前
项中，第奇数项属于
，第偶数项属于
；
这个序列的后
项中，第奇数项属于
，第偶数项属于
.
如果不存在相邻的属于
的项，那么也可以看作上述表示在
或
的特殊情况.
这意味着必定存在
，使得
.
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故
中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数
的点的数量一定分别是
和
（不一定对应）.
但容易验证，
和
都包含
个横纵坐标之和为奇数的点和
个横纵坐标之和为偶数的点，所以
，得
.
从而有
.
这就得到
.
再设
，
.
则同理有
.
这意味着
.
从而得到
，但显然它们是不同的集合，矛盾.
所以由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
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