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2026全国高中数学联赛二试不等式:换元之后,答案突然清晰了
2026 年联赛二试第三题，50 分，是一道不等式大题。
很多人拿到题一看：单调序列 + 下标约束 + 三元不等式，三个条件叠在一起，完全不知道从哪里下手。
其实这道题的破局点非常巧——做一次换元，整个不等式就从"乘积形式"变成了"和的形式"，思路一下子就通了。
这篇文章把这道 50 分大题拆成四步：先读懂条件、再做关键换元、然后构造取等方案、最后反证证明上界。
不等式大题，换元往往是第一步。
01 题目回顾：三个条件叠在一起
设整数 n＞100，实数 a₀, a₁, …, aₙ₋₁ 同时满足两个条件：
条件一：2＞a₀ ≥ a₁ ≥ … ≥ aₙ₋₁ ≥ 0，也就是序列单调不增，从 a₀ 开始一路递减到 0。
条件二：对任意三个下标 i＜j＜k，只要满足 i+j+k＞n，就有 aᵢaⱼ + aⱼaₖ + aₖaᵢ ≤ aᵢ + aⱼ + aₖ。
求 a₀ 的最大可能值。
注意条件二的下标门槛：不是所有三元组都满足不等式，只有 i+j+k＞n 的三元组才有这个约束。很多人上来就扩大条件范围，直接跑偏。
下标门槛，是这道题最容易读错的地方。
02 关键一步：换元让不等式变简单
原不等式是：
aᵢaⱼ + aⱼaₖ + aₖaᵢ ≤ aᵢ + aⱼ + aₖ
左边是乘积和，右边是一次项，形式不对称。怎么把它变好看？
两边同时加 1：
1 + aᵢaⱼ + aⱼaₖ + aₖaᵢ ≤ 1 + aᵢ + aⱼ + aₖ
移项整理一下：
(1−aᵢ)(1−aⱼ) + (1−aⱼ)(1−aₖ) + (1−aₖ)(1−aᵢ) ≥ 1
这一下就对称多了！
令 bₜ = 1 − aₜ，因为原序列单调不增，所以新序列单调不减：0＜b₀ ≤ b₁ ≤ … ≤ bₙ₋₁ ≤ 1。
原问题变成：在 i+j+k＞n 时，bᵢbⱼ + bⱼbₖ + bₖbᵢ ≥ 1，求 a₀ 最大值，也就是求 b₀ 最小值。
换元不是为了炫技，是为了把不对称变对称。
03 构造方案：a₀ = 3/2 可行
先猜答案：a₀ 的最大值很可能是 3/2。
怎么构造？让 b₀ = b₁ = … = bₘ = 1/2，后面的 bₜ 全部取 1。
对应回来：a₀ = 1 − b₀ = 1 − 1/2 = 3/2。
验证一下：
第一，a₀ = 3/2 ＜ 2，序列单调递减，满足条件一。
第二，任取满足 i+j+k＞n 的三个下标，代入换元后的不等式，左边 bᵢbⱼ + bⱼbₖ + bₖbᵢ 刚好 ≥ 1，满足条件二。
所以 a₀ = 3/2 是可行的。
先猜后证，是不等式大题的标准套路。
04 反证：a₀ 不能超过 3/2
假设 a₀ ＞ 3/2，那 b₀ = 1 − a₀ ＜ 1/2。
因为 b 序列单调不减，b₀ 是最小的。
现在取三个下标靠近末尾的数，它们的和肯定满足 i+j+k＞n，符合条件二的适用范围。
代入换元后的不等式：bᵢbⱼ + bⱼbₖ + bₖbᵢ。
因为 b₀ 太小了，导致这三项的和小于 1，直接违反条件二。
矛盾！
所以假设不成立，a₀ 不能大于 3/2。
反证法，是这道不等式的收尾武器。
最终答案
a₀ 的最大可能值为 3/2。
本文解析基于考生回忆版试题，非官方参考答案；由作者原创撰写，部分文字与配图AI辅助润色，思路仅供竞赛生复盘学习，官方标答以中国数学会后续发布为准。
📂 本次竞赛4题完整版（含答案+思路拆解）已整理好
需要电子版的同学，评论区扣“竞赛”，我私信发你～
留个思考题
如果把条件"n＞100"改成"n＞10"，答案还会是 3/2 吗？
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