初中数学“倒角”全攻略:7大基本模型完整梳理,吃透角度计算与证明,一篇全掌握,建议收藏

倒角，是初中几何里非常关键的一项基本功。三角形内角和、外角、角平分线、平行线、全等与相似，很多题目最后都会落到“找角、换角、算角”上。今天这篇推文，按原文讲义完整整理“七个基本倒角模型”，并配上对应例题、变式训练。建议先收藏，再对照图形逐个吃透。

结论：①∠A+∠B=∠C+∠D ②∠A=∠C ⇔ ∠B=∠D。

【例1】如图，由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（ ）。     A.262° B.152° C.208° D.236°

【变式1-1】如图，AB和CD相交于点O，∠A=∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）     A.∠B=∠D B.∠1=∠A+∠D C.∠2＞∠D D.∠C=∠D

【变式1-2】如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°。     （1）若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；     （2）若∠C=38°，求∠P的度数。

【变式1-3】下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变。为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应____（填“增加”或“减少”）____度。

结论：①∠1+∠2=∠B+∠C      ②∠3+∠4=180°+∠A。

【例2】如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=（ ）。     A.180° B.215° C.235° D.245°

【变式2-1】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B,C，连接BC，求证：∠DBC+∠ECB=180°+∠A。

【变式2-2】如图，D,E两点分别在△ABC的两边AB，AC上，连接DE，已知∠1+∠2=α，则∠A=（ ）     A.α−90° B.180°−α C.α−180° D.360°−α

【变式2-3】将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若∠1=130°，则∠2的度数为____。

结论：∠1+∠2=∠A+∠D。

【例3】在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E。下列结论中错误的是（ ）     A.∠BOC=90°+½∠A     B.∠D=½∠A     C.∠E=90°−½∠A     D.∠A=⅔∠E

【变式3-1】如图，△ABC的外角平分线BP，CP相交于点P，若∠A=90°，则∠P=____。

【变式3-2】如图，在△ABC中，BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的外角平分线。     （1）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠D的度数为____；     （2）若∠A=a时，求∠D的度数？

【变式3-3】如图，已知△ABC，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角角平分线交于点E，则∠A−∠D+∠E=____。

结论：∠A+∠B+∠C=∠D。

【例4】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=____度。

【变式4-1】如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°。求∠BFD的度数。

【变式4-2】在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠D=35°，∠E=72°，那么∠F的度数是（ ）。     A.72° B.70° C.65° D.60°

【变式4-3】如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是____。

结论：①∠1=∠B ②∠2=∠A。

结论：①∠B=∠E      ②∠1=∠2=∠A。

【例5】如图，在锐角三角形△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC。求证：∠AEF=∠ACG。

【变式5-1】如图，已知∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°。     （1）∠1与∠3是什么关系？为什么？     （2）当∠1与∠4满足什么关系时，∠2与∠4相等？为什么？

【变式5-2】如图，已知EF⊥BC于点F，GD⊥AC，∠DAC与∠C互余，求证：∠1=∠2。     证明：EF⊥BC（已知），     ∴∠EFC=90°     ∴∠2+∠C=90°     ∵∠DAC与∠C互余（已知），     ∴∠DAC+∠C=90°     ∴∠2=∠DAC（ ）     GD⊥AC（ ）     ∴∠1=∠DAC（ ）     ∴∠1=∠2（ ）

【变式5-3】将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A=30°，∠ABC=60°，∠D=∠E=45°，C，B，D三点共线，A，C，E三点共线，将三角尺ABC固定不动，三角尺DCE绕点C顺时针旋转，旋转角度小于180°。     （1）如图2，求证：∠ACD=∠BCE；     （2）在三角尺DCE旋转的过程中，若∠ACE=3∠ACD，求∠ACD的度数；     （3）在三角尺DCE旋转的过程中，若三角尺DCE的一条边与三角尺ACB的一条边平行，求∠BCD的度数。

条件：∠A+∠C=180°      结论：∠1=∠B。

【例6】如图，在四边形ABCD中，∠A=x°，∠C=y°（0＜x＜180，0＜y＜180）。（四边形内角和为360°）     （1）∠ABC+∠ADC=____度；（用含x，y的代数式表示）     （2）若x=y=90，BF平分与∠ABC相邻的外角∠CBM，DG平分∠ADC交BC于点E，交BF于点G，判断DG与BF的位置关系，并说明理由。

【变式6-1】如图，在四边形ABCD中，∠A＜90°，∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC与∠ADC的平分线交四边形内部于点E。试猜想∠BED与∠A之间的数量关系，并说明理由。

【变式6-2】如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，∠A=∠DCG=115°，点E、F分别是边AD、BC上的两点，且EF∥AB。     （1）填空：∠B+∠D=____；     （2）∠D与∠1相等吗？为什么？

类型一 一线三垂直

类型二 同侧一线三等角

类型三 异侧一线三等角

条件：∠1=∠2=∠3      结论：①∠CBE=∠D      ②∠ABD=∠E。

【例7】如图，P是∠BAC内一点，∠ABP=37°，∠ACP=25°，过点P作直线EF，交AB，AC分别于E，F。若∠BEP=∠BPC=∠PFC，则∠BAC=____。

【变式7-1】如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°。求证：∠BAD=∠EDC。

【变式7-2】如图，在Rt△ABC中，直角顶点A在直线上，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E。求证：∠ABD=∠CAE。

1. 找角时先看“8字型”对顶三角形，再看“A字型”同旁内角与补角，不要一上来就设未知数。

2. 角平分线模型要分清“内角平分线”和“外角平分线”，内内、内外、外外三种交角结论不同。

3. 余角模型、补角模型的核心是“同角或等角的余角相等、补角相等”，注意互余、互补的条件不要看错。

4. 一线三等角模型要看清“同侧”还是“异侧”，对应角不要找错。

5. 旋转、折叠类题目常常需要分类讨论，尤其是三角板旋转题，边与边平行有多种情况。

6. 证明题填空时，括号内要写理由，如“同角的余角相等”“等量代换”“垂直的定义”等。

8字对顶和相等，A字上下补角明；风筝两翼和相等，燕尾三角汇一点；余角同角或等角，补角邻补外角转；一线三等角，全等相似跑不了。

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