25.1 一元二次方程的概念 同步练习-26秋人教版数学九年级上册

25.1 一元二次方程的概念（同步练习）

（2026-2027 学年九年级上学期数学人教版）

“

刷题不在多，而在于把每个概念吃透、用活。

本套同步练习紧扣人教版九年级上册 25.1《一元二次方程》，由浅入深设置五个层次：从概念与一般形式的辨析，到「方程的根」的代入验证，再到列方程解实际问题、综合运用与拓展探究。

建议先闭卷独立完成全部题目，再对照文末参考答案自查，错题务必回到课本例题巩固对应概念。

📌 本文看点

1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）

2．若关于 x 的方程(a²＋1)x²－ax＋7＝0是一元二次方程，则 a 的取值范围是（　　）

3．将一元二次方程 3x²＝5x－1 化为 ax²＋bx＋c＝0 的形式，若 a＝3，则 b，c 的值分别为（　　）

4．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数和常数项：

（1）4x(x＋3)＝0；

（2）(x＋1)(x－3)＝4x²－7.

5．若 x＝2 是关于 x 的一元二次方程 x²－mx＋5＝0 的一个根，则 m 的值是（　　）

6．若 a 是一元二次方程 x²－2x－1＝0 的一个根，则 2a²－4a 的值是________。

7．在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距。如图，若纸张长 16 cm、宽 10 cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等，并使打印区域（阴影部分）的面积占纸张总面积的 70%。设应设置的页边距为 x cm，根据题意可列方程为（　　）

— 纸张页边距示意图（第 7 题）

8．直角三角形的三边长是三个连续偶数，求这个三角形的三边长，设最短的边长为 2x，则另两边长分别为________，________。根据题意，可列方程为________，并将其化为一般形式为________。

9．已知将一元二次方程 2x²－(m＋1)x＋1＝x(x－1) 化成一般形式后一次项的系数为 −2，则 m 的值为（　　）

10．若关于 x 的一元二次方程 (m＋1)x²－x＋m²－1＝0 有一根为 0，则 m 的值为（　　）

11．若关于 x 的一元二次方程 ax²－bx－2026＝0 满足 a＋b－2026＝0，则方程必有一根为（　　）

12．已知 n 是一元二次方程 x²－x－1＝0 的根，代数式 n(n－1)＋2 的值是________。

13．已知 x＝1 是一元二次方程 ax²＋bx－40＝0 的一个解，且 a≠b，则(a²－b²)/(2a－2b)的值为________。

14．已知关于 x 的方程 (m²－9)x²＋(m＋3)x－5＝0。

（1）当 m 为何值时，此方程是一元一次方程？并求此时方程的解；

（2）当 m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

15．根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：

（1）剪一块面积为 150 cm² 的长方形铁皮，使它的长比宽多 5 cm，设铁皮的宽为 x cm；

（2）为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都要比赛一场），计划安排 28 场比赛，设参赛的足球队有 x 个；

（3）如图要建一个面积为 40 平方米的矩形宠物活动场地 ABCD，为了节约材料，宠物活动场地的一边 AD 借助原有的一面墙，墙长为 8 米（AD＜8 米），另三边恰好用总长为 24 米的栅栏圈，设矩形宠物活动场地的长 AB 为 x 米。

— 矩形宠物活动场地示意图（第 15(3) 题）

16．已知实数 a 是方程 x²－2026x＋1＝0 的根。

（1）若 a²－2026a＋2m＝5，求 m 的值；

（2）求代数式 a³－2026a²＋(a²＋1)/2026的值。

1．C

2．A

3．D

4．（1）4x²＋12x＝0，二次项系数为 4，一次项系数为 12，常数项为 0；（2）3x²＋2x－4＝0，二次项系数为 3，一次项系数为 2，常数项为 −4。

5．C

6．2

7．D

8．另两边长分别为 2x＋2，2x＋4；可列方程 (2x)²＋(2x＋2)²＝(2x＋4)²，化为一般形式为 x²－2x－3＝0。

9．D

10．A

11．B

12．3

13．20

14．（1）m＝3，x＝5/6；（2）当 m≠±3 时，此方程是一元二次方程。二次项系数、一次项系数和常数项分别为 m²－9，m＋3，−5。

15．（1）x(x＋5)＝150，化成一般形式，得 x²＋5x－150＝0；（2）x(x－1)/2＝28，化成一般形式，得 x²－x－56＝0；（3）x(24－2x)＝40，化成一般形式，得 2x²－24x＋40＝0。

16．（1）把 x＝a 代入方程得 a²－2026a＋1＝0，即 a²－2026a＝−1。代入已知等式得 −1＋2m＝5，解得 m＝3；（2）∵a 是方程 x²－2026x＋1＝0 的根，∴a²－2026a＋1＝0，∴a²－2026a＝−1，a²＋1＝2026a，∴原式＝a(a²－2026a)＋2026a/2026＝－a＋a＝0。