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高中数学每日进阶(高二)丨圆与圆的位置关系:把「两圆关系」翻译成「一个距离比三个数」
圆和圆的关系，靠背五种情况？
两个圆，先求一个圆心距
再比三个数
位置关系 · 公共弦 · 弦长最值 · 轨迹方程
高中数学每日进阶
📦 5 Parts + Conclusion
👉 滑动
PART 01
为什么现在讲它
第二章为何收尾
PART 02
一个方法
一距离比三数
PART 03
两个例题
两圆与综合题
PART 04
题型归纳
六类对号入座
PART 05
对应练习
五题自测
PART ///
写在最后
练习＋明日预告
每天十分钟，把数学学成体系。今天是 2026 年 10 月 8 日（星期四）。昨天高一专场给函数“照了镜子”（奇偶性与幂函数），今天轮到高二——选必一第二章「直线和圆的方程」的收尾：圆与圆的位置关系，以及直线与圆综合里的最值与轨迹。
01
PART
为什么现在讲它
WHY NOW · 高二选必一第二章
高二这段进度，选必一第二章基本走到了最后一节。前面研究的是「一个圆」——方程、切线、弦长；今天研究的是「两个圆之间」，以及「圆与直线的综合」。
考试里这一块有三个集中失分点：一是判断两圆位置关系时只顾背结论，忘了求圆心距之前要先把方程化成标准式，圆心和半径取错，后面全错；二是求两圆公共弦不会用「两式相减」这一招，硬去解交点坐标，算到一半就乱；三是做最值和轨迹题时不会把几何条件翻译成代数式——比如「圆上一点到定点的距离最值」，其实只要连一条圆心到定点的线。
今天把这三处一次讲透。
02
PART
一个方法：两圆关系「一距离比三数」，综合题「翻译成式子」
METHOD · 距离比三数
先说圆与圆的位置关系。判断两圆关系，永远是同一个动作，三步走。
第一步：化标准，读出圆心和半径
把两个圆的方程都配方成(x－a)²＋(y－b)²＝r² 的形式，读出圆心 C₁(a₁, b₁)、C₂(a₂, b₂) 与半径 r₁、r₂。这一步错，后面全错。
第二步：求圆心距 d
算圆心距 d＝|C₁C₂|＝√[(a₁－a₂)²＋(b₁－b₂)²]。它就是连接两个圆心的线段长度。
第三步：拿 d 跟「和」与「差」比大小
d＞r₁＋r₂ → 外离（4 条公切线）；
d＝r₁＋r₂ → 外切（3 条公切线）；
|r₁－r₂|＜d＜r₁＋r₂ → 相交（2 条公切线）；
d＝|r₁－r₂| → 内切（1 条公切线）；
0≤d＜|r₁－r₂| → 内含（0 条公切线）。
两圆位置关系口诀
先配方、再算 d，d 比「和」与「差」，落在中间就相交
✦ 两圆相交时的公共弦：把两个圆的一般式方程相减，x² 和 y² 会当场抵消，剩下的就是公共弦所在直线方程。想求弦长，再用弦长公式 L＝2√(r²－d²)，d 取圆心到这条弦的距离。
再说直线与圆的综合两类题。它们其实是同一件事——把几何关系翻译成式子。
最值：连心线，加减半径
圆上点 P 到定点 A 的距离：最大值＝|CA|＋r，最小值＝|CA|－r（若 A 在圆内则改取 r－|CA|）。过圆内一点 M 的弦：最长＝过圆心 C 的直径 2r，最短＝垂直于 CM 的弦，长 2√(r²－|CM|²)。
轨迹：设点，把条件翻译成等式
设动点坐标 (x, y)，把题里的几何条件（垂直、距离相等、距离平方和是常数……）一路翻译成含 x、y 的等式，再化简。翻译完记得看一眼有没有越界的特殊点要剔除。
综合题口诀
最值靠连心、加减半径；轨迹靠设点、翻译条件
03
PART
典型例题讲解
CASES · 两道高频题
圆与圆：先判位置关系，再求公共弦
【例题】已知圆 C₁：x²＋y²－2x－4y－11＝0，圆 C₂：x²＋y²－8x－12y＋43＝0。（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公共弦所在直线方程。
先分别配方，读出圆心和半径，算出圆心距 d，再拿 d 跟 r₁＋r₂、|r₁－r₂| 比。第（2）问不要解交点，直接把两式相减。
配方 → 算 d → 比大小
C₁ 配方：(x－1)²＋(y－2)²＝16，所以圆心 C₁(1, 2)，r₁＝4。
C₂ 配方：(x－4)²＋(y－6)²＝9，所以圆心 C₂(4, 6)，r₂＝3。
圆心距 d＝|C₁C₂|＝√[(4－1)²＋(6－2)²]＝√(9＋16)＝5。
比较：r₁＋r₂＝7，|r₁－r₂|＝1。因为 1＜5＜7，即 |r₁－r₂|＜d＜r₁＋r₂。
第（1）问答案
两圆相交
两式相减，消去二次项
把两圆方程相减（C₁ 的式子减 C₂ 的式子）：
(x²＋y²－2x－4y－11)－(x²＋y²－8x－12y＋43)＝0，整理得 6x＋8y－54＝0，两边除以 2。
第（2）问答案
3x＋4y－27＝0
（两式相减后 x²、y² 抵消，剩下的直线就是公共弦）
！易错警示 🕳
第一个坑是配方时算错——C₁ 的常数项是 －11，配成 (x－1)²＋(y－2)²＝16 时是「1＋4＋11＝16」，写成 11 或 15 后面全错。自查方法：把 (x－1)²＋(y－2)² 展开得 x²＋y²－2x－4y＋5，与原式比对，5－(－11)＝16＝r²，对上了。第二个坑是相减时把二次项也带进去算——一定要「相减」，让 x²、y² 抵消，合并后才能得到直线。第三个坑是符号写反：是 C₁ 减 C₂ 还是 C₂ 减 C₁ 结果只差一个负号，是同一条直线，但必须是「减」，不能「加」。
直线与圆综合：最值两问，加一个轨迹
【例题】已知圆 C：x²＋y²－2x－4y＋1＝0。（1）若点 A(4, 6)，P 为圆 C 上任意一点，求 |PA| 的最大值与最小值；（2）过点 M(2, 2) 作圆 C 的弦，求弦长的最大值与最小值；（3）已知点 P₁(－1, 0)、P₂(1, 0)，动点 Q 满足 ∠P₁QP₂＝90°，求点 Q 的轨迹方程。
三个小问共用同一个圆心 C。先配方定圆心和半径，再分别用「连心加减半径」「过定点的最值弦」「设点翻译条件」三招。
圆心 C(1, 2)，半径 r＝2
x²＋y²－2x－4y＋1＝0 → (x－1)²＋(y－2)²＝4，所以圆心 C(1, 2)，半径 r＝2。
圆上点到定点的距离最值
圆心 C(1, 2) 到定点 A(4, 6) 的距离 |CA|＝√[(4－1)²＋(6－2)²]＝√(9＋16)＝5。
因为 A 在圆外（|CA|＝5＞r＝2），最大值＝|CA|＋r＝5＋2＝7，最小值＝|CA|－r＝5－2＝3。
第（1）问答案
最大值 7，最小值 3
过定点的弦，最长与最短
先看定点在不在圆内：|CM|＝√[(2－1)²＋(2－2)²]＝1＜2，所以 M 在圆内。
最长弦：过圆心 C 的直径，长 2r＝4；最短弦：垂直于 CM 的弦，此时圆心到弦的距离就是 |CM|＝1，由弦长公式 L＝2√(r²－d²)＝2√(4－1)＝2√3。
第（2）问答案
弦长最大值 4，最小值 2√3
设点翻译：把直角翻译成数量积为 0
设 Q(x, y)。∠P₁QP₂＝90° 说明 QP₁ ⊥ QP₂，即向量 QP₁ 与 QP₂ 的数量积为 0：
(x＋1)(x－1)＋y²＝0，化简得 x²－1＋y²＝0，即 x²＋y²＝1。
第（3）问答案
x²＋y²＝1（除去 (－1, 0) 与 (1, 0)）
（Q 落在 P₁ 或 P₂ 时这个角不存在，必须挖掉）
！易错警示 🕳
第一个坑是第（1）问不假思索写「最小值＝|CA|－r」，但先要判断 A 在圆外还是圆内：本题 |CA|＝5＞r，A 在圆外，距离始终为正是对的；若 A 在圆内，最小值就变成 r－|CA|，直接套公式会算出负数。第二个坑是第（2）问把「最短弦」当成「垂直平分线」——最短弦确实是垂直于 CM 的弦，但长度要用 L＝2√(r²－|CM|²) 算，别和切线混。第三个坑是第（3）问忘了剔除两个端点：Q 落在 P₁ 或 P₂ 时这个角根本不存在（三点重合），所以轨迹要挖掉 (－1, 0)、(1, 0)。这半句在填空题里是必扣分点。
04
PART
重要知识点类型归纳
TYPES · 六类对号入座
圆与圆、直线与圆综合的题，本质是「把图形关系翻译成距离或等式的比较」。下面这张表把常考的六大类一次列清：
一句话记忆口诀
两圆先配方、d 比和与差；相交二式相减得弦；最值连心加减 r，轨迹设点翻条件
（「二式相减得弦」指两圆方程相减直接得到公共弦；「连心加减 r」指圆上点到定点距离最大值、最小值分别是圆心距加、减半径）
05
PART
对应练习参考
PRACTICE · 五题自测
判断圆 C₁：(x－1)²＋y²＝4 与圆 C₂：(x－4)²＋(y－4)²＝1 的位置关系。（答案：外离；提示：圆心距 d＝√[(4－1)²＋(4－0)²]＝5，r₁＋r₂＝2＋1＝3，d＞r₁＋r₂，故外离）
圆 C₁：x²＋y²＝4 与圆 C₂：x²＋y²－4x＋4y－12＝0 相交，求公共弦所在直线的方程。（答案：x－y＋2＝0；提示：两式相减得 －4＋4x－4y＋12＝0，即 4x－4y＋8＝0）
圆 C：(x－2)²＋(y－1)²＝16，点 A(－1, 3)，P 为圆上一点，求 |PA| 的最大值与最小值。（答案：最大 √13＋4，最小 4－√13；提示：圆心 C(2,1)，|CA|＝√(9＋4)＝√13，最大值＝√13＋4，最小值＝4－√13）
圆 C：x²＋y²＝25，过点 M(1, 2) 作圆 C 的弦，求弦长的最小值。（答案：4√5；提示：|OM|＝√5＜5，M 在圆内，最短弦长＝2√(25－5)＝4√5）
动点 Q 满足 |QA|²＋|QB|²＝10，其中 A(－1, 0)、B(1, 0)，求点 Q 的轨迹方程。（答案：x²＋y²＝4；提示：设 Q(x, y)，(x＋1)²＋y²＋(x－1)²＋y²＝10，化简得 2x²＋2y²＋2＝10）
✦ 做完后逐题自查三件事：判断位置关系前配方对了吗？求公共弦是「相减」不是「相加」吗？最值题里定点在圆内还是圆外，想清楚了吗？
///
LAST
写在最后
CONCLUSION · 高二选必一第二章
圆与圆的位置关系，其实是把「两点间距离」这一课又用了一次：把两个图形的关系，翻译成一个距离跟两个数字比大小。这个「翻译」的思路，是解析几何的底色——坐标系最大的本事，就是把几何的「看得见」变成代数的「算得出」。
直线与圆的最值、轨迹，则是在训练同一件事：看到「最值」想连心线，看到「垂直、等距」想数量积。想清楚了，题就只剩计算。
所以今天的作业不只是一口气做完那五道题，而是回到那张表——看到一道题，先问自己它给的是两圆的位置条件，还是一个动点的几何条件。条件认对了，动作就是唯一的。
✦ 明日预告：高三专场——一轮复习「解三角形」：正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的选用。我们明天见。
我是三晖青年，每天一篇高中数学进阶，陪你把数学学成体系。
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THANKS FOR READING