按：这是一份1998年的手写教案，当时我首次教高中（此前教了6年大学）。时隔二十八载，墨迹犹新。回首当年，课后绍同学（后来的IMO金牌教练）与我关于例3的一番交流，促使我对均值不等式有了更深的理解。那段交流，以及教务处敲在教案上的红印，都是我教育生涯中珍贵的记忆。如今，借助AI将这份手写教案识别整理成文，回看这份明天依然可用的教案，除了教学目标中的“使学生”需要让位于“学生的主体地位”，其核心的数学逻辑与教学智慧，依然历久弥新。

一、教案原稿：应用基本不等式求最值

教学目的：①使学生掌握运用基本不等式求最值的方法。②使学生通过基本不等式求最值的种种错误，培养严密的思维习惯。③使学生掌握通过最值问题的解决，解决一些实际问题，培养初步的数学应用能力。

教学过程：

例1 已知 ，，。求证：(1) 如果  是定值，那么当且仅当  时， 的值最小；(2) 如果  是定值，那么当且仅当  时， 的值最大。

证明： (1) ，，即 。（当且仅当  时，等号成立）

这就是说，如果  是定值，那么当且仅当  时， 有最小值 。

(2) 由(1)的证明知，。（当且仅当  时，取“”号）

这就是说，如果  是定值，那么当且仅当  时， 有最大值 。

说明：①后情况，例1可布置学生看P9.例3②说明（当且仅当  时取“”号）不可丢，如上例③讲清  为定值条件不可丢。［旁注］， 的最小值是 （错）（当且仅当  时，等号成立） 的最小值是 

例2： 求证：当  时， 的最小值是 。

证明：当且仅当  即  时，等号成立。［旁注］求证：当  时，。注意：此两题之区别！［旁注］当  时，求  的最小值； 的最小值

例3 当  时，求  的最小值。

解：当且仅当  时等号成立。即  时， 有最小值 。

说明：这种证法是错误的举例：取 ， 只能说明：，等号不成立，等号成立但不能说明 

证明(2)解： 的最小值是 。说明：这种证法也是错误的。 无解。

解(3)：当且仅当 ，即  时，“”号成立。 的最小值是 。

例4 已知 ，求  的最大值，并求此时的  值。

分析： 不是定值，若是  就好了。

解：当且仅当 ，即  时， 的最大值是 。

说明：①可先以  最大值讲起。②同样例2也可以例1的改写讲起。

例5 某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽油费共9千元。汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，问：这种汽车最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少）。（计算总维修费用可用：）

解： 设使用  年报废最合算，由题意有：

当且仅当 ，即  时取得最小值，即使用10年报废最合算。年平均费用为3万元。

小结： 不等式的应用结论： 求最值的方法及注意事项。

二、教研：例3中的“切点”与“驻点”之辨

课后，绍同学与我专门就例3（）进行了深入交流。这次讨论，使我产生透过表象探究问题本质的念头。

在很多学生的错解中，他们利用 ，并令  得到 ，从而断言最小值为 。为什么这是错的？因为右边的  并不是一个定值。

从几何与微积分的视角来看，这更加透彻：函数  的驻点（极小值点），由导数  解得 ，此时最小值为 。而在错解中，均值不等式取等号的条件是 ，解得 。当  时，函数值 ，右侧  的值也是 。进一步求导验证：左侧导数 ，右侧  的导数 。

这意味着， 是曲线  与曲线  的切点（不仅函数值相等，切线斜率也相等），但它绝不是原函数的驻点（极值点）！

这一认知让我深刻意识到：用均值不等式求最值，其本质是寻找一个定值的上界或下界。如果右侧含有变量，即便等号成立，也只是两个函数发生了相切，并不能代表左侧函数达到了最值。这个教学相长的瞬间，成为了我后来反复向学生强调“一正、二定、三相等”时最鲜活的案例。

三、时代的回响：教案里的青春与教育变迁

这份教案不仅承载着数学逻辑，更刻着时代的印记。

第一个感想，是时代的变迁。 当年手写教案，学期结束，教务处会在教案上敲下检查的红印，防止教师重复应付检查。如今再看那些红印，才明白它确实能鞭策年轻人成长，让人珍惜这份职业的厚重。而此刻，AI能够轻易将手写教案识别、排版成文章，技术的进步让知识的传承与分享变得无比便捷。

第二个感想，是教育理念的演进。 回看这份教案，明天上课依然可用，解题逻辑和错题剖析毫不过时。唯一需要与时俱进修改的，是教学目标中的“使学生”三字。现代教育强调学生的主体地位，教学目标应表述为“能……”“通过……”。

第三个感想，是教育的温度。 教案中夹着一张学生座位表，许多同学虽久未联系，但那份当年的师生情谊，依然凝结在这张小小的纸片上。当年那个在课后与我热烈讨论“切点与驻点”的绍同学，后来成为了IMO金牌教练、浙江省知名重点中学副校长。作为老师，最大的幸福莫过于看到学生超越自己，看到他们带着课堂上萌发的探究精神走向更广阔的天地。

这份教案，凝固了1998年那个青涩的教学瞬间，也依然能在明天的课堂上，为新一届学生点亮思维的火花。