一元二次方程8大题型全拆解:解法、步骤和易错点,一篇讲透

孩子的数学作业上有这样三道题，题目要求都只有三个字：解方程。

(x−3)²＝16

2x²−5x＋2＝0

x²−3x−10＝0

第一道，他先把左边展开成x²−6x＋9，再移项、再整理，写了小半页；第三道看了一眼，直接写出(x−5)(x＋2)＝0。

轮到中间那道，他把a、b、c抄在旁边又划掉，笔头敲着本子问：“这几道不都是解方程吗，怎么每道下笔的地方都不一样？”

问到点上了。这一章的题，大致可以归成八类：前四类管“怎么把根求出来”，后四类管“题目到底在问什么”。

每一类都有个长相、一个第一步、一处最常见的错，下面一类一类摆出来。

先把根求出来：开平方、配方、公式

第一类，直接开平方。长相是一边为含x的完全平方，另一边是个常数，比如(x−3)²＝16。第一步不用展开，两边直接开平方：x−3＝±4，于是x₁＝7，x₂＝−1。

最常见的错，就丢在那个“±”上。孩子心里想的是“16开方是4”，写出x−3＝4，只剩一个根。

还有一种要认得：(x−3)²＝−4，右边是负数，没有哪个实数平方后是负的，方程没有实数根，不是题目印错了。

第二类，配方法。题目指定用配方法，或者不好直接分解时，常走这条路。

拿x²−4x−1＝0来说，先把常数项移到右边，得x²−4x＝1；再在两边同时加上一次项系数一半的平方，−4的一半是−2，平方是4，得x²−4x＋4＝5，

也就是(x−2)²＝5；最后开平方，x＝2±√5。

易错有两处。一处是只在左边加了4，右边还是1。另一处是二次项系数不是1，比如2x²−8x＋1＝0，得先两边同除以2，再配。

常听人说配方法适合“一次项系数是偶数”的题，这其实只是算起来方便，奇数照样能配，无非多出几个分数。

两个蓝圈要一起出现，等式两边才仍然相等。

第三类，公式法。只要先化成ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的一般形式，什么方程都能用。第一步不是急着套公式，而是先算b²−4ac。

以2x²−5x＋2＝0为例，a＝2，b＝−5，c＝2，b²−4ac＝25−16＝9，大于0，再代入求根公式x＝[−b±√(b²−4ac)]/(2a)，

得x＝(5±3)/4，两个根是2和1/2。

最容易错的是b的符号。b本身是−5，公式里要的是−b，也就是5；有的孩子直接把−5抄进去，分子从头就错了。

分母也要看清，是整个2a，不是只除以2。

我以前也以为，求根公式一背熟，这一章就算过了。

后来才想明白，求根公式哪道题都能用，可不是哪道题都该先用它——像(x−3)²＝16、x²−3x−10＝0，能直接开平方、一眼能分解的，硬套公式反倒费事，

数字一大还容易算错。

能分解先分解，再看题目问的是什么

第四类，因式分解法。依据只有一条：两个数相乘得0，至少有一个是0。所以第一步是把方程整理成右边为0，左边写成两个一次式相乘。

x²−3x−10＝0，找两个数，乘积是−10、和是−3，就是−5和2，于是(x−5)(x＋2)＝0，x＝5或x＝−2。

这一类的错，多半出在右边没化成0。

常见的错法是把(x−1)(x＋2)＝4直接写成x−1＝4或x＋2＝4——好家伙，两个数相乘得4，可以是1和4，也可以是0.5和8，根本推不出哪个括号等于几。

得先展开、移项，化成x²＋x−6＝0，再分解成(x＋3)(x−2)＝0，得x＝−3或x＝2。

另一个常见错是x²＝3x两边同除以x，只剩x＝3，把x＝0弄丢了；移项后提公因式，x(x−3)＝0，两个根才都在。

第五类，根的判别式。题目不让你求根，只问根的情况：有没有实数根，有几个。

这时第一步就是写出Δ＝b²−4ac，看它跟0比：大于0，两个不相等的实数根；等于0，两个相等的实数根；小于0，没有实数根。

带参数的题最常见。比如证明x²−(k＋2)x＋2k＝0总有实数根：Δ＝(k＋2)²−8k＝k²−4k＋4＝(k−2)²。

一个数的平方不会小于0，所以不论k取什么，方程都有实数根。说人话就是：能把Δ整理成一个平方，这类证明题就做完了一大半。

易错在题目措辞的一字之差。“有实数根”对应Δ≥0，“有两个不相等的实数根”才对应Δ>0，等号要不要，全看这几个字。

还有一处容易漏：二次项系数里带参数时，它首先得是一元二次方程。

比如kx²−2x＋1＝0有两个不相等的实数根，除了Δ＝4−4k>0，还要k≠0，答案是k<1且k≠0。

把两条限制放到同一条数轴上，0和1都要排除。

第六类，根与系数的关系，也就是常说的韦达定理。这一类各地进度不一，还没学到的孩子先跳过，不必提前去啃。

已经学了的，记住两句：x₁＋x₂＝−b/a，x₁x₂＝c/a。

它的用处，是不求根也能算跟两根有关的式子。比如x²−3x−1＝0，求x₁²＋x₂²。

解出两个根再平方，满纸根号；换个思路，x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²−2x₁x₂，两根之和是3，两根之积是−1，代进去是9＋2＝11。

易错也是两处。一处还是符号，−b/a前面那个负号最容易丢，这道题b＝−3，两根之和是3，不是−3。

另一处是前提：方程得先有实数根。题目里带参数时，用两根关系算出参数以后，要回头验一下Δ≥0，不满足的那个值得舍掉。

前面这几类，家长对着例题多半能跟一遍。难讲清的是配方为什么两边各加那个数，和带根号的根算得对不对——光看答案，看不出孩子是哪儿没想通。

我们楼下那家的儿子，今年读高一，去年九年级上学期学这一章，期中数学考了84分，作业和卷子上有两种题总丢分：配方法解x²＋6x＋2＝0，

他移项写出x²＋6x＝−2，就不知道下一步该补什么；用公式法算出带根号的根，又以为自己算错了，擦掉重来。

后来他妈妈去芒果同学找了个数学一对一老师，老师让他把(x＋3)²展开，和x²＋6x对照，缺的正是9，于是在等式两边各加9。

他自己往下写出(x＋3)²＝7，x＝−3±√7。

到了带根号那一处，老师让他先算b²−4ac，36−8＝28，再问他28是不是哪个整数的平方。不是。

问题就露在这儿：他不知道判别式开不尽的时候，求出的根就该带根号，算出整数反倒要回头查一查。后面几节课，每道方程动笔前，他先在题号旁写一个Δ的值，看它开不开得尽。

到了期末，数学考了99分，比期中多了15分，配方和公式法那几道一分没丢。上一次课付一次费用，没什么负担。

应用题和综合题：解完还要回头看

第七类，应用题。增长率、面积、利润最常见，设、列、解、检验四步里，分常常丢在最后一步。

拿增长率来说：某厂一月产值100万元，三月产值121万元，求平均每月的增长率。

设增长率为x，二月是100(1＋x)，三月是100(1＋x)²，列出100(1＋x)²＝121，(1＋x)²＝1.21，1＋x＝±1.1，

得x＝0.1或x＝−2.1。

−2.1要舍，但理由别写错。增长率本身可以是负数，产值下降的时候就是负的；舍掉它，是因为这时1＋x＝−1.1，二月的产值算出来成了负数，不合实际。

答案是平均每月增长10%。

第八类，综合题。常见的是一题两三问，前面问判别式，后面接两根关系、几何或函数。比如：已知关于x的方程x²−(2k＋1)x＋k²＋k＝0。

第一问，证明它有两个不相等的实数根：Δ＝(2k＋1)²−4(k²＋k)＝1，大于0，成立。第二问，两个根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，斜边为5，求k。

拆开看，第二问是三类题叠在一起。

勾股定理给出x₁²＋x₂²＝25；用两根关系改写成(x₁＋x₂)²−2x₁x₂＝25，代入得(2k＋1)²−2(k²＋k)＝25，整理成k²＋k−12＝0；

这又回到了第四类，分解成(k＋4)(k−3)＝0，k＝3或k＝−4。

最后一步最容易漏：边长必须是正数。k＝−4时，两根之和是−7，两个根都是负的，舍去；k＝3时，方程是x²−7x＋12＝0，两根是3和4，正好配上斜边5。

综合题每一问做完，都要再问一句：这个结果放回题目里，说得通吗？

八类过完之后

回到开头那三道方程题。错题旁边别急着重抄，先写一句：错在哪儿——丢了±，只在一边加了数，−b抄成了b，右边没化成0，还是等号该不该取。

几张下来，同一句反复出现的那一处，就是他要回头补的地方。

解完再做一件小事：把根代回原方程看一眼，应用题和综合题再对一对实际意义。这八类不是这一章题目的全部，可每道题都能对上号，孩子下笔就不慌了。

孩子拿方程题来问你的时候，你一般是讲到哪一步，开始说不上来的？