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数轴的概念——初中数学第一个＂数形结合＂工具数轴的概念
数轴的概念——初中数学第一个＂数形结合＂工具数轴的概念
各位南京的家长、同学们好，我是博哥。 孩子刚上初一，在月考之前最重要的一章就是有理数。很多孩子觉得有理数不就是正数负数嘛，小学都学过，没什么难的。但学到数轴的时候，有些孩子就开始迷糊了——不就是画一条线标几个数吗，为什么老师反复强调？ 今天博哥就跟大家聊聊数轴。别看它简单，它可是初中数学第一个"数形结合"的工具。后面学绝对值、不等式、函数，全都要用到数轴。这一步没学扎实，后面处处吃亏。 先说定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 这句话听起来简单，但里面有三个关键词，一个都不能少：原点、正方向、单位长度。这三个就是数轴的"三要素"。 
我给孩子们打个比方：数轴就像一把横放的尺子。原点就是尺子的0刻度，正方向就是数字增大的方向（一般向右），单位长度就是每一格代表多长。尺子缺了0刻度就没法量，缺了统一刻度就量不准，数轴也是一样，三要素缺一不可。 生活中其实到处都是数轴的影子：温度计上的刻度、直尺上的刻度、本质上都是数轴。数学里的数轴就是把这些生活中的工具抽象出来，变成一条可以表示所有数的直线。 第一个要素：原点。原点就是数轴上表示0的那个点，用大写字母O表示。它是数轴的"基准点"，所有的数都以它为参照。原点左边是负数，右边是正数。很多孩子画数轴的时候忘了标原点，或者把原点标在中间但没写0，这都是不规范的。 第二个要素：正方向。正方向就是数字增大的方向，一般规定向右为正方向，用箭头表示。有了正方向，才能区分正数和负数——箭头指向的那边是正数，另一边是负数。有些孩子画了直线标了刻度，但忘了画箭头，这就不是一个完整的数轴，因为你不知道哪边是正的。 第三个要素：单位长度。单位长度就是数轴上每一格代表的数量，比如每一格代表1，或者代表0.5，都可以，但同一根数轴上单位长度必须统一。也就是说，从0到1的距离和从1到2的距离必须一样长，不能0到1画得长、1到2画得短，那样就乱了。 这里有个易错点：单位长度和长度单位不是一回事。长度单位是米、厘米这种实际单位，单位长度是数轴上人为规定的一格代表多少。数轴上一般不写实际单位，只写数字，因为数轴是抽象的数学工具。 数轴画好了，怎么用？很简单，每一个数都能在数轴上找到对应的点，反过来，数轴上的每一个点也都对应一个数。这就是"数"和"形"的对应。 小学学的整数、分数、小数，都能在数轴上表示出来。比如3，就在原点右边第3个单位长度的位置；-2，就在原点左边第2个单位长度的位置。分数和小数也一样，比如0.5就在0和1的正中间，1/3就在0到1之间分成3份后的第一份位置。 甚至到了初二学无理数（比如√2），也能在数轴上找到对应的点。所以说，数轴上的点和实数是一一对应的——每一个实数都对应数轴上唯一的一个点，数轴上每一个点也都对应唯一的一个实数。这个概念到了后面学函数的时候特别重要。 光说不练假把式，咱们看一道教材上的例题。 题目：在数轴上分别画出点 A=1又2/3，点 B=0.75，点 C=11/5。 
这道题看起来简单，但很能检验孩子对数轴的理解。我一步步说。 先画数轴：画一条直线，标上原点0，向右画箭头表示正方向，然后从0开始向右依次标1、2、3……每一格长度要一样。 然后找点B=0.75。0.75就是3/4，把0到1这一段平均分成4份，从0开始数第3份的位置就是B点。或者把0到1平均分成10份，0.75就在第7.5份的位置，大概在0.7和0.8的正中间。 再找点A=1又2/3。1又2/3就是5/3，先找到1，然后把1到2这一段平均分成3份，从1开始数第2份的位置就是A点。大概在1.67的位置。 最后找点C=11/5。11/5就是2又1/5，先找到2，然后把2到3这一段平均分成5份，从2开始数第1份的位置就是C点，也就是2.2的位置。 三个点都标好之后，从左到右的顺序是B（0.75）、A（约1.67）、C（2.2）。数轴上右边的数总比左边的大，所以B 教书多年，我发现孩子们在数轴上翻来覆去就那几个错误，我给大家列出来，孩子考前过一遍，能少丢不少分。 第一个错误：三要素不全。有的孩子画了一条直线标了数字，但忘了画箭头（正方向），或者忘了标原点0。考试的时候画图题，三要素缺一个就扣分。记住：原点（标0）、正方向（箭头）、单位长度（均匀刻度），一个都不能少。 第二个错误：单位长度不统一。有的孩子画数轴，0到1画得长，1到2画得短，或者正数那边刻度密、负数那边刻度疏，这都是不规范的。同一根数轴上，每一格的长度必须完全一样。建议孩子画的时候用尺子量着画，不要随手画。 第三个错误：正方向标错。一般规定向右为正方向，但有些题目会故意把正方向标成向左，或者让孩子自己判断。这时候一定要看清楚箭头指向哪边，箭头指向的方向是正数增大的方向，不要想当然地认为右边一定是正数。 有些家长可能会问，不就是画一条线吗，为什么要花这么多时间讲？因为数轴是初中数学第一个"数形结合"的工具，它的重要性远远超出大多数人的想象。 什么是数形结合？就是把抽象的"数"和直观的"形"对应起来，用图形帮助理解数，用数精确描述图形。小学学数学主要靠计算，到了初中，数形结合就成了最重要的数学思想之一。后面学绝对值的时候，|a|就是数轴上点a到原点的距离；学不等式的时候，解集要在数轴上表示出来；学函数的时候，函数图像就是在坐标系（两根数轴）里画的。可以说，数轴贯穿了整个初中数学。 在初一这个阶段南京的期中、期末考试里，数轴相关的题目几乎每次都考，要么是画图题，要么是结合绝对值、不等式的选择题。把数轴学扎实了，后面学这些内容就轻松很多。 数轴看起来简单，但它是初中数学的基石之一。三要素要记牢，画图要规范，数形结合的思想要从一开始就建立起来。 需要有理数章节知识思维导图和数轴专项练习的家长，留言【数轴】领取，我把数轴的知识点整理成了一张思维导图，再配上15道典型练习题和详细解析，帮孩子把这个基础打扎实。 下一讲，博哥跟大家聊聊相反数、倒数和负倒数——这三个概念孩子经常搞混，我用一张图帮大家一次分清。觉得有用的话，点个关注，咱们下篇见。
一、什么是数轴
二、三要素逐个说
三、数轴上的点
四、拿道例题练练手