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初中数学“将军饮马”模型全攻略:最短路径问题,一招搞定!
初中数学“将军饮马”模型全攻略:最短路径问题,一招搞定!
初中数学“将军饮马”模型全攻略：最短路径问题，一招搞定！ 孩子做几何最值题，是不是经常出现这样的情况：求“PA+PB最小”，明明知道要作对称点，就是不知道对称点该作在哪里；好不容易画出来了，又不知道怎么算。 “将军饮马”是初中几何最值问题的入门模型，也是最常考的一类。今天把这个模型彻底讲透，以后看到最短路径问题，直接套方法！ 故事背景：古代有位将军，要从军营A出发，到河边让马喝水，然后再返回营地B。河边的哪个点P，能让将军走的总路程最短？ 数学本质：两个定点A、B，一条定直线l，在l上找一点P，使PA+PB最小。 核心方法：作对称点，把折线“拉直”。 为什么有效：作A关于直线l的对称点A'，则PA=PA'，所以PA+PB=PA'+PB。当A'、P、B三点共线时，PA'+PB最小，等于线段A'B的长度。根据“两点之间线段最短”，A'B就是最短路径。 第一步：找动点所在的直线——动点在哪条线上运动，那条线就是“河”。 第二步：作对称点——作其中一个定点关于这条直线的对称点。 第三步：连接求最值——连接对称点和另一个定点，与直线的交点就是所求动点P，线段长度就是最小值。 记忆口诀：折线变直线，对称来帮忙；动点在哪线，就作谁对称。 特征：A、B是两个定点，P在直线l上运动，求PA+PB最小。 做法：作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于P，最小值=A'B。 特征：A是一个定点，P在直线l1上，Q在直线l2上，求AP+PQ最小。 做法：作A关于l1的对称点A'，过A'作l2的垂线，垂足为Q。 特征：两条平行线之间架桥，求路径最短。 做法：将A沿垂直方向平移一个桥宽，连接平移后的点与B，确定桥的位置。 特征：求|PA-PB|的最大值。 做法：作A关于l的对称点A'，连接A'B并延长交l于P，最大值=A'B。 注意区分：和最小→作对称点拉直；差最大→作对称点连线延长。 题目：正方形ABCD的边长为4，E为BC中点，P为BD上一动点，求PE+PC的最小值。 解析：C关于BD的对称点是A（正方形对角线是BD的垂直平分线），所以PE+PC=PE+PA。当P在AE与BD的交点时，PE+PA最小，等于AE。 在Rt△ABE中，AB=4，BE=2，AE=√(4²+2²)=√20=2√5。 答案：2√5。 坑1：对称点作反了——对称点要作在直线的另一侧，作反了求出来的是最大值。 坑2：没看清动点在哪条线上——动点所在的直线才是“河”，对称点要关于这条直线作。 坑3：和最小与差最大搞混——“和最小”用对称点+连接；“差最大”用对称点+连线延长。两者方法不同！ 将军饮马模型的核心就是“作对称点，把折线拉直”。孩子记住这个口诀：折线变直线，对称来帮忙；动点在哪线，就作谁对称。再配合四种变式的练习，最短路径问题就能稳稳拿下！ 复习三件事：把“三步法”和四种变式抄在笔记本上；找3道将军饮马的真题练到熟练；重点练“两定一动”和“一定两动”两种最常考的类型。 欢迎关注以下公众号～ #初中数学#将军饮马#几何最值#中考数学#初中几何模型#数学提分