【高三一轮重难点考点汇总】排列组合的十九种题型方法汇总

(一) 排列与排列数

(1)定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号An^(m)表示．

(2)排列数的公式：An^(m)=n(n-1)(n-2)⋯(n-m+1)=(n!)/((n-m)!)．

特例：当m=n时，An^(m)=n!=n(n-1)(n-2)⋯3⋅2⋅1；规定：0!=1．

(3)排列数的性质：

①An^(m)=nAn-1^(m-1)；②An^(m)=(1)/(n-m)An^(m+1)=(n)/(n-m)An-1^(m)；③An^(m)=mAn-1^(m-1)+An-1^(m)．

(4)解排列应用题的基本思路：

通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素)．

注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，An^(m)=n(n-1)⋅⋅⋅(n-m+1)常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用An^(m)=(n!)/((n-m)!)．

(二) 组合与组合数

(1)定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cn^(m)表示．

(2)组合数公式及其推导

求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An^(m)，可以按以下两步来考虑：

第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn^(m)；

第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数An^(m)；根据分步计数原理，得到An^(m)=Cn^(m)⋅Am^(m)；

因此Cn^(m)=(An^(m))/(Am^(m))=(n(n-1)(n-2)⋯(n-m+1))/(m!)．这里n，m∈N+，且m≤n，这个公式叫做组合数公式．

因为An^(m)=(n!)/((n-m)!)，所以组合数公式还可表示为：Cn^(m)=(n!)/(m!(n-m)!)．特例：Cn^(0)=Cn^(n)=1．

注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排(先组合后排列)的顺序解决问题．公式Cn^(m)=(n(n-1)(n-2)⋅⋅⋅(n-m+1))/(m!)常用于具体数字计算，Cn^(m)=(n!)/(m!(n-m)!)常用于含字母算式的化简或证明．

(3)组合数的主要性质：①Cn^(m)=Cn^(n-m)；②Cn^(m)+Cn^(m-1)=Cn+1^(m)．

(4)组合应用题的常见题型：

①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型

②“至少”或“最多”含有几个元素的题型

(三) 排列和组合的区别

组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．

注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．

(四) 解决排列组合综合问题的一般过程

1、认真审题，确定要做什么事；

2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；

3、确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少个元素；

4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．

(五) 【方法技巧与总结】

1、如图，在圆中，将圆分n等份得到n个区域M1，M2，M3，⋯，Mn(n≥2)，现取k(k≥2)种颜色对这n个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有(-1)^(n)(k-1)+(k-1)^(n)种．

2、错位排列公式Dn=(∑(n,i=1,((-1)^(i))/(n!))+1)⋅n!

3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

(1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．

4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：

(1)以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；

(2)以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；

(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．

5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有An-k+1^(n-k+1)种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有Ak^(k)种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有An-k+1^(n-k+1)⋅Ak^(k)种．

6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素互不相邻(k≤n-k+1)，求不同排法种数的方法是：先将(n-k)个元素排成一排，共有An-k^(n-k)种排法；然后把k个元素插入n-k+1个空隙中，共有An-k+1^(k)种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有An-k^(n-k)·An-k+1^(k)种．