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有这样一道高考数列题：给定初值和一个简单的递推关系，证明数列中的每一项都是正整数，如图所示（例题4.2），它也是我们著名的王者百题，据说至今仍为公开问题，无人解答

• 本题后半部分是错的，忽略掉，不过实际上它们是同阶量

事实上，本题必须要借助大学数学中多项式环的一些理论才可以做出来，虽然说也不算多高级，但是你至少要学过大一的高等代数课程，否则这题是没有办法做的

尽管它是一道非常初等的高考题，但是我们在高中数学范围内，却绝无做出来的可能性！必须要借助一点大学数学理论才可以

下面就来讲解一下，高中生可以欣赏，大学生要认真学习

问题与解析

设数列  满足 ，且

证明： 恒为正整数。

将七个初值换成独立变量 ，按

定义后续各项。记 ，即整数系数多项式除以初值单项式所得的所有表达式。我们证明每项都属于 ，最后令七个初值全为  即可。以下整除与互素均在  中讨论。

第一步：检查到 

计算  时，除数都是初值，故这些项都属于 。

关键是 。由递推式代入整理，得到恒等式

右端各项已属于 ，左端的  是初值单项式，所以 。

第二步：检查一个互素关系

令

于是 。

 关于  是一次多项式，首项系数  在  中可逆；由高斯引理， 是  中的不可约因子。因此，证明 ，只需证明  不整除  中的任何一项。

取 ，。此时 ，但由递推式及恒等式 ，依次得到

全部非零。这里最后一项用  计算，没有在原递推式中除以 （相当于先计算和约分有理分式，最后再代入数值，逻辑类似于这个分式代入）。由于  中的表达式在这些非零初值处均有定义，故  不整除上述任何一项，从而 。

第三步：用两种分母完成归纳

对下标作加强归纳。前十五项已经证明。设 ，且下标小于  的结论成立。将相同的递推分别从以下两组初值开始：

此时  的相对下标分别为 、，均小于 ，因此可以应用归纳假设中的有理函数恒等式。

从第一组初值出发，因  在  中可逆，且 ，得到 ，其中 ， 为非负整数。

从第二组初值出发，因 ，得到 ，其中 ， 为非负整数。于是 。由  和唯一因子分解，，所以 ，归纳完成。

最后令 ，每个  都成为整数，且恰好等于题目中的 。正性由原递推式立即归纳得到，故  对所有  均为正整数。

这样我们就完成了证明，聪明的读者，请问你有高考数学框架下的做法吗？你以为归纳就做完了？那你试试看，我认为不可能有高考意义下的初等解法

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作者：柯西永远爱你