重高真题欣赏(26年徐州侯集中学高一10月考压轴题)|警车追货车:三问吃透追及相遇(附 v–t 图解法)

追及相遇是运动学的“分水岭”题型：公式谁都会背，但真正拉开差距的是“速度相等”这个临界点什么时候出现、代表什么。这道警车追货车的题，三问层层递进，第（3）问又把“反应时间”和“最大限速”加进来，几乎把追及问题的全套套路一次考完。

建议先自己做一遍，再往下看解析。

先把已知条件理清楚，三问共用同一套数据：

第（1）问　追上所需时间

思路：“追上”的判据只有一个 —— 从同一位置出发，两者的位移相等。设经过时间 t 追上，把两个位移分别写出来令其相等即可。

货车位移：x₁ = v₀t = 15t

警车位移：x₂ = ½at² = 2.5t²

追上时 x₁ = x₂：

15t = 2.5t²　⟹　t(2.5t − 15) = 0

解得 t = 6 s（t = 0 是货车刚经过警车的瞬间，舍去）。代回求位移：x = 15 × 6 = 90 m。

更快的写法（平均速度法）：追上时两者位移相同、时间相同，所以平均速度必然相同。货车平均速度是 15 m/s，警车从 0 匀加速，平均速度为 at/2，令 at/2 = v₀ 得 t = 2v₀/a = 6 s，一步出答案。

图像法：在 v–t 图中，图线与时间轴围成的面积就是位移。追上意味着两图线的面积相等 —— 也就是“警车多出的面积”正好补上“警车少的面积”。

顺带一个常被忽略的结论：追上时警车速度已达 v = at = 30 m/s（108 km/h），是货车速度的两倍。这也是为什么现实中警车追货车往往要先加速很久 —— 平均速度相等，意味着末速度必须是初速度的两倍。

第（2）问　两车最大距离

核心结论：警车速度还小于货车速度时，间距一直在拉大；一旦警车速度超过货车，间距开始缩小。所以间距取极值的时刻，就是两车速度相等的时刻。

令 at = v₀，得 t₁ = v₀/a = 15/5 = 3 s。

此时货车走了 15 × 3 = 45 m，警车走了 ½ × 5 × 3² = 22.5 m，间距：

Δx = 45 − 22.5 = 22.5 m

也可以直接用二次函数：Δx = 15t − 2.5t²，开口向下，顶点在 t = 15 ÷ (2 × 2.5) = 3 s，最大值 Δx = 22.5 m，两种算法互相验证。

图像法更直观：v–t 图上两条线之间的“空白面积”就是间距。0～3 s 的三角形面积是 ½ × 3 × 15 = 22.5 m，这正是间距的最大值；3～6 s 又是一个面积相同的三角形，把这段间距原样还回去，所以 6 s 时正好追上。

图 1　两个等面积三角形：先拉开 22.5 m，再用 22.5 m 追回来

第（3）问　加入反应时间与限速

这一问的警车不再是一条直线，而是“静止 → 匀加速 → 匀速”三段折线。诀窍是分段算位移、分段记时间，最后一段按速度差去追。

① 反应期（0～1 s）：警车还没动，货车先跑出 15 × 1 = 15 m，间距 15 m。

② 加速期（1～5 s）：从 0 加速到 20 m/s 需要 t = v_m/a = 20/5 = 4 s。这 4 s 内警车走 ½ × 5 × 4² = 40 m，货车走 15 × 4 = 60 m。

累计到 5 s 末：警车 40 m，货车 15 + 60 = 75 m，还差 35 m。

③ 匀速追及：警车 20 m/s、货车 15 m/s，每秒追近 5 m。追完 35 m 需要 35 ÷ 5 = 7 s。

t_总 = 1 + 4 + 7 = 12 s

回代验算：12 s 内货车走了 15 × 12 = 180 m；警车走了 40 + 20 × 7 = 180 m。两者位移相等，确实在 180 m 处追上 —— 数值自洽。

图 2　折线分三段：面积相等即位移相等，t = 12 s 追上

三条结论，一次收走

① 追及判据：位移相等。不管过程多复杂，只要从同一位置、同一时刻起算，追上就是位移相等，别去比速度。

② 间距极值：速度相等处。“快追慢”取最大间距，“慢追快”取最小间距。题干问“最大距离”“能否追上”，一律先令两者速度相等求出临界时刻。

③ 折线运动：分段结算。有反应时间、有限速、有刹车，就把过程切成几段，每段各用各的公式，末段常用“速度差 × 时间 = 待追距离”。

把两问的间距变化画在同一张图上，规律更清楚：两条曲线的峰值都出现在速度相等的那一刻，之后一路下滑，撞到横轴就是追上。

图 3　间距随时间变化：峰值 22.5 m @ 3 s 与 37.5 m @ 4 s

三个最容易踩的坑

坑一：把“速度相等”当成“追上”。3 s 时两车速度都是 15 m/s，但警车还在货车后面 22.5 m 处。速度相等只说明间距不再增大，此时差得最远。

坑二：第（3）问漏掉反应时间。那 1 s 里货车又跑掉 15 m。更麻烦的是 —— 漏掉它算出的 8 s 居然也“验算通过”（警车 40 + 20×4 = 120 m，货车 15 × 8 = 120 m），因为它对应的是另一道题：没有反应时间的那道。凡是数字自洽就以为对了，很容易在这里翻车。

坑三：以为 20 m/s 是全程速度。只有在 5 s 之后警车才达到限速。（1）、（2）两问里警车追上时速度是 30 m/s，本身就已经超过 20 m/s 的限速了，这正是第（3）问要修正的地方。

变式一练

把第（3）问的限速改成 v_m = 25 m/s，其余条件不变，求总时间。