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天津高考真题拆解篇|数列入门:基本量与通项(保分基础)
〇、数列的分，先从 "必拿" 的开始
这是数列部分的第①期。
天津卷数列大题，第 (1) 问几乎都是求通项公式—— 这是整道题里最基础、也最该拿满的分。它不难，但很多同学因为基本概念不清、或者忽略分段，在这里白白丢分。
这篇把 "求通项" 的三条路讲清楚：
等差、等比，列方程求基本量； 已知前 n 项和 Sₙ，用 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁； 给了 aₙ 和 Sₙ 的递推关系，相邻两式相减。
一、先把两个基本数列的 "基本量" 记牢
不管题目怎么包装，本质都是在求几个基本量。
等差数列（基本量：首项 a₁、公差 d）：
aₙ = a₁ + (n−1)d
Sₙ = na₁ + n(n−1)d/2
等比数列（基本量：首项 a₁、公比 q）：
aₙ = a₁·qⁿ⁻¹
Sₙ = a₁(1−qⁿ)/(1−q)（q≠1）
核心思路：题目给几个条件，就列几个方程，把 a₁、d（或 a₁、q）解出来，通项自然就有了。
二、"等差 + 等比" 综合开场（天津大题标准开局）
【例题（2026 天津卷第 19 题）】
已知等差数列 {aₙ}、等比数列 {bₙ} 满足：
a₁ = 2，b₁ = 1，a₂ = b₁ + b₂，a₄ = b₃ − b₁
求两个数列的通项公式。
【解答】
设等差数列公差为 d，等比数列公比为 q。
由 a₂ = b₁ + b₂：
2 + d = 1 + q，即 q = d + 1 ①
由 a₄ = b₃ − b₁：
2 + 3d = q² − 1 ②
把①代入②：
2 + 3d = (d+1)² − 1 = d² + 2d
整理：
d² − d − 2 = 0，解得 d = 2（舍去 d = −1，此时 q = 0 不合等比）
所以 q = 3，于是：
aₙ = 2n，bₙ = 3ⁿ⁻¹
（这类题就是 "设基本量、列方程"，没有别的花样，关键是计算别出错。）
三、已知 Sₙ 求 aₙ（高频，注意分段）
【公式】
a₁ = S₁
aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁（n ≥ 2）
特别注意：一定要单独验证 n=1，有时两段表达式并不统一。
【例题（2025 天津卷第 6 题）】
已知数列 {aₙ} 的前 n 项和 Sₙ = −n² + 8n，求 aₙ。
【解答】
当 n ≥ 2 时：
aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
= (−n² + 8n) − [−(n−1)² + 8(n−1)]
= −2n + 9
验证 n = 1：
a₁ = S₁ = −1 + 8 = 7，也符合 −2 (1) + 9 = 7
所以：
aₙ = 9 − 2n
（这道真题还进一步要求 {|aₙ|} 前 12 项和：a₄=1、a₅=−1，前 4 项为正、其后为负，分段求和得 80。遇到绝对值，先找正负分界点。）
四、给了 aₙ 与 Sₙ 的递推，相邻两式相减
【例题（2023 天津卷第 6 题）】
已知等比数列 {aₙ} 的前 n 项和为 Sₙ，且 aₙ₊₁ = 2Sₙ + 2，求 a₄。
【解答】
把 n 和 n−1 两个式子都写出来：
aₙ₊₁ = 2Sₙ + 2
aₙ = 2Sₙ₋₁ + 2
两式相减（注意 Sₙ − Sₙ₋₁ = aₙ）：
aₙ₊₁ − aₙ = 2aₙ
所以 aₙ₊₁ = 3aₙ（n ≥ 2），即公比 q = 3。
再由 n = 1 时：
a₂ = 2a₁ + 2，而 a₂ = 3a₁
解得 a₁ = 2，于是：
a₄ = 2·3³ = 54
【方法小结】
求通项的三条路，对号入座：
表格
三个易错点：
等比数列注意公比 q≠1、q≠0 的前提； 已知 Sₙ 求 aₙ，务必验证 n=1； 含绝对值，先找正负分界点，分段求和。
【配套练习】
等差数列 {aₙ} 中，a₃=7，a₅+a₇=26，求 aₙ。 已知 Sₙ = 2n² − 3n，求 aₙ。
解：
由 a₁+2d=7、2a₁+10d=26，解得 a₁=3，d=2，故 aₙ = 2n+1。 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=4n−5（n≥2），a₁=S₁=−1 也符合，故 aₙ = 4n−5。
关于这个合集
「天津高考真题拆解」数列部分的完整顺序：
基本量与通项（本篇・保分基础） 求和三板斧 数列不等式 新定义与集合计数
建议关注公众号、点开合集按顺序看。
往期回顾
天津高考真题拆解篇 | 导数不等式：构造+放缩（2026天津卷）
天津耀华学长数学，公众号：天津耀华学长数学天津高考真题拆解篇｜导数不等式：构造 + 放缩（2026 天津卷）
天津高考真题拆解篇 | 连乘+累加型压轴（2023、2026天津卷）
天津耀华学长数学，公众号：天津耀华学长数学天津高考真题拆解篇｜连乘 + 累加型压轴（2023、2026 天津卷）
下期预告
下一篇讲数列不等式：怎么用放缩和 "先猜后证"，处理数列里的证明题。
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作者 | 耀华学长
深耕天津高中数学培优 | 强基计划升学规划
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