高中数学|上顶点引线投影之和为定值:两个＂伪解＂背后藏着一个定点

这道题的动线装置比之前复杂一级：直线MN在椭圆上滑动还不算，还要从上顶点B向M、N各引一条线，打到左侧的挡板x=−3上，再要求两个落点的高度之和恰好是——条件绕了三道弯，最后要证的却还是那句老话：MN过定点。绕的弯越多，越考验”把条件一路翻译成k、m的方程”的耐心，也多了一个此前没见过的舍根理由。

已知椭圆经过点A(2,1)，且离心率．

第一问：点给尺度，离心率给形状。

A(2,1)代入：；平方得，于是．代回：

上顶点．（回检：c²=3，✓．）

第二问：条件翻译三步走——先写P、Q，再求和，最后代入韦达。

设M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂)。直线BM过与M，在x=−3处的纵坐标（把x=−3代入两点式）：

条件整理为

左边通分，分子拆成——其中x₁y₂+x₂y₁=2kx₁x₂+m(x₁+x₂)（各自乘开加m），于是条件等价于

设l:y=kx+m代入x²+2y²=6：

(1+2k²)x²+4kmx+2m²−6=0,

代入条件并乘(1+2k²)：

因式分解的关键一步：——两个括号里都藏着，整体提取：

方括号内展开后2km消去，剩，即

两处分流：

无论k取何值恒过定点．

边界自检：k=0时，代入椭圆得x²=0，是下顶点处的切线——只有一个交点，被”交于M，N两点”的前提天然排除（此时Δ=0）；定点在椭圆外，满足条件的割线只是过它的直线族中与椭圆相交的那部分，题设自动筛选，不影响”过定点”的结论。

其一，绕弯条件按”装置顺序”逐级翻译。本题条件链是：MN上的点→过B的引线→打在x=−3上→纵坐标求和．翻译时严格按装置顺序逐级写表达式，每一级只引入一个新量（、、和式），最后一次性代入韦达——跳步硬凑是这类题出错的主因。

其二，x₁y₂+x₂y₁是韦达工具箱里的常备件。它展开恰好是2kx₁x₂+m(x₁+x₂)，与两根和、两根积直接挂钩；对称式(x₁y₂+x₂y₁)、(x₁x₂+y₁y₂)、这”三兄弟”建议各推一遍存档，考场直接调用。

其三，舍根的理由又添一条新罪名。前几日舍过”直线过A“（交点含被排除点），今天舍的是”M、N中有一点与B重合，导致直线BM两点重合无法确定”——装置自身的定义域也会排除伪解。定点题里，每个舍掉的根都要对照题目装置逐一”验明正身”。

回到本题：MN在椭圆上滑动，P、Q在挡板上起落，但只要纵坐标之和钉在，这根弦就始终穿过——条件绕三道弯，桩还是只打一个。