试题分析:九上数学中一道“黄金三角形”习题的拓展

新编沪科版九上数学第22章《相似形》中，有一道“黄金三角形”问题（第100页第3题）.

原题如下.

如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,且相交于点O.写出与△ABC相似的三角形.

以下从做法、思想、拓展、价值四个方面进行分析.

一、做法

依题意，∠ABC=∠ACB=72°.

因为BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,所以∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠ECB=36°.

所以∠BOC=108°，∠BOE=∠COD=72°.

所以，△ABC∽△BCD∽△CEB∽△CDO∽△BEO.

    二、 思想

    本题体现了如下数学思想.

    1.方程思想与几何计算.通过设未知数或直接代数计算，将角度一步步推导出来，这是解决几何角度问题的基本方法.

2.从特殊到一般.顶角为36°的等腰三角形（即黄金三角形）具有非常特殊的性质.本题通过具体数字的计算，让学生体会特殊图形的特殊属性.

3.数形结合与转化思想.将“证明相似”的问题，转化为“求三个内角度数”的计算问题.找相似不需要一上来就看边，通过角度的匹配是最直观、最有效的方法.

4.对称思想.图形本身关于顶角∠A的角平分线是对称的，因此左半边和右半边的三角形结构完全一致.

    三、 拓展

1.黄金三角形的性质

顶角为36°的等腰三角形被称为第一类黄金三角形.它的底边与腰长之比为黄金分割比(√5-1)/2.而底角为36°的等腰三角形被称为第二类黄金三角形.

本题中，△ABC是第一类，而△CDE则是第二类（其腰与底之比为黄金分割比）.

2.相似比与线段比例

由于△BCD∽△ABC，可以得出BC/AB=CD/BC，即BC²=AB·CD.因为AB=AC，BC=BD=AD，可以得出AD²=AC·CD，从而证明点D是线段AC的黄金分割点.

3.角度规律

如果连接ED，图形中间会形成一个正五边形的一部分.在标准的五角星中，顶点角都是36°，本题的图形其实就是正五角星及其内部连线的局部缩影.

    四、价值

1.巩固核心知识.本题融合了等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定.

2.培养识图能力.图形中存在很多交错的线段，形成了很多大小不一的三角形.要求学生能在复杂的图形中“抽丝剥茧”，准确识别出符合条件的三角形，锻炼了学生的几何直观.

3.体会数学之美.黄金三角形在自然界、建筑学和艺术中广泛应用.这道题让学生在做题中触碰到了“黄金分割”这个美学与数学的经典交汇点，有助于激发学生学习数学的兴趣.

4.为后续学习铺垫.在以后的学习中，这个图形会被反复提及，黄金分割比例sin18°=(√5-1)/2的推导，完全依赖于对这个图形的深刻理解.

建议老师在讲解时，让学生自己动手算度数，用不同颜色的笔把 36°和 72°的角标注出来，图形会变得非常直观.同时，引导学生去发现隐藏的“黄金分割”，作为拔高内容.

（2026.10.20）