高中数学选择性必修二第一章递推数列问题教学建议(下)

递推数列是通过递推公式定义的数列，即数列的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，高中阶段常见的递推数列包含等差数列、等比数列、斐波那契数列等类型。

本文介绍高中递推数列的相关知识，介绍高中阶段递推数列的常见题型、通项求解方法、解题技巧以及相关基础概念。

一、基础基础知识

等差数列的判定方法：

①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；

②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2；

③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.

等比数列的判定方法：

(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列；

(2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．

累加法‌：适用于形如an+1=an+f(n)的递推式，将每一项的增量逐一累加，结合已知首项即可求出通项，是高中最基础的递推求解方法。

累乘法‌：适用于形如an+1=an•f(n) 的递推式，通过逐项约去中间项，最终得到通项公式。

待定系数法‌：针对一阶线性递推an+1=pan+q ，通过引入常数构造出全新的等比数列，进而反推原数列通项，是高考高频考点。

不动点法‌：多用于分式递推、一次分式递推数列，结合特征方程快速求解通项，也可搭配蛛网图直观判断数列的单调性与极限趋势，是压轴题常用技巧。

特征根法‌：专门针对二阶及以上的线性齐次递推数列，通过求解特征方程确定通项的结构形式，快速写出数列通项。

（续前）

类型六：形如（p≠1，p≠0，q≠0,）的递推数列问题，

可构造数列，

满足，运用待定系数法解得，，从而由等比数列求通项公式；进一步推广，若递推式中包含n的二次项、三次项，则构造的数列中也同样包含对应次数项．